抽象函数常见题型的思维导图讲解及其针对性测试题

永年县第二中学高一数学
抽象函数常见题型的思维导图讲解及其针对性测试题
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见
题型及解法评析如下：
一、定义域问题
例1. 已知函数的定义域是，求的定义域。
思维导图：第一步：审题，的定义域是，即第二步：由
求出的值域第三步：确定的定义域。
解析：的定义域是，即，则
的定义域是。
评析：一般地，已知函数的定义域是A，求的定义域问题，相当于已
知中x的取值范围为A，据此求的值域问题。
例2. 已知函数的定义域是，求函数的定义域。
思维导图：第一步：审题，的定义域是，即凡是被“”作用的对象都在
内第二步：令第三步：解出的范围第四步：确定
的定义域。
解析：的定义域是，由此可得，
即，，
，则
所以函数的定义域是。
评析：这类问题的一般形式是：已知函数的定义域是A，求函数的定
义域。正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题
实质上相当于已知的值域B，且，据此求x的取值范围。例2和
例1形式上正相反。
二、求函数值问题
例3. 已知定义域为的函数，同时满足下列条件：①；②
，求的值。
解析：取，得
因为，所以
又取，得。
评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取，这样便把已知条
件与欲求的沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。
四、解析式问题
例4. 设对满足的所有实数，函数满足，求的
解析式。
思维导图：第一步：令，则有第二步：把两式联
立起来，解方程组，求得。
(请同学们根据思维导图完成解题过程）：
评析：如果把和分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解
题关键。通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保
留一个变量，是实现这种转化的重要策略。
五、单调性、奇偶性证明问题
例5. 设定义于实数集上的函数，且对于任意实数x、y都有，
求证：（1）为奇函数；
（2）若当时，有，则在R上为增函数。
思维导图：（1）第一步：判断定义域第二步：令，得
第三步：令，求第三步：下结论。
（2）按照利用定义证明函数单调性步骤：取值、作差、变形、判号、下结论进行即可。
解析：（1）由已知得的定义域为R，关于原点对称，
令，则，
令，得
，为奇函数。
（2） 设在R上任取，且，则，
又
已知当时，有，，
，在R上为增函数。
评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或
变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。
针对性测试题：
1．若奇函数等于 （ ）
A．0 B．1 C． D．
2. 若函数满足，则下列各式不恒成立的是 （ ）
A． B． C． D．
3. 若函数分别为R上的奇函数、偶函数，且满足，则有
A． B．
C． D．
4. 已知函数的定义域为，求函数的定义域。
5.设是R上的函数，且，并且对任意都有
求的解析式。
6.已知函数对任意，总有，且当时，
，（1）求证：；（2）求证：在R上为增函数。
（3）求在上的最大值和最小值。
7. 设定义于实数集上，当时，，且对于任意实数x、y，有
，（1）求；（2）求证：在R上为增函数。
8．已知定义在上的函数满足，且当时，.
(1) 求的值； (2)判断的单调性； (3)若，解不等式.
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