二次函数给定区间最值问题的思维导图讲解及测试题

二次函数给定区间最值问题的思维导图讲解及测试题
二次函数在某一区间上的最值问题，是初中二次函数内容的继续和发展，随着区间的确定或变化，以及在系数中增添参变数，使其又成为高考数学中的热点。
一、轴定区间定
二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“轴定区间定”。
例1. 函数在区间[上的最大值是_______，最小值是______。
思维导图：第一步：对配方第二步：求出对称轴，判断图 像开口方向第三步：判断对称轴与区间的关系第四步：确
定该函数在上的单调性第五步：求最值。
解析：由配方法得，
其对称轴方程是，且图象开口向下， 又，
在上单调递增，上单调递减，
如图所示，故函数的最大值为，
最小值为。
同学们试着求一下：分别在区间上的最值。
小结：二次函数在给定区间内的最值情况： 当时，
（1）当时，的最小值是的
最大值是中的较大者。
（2）当时，若，由在上是增函数
则的最小值是，最大值是
若，由在上是减函数，
则的最大值是，最小值是
这样我们把二次函数在闭区间上的最值情况都罗列出来了，对时，二
次函数在闭区间上的最值情况也可作类似的讨论。
二、轴定区间动
例2：求函数的最值。
思维导图：第一步：对配方第二步：求出对称轴，判断图 像开口方向第三步：讨论对称轴与区间的关系第四步：确
定该函数在上的单调性第五步：求最值。
解析：由配方法得，
故其对称轴方程是，且图象开口向上
（1）当，即时，
在上单调递减，上单调递增，
故函数的最小值为，
又。
当时，；
当时，；
同学们自己完成时、的情况，
三、轴动区间定
二次函数随着参数a的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“轴动区间定”。
例3. 求函数在区间上的最值。
思维导图：第一步：对配方第二步：求出对称轴，判断图 像开口方向第三步：判断对称轴与区间的关系第四步：确定
该函数在上的单调性第五步：求最值。
解析：将配方得：
易知对称轴方程是，图象开口向上
（1）当，即时，在上递增，
所以函数的最小值是，最大值是。
（2）当，即时，在上递减，
所以函数的最大值是，最小值是。
（3）当，即时，
同学们自己完成第三种情况：
三、函数动区间动
二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“函数动区间动”。
例8. 求函数在区间的最小值。
解：将整理配方得
易知对称轴方程是，图象开口向上，顶点坐标为，
（1）若，即时，
在上单调递减，上单调递增，
则当时，；
（2）若，即时，
在上递增，
则当时，。
针对性测试题：
1.已知函数的最值情况为 （ ）
A . 有最大值，但无最小值 B. 有最小值，有最大值1
C. 有最小值1，有最大值 D . 无最大值，也无最小值
2.求函数的最大值和最小值。
3. 求下列函数的值域：
（1）； （2）；（3）。
4.已知函数, 求它当时的最小值。
5.求函数在区间上的最值。
6.已知，求的最大值及取得最大值时
的值。
1