沈阳市第 120 中学 2021-2022 学年度上学期
高一年级期第三次质量检测
数学试题答案
满分：150 分 时间：120 分钟
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的。
1． A 2． B 3． B 4.A 5． C .6． D .7． D .8． B．
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求。全部选对的给 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
9． ABC. 10． BC.11.AB 12． ACD
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
13． 6．
3
14． k ,+ .
8
15． (2,0) .
16． ( 1,0) (0,+ )
四、解答题：本题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17 解：当a = 2时， A = x | a 1 x 2a + 4 = x 1 x 8 ，
B ={x | x2 4x 12 0}= x 2 x 6 ，
所以 A B = x 2 x 8 ；-------------------------------------------------------------3 分
（2）
解：选①，
因为 A B = A，所以 A B，
当 A = B时，a 1 2a+4，解得a 5；------------------------------------5 分
当 A 时，因为 A B，
a 1 2a + 4
所以 a 1 2 ，解得 1 a 1，----------------------------------------------9 分
2a + 4 6
试卷第 1 页，共 6 页
综上所述，a 5或 1 a 1.---------------------------------------------10 分
选②，
因为 A ( RB) = A，所以 A RB， RB = x x 2或 x 6 ，
当 A= 时，a 1 2a+4，解得a 5，符合题意；
当 A 时，因为 A RB，
a 1 2a + 4 a 1 2a + 4
所以 或 ，解得a 7或 5 a 3，
a 1 6 2a + 4 2
综上所述，a 3或a 7 .
选③，
当 A= 时，a 1 2a+4，解得a 5，符合题意；
当 A 时，因为 A B = ，
a 1 2a + 4 a 1 2a + 4
所以 或 ，解得a 7或 5 a 3，
a 1 6 2a + 4 2
综上所述，a 3或a 7 .
18（1） f (x) 是幂函数，则m2 2m+2 =1，m =1，又 f (x) 是偶函数，所以
3k k2 = k(3 k)是偶数，
f (x) 在 (0,+ )上单调递增，则3k k2 0，0 k 3，所以 k =1或 2．
所以 f (x) = x2；----------------------------------------------------------------5 分
（2）由（1）偶函数 f (x) 在[0,+ )上递增，
2 2
f (2x 1) f (2 x) f ( 2x 1) f ( 2 x ) 2x 1 2 x 1 x 1．
所以 x的范围是 ( 1,1) ．------------------------------------------------------12 分
1 ax 1+ ax
19．（1） f (x) = log1 ， f ( x) = log1 ，
x 1 x 12 2
1 ax 1+ ax 1 ax 1+ ax
f (x)+ f ( x) = log1 + log1 = log1 = 0，
2 x 1 2 x 1 x 1 x 12
1 ax 1+ ax 1 a2x2
即 = =1，故a2 =1，a = 1，-----------------------------3 分
x 1 x 1 1 x2
1 ax
当a =1时， f (x) = log1 = log1 ( 1)，不成立，舍去；
2 x 1 2
1+ x
当a = 1时， f (x) = log1 ，验证满足.
x 12
综上所述：a = 1 .---------------------------------------------------------------------5 分
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x x
1 x 1 1
（2） f (x) +m，即 f (x) m， y = 为增函数.
2 2 2
x
1
故F (x) = f (x) 在 3,4 单调递增-----------------------------------------10 分
2
3
1 9
故F (x) = F (3) = log1 2 min = .
2 82
9
故m ------------------------------------------------------------------------------12 分
8
2
20． （1）∵0.004×50＝ ，解得 n＝100，------------------------------------1 分
n
∵20＋40＋m＋10＋5＝100，解得 m＝25，-------------------------------------2 分
40 25 10 5
= 0.008, = 0.005, = 0.002, = 0.001
100 50 100 50 100 50 100 50
完成频率分布直方图如图：
--------------------------------------------4 分
（2）
由频率分布直方图知该组数据的平均数为：
x ＝25×0.004×50＋75×0.008×50＋125×0.005×50＋175×0.002×50＋225×0.001×50＝95．
∵[0，50）的频率为 0.004×50＝0.2，[50，100）的频率为 0.008×50＝0.4，----------6 分
0.5 0.2
∴该组数据的中位数为：50+ 50 = 87.5．----------------------------------------8 分
0.4
（3）空气质量指数为[50，100）和[150，200）的监测天数中分别抽取 4 天和 1 天，
在所抽取的 5 天中，将空气质量指数为[50，100）的 4 天分别记为 a，b，c，d，
将空气质量指数为[150，200）的 1 天记为 e．
从中任取 2 天的基本事件分别为：
（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），
（d，e），共 10 天，------------------------------------------------------------------------------10 分
其中事件 A“两天空气都为良”包含的基本事件为：
（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），共 6 天，---------------------11 分
6 3
∴事件 A“两天空气都为良”发生的概率 P（A）＝ = .--------------------------------12 分
10 5
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21．
解：（1）由题意可得 y 9r0 = 55196，则67207 = 55196e ，----------------------------------1 分
ln 67207 = ln (55196e9r ) = ln 55196 + 9r ，
所以9r = ln67207 ln55196 9 0.02188，
所以 r = 0.02188，---------------------------------------------------------------------------------3 分
所以 y = 55196e0.02188t 55196 1.022t ，
当 y =130000时，55196e0.02188t =130000，
所以 ln (55196e0.02188t ) = ln130000，
0.02188t = ln130000 ln55196 39.15 0.02188，
所以 t 39.15 ---------------------------------------------------------------------------------------6 分
所以大约 40 年后我国人口达到 13 亿，
f (k)
（2）（ⅰ）由 1，得 f (k) f (k 1)，
f (k 1)
600k +13600 600(k 1) +13600
所以 ，
y0e
rk y er (k 1)0
化简得600k +13600 (600k +13000)er，--------------------------------------------------8 分
即600k +13600 (600k +13000) 1.022，
解得0.132k 3.14， k 23.8
因为 k 为正整数，
所以正整数 k 的最小值为 24，--------------------------------------------------------------9 分
（ⅱ）由（ⅰ）当 k 23.8时， f (k) f (k 1)，
所以当 k = 23时， f (k)最大，
600×23+13600 600×23+13600 27400
(23) =
23
=
55196×1.02223
= ≈ 0.301，
0 91050
即0.301 1000 = 301 400，
所以按此模型，我国年人均粮食占有量不能达到 400 千克---------------------------12 分
22．解：（1）由 f (x) = 2x 为“G(2)函数”，得 f (x0 +2) = f (x0)+ f (2)
4 4
即 x0+2 x2 = 2 0 + 22 ，解得 x = log ，故实数 x0 2 0 的值为 log2 ；---------------------------2 分
3 3
a
（2）由函数 f (x) = lg 为“G(1)函数”2 可知，存在实数 x0 ， x +1
a a a
使得 f (x0 +1) = f (x )+ f (1)， lg = lg + lg0 ， (x0 +1)
2 +1 x20 +1 2
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a a2
即 =2 2 ；-----------------------------------------------------------------------4 分 (x0 +1) +1 2(x0 +1)
a 2
由 0，得a 0， 整理得 (a 2)x0 + 2ax0 + 2a 2 = 0 .
x2 +1
1
① 当a = 2时， x0 = ，符合题意；---------------------------------------------------------5 分
2
② 当a 2时，由 = 4a2 4(a 2)(2a 2) 0，即a2 6a+4 0，
解得3 5 a 3+ 5且a 2；----------------------------------------------------------------7 分
综上，实数a的取值范围是[3 5,3+ 5]；
（3）由 f (x) = x+b 为“G(0) 函数”，得 f (x0 +0) = f (x0)+ f (0)，
即 f (0) = 0，从而b = 0， f (x) = x，
g(x1) g(x2 ) g(x1) g(x2 )
不妨设 x1 x2 ，则由 2 ，即 2， f (x ) f (x x1 2 ) 1 x2
得 g(x1) 2x1 g(x2) 2x2 ，---------------------------------------------------------------------10 分
令F(x) = g(x) 2x，则F(x)在区间[0, t]上单调递增，
x2 6x, x 4
又 F(x) = x x 4 2x = ，
2x x
2 , x 4
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如图，可知0 t 1，故实数 t 的最大值为 1.-------------------------------------------------12 分
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高一年级期第三次质量检测
数学试题
满分：150 分 时间：120 分钟
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的。
1．命题： ∈ , 2 = √2 1的否定是（ ）
A． ∈ , 2 ≠ √2 1 B． ∈ , 2 = √2 1
C． ∈ , 2 ≠ √2 1 D． , 2 ≠ √2 1
2．荀子日：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句来自先秦时期
的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理．由此可得，“积跬
步”是“至千里”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．关于 x方程2 2 1 = 0在0 < < 1内恰有一解，则（ ）
A． < 1 B． > 1 C． 1 < < 1 D．0 < ≤ 1
4.在五边形 中(如图)，下列运算结果为 的是（ ）
A． + B． + +
C．BC DC D． AE ED
1
5．已知函数 ( )满足 ( ) + 2 (1 ) = 1，则 (﹣2)的值为
1 1 1 1
A． B． C． D．
18 6 18 6
( + 2) , ≥ 2
6．已知函数 ( ) = { 是 上的单调递增函数，则实数 a的取值范围是 + 1, < 2
（ ）
A．( ∞, 0) B．0,1 C．0,3 D．1,3
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7．新冠肺炎疫情的发生，我国的三大产业均受到不同程度的影响，其中第三产业中的
各个行业都面临着很大的营收压力.2020 年 7 月国家统计局发布了我国上半年国内经济
数据，如图所示：图 1 为国内三大产业比重，图 2 为第三产业中各行业比重.
以下关于我国上半年经济数据的说法正确的是（ ）
A．第一产业的生产总值与第三产业中“租赁和商务服务业”的生产总值基本持平
B．第一产业的生产总值超过第三产业中“房地产业”的生产总值
C．若“住宿餐饮业”生产总值为 7500 亿元，则“金融业”生产总值为 32500 亿元
D．若“金融业”生产总值为 41040 亿元，则第二产业生产总值为 1665001 亿元
( ) ( ) f (log3 2)
8．已知函数 ( ) = 2 1，令 = ， = ，c = ，则 ， ， 的大 log3 2
小关系是（ ）
A． < < B．c b a
C．c a b D．b a c
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求。全部选对的给 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
9．下列说法错误的是（ ）
A．若| | = | |，则 = 或 =
B．若 = ， ∈ ，则 =
C．若 // ， // ，则 //
D．若 = 0 ， ∈ ，则 = 0或 = 0
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10．函数 ( ) = | + |（ > 0，且 ≠ 1）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
11．以下结论中正确的有（ ）
A．投掷一枚骰子，事件“出现的点数至少是 5 点”和“出现的点数至多是 2 点”是互斥事
件
B．投掷一枚硬币，事件“结果为正面向上”和“结果为反面向上”是对立事件
C．5 个阉中有一个是中签的阉，甲、乙两人同时各抽一个，事件“甲中签”和“乙中签”
是对立事件
D．从两男两女四个医生中随机选出两人组建救援队，抽选结果的基本事件是“一男一
女”、“两个男医生”、“两个女医生”，共三种
1
12．已知函数 ( )的定义域( 1,1)，且 ( ) = 1，若 ( ) ( ) = ( )
2 1
，则
（ ）
A． (0) = 0
B． ( )在( 1,1)上是偶函数
C．若 ∈ (0,1)， ( ) > 0，则函数 ( )在( 1,1)上单调递增
2 1
D．若 1 +1 = ， = ，则 ( ) = 2 1+ 2 1 2
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
1
13．计算： log4 4 2 +814 + lg30 lg3 = ______．
14．函数 ( ) = 4 + 2 + 2在(-∞，2]上的图象总在 x轴的上方，则实数 k的取值
范围为______.
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15．已知函数 = ( )的图像过定点(3, 5)，且函数 = ( )的反函数为 = 1( )，
则函数 = 1(1 3 ) 2 + 1的图像必过定点________．
, ≤ 0
16．已知 ( ) = { 1 ，若关于 x的方程 [ ( )] = 0仅有一解，则 a的取值范围
, > 0
是_______．
四、解答题：本题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本题 10 分）已知集合 = { | 1 < < 2 + 4}， = { | 2 4 12 ≤ 0}.
（1）当 = 2时，求 ∪
（2）在① ∩ = ，② ∩ ( ) = ，③ ∩ = 这三个条件中任选一个，
补充在（2）问中的横线上，并求解.若___________，求实数 的取值范围.
(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
2
18．（本题 12 分）已知幂函数 ( ) = ( 2 2 + 2) 3 ( ∈ )是偶函数，且在
(0,+∞)上单调递增.
（1）求函数 ( )的解析式
（2）若 f (2x 1) f (2 x)，求 的取值范围
1
19．（本题 12 分）设 ( ) = 1 ( ) 1 为奇函数， 为常数. 2
（1）求 的值
（2）若对于[3,4]
1
上的每一个 的值，不等式 ( ) > ( ) + 恒成立，求实数 的取值
2
范围.
20．（本题 12 分）全世界人们越来越关注环境保护问题，某监测站点于 2016 年 8 月某
日起连续 n天监测空气质量指数（AQI），数据统计如下：
空气质量指数（ 3μg/m ） [0,50) [50,100) [100,150) [150,200) [200,250)
空气质量等级 空气优 空气良 轻度污染 中度污染 重度污染
天数 20 40 m 10 5
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（1）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出 n，m的值，并完成频率分布直
方图
（2）由频率分布直方图求该组数据的平均数与中位数
（3）在空气质量指数分别属于[50,100)和[150,200)监测数据中，用分层抽样的方法抽
取 5 天，再从中任意选取 2 天，求事件 A“两天空气都为良”发生的概率.
21．（本题 12 分）2021 年 5 月，“共和国勋章”获得者、“杂交水稻之父”袁隆平先生辞
世，他的功绩将永远被人们铭记：在他和几代科学家的共同努力下，中国用全世界 7%
的耕地，养活了全世界 22%的人口．目前，我国年人均粮食占有量已经稳定在 470 千
克以上，远高于国际公认的 400 千克粮食安全线．某校数学建模小组的同学想研究假
如没有杂交水稻的推广，没有合理的人口、土地政策，仅以新中国成立时的自然条件
为前提，我国年人均粮食占有量会如何变化？根据英国经济学家马尔萨斯《人口论》
的观点“人口呈几何级数增长，而生活资料呈直线型增长”，该小组同学做了以下研
究．根据马尔萨斯的理论，自然状态下人口增长模型为 = 0 ①（其中 表示经过
的时间， 0表示 = 0时的人口数， 表示人口的年平均增长率， 表示 年后的人口
数，单位：万人）．根据国家统计局网站的数据，我国 1950 年末、1959 年末的人口总
数分别为 55196 万和 67207 万．该小组同学根据这两个数据，以 1950 年末的数据作为
= 0时的人口数，求得①式人口增长模型．经检验，1950~1959 年的实际人口数与此
模型基本吻合，如图．
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（1）若你是该小组成员，请求出①式的人口增长模型，并以该模型计算从 1950 年末
开始，大约多少年后我国人口达到 13 亿？（年数取不小于 的最小整数）
（2）根据马尔萨斯的理论，该小组同学把自然状态下粮食增长模型近似看作直线型模
型，通过查阅我国 1950 年末至 1959 年末粮食产量，得到粮食增长模型近似为 =
600 + 13600（其中 表示经过的时间， 表示第 年的粮食年产量，单位：万吨）。
600 +13600
( ) = （ ∈ ）表示从 1950 年末开始第 年的年人均粮食占有量。 0
（单位：吨/人）
( )
（ⅰ）求满足 < 1的正整数 的最小值
( 1)
（ⅱ）按此模型，我国年人均粮食占有量能达到 400 千克吗？试说明理由．
参考数据：ln67207 ln55196 ≈ 9 × 0.02188
ln130000 ln55196 ≈ 39.15 × 0.02188，
0.02188 ≈ 1.022
23 2740055196 × 1.022 ≈ 91050， ≈ 0.301
91050
22．（本题 12 分）设 为给定的实常数，若函数 = ( )在其定义域内存在实数 0，
使得 f (x0 +m) = f (x0)+ f (m)成立，则称函数 ( )为“ ( )函数”．
（1）若函数 ( ) = 2 为“ (2)函数”，求实数 0的值
（2）若函数 ( ) =
2
为“ (1)函数”，求实数 的取值范围
+1
（3）已知 ( ) = + ( ∈ )为“ (0)函数”，设 ( ) = | 4|.
( 1) ( 2)
若对任意的 1, 2 ∈ [0, ]，当 1 ≠ 2时，都有 > 2成立，求实数 的最大值． ( 1) ( 2)
试卷第 6 页，共 6 页
