江西省瑞金一中2012-2013学年高二上学期第一次月考数学（理）试卷

2012瑞金一中高二第一次月考数学 (理数)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出四个选项中，只有一项正确。
1．已知地铁列车每10 min一班，在车站停2 min.则乘客到达站台立即乘上车的概率是 【 】
A. B. C. D.
2．已知一组正数的方差为，则数据
的平均数为 【 】
A．4 B．3 C．6 D．2
3. 采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，……，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为 【 】
（A）7 （B） 9 （C） 10 （D）15
4. 在直角坐标系中，已知两点，沿轴把直角坐标平面折成直二面角后，两点的距离为 【 】
A． B． C． D．
5. 已知正三棱锥S—ABC的高为3，底面边长为4，在正棱锥内任取一点P，使得的概率是 【 】
A． B． C． D．
6. 从装有５只红球、５只白球的袋中任意取出３只球，有事件：① “取出２只红球和１只白球”与“取出１只红球和２只白球”；② “取出２只红球和１只白球”与“取出３只红球”；③ “取出３只红球”与“取出３只球中至少有１只白球”；④ “取出３只红球”与“取出３只白球”．其中是对立事件的有 【 】
A．①、④　　　　B．②、③　　　C．③　　　　D． ③、④
7. 直线截圆得的劣弧所对的圆心角为【 】
A．　　　B． 　　　C． 　　　　D．
8. 给出30个数：1,2,4,7,……其规律是（ ）
第1个数是1；
第2个数比第1个数大1；
第3个数比第2个数大2；
第4个数比第3个数大3；……
以此类推，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图所示，那么框图 中判断框①处和执行框②处应分别填入【 】
A．； B．；
C．； D．；
9. 若方程的任意一
组都满足，则的取值范围是【 】
A． B．
C． D．
10. 在平面直角坐标系中，定义 为两点P（），Q（）之间的“折线距离”．则圆 上一点与直线 上一点的“折线距离”的最小值是 【 】
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，
11. 程序框图如下：如果上述程序运行的结果为S=1320，那么判断框中横线上应填入的数字是 ．
12. 一支运动队有男运动员56人，女运动员42人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个样本，已知某男运动员被抽中的概率为，则抽取的女运动员的人数为
13．设集合，，若集合中只有一个元素，则实数的取值范围是 ；
14. 求过点，且与圆相切的直线的方程
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0,1），此时圆上一点P的位置在（0,0），圆在x轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于（2,1）时，的坐标为______________。
三、解答题：本大题共4小题，共48分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16 . （本小题12分) 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.
（Ⅰ）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
（Ⅱ）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求 的概率.
17. （本小题12分)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次．记录如下：
甲：82 81 79 78 95 88 93 84
乙：92 95 80 75 83 80 90 85
（Ⅰ）画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图，指出学生乙成绩的中位数；
（Ⅱ）现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位学生参加合适 请说明理由；
（Ⅲ）若将频率视为概率，对学生甲、乙在今后的一次数学竞赛成绩进行预测， 他们高于80分的概率分别是多 少？
18. （本小题12分)实数a,b是分别从集合A={1，2，3，4}中随机抽取的元素（a与b可以相同），集合B=
（Ⅰ）写出使B的所有实数对
（Ⅱ）求椭机抽取的a与b的值使B且的概率.
19. （本小题12分) 如图，以棱长为的正方体的三条棱为坐标轴，建立空间直角坐标系，点在正方体的对角线上，点在正方体的棱上。
（Ⅰ）当点为对角线的中点，点在棱上运动时，
探究的最小值；
（Ⅱ）当点在对角线上运动，点为棱的中点时，
探究的最小值；
20. （本小题13分) 已知圆：
（Ⅰ）求圆心的坐标及半径的大小；
（Ⅱ）若不过原点的直线与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，求直线的方程；
（Ⅲ）从圆外一点向圆引一条切线，切点为，为坐标原点，且，求点的轨迹方程。
21. （本小题14分)在平面直角坐标系中，已知圆和圆.（Ⅰ）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；（Ⅱ）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与
圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试
求所有满足条件的点P的坐标。
参考答案
选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C C B D A D B A
填空题
11、9 12、 12 13、
14、或 15、
三．解答题。
16 . 解：（I）从袋子中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6个。
从袋中随机取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2,1和3两个。
因此所求事件的概率为1/3。
（II）先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，在从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果（m, n）有：
（1,1）（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（3,1）（3,2）, （3,3） （3,4）,（4,1） （4,2），（4,3）（4,4），共16个
有满足条件n≥ m+2 的事件为（1,3） （1,4） （2,4），共3个
所以满足条件n ≥ m+2 的事件的概率为 P=3/16
故满足条件n17. 解：（1）茎叶图如下：
………………2分
学生乙成绩中位数为84，…………4分
（2）派甲参加比较合适，理由如下：
………………5分
=35.5
=41……………………7分
∴甲的成绩比较稳定，派甲参加比较合适……………………8分
（3）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A，
则……………………10分
。。。。。。。。。12分
18.
19. 解：由已知，
（1）当点为对角线的中点时，点坐标为，
设，则，
当时，取到最小值为，此时为的中点。
（2）当点为棱的中点时，点的坐标为，设，则，
，，所以点的坐标为，
所以，当，即为的中点时，取到最小值。
20. 解：（1）圆的方程可化为：，则圆心坐标为，半径
（2）依题意，可设直线的方程为，则由，
得或，即直线的方程为或
（3）因为与圆相切，切点为，则有，又
故，即
化简得：，这就是点的轨迹方程
21. (1)设直线的方程为：，即
由垂径定理，得：圆心到直线的距离，
结合点到直线距离公式，得：
化简得：
求直线的方程为：或，即或.。。。6分
(2) 设点P坐标为，直线、的方程分别为：
，即：
因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，两圆半径相等。由垂径定理，得：：圆心到直线与直线的距离相等。
故有：，
化简得：
关于的方程有无穷多解，有：
解之得：点P坐标为或。。。。。14分
B
X
A
C
Y
D
Z
O
Q
P