2021-2022学年苏科版九年级数学上册1.2一元二次方程的解法-同步练习（Word版含答案）

1.2一元二次方程的解法-同步练习
一、单选题
1．方程的根是（ ）
A． B． C． D．
2．用配方法解方程x2﹣8x+9＝0，变形后的结果正确的是（　　）
A．（x﹣4）2＝7 B．（x﹣4）2＝﹣7 C．（x﹣4）2＝25 D．（x﹣4）2＝﹣25
3．若a≠b，且a2﹣4a+1＝0，b2﹣4b+1＝0，则的值为（　　）
A． B．1 C．4 D．3
4．若关于x的方程x2+（m+1）x+m2＝0的两个实数根互为倒数，则m的值是（　　）
A．﹣1 B．1或﹣1 C．1 D．2
5．下列一元二次方程中没有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
6．用公式法解方程x2+4x＝2，其中求得b2﹣4ac的值是（　　）
A．16 B．±4 C．32 D．64
7．方程x（x﹣6）＝0的解是（　　）
A．x＝6 B．x1＝0，x2＝6 C．x＝﹣6 D．x1＝0，x2＝﹣6
8．一元二次方程x2＝2x的解是（　　）
A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝﹣2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝0
二、填空题
9．方程的解为________．
10．如果一元二次方程x2﹣4x+k＝0经配方后，得（x﹣2）2＝1，那么k＝__．
11．方程（k﹣1）x2﹣x+＝0有两个实数根，则k的取值范围是　 　．
12．等腰△ABC中，BC＝8，若AB、AC的长是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的根，则m的值等于　 　．
13．用因式分解法解方程x2﹣px﹣6＝0，将左边分解因式后有一个因式是x﹣3，则p的值是　 　．
14．若（a2+b2）（a2+b2+3）＝10，则a2+b2＝_____．
15．解方程：，较好的方法是__________法．
三、解答题
16．解方程：x2﹣8x+7＝0
17．阅读下面的例题，解方程x2﹣|x|﹣2＝0
解：原方程化为|x|2﹣|x|﹣2＝0．令y＝|x|，原方程化成y2﹣y﹣2＝0
解得：y1＝2，y2＝﹣1
当|x|＝2，x＝±2；当|x|＝﹣1时（不合题意，舍去）
∴原方程的解是x1＝2 x2＝﹣2
请模仿上面的方法解方程：（x﹣1）2﹣5|x﹣1|﹣6＝0．
18．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，则△ABC的形状为　 　；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
19．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2（m﹣3）x+m2+1＝0的两个根．
（1）当m取何值时，原方程有两个不相等的实数根？
（2）若以x1，x2为对角线的菱形边长是，试求m的值．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22＝11，求k的值．
21．已知关于x的方程x2﹣8x﹣k2+4k+12＝0．
（1）求证：无论k取何值，这个方程总有两个实数根；
（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k
22．已知：关于x的一元二次方程mx2+(3m+1)x+3=0．
（1）求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；
（2）如果该方程有两个不等的整数根，且m为正整数，求m的值；
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．B
【解析】解：利用完全平方公式变形后得，
即，
故选：B．
2．解：方程移项得：x2﹣8x＝﹣9，
配方得：x2﹣8x+16＝7，即（x﹣4）2＝7，
故选：A．
3．解：由题意可知：a、b是方程x2﹣4x+1＝0的两个不同的实数根，
∴由根与系数的关系可知：ab＝1，a+b＝4，
∴a2+1＝4a，b2+1＝4b，
∴原式＝+
＝
＝
＝1，
故选：B．
4．解：由题意可知：△＝（m+1）2﹣4m2＝﹣3m2+2m+1，
由题意可知：m2＝1，
∴m＝±1，
当m＝1时，△＝﹣3+2+1＝0，
当m＝﹣1时，△＝﹣3﹣2+1＝﹣4＜0，不满足题意，
故选：C．
5．D
【解析】解：A、，方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
B、，方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意；
C、，方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
D、，方程无实数根，故本选项符合题意；
故选D．
6．解：∵x2+4x＝2，
∴x2+4x﹣2＝0，
∴a＝，b＝4，c＝﹣2，
∴b2﹣4ac＝（4）2﹣4××（﹣2）＝64；
故选：D．
7．解：x（x﹣6）＝0
x＝0或x﹣6＝0
解得x1＝0，x2＝6．
故选：B．
8．解：原方程移项得：
x2﹣2x＝0，
∴x（x﹣2）＝0，（提取公因式x），
∴x1＝0，x2＝2，
故选：D．
9．或
【解析】（x-1）（x+3）=12
x2+3x-x-3-12=0
x2+2x-15=0
x=,
∴x1=3，x2=-5
故答案是:3或-5．
10．3
【解析】解：x2﹣4x＝﹣k，
x2﹣4x+4＝4﹣k，
（x﹣2）2＝4﹣k，
所以4﹣k＝1，解得k＝3．
故答案为3．
11．解：由已知方程可知：a＝k﹣1，b＝，c＝，
∵方程有两个实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝﹣2k+2≥0，
解得：k≤1，
∵
∴k＜1，
故答案为k＜1．
12．解：当AB＝BC＝8，把x＝8代入方程得64﹣80+m＝0，解得m＝16，
此时方程为x2﹣10x+16＝0，解得x1＝8，x2＝2；
当AB＝AC，则AB+AC＝10，所以AB＝AC＝5，则m＝5×5＝25．
故答案为25或16．
13．解：根据题意得：x2﹣px﹣6＝（x﹣3）（x﹣a）＝x2﹣（a+3）x+3a＝0，
∴﹣p＝﹣a﹣3，3a＝﹣6，
解得：a＝﹣2，
则p＝1．
故答案为：1．
14．2
【解析】解：设t＝a2+b2，（t≥0）则
t（t+3）＝10，
整理，得
（t+5）（t﹣2）＝0，
解得 t＝2或t＝﹣5（舍去）．
故a2+b2的值为2．
故答案为：2
15．配方
【解析】解：将看成整体，
∵二次项系数为1，一次项系数为偶数，
∴较好的方法是配方法．
故答案为：配方．
16．解：
分解因式可得（x﹣1）（x﹣7）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣7＝0，
∴x＝1或x＝7．
17．解：原方程化为|x﹣1|2﹣5|x﹣1|﹣6＝0，
令y＝|x﹣1|，原方程化成y2﹣5y﹣6＝0，
解得：y1＝6，y2＝﹣1，
当|x﹣1|＝6，
x﹣1＝±6，
解得：x1＝7，x2＝﹣5；
当|x﹣1|＝﹣1时（舍去）．
则原方程的解是x1＝7，x2＝﹣5．
18．解：（1）∵x＝﹣1是方程的根，
∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）＝0，
∴a+c﹣2b+a﹣c＝0，
∴a﹣b＝0，
∴a＝b，
∴△ABC是等腰三角形．
故答案为等腰三角形；
（2）△ABC是直角三角形，理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，
∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，
∴4b2﹣4a2+4c2＝0，
∴a2＝b2+c2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）∵△ABC是等边三角形，
∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0可整理为：2ax2+2ax＝0，
∴x2+x＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣1．
19．解：（1）由题意得△＝[2（m﹣3）]2﹣4（m2+1）＝32﹣24m，
要使方程有两个不相等的实数根，需要△＞0，
即32﹣24m＞0，解得m＜，
即m＜时，方程有两个不相等的实数根．
（2）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2（m﹣3）x+m2+1＝0的两个根，
∴x1+x2＝﹣2（m﹣3），x1 x2＝m2+1．
∵x1，x2为菱形的对角线，
∴x1，x2互相垂直并且平分，
∴（ x1）2+（ x2）2＝3，
∴x12+x22＝12，
∴（x1+x2）2﹣2x1 x2＝12，
∴（x1+x2）2﹣2x1 x2＝12，
∴[﹣2（m﹣3）]2﹣2（m2+1）＝12，
∴m2﹣12m+11＝0，
解得，m1＝1，m2＝11．
∵m＜，
∴m2＝11不合题意，舍去，
∴m的值为1．
20．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1＝0有实数根，
∴△≥0，即[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2+k﹣1）＝﹣8k+5≥0，
解得k≤．
（2）由根与系数的关系可得x1+x2＝2k﹣1，x1x2＝k2+k﹣1，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（2k﹣1）2﹣2（k2+k﹣1）＝2k2﹣6k+3，
∵x12+x22＝11，
∴2k2﹣6k+3＝11，解得k＝4，或k＝﹣1，
∵k≤，
∴k＝4（舍去），
∴k＝﹣1．
21．（1）证明：∵△＝（﹣8）2﹣4（﹣k2+4k+12）＝4（k﹣2）2≥0，
∴无论k取何值，这个方程总有两个实数根；
（2）解：x2﹣8x﹣k2+4k+12＝0，
（x+k﹣6）（x﹣k﹣2）＝0，
解得：x1＝﹣k+6，x2＝k+2，
当AB＝AC时，﹣k+6＝k+2，则k＝2；
当AB＝BC时，﹣k+6＝5，则k＝1；
当AC＝BC时，则k+2＝5，解得k＝3，
综合上述，k的值为2或1或3．
22（1）见解析；（2）m=1
【解析】（1）△=（3m+1）2﹣4×3m=9m2﹣6m+1=（3m﹣1）2．
∵不论m为任何实数时总有（3m﹣1）2≥0，即△≥0，
∴不论m为任何实数，此方程总有实数根；
（2）mx2+（3m+1）x+3=0，
即（mx+1）（x+3）=0，
解得：x1=﹣3，x2=﹣．
∵方程mx2+（3m+1）x+3=0有两个不等的整数根，且m为正整数，
∴m=1．
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