2021-2022学年青岛版九年级数学下册5.5确定二次函数表达式同步练（Word版含答案）

确定二次函数表达式
将二次函数配方为的形式为
A. B. C. D.
已知某二次函数，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是
A. B. C. D.
抛物线的顶点坐标为，则抛物线的解析式为
A. B. C. D.
若抛物线的顶点为点且抛物线经过点，那么抛物线解析式是
A. B.
C. D.
已知二次函数的图象如图所示，将其沿轴翻折后得到的抛物线的表达式为
A.
B.
C.
D.
关于的二次函数的图象过原点，则的值为
A. B. C. D.
已知二次函数其中是自变量，当时，，则的值为
A. B. C. D.
如图，一条抛物线与轴相交于，两点点在点的左侧，其顶点在线段上移动，点，的坐标分别为，，点的横坐标的最大值为，则点的横坐标的最小值为
A.
B.
C.
D.
如果抛物线经过点和，且与轴交于点，若则这条抛物线的解析式是
A. B. 或
C. D. 或
抛物线如图所示，则的值等于
A.
B.
C.
D.
如图，的顶点在抛物线上，将绕点顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点，则点的坐标为______．
二次函数的图象经过点，且当时，有最大值，则该二次函数解析式为______．
已知二次函数的图象经过点，顶点为，将该图象向右平移，当它再次经过点时，所得抛物线的函数表达式为______．
将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式______．
如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点坐标为，该图象与轴相交于点、，与轴相交于点，其中点的横坐标为．
求该二次函数的表达式；
求．
如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，，，直线是抛物线的对称轴，在直线右侧的抛物线上有一动点，连接，，，．
求抛物线的函数表达式；
若点在轴的下方，当的面积是时，求的面积；
在的条件下，点是轴上一点，点是抛物线上一动点，是否存在点，使得以点，，，为顶点，以为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，在直角坐标系中，抛物线经过点，，
求抛物线的解析式和顶点坐标；
该抛物线有一点，使得，求点的坐标．
已知二次函数的图象经过点和点，求该函数的表达式，并求出当时，的最值．
如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知点坐标为，点坐标为．
求出、的值，并写出此二次函数的解析式；
当时，求的最大值．
点在轴上，点在抛物线上，要使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，写出所有满足条件的点的坐标．
如图，已知，抛物线与轴交于，两点，过点的直线与该抛物线交于点，点是该抛物线上不与，重合的动点，过点作轴于，交直线于点．
求抛物线的解析式；
若，当时，求点坐标；
当中直线为时，是否存在实数，使与相似？若存在请求出的值；若不存在，请说明你的理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：
，
故选：．
根据配方法求解可得．
本题主要考查二次函数的三种形式，解题的关键是熟练掌握配方法的基本步骤．
2.【答案】
【解析】解：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
抛物线满足条件．
故选：．
先利用二次函数的性质得到抛物线开口向上，对称轴为直线，然后对各选项进行判断．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式．也考查了二次函数的性质．
3.【答案】
【解析】解：抛物线的顶点坐标为，
，
抛物线的解析式为，
故选：．
根据顶点式的坐标特点，可得出，即可得到抛物线的解析式为．
本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的顶点坐标式，此题难度不大．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了求抛物线的解析式的应用，解题的关键是注意抛物线解析式的设法．
设抛物线的解析式为，把点代入得出，求出即可．
【解答】
解：抛物线的顶点为，
设抛物线的解析式为，
经过点，
代入得：，
解得：，
即．
故选：．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数图象与几何变换，抛物线翻折后的形状不变是关键．
由于二次函数的图象沿轴翻折后所得抛物线的开口大小与原抛物线的开口大小相同，只是开口方向相反，然后写出点关于轴的对称点的坐标，再利用顶点式即可得到新抛物线的解析式．
【解答】
解：二次函数的图象的顶点坐标为，
点关于轴的对称点的坐标为，
又因为二次函数的图象沿轴翻折后所得抛物线的开口大小与原抛物线的开口大小相同，只是开口方向相反，
所以所得抛物线的解析式为．
故选D．
6.【答案】
【解析】解：把代入得，解得，，
而，
所以的值为．
故选：．
把原点坐标代入解析式得到，再解关于的方程，然后利用二次函数的定义确定的值．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，也考查了二次函数的定义．
7.【答案】
【解析】解：当时，；时，，则，解得；
当时，；时，，则，解得，
的值为，
故选：．
分两种情况，根据待定系数法即可求得的值．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是二次函数与轴的交点，以及二次函数解析式求解方法．
当图象顶点在点时，点的横坐标的最大值为，求出；当顶点在点时，点的横坐标为最小，此时抛物线的表达式为：，令，求出值，即可求解．
【解答】
解：当图象顶点在点时，点的横坐标的最大值为，
则此时抛物线的表达式为：，
把点的坐标代入得：，
解得：，
当顶点在点时，点的横坐标为最小，
此时抛物线的表达式为：，
令，则或，
即点的横坐标的最小值为，
故选C．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
由于已知抛物线与轴的交点坐标，则可交点式，再由得到点坐标为或，然后把和分别代入可求出对应的的值，从而可得抛物线解析式．
【解答】
解：设抛物线解析式为，
，
点坐标为或，
把代入得，解得，此时抛物线解析式为，即；
把代入得，解得，此时抛物线解析式为，即．
即抛物线解析式为或．
故选D．
10.【答案】
【解析】略
11.【答案】
【解析】
【分析】
先根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后根据题意求得，且轴，从而求得的纵坐标为，代入求得的解析式即可求得的坐标．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意求得的纵坐标是解题的关键．
【解答】
解：的顶点在抛物线上，
，解得，
抛物线为，
点，
，
，
将绕点顺时针旋转，得到，
点在轴上，且，
，
，
轴，
点的纵坐标为，
代入，得，
解得，
．
故答案为．
12.【答案】
【解析】解：设二次函数的解析式为，
把点代入得：，
解得，
．
故答案为．
根据题意设出函数的顶点式，代入点，根据待定系数法即可求得．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
13.【答案】
【解析】
【分析】
设原来的抛物线解析式为：，利用待定系数法确定函数关系式；然后利用平移规律得到平移后的解析式，将点的坐标代入即可．
考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征．利用待定系数法确定原来函数关系式是解题的关键．
【解答】
解：设原来的抛物线解析式为：．
把代入，得，
解得，
故原来的抛物线解析式是：．
设平移后的抛物线解析式为：，
把代入，得，
解得舍去或，
所以平移后抛物线的解析式是：．
故答案是：．
14.【答案】
【解析】
【分析】
先确定抛物线的顶点坐标为，再利用点平移的规律得到点平移所得对应点的坐标为，然后根据顶点式写出新抛物线解析式．
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
【解答】
解：抛物线的顶点坐标为，
点先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度所得对应点的坐标为，
所以新抛物线的解析式为，
故答案为．
15.【答案】解：由题意可设抛物线解析式为：，．
把代入，得，
解得．
故该二次函数解析式为；
令，则则．
因为二次函数图象的顶点坐标为，，则点与点关系直线对称，
所以．
所以．
所以，即．
【解析】考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，待定系数法确定函数关系式以及解直角三角形．解题时，充分利用了二次函数图象的对称性质．
由题意可设抛物线解析式为：，将代入解析式来求的值．
由锐角三角函数定义解答．
16.【答案】解：，，
，，
把，代入抛物线中得：，
解得，
抛物线的解析式为：；
如图，过作轴于，交于，
当时，，
，
设的解析式为：，
则，解得：，
的解析式为：，
设，则，
，
的面积是，
，
，
解得：或，
由易得抛物线的对称轴为，
点在直线右侧的抛物线上，
，
的面积；
存在．
分两种情况：
如图，在轴的上方时，四边形是平行四边形，
，，且在轴上，
的纵坐标为，
当时，即，
解得：或，
或；
如图，点在轴的下方时，四边形是平行四边形，此时与重合，
；
综上，点的坐标为：或或
【解析】根据，确定点和的坐标，代入抛物线的解析式列方程组解出即可；
如图，过作轴于，交于，利用待定系数法求直线的解析式，设，则，表示的长，根据的面积是，列方程可得的值，因为在对称轴的右侧，所以不符合题意，舍去，利用三角形面积公式可得结论；
分两种情况：在轴的上方和下方，根据确定的坐标，并正确画图．
此题主要考查二次函数的综合问题，会求函数与坐标轴的交点，会利用待定系数法求函数解析式，会利用数形结合的思想解决平行四边形的问题，并结合方程思想解决问题．
17.【答案】解：由题意，设，
代入，得，
，
，
故顶点坐标为；
，
两个三角形在公共边上的高相等，
又点到的距离为，
点到的距离也为，
则，
解得，
则点或．
【解析】设，将点坐标代入求出的值，从而得出答案，配方成顶点式可得点坐标；
由，且为公共边知点到的距离也为，据此得，解之求出的值即可得．
本题主要考查待定系数法求函数解析式，解题的关键是掌握二次函数的三种常见形式及二次函数的性质．
18.【答案】解：二次函数的图象经过点，，
，
解得，，
函数解析式为：，
，
当时，，当时，，
当时，有最大值是．
【解析】利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据二次函数的性质求出最值即可．
本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的最值，掌握待定系数法求解析式的一般步骤是解题的关键．
19.【答案】解：把，代入
得
解得
所以二次函数的解析式为：
由
，
抛物线的对称轴为直线，
则当时，随着的增大而减小，
当时，的最大值是
平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得，
，根据平行四边形的对边相等，可得点的横坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得；
，根据平行四边形的对边相等，可得点的横坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得点坐标．
【解析】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用勾股定理、勾股定理的逆定理求三角形的形状；利用平行四边形的性质：对角线互相平分，对边相等是求点的关键．
根据待定系数法，把，代入，可得函数解析式；
把解析式化为顶点式得抛物线的对称轴，再根据二次函数的增减性求出当时，求的最大值；
分类讨论：
平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得，
，根据平行四边形的对边相等，可得点的横坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得；
，根据平行四边形的对边相等，可得点的横坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得点坐标．
20.【答案】解：将点，代入，
得，
解得，
抛物线的解析式为；
当时，直线的解析式为，
设，则，，
则，，
，
，
当时，
解得，舍去，，
；
当时，
解得，舍去，，
；
综上所述，点的坐标为或；
存在，理由如下；
，
要使与相似，
必有或，
当时，
如图，轴，
，根据对称性可得，
将，代入直线解析式中，
得，
解得，；
当时，
如图，过点作于点，
则有，
则∽，
，
在直线上，当时，，
，
，
由
得或
，
，
，，
，
解得，，此时与重合，舍去，
综上，当或时，与相似．
【解析】本题考查了二次函数综合题，待定系数法求解析式，二次函数与一次函数之间的关系，相似三角形的存在性等，解题关键是确定三角形相似时注意分类讨论思想的运用．
将点，的坐标代入即可；
写出直线的解析式，设，则，，写出，的长度，利用这一等量关系列出方程即可；
存在，因为，所以要使与相似，必有或，分两种情况进行讨论，由相似三角形的性质可分别求出的值．
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