2021-2022学年青岛版九年级数学上册第一章《相似三角形》巩固复习练习 （Word版含答案）

青岛版九年级数学第一章《相似三角形》巩固复习
一、选择题
若两个相似多边形的面积之比为：，则这两个多边形的周长之比为
A. ： B. ： C. ： D. ：
如图，在矩形中，，在上取一点，将沿折叠，使点落在上的点处，若四边形与矩形相似，则等于
A.
B.
C.
D.
如图，点是的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点，若，，则 的周长为
A.
B.
C.
D.
如图，在 中，，，的平分线交于点，交的延长线于点，于点，若，则的周长为
A.
B.
C.
D.
如图，正方形中，为上一点，是延长线上一点，且，连结，，，是中点，连结，设与相交于点则个结论：；；；若，则；正确的结论有个
A. B. C. D.
如图，中，点在线段上，且∽，则下列结论一定正确的是
A.
B.
C.
D.
如图所示，在平面直角坐标系中，已知点，过点作轴于点将以坐标原点为位似中心缩小为原图形的，得到，则的长度是
A.
B.
C.
D.
以原点为位似中心，把缩小为原来的后得到，若点坐标为，则的坐标为
A. B. C. 或 D. 或
二、填空题
如图，在中，，分别是，上的点，平分，交于点，交于点若，且：：，则：______．
已知与相似，如果三边分别长为，，，的最长边与最短边的差为，那么的周长是______．
如图，在四边形中，，，，且，点是边上的动点，当、、两两相似时，则______．
如图，中，，，点从出发，以每秒厘米的速度向运动，点从同时出发，以每秒厘米的速度向运动．其中一个动点到达端点时，另一个也相应停止运动．那么，当以、、为顶点的三角形与相似时，运动时间是______．
三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）
已知：如图，中，，是中线，是上一点，过作，延长交于，交于、求证：．
如图，在平行四边形中，过点作，垂足为点，连接，为线段上一点，且．
求证：∽；
若，，，求的长．
如图，在中，，是高，平分分别与，相交于点，．
求证：；
求证：；
若，，求的长．
【问题探究】
如图，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，连接，．
请探究与之间的位置关系：______；
若，，则线段的长为______；
【拓展延伸】
如图，和均为直角三角形，，，，，将绕点在平面内顺时针旋转，设旋转角为，作直线，连接，当点，，在同一直线上时，画出图形，并求线段的长．
如图， 的对角线、相交于点，经过，分别交、于点、，的延长线交的延长线于．
求证：；
若，，，求的长．
如图，已知四边形是矩形，点在的延长线上，与相交于点，与相交于点，．
求证：；
若，求的长；
如图，连接，求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：两个相似多边形的面积之比为：，
两个相似多边形的对应边的比为：，
两个相似多边形的周长的比为：，
故选：．
利用相似多边形的性质解决问题即可．
本题考查相似多边形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了折叠，矩形的性质，相似多边形的性质等知识，可设，根据四边形与矩形相似，可得比例式，求解即可．
【解答】
解：沿将向上折叠，使点落在上的点，
四边形是正方形，
，
设，则，，
四边形与矩形相似，
，
，
解得，负值舍去，
经检验是原方程的解．
故选B．
3.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质解答根据平行四边形的性质得，再由平行线得相似三角形，根据相似三角形求得，，进而根据平行四边形的周长公式求得结果．
【解答】
解：四边形是平行四边形，
，，
∽，
，
，，
，，
，
平行四边形的周长为：．
故选C．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题意在综合考查平行四边形、相似三角形和勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，相似三角形的周长比等于相似比，难度较大．
先计算出的周长，然后根据相似比的知识进行解答即可．
【解答】
解：在 中，，，的平分线交于点，
，，
，
，
，
同理，
；
在中，，，，可得：，
，
的周长等于，
四边形是平行四边形，
∽，相似比为：：，
的周长为．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：正方形中，，
在和中，，
≌，
，，故正确；
，
，
连接、．
是的中点，
，，
，
在与中，，
≌，
，
，
，
，故正确；
，，
∽，
，
；故正确；
过点作于，则，
是的中点，，，
是的中位线，
，
故正确；
综上所述，正确的结论有．
故选：．
正根据全等三角形的性质得到，，故正确；推出，连接、根据直角三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，求得，故正确；根据相似三角形的性质得到；故正确；过点作于，则，根据三角形中位线定理得到，求得故正确．
本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记各性质与定理并作辅助线是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：∽，
；
，；
故选：．
可根据相似三角形的对应边成比例进行判断，要注意相似三角形的对应边和对应角．
此题主要考查的是相似三角形的性质，正确地判断出相似三角形的对应边和对应角是解答此题的关键．
7.【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确把握位似图形的性质是解题关键．
直接利用位似图形的性质以及结合点坐标直接得出点的坐标，即可得出答案．
【解答】解：点，过点作轴于点将以坐标原点为位似中心缩小为原图形的，得到，
，则的长度是：．
故选B．
8.【答案】
【解析】解：以原点为位似中心，把缩小为原来的后得到，
点坐标为，
的坐标为或，即或，
故选：．
根据位似变换的性质计算．
本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
9.【答案】：
【解析】解：，，
∽，
，分别是，的角平分线，
相似三角形的对应角平分线的比等于相似比，
：：，
：：，
：：，
故答为：．
利用相似三角形的性质：相似三角形的对应角平分线的比等于相似比即可解决问题；
本题考查相似三角形的判定和性质、解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10.【答案】
【解析】解：设的最长边为，最短边为，依题意，则有：
，解得：，；
和的相似比为：，周长比也是：；
的周长，
的周长为．
根据相似三角形的对应线段成比例可得出的最长边与最短边的比例关系，进而可求出这两边的长，根据相似三角形的周长比等于相似比即可求出的周长．
此题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应线段成比例，周长比等于相似比．
11.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查了直角三角形相似的性质和判定，当两个直角三角形相似时，要分情况进行讨论；正确画图是关键，注意不要丢解。
分情况讨论：和，利用角平分线的性质和直角三角形度角的性质分别可得的长。
【解答】
解：分两种情况：
当时，如图，
过作于，
，，
与不平行，
当、、两两相似时，，
，
，
，，
，
当时，如图，
当、、两两相似时，，
，
，
，
，
，
，
综上，的值为或．
故答案为或．
12.【答案】或
【解析】解：点从出发，以每秒厘米的速度向运动，点从同时出发，以每秒厘米的速度向运动．
，，，
，且以、、为顶点的三角形与相似，
或，
或
或
故答案为：或
分两种情况讨论，利用相似三角形的性质求解即可．
此题考查了相似三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
13.【答案】证明：连接，
，是中线，
是的对称轴．
，．
，两直线平行，内错角相等，
．
又，
∽．
相似三角形的对应边成比例．
．
．
【解析】要证线段乘积式相等，常常先证比例式成立，要证比例式，须有三角形相似，要证三角形相似，须根据已知与图形找条件就可．
证明线段乘积式相等，常常先证比例式成立这是十分重要的方法之一，本题主要考查的是相似三角形性质的应用．
14.【答案】证明：四边形为平行四边形，
，，
，，
，
，
而，
，
而，
∽；
解：四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
在中，，
∽，
：：，即：：，
．
【解析】利用平行四边形的性质得，，则根据平行线的性质得到，，再证明，则可判断∽；
利用平行四边形的性质得到，利用平行线的性质得，则利用勾股定理可计算出，然后利用相似比求出的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了平行四边形的性质．
15.【答案】证明：，
，
为边上的高，
，
，
，
是的平分线，
，
．
证明：，，
，
，
，
，
，
，
．
解：如图，作于．
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
．
【解析】根据两角对应相等两三角形相似即可判断．
首先证明，利用相似三角形的性质即可解决问题．
解直角三角形求出，，利用相似三角形的性质求出，即可．
本题考查相似三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
16.【答案】
若点在右侧，
如图，过点作于点，
，，，，．
，
∽
，
，
，
∽，
即
，
若点在左侧，
，，，，．
，
∽
，
，
，
∽，
即
，
综上可得，线段的长度为或。
【解析】解：【问题探究】
和均为等腰直角三角形，
，，
，
，且，
≌
故答案为：
如图，过点作于点，
，，
故答案为：
【拓展延伸】
见答案
【问题探究】
由“”可证≌，可得，可得；
过点作于点，由勾股定理可求，，的长，即可求的长；
【拓展延伸】
分点在左侧和右侧两种情况讨论，根据勾股定理和相似三角形的性质可求解．
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，关键是添加恰当辅助线．
17.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
；
解：过点作交于，
则∽，
，
，，
，
∽，
，即，
解得，．
【解析】根据平行四边形的性质得到，，证明≌，根据全等三角形的性质证明结论；
过点作交于，根据相似三角形的性质分别求出、，证明∽，根据相似三角形的性质列式计算即可．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
18.【答案】证明：四边形是矩形，点在的延长线上，
，
又，，
，
，
，
即，
故BD，
解：四边形是矩形，
，
∽，
，
即，
设，则有，化简得，
解得或舍去，
．
如图，在线段上取点，使得，
在与中，，，，
，
，，
，
为等腰直角三角形，
．
【解析】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
证明，得出，证得，则结论得出；
证明∽，得出，即，设，则有，化简得，解方程即可得出答案；
在线段上取点，使得，证明，得出，，证得为等腰直角三角形，可得出结论．
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