(共18张PPT)
1.1 频率与概率
1.2 生活中的概率
1.频率
(1)在相同条件S下重复n次试验,事件A出现了m次,称n次试验中事件A出现的次数m为事件A的频数,称事件A出现的比例fn(A)= 为事件A出现的频率.
(2)频率的性质
①频率反映了一个随机事件出现的频繁程度;
②频率是随机的;
③频率的取值范围是[0,1].
【做一做1】 在一次考试中,某班学生有80%及格,80%是 .(填“概率”或“频率”)
答案:频率
2.随机事件的概率
在相同的条件下,大量重复进行同一试验时,随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动,即随机事件A发生的频率具有稳定性.这时,我们把这个常数叫作随机事件A的概率,记为P(A).我们有0≤P(A)≤1.
【做一做2】 某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习,结果如下表:
据此估计这位运动员投篮一次,进球的概率约为 .
答案:0.8
3.生活中的概率
概率和日常生活有着密切的联系,对于生活中的随机事件,我们可以利用概率知识作出合理的判断与决策.
名师点拨概率是描述随机事件发生的可能性大小的度量,它已经渗透到人们的日常生活中,成为一个常用的词汇,任何事件的概率均是0~1之间的一个数,它度量该事件发生的可能性大小.小概率事件(概率接近0)很少发生,而大概率事件(概率接近1)则经常发生.
【做一做3】 某工厂生产的产品合格率是99.99%,这说明( )
A.该厂生产的10 000件产品中不合格的产品一定有1件
B.该厂生产的10 000件产品中合格的产品一定有9 999件
C.合格率99.99%很大,该厂生产的10 000件产品中没有不合格产品
D.该厂生产的产品合格的可能性是99.99%
答案:D
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)随机事件没有结果. ( )
(2)在一次试验结束后,随机事件的频率是变化的. ( )
(3)概率是一个确定的数,是客观存在的,与试验次数无关. ( )
(4)频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率. ( )
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√
探究一
探究二
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频率与概率的关系
【例1】 表一和表二分别表示甲、乙两个厂家随机抽取的某批篮球产品的质量检查情况.
表一:
表二:
探究一
探究二
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(1)分别计算表一和表二中篮球是优等品的各个频率(结果保留到小数点后两位).
(2)若从两个厂家生产的这批篮球产品中各任取一个,则质量检查为优等品的概率分别为多少
(3)若两厂的篮球价格相同,你打算从哪一家购货
探究一
探究二
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解:(1)表一:
表二:
探究一
探究二
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(2)由(1)可知,抽取的篮球数不同,随机事件“篮球是优等品”的频率也不同.表一中的频率在常数0.95的附近摆动,则在甲厂随机抽取一个篮球检测时,质量检查为优等品的概率大约为0.95;表二中的频率在常数0.90的附近摆动,则在乙厂随机抽取一个篮球检测时,质量检查为优等品的概率大约为0.90.
(3)根据概率的定义可知:概率是从数量上反映一个随机事件发生可能性的大小.因为0.95>0.90,表示甲厂生产出来的篮球是优等品的概率更大,所以应该选择甲厂生产的篮球.
探究一
探究二
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反思感悟1.频率本身是随机的,但当试验次数很大时,频率会在某个常数附近摆动,这个常数就是概率.
2.随机事件的概率可以从以下两方面进行求解(1)利用随机事件概率的定义,进行大量重复试验,寻找这个事件发生的频率的近似值.(2)一般先求出频率,根据频率的摆动情况估算出其概率.
探究一
探究二
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变式训练1某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下:
(1)这位运动员投篮一次,进球的概率约是多少
(2)这位运动员罚球100次,估计进球的次数为多少
解:(1)这位运动员的进球频率稳定在0.75附近,从而他进球的概率约是0.75.
(2)这位运动员罚球100次,估计进球的次数为0.75×100=75.
探究一
探究二
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对概率的正确理解
【例2】试从概率角度解释下列说法的含义:
(1)掷一枚均匀的正方体骰子得到6点的概率是 ,是否意味着把它掷6次能得到1次6点
(2)某种病的治愈率是0.3,那么前7个人没有治愈,后3个人一定能治愈吗 如何理解治愈率是0.3
(3)据报道:某地发生的9级地震是“千年一遇”的大地震.在这里,“千年一遇”是什么意思
探究一
探究二
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解:(1)把一枚均匀的骰子掷6次相当于做6次试验,因为每次试验的结果都是随机的,所以做6次试验的结果也是随机的.这就是说,每掷一次总是随机地出现一个点数,可以是1点,2点,也可以是其他点数,不一定出现6点.所以掷一枚骰子得到6点的概率是 ,并不意味着把它掷6次能得到1次6点.
(2)如果把治疗一个病人作为一次试验,治愈率是0.3,是指随着试验次数的增加,即治疗病人人数的增加,大约有30%的人能够治愈,对于一次试验来说,其结果是随机的,因此前7个病人没治愈是可能的,对后3个人来说,其结果仍然是随机的,即有可能治愈,也可能没有治愈.
(3)“千年一遇”是指0.001的概率,虽然0.001的概率比较小,但不代表没有可能;但也不能说每1 000年就一定会发生一次9级地震.
探究一
探究二
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反思感悟1.概率是随机事件发生的可能性大小的度量,是随机事件A的本质属性.
2.由概率的定义我们可以知道随机事件A在某一独立重复试验中发生与否是随机的,但随机中含有规律性,而概率就是其规律性在数量上的反映.
3.正确理解概率的意义,要清楚它与频率的区别与联系.对具体的问题要从全局和整体上去看待,而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件.
4.概率意义下的“可能性”是大量随机事件的客观规律,与我们日常所说的“可能”“估计”“差不多”是不同的.
探究一
探究二
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变式训练2下列说法一定正确的是( )
A.一名篮球运动员,号称“百发百中”,若罚球三次,不会出现三投都不中的情况
B.一枚均匀的骰子掷一次得到“2点”的概率是 ,则掷6次一定会出现一次“2点”
C.若买某种彩票中一等奖的概率为万分之一,则买一万张彩票一定会中一等奖
D.随机事件发生的概率与试验次数无关
解析:A错误,会有“三投都不中”的情况发生;B错误,可能6次都不出现“2点”;C错误,概率是预测值,而该随机事件不一定会出现.
答案:D
探究一
探究二
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1.下列说法正确的是( )
A.任何事件的概率总是在(0,1)之间
B.频率是客观存在的,与试验次数无关
C.随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率
D.概率是随机的,在试验前不能确定
答案:C
2.在掷骰子游戏中共抛掷6次,则点数4( )
A.一定会出现 B.不一定会出现
C.一定出现一次 D.以上都不对
答案:B
3.小明和小颖按如下规则做游戏:桌面上放有5支铅笔,每次取1支或2支,最后取完铅笔的人获胜.你认为这个游戏规则 .(填“公平”或“不公平”)
答案:不公平
探究一
探究二
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4.某射手在同一条件下进行射击,结果如下表所示:
(1)填写表中击中靶心的频率.
(2)这个射手射击一次,击中靶心的概率约是多少
解:(1)表中依次填入的数据为0.80,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91.
(2)随着射击次数的增加,击中靶心的频率逐渐趋于0.9.
所以这个射手射击一次,击中靶心的概率约是0.9.(共34张PPT)
2.1 古典概型的特征和概率计算公式
2.2 建立概率模型
1.古典概型的定义及特征
如果一个试验具有如下两个特征:
(1)有限性:试验的所有可能结果只有有限个,每次试验只出现 其中的一个结果;
(2)等可能性:每一个试验结果出现的可能性相同.
我们把具有这样两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型(古典的概率模型).
【做一做1】 下列试验中,是古典概型的是( )
A.种下一粒种子观察它是否发芽
B.从规格直径为(250±0.6) mm的一批合格产品中任意取一件,测量其直径
C.抛掷一枚硬币,观察其出现正面或反面
D.某人射击中靶或不中靶
答案:C
2.基本事件
(1)定义:在一次试验中,所有可能发生的基本结果中不能再分的最简单的随机事件称为该次试验中的基本事件.
(2)特点:①任何两个基本事件是不会同时发生的;②任何事件都可以表示成基本事件的和.
【做一做2】 袋中装有标号分别为1,3,5,7的四个相同的小球,从中取出两个,下列事件不是基本事件的是 ( )
A.取出的两球标号为3和7
B.取出的两球标号的和为4
C.取出的两球的标号都大于3
D.取出的两球的标号的和为8
解析:由基本事件的定义知,选项A,B,C都是基本事件,D中包含取出标号为1和7,3和5两个基本事件,所以D不是基本事件.
答案:D
3.古典概型的概率计算公式
对于古典概型,通常试验中的某一事件A是由几个基本事件组成的.如果试验的所有可能结果(基本事件)数为n,随机事件A包含的基本事件数为m,那么事件A的概率规定为:
名师点拨使用古典概型概率公式的注意事项
(1)首先要判断该概率模型是不是古典概型;
(2)要找出随机事件A所包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数.
【做一做3】 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子,向上的点数是5或6的概率是 .
4.建立概率模型
一般地,在解决实际问题中的古典概型时,对同一个古典概型,把什么看作一个基本事件(即一次试验的结果)是人为规定的,也就是从不同的角度去考虑,只要满足以下两点:
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个,每次试验只出现其中的一个结果;
(2)每个试验结果出现的可能性相同.
就可以将问题转化为不同的古典概型来解决,所得可能结果越少,那么问题的解决就变得越简单.
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)试验结果有限的概率模型一定是古典概型. ( )
(2)只要每个试验结果出现的可能性相同,则该概率模型一定是古典概型. ( )
(3)有限性和等可能性是判定一个事件是古典概型的关键. ( )
(4)事件A包含的基本事件有m个,试验的所有可能结果数有n个,则 . ( )
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)×
探究一
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探究三
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思想方法
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古典概型的判断
【例1】 判断下列概率模型是否属于古典概型
(1)在区间[0,2]上任取一点,求此点坐标大于1的概率;
(2)从甲地到乙地共有10条路线,求某人正好选中最短路线的概率;
(3)任意抛掷两枚质地均匀的骰子,所得点数之和作为基本事件.
分析:从有限性和等可能性两个方面入手,对每个概率模型进行判断.
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解:(1)区间[0,2]包含无穷多个点,从 [0,2]上任取一点时,有无穷多种取法,不满足有限性,因此这不是古典概型.
(2)从甲地到乙地共有10条路线,某人从中任取一条,共有10种选法,满足有限性,又每一条路线被选中的可能性是相同的,满足等可能性,因此这是古典概型.
(3)任意抛掷两枚质地均匀的骰子,点数之和共有11种可能,即点数之和分别是:2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,满足有限性,但这11种结果不是等可能出现的,不满足等可能性,故这不是古典概型.
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反思感悟古典概型的判断方法
判断一个试验是不是古典概型,关键看它是否具备古典概型的两个特征:(1)一次试验中,可能出现的结果只有有限个,即有限性;(2)每个基本事件发生的可能性是均等的,即等可能性.
探究一
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变式训练1下列试验不是古典概型的是 .(填序号)
①从6名同学中任选4人,参加数学竞赛;
②近三天中有一天降雨的概率;
③从10人中任选两人表演节目.
解析:①③为古典概型,它们符合古典概型的两个特征:有限性和等可能性.②不符合等可能性.
答案:②
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古典概型中基本事件总数的求法
【例2】 (1)一个口袋内装有大小、形状、质地完全相同的5个球,其中3个白球,2个黑球,从中一次摸出两个球,则共有 个基本事件;事件“摸出的两个都是白球”包括 个基本事件.
(2)两个袋中,分别装有写着0,1,2,3,4,5六个数字的卡片,从每个袋中各任取一张卡片,使两数之和等于7的基本事件有 个.
答案:(1)10 3 (2)4
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解析:(1)分别记白球为1,2,3号,黑球为4,5号,从中摸出两个球,有如下基本事件(如摸到1,2号球用(1,2)表示):(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),因此共有10个基本事件;摸出的两个都是白球的基本事件有(1,2),(1,3),(2,3)3个.
(2)从每个袋中任取一张卡片的情况如下:
共有36个基本事件,设事件A为“两数之和等于7”,则事件A包含(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),共4个基本事件.
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反思感悟1.求基本事件及其总数的方法主要有以下几种.
(1)列举法:适合于较简单的问题,基本事件总数较少的情况;
(2)树状图法:适合于基本事件较多,且有规律的情况;
(3)列表法:适合于基本事件较多的情况;
(4)坐标法:适用于试验与抛骰子有关,且基本事件与点的坐标相关的情况.
2.在利用上述几种方法求基本事件总数时,所有操作都要按照一定的规律、标准及顺序进行,避免随意性,以做到不重、不漏.
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变式训练2袋中有大小、形状、质地都相同的红球、黑球各一个,现依次有放回地随机摸取3次,每次摸取一个球.
(1)写出该试验的基本事件及基本事件总数;
(2)写出“取出的三球是二红一黑”这一事件包含的基本事件.
解:(1)由题意所有可能的基本事件有:(红、红、红)、(红、红、黑)、(红、黑、红)、(红、黑、黑)、(黑、红、红)、(黑、红、黑)、(黑、黑、红)、(黑、黑、黑),共有8个基本事件.
(2)“取出的三球是二红一黑”这一事件包括(红、红、黑)、(红、黑、红)、(黑、红、红)共3个基本事件.
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古典概型概率的求解
【例3】某宿舍共有4个人,每个人各写一张贺卡,先集中起来,然后每人从中拿一张贺卡,则每个人恰好拿到别人写的贺卡的概率是多少
分析:先将宿舍的人员编号,贺卡也相应编号,然后可用树状图法列举基本事件,从而求得概率.
解:将4个人编号为1,2,3,4,他们写的4张贺卡分别编号为1,2,3,4.
每个人从中拿一张贺卡,共有24种等可能的取法:
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反思感悟在确定是古典概型问题后,求其概率只需套用公式P(A)= 计算即可,其中关键是求出n和m的值,即基本事件总数和事件A所包含的基本事件数.求基本事件个数时可灵活选用列举法、树状图法、列表法、坐标法等方法.
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答案:C
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古典概型的综合问题
【例4】 编号分别为A1,A2,…,A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下:
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(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格:
(2)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人,
①用运动员编号列出所有可能的抽取结果;
②求这2人得分之和大于50的概率.
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解:(1)由得分记录表,从左到右应填4,6,6.
(2)①得分在区间[20,30)内的运动员编号为A3,A4,A5,A10,A11,A13.从中随机抽取2人,所有可能的抽取结果有(A3,A4),(A3,A5),(A3,A10), (A3,A11),(A3,A13),(A4,A5),(A4,A10),(A4,A11),(A4,A13),(A5,A10),(A5,A11), (A5,A13),(A10,A11),(A10,A13),(A11,A13),共15种.
②从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人,将“这2人得分之和大于50”记为事件B,则事件B的所有可能结果有(A4,A5), (A4,A10),(A4,A11),(A5,A10),(A10,A11),共5种.所以
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反思感悟古典概型综合问题的解题方法
(1)要深刻理解该问题所涉及的其他数学知识,在理解这个数学问题的基础上结合古典概型的计算公式进行求解.
(2)古典概型信息迁移题通过给出一个新概念或定义一种新运算或给出几个新模型等来创设新的问题情境,要求同学们在阅读理解的基础上,应用所学的知识和方法,实现信息的迁移,以达到灵活解题的目的.
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变式训练4(1)设a,b∈{1,2,3},则函数f(x)=x2+bx+a无零点的概率为 ;
(2)“渐升数”是指每个数字比其左边的数字大的自然数(如2 578),在两位的“渐升数”中任取一个数比37大的概率是 .
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解析:(1)由题意知本题是一个古典概型问题,因为试验发生包含的事件是从含有3个元素的集合中取元素,每一个有3种取法,共有3×3=9种结果.满足条件的事件是使函数f(x)=x2+bx+a无零点的结果,要满足b2-4a<0,即b2<4a.
从所给的数据中,当b=1时,a有3种结果;
当b=2时,a有2种结果;当b=3时,a有1种结果.
综上所述,共有3+2+1=6种结果,所以概率是
(2)十位是1的“渐升数”有8个;十位是2的“渐升数”有7个;…;十位是8的“渐升数”有1个,所以两位的“渐升数”共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(个);以3为十位数,比37大的“渐升数”有2个,分别以4,5,6,7,8为十位数的“渐升数”均比37大,且共有5+4+3+2+1=15(个),所以比37大的两位“渐升数”共有2+15=17(个).
故在两位的“渐升数”中任取一个数比37大的概率是
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变换角度,巧解古典概型
【典例】甲、乙、丙、丁四名学生按任意次序站成一排,则甲站在边上的概率为 .
方法一利用树状图来列举基本事件,如图所示.
由树状图可看出共有24个基本事件.
甲站在边上有12种情况:(甲,乙,丙,丁),(甲,乙,丁,丙),(甲,丙,乙,丁),(甲,丙,丁,乙),(甲,丁,乙,丙),(甲,丁,丙,乙),(乙,丙,丁,甲),(乙,丁,丙,甲),(丙,乙,丁,甲),(丙,丁,乙,甲),(丁,乙,丙,甲),(丁,丙,乙,甲).故甲在边上的概率为
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方法二甲、乙、丙、丁四人站队,排头和排尾的站法共有:(甲,乙),(乙,甲),(甲,丙),(丙,甲),(甲,丁),(丁,甲),(乙,丙),(丙,乙),(乙,丁),(丁,乙),(丙,丁),(丁,丙)12种情况,其中甲站在边上的情况有:(甲,乙),(乙,甲),(甲,丙),(丙,甲),(甲,丁),(丁,甲)6种情况,故甲站在边上的概率为
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方法点睛1.从不同的角度把握问题,进而转化为不同的古典概型,这是我们进行概率计算的重要思想.当所选取的试验可能出现的结果的角度不同时,基本事件的个数也将不同,但是最终所求概率的值是确定的.
2.在写试验的所有可能结果时,务必弄清问题的本质,选取合适的着眼点,有时需要“放短”眼光,只考虑影响某次试验结果的事件总数即可,如本例可只考虑排头和排尾两个特殊位置.
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变式训练用三种不同的颜色给图①中的3个矩形随机涂色,且每个矩形只涂一种颜色,求:
(1)3个矩形颜色都相同的概率;
(2)3个矩形颜色都不同的概率.
解:用三种不同的颜色给图中的3个矩形随机涂色,基本事件共有27个,如图②所示.
图②
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1.下列试验中,是古典概型的个数为( )
①种下一粒花生,观察它是否发芽;
②向上抛一枚质地不均的硬币,观察正面向上的概率;
③正方形ABCD内任意一点P,点P恰与点C重合;
④从1,2,3,4四个数中,任取两个数,求所取两数之一是2的概率;
⑤在线段[0,5]上任取一点,求此点小于2的概率.
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:只有④是古典概型.
答案:B
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2.从2,3,8,9任取两个不同的数字,分别记为a,b,则logab为整数的概率= .
解析:从2,3,8,9任取2个分别记为(a,b),则有(2,3),(3,2),(2,8),(8,2),(2,9),(9,2),(3,8),(8,3),(3,9),(9,3),(8,9),(9,8),共有12种情况,其中符合logab为整数的有log39和log28两种情况,
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3.若将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次,则出现向上的点数之和为4的概率为 .
解析:将先后抛掷2次,出现向上的点数记作点坐标(x,y),则共可得点坐标的个数为6×6=36,而向上点数之和为4的点的坐标有(1,3), (2,2),(3,1),共3个,故先后抛掷2次,出现向上的点数之和为4的概率
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4.某商场举行购物抽奖促销活动,规定每位顾客从装有编号为0,1,2,3四个相同小球的抽奖箱中,每次取出一个球记下编号后放回,连续取两次,若取出的两个小球号码相加之和等于6,则中一等奖,等于5则中二等奖,等于4或3则中三等奖.
(1)求中三等奖的概率;
(2)求中奖的概率.
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解:设“中三等奖”为事件A,“中奖”为事件B,从四个小球中有放回地取两球有:(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1), (2,2),(2,3),(3,0),(3,1),(3,2),(3,3)共16种不同的取法.
(1)取出的两个小球号码相加之和等于4或3的取法有:(1,3),(2,2), (3,1),(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)共7种,则中三等奖的概率为
(2)由(1)知两个小球号码相加之和等于3或4的取法有7种;
两个小球号码相加之和等于5的取法有2种:(2,3),(3,2).
两个小球号码相加之和等于6的取法有1种:(3,3).
则中奖的概率为(共30张PPT)
2.3 互斥事件
1.互斥事件
在一个随机试验中,我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件.
【做一做1】 从1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数字中任取两个数,分别有下列事件:
①恰有一个是奇数和恰有一个是偶数;
②至少有一个是奇数和两个数都是奇数;
③至少有一个是奇数和两个数都是偶数;
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.
其中为互斥事件的是( )
A.① B.②④ C.③ D.①③
解析:由互斥事件的定义可知③正确,只有③的两个事件不会同时发生.
答案:C
2.互斥事件的概率加法公式
(1)事件A+B:给定事件A,B,我们规定A+B是一个事件,事件A+B发生是指事件A和B至少有一个发生.对于三个或三个以上事件,结论同样成立.
(2)概率加法公式:在一个随机试验中,如果随机事件A和事件B是互斥事件,那么有P(A+B)=P(A)+P(B).对于三个或三个以上事件,上式结论同样成立,即如果事件A1,A2,A3,…,An是互斥事件,则有P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
名师点拨互斥事件概率加法公式的作用
在求某些较为复杂事件的概率时,先将它分解为一些较为简单的、并且概率已知或较容易求出的彼此互斥的事件,再利用互斥事件的概率加法公式求出概率.因此互斥事件的概率加法公式具有“化整为零、化难为易”的功效,但需要注意的是使用该公式时必须检验是否满足前提条件“彼此互斥”.
【做一做2】 在掷骰子的游戏中,向上的数字是1或2的概率是 .
【做一做3】 从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球,那么下列各对事件中,互斥而不对立的是 ( )
A.至少有一个红球与都是红球
B.至少有一个红球与都是白球
C.至少有一个红球与至少有一个白球
D.恰有一个红球与恰有两个红球
解析:根据互斥事件与对立事件的定义判断.A中两事件不是互斥事件,事件“三个球都是红球”是两事件的交事件;B中两事件是对立事件;C中两事件能同时发生,如“恰有一个红球和两个白球”,故不是互斥事件;D中两事件是互斥而不对立事件.
答案:D
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)事件A与事件B互斥,则事件A与B互为对立事件. ( )
(2)设A,B为对立事件,则 一定也为对立事件. ( )
(3)若事件A,B,C两两互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1.( )
(4)对任意两事件A,B,都有P(A+B)=P(A)+P(B). ( )
答案:(1)× (2)√ (3)× (4)×
探究一
探究二
探究三
思维辨析
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互斥事件、对立事件的判断
【例1】 (1)某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛,下列每对事件是对立事件的是 ( )
A.恰有1名男生与恰有2名男生
B.至少有1名男生与全是男生
C.至少有1名男生与全是女生
D.至少有1名男生与至少有1名女生
(2)判断下列给出的每对事件是不是互斥事件,是不是对立事件,并说明理由.
从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花,点数从1~10各10张)中,任意抽取1张.
①“抽出红桃”与“抽出黑桃”.
②“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”.
③“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
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(1)答案:C
(2)解:①是互斥事件,不是对立事件.
理由是:从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的,所以是互斥事件.同时,不能保证其中必有一个发生,这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”,因此,二者不是对立事件.
②既是互斥事件,又是对立事件.
理由是:从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生,且其中必有一个发生,所以它们既是互斥事件,又是对立事件.
③不是互斥事件,当然不可能是对立事件.
理由是:从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生,如抽得点数为10.因此,二者不是互斥事件,当然不可能是对立事件.
探究一
探究二
探究三
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反思感悟判断两个事件是不是互斥事件或对立事件的方法
(1)根据互斥事件、对立事件的概念进行判断:若两个事件不能同时发生,则这两个事件是互斥事件,若能同时发生,则这两个事件不是互斥事件;若两个事件不能同时发生,而且必有一个发生,则这两个事件就是对立事件,否则就不是对立事件.
(2)借助集合的观点进行判断:设事件A与B所包含的结果组成的集合分别是A,B,若集合A∩B= ,则A与B互斥;若A∩B= 且A∪B=Ω(Ω表示全集),则A与B对立.
探究一
探究二
探究三
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变式训练1一枚质地均匀的正方体骰子,将这枚骰子向上抛掷1次,设事件A表示向上的一面出现奇数点,事件B表示向上的一面出现的点数不超过3,事件C表示向上的一面出现的点数不小于4,则( )
A.A与B是互斥而非对立事件
B.A与B是对立事件
C.B与C是互斥而非对立事件
D.B与C是对立事件
解析:抛掷一次骰子,表示向上的一面点数的所有可能情况的基本事件有1,2,3,4,5,6点,其中事件A包含1,3,5三种,事件B包含1,2,3三种,事件C包含4,5,6三种,所以A与B有可能同时发生,不是互斥事件,故A错误;更不会是对立,故B错误;B与C不可能同时发生,而且不是B发生就是C发生,所以是对立事件,故C错误,D正确.
答案:D
探究一
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互斥事件概率加法公式的应用
【例2】 有编号分别为1,2,3的三个白球,编号分别为4,5,6的三个黑球,这六个球除编号和颜色外完全相同,现从中任意取出两个球.
(1)求取出的两个球颜色相同的概率;
(2)求取出的两个球中白色球个数不多于黑色球个数的概率.
分析:(1)“两个球颜色相同”是指“两个球都是白球”或“两个球都是黑球”;
(2)“白球个数不多于黑球个数”是指“白球0个,黑球2个”或“白球1个,黑球1个”,因此均可用互斥事件概率公式求解.
探究一
探究二
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解:从六个球中取出两个球的基本事件是(1,2),(1,3),(1,4),(1,5), (1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共计15个基本事件.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
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探究一
探究二
探究三
思维辨析
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反思感悟处理此类问题要弄清以下三个方面.
(1)思路:将一个事件的概率问题分拆为若干个互斥事件,分别求出各事件的概率,然后用加法公式求出结果.
(2)注意点:运用互斥事件的概率加法公式解题时,首先要分清各事件是否互斥,同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件,做到不重不漏.
(3)常用步骤:①确定各事件彼此互斥;②各事件中有一个发生;③先求各事件分别发生的概率,再求其和.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
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变式训练2黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表:
已知同种血型的人可以输血,O型血可以输给任一种血型的人,AB型血的人可以接受任一种血型的血.其他不同血型的人不能互相输血.小明是B型血,若小明因病需要输血,问:
(1)任找一个人,其血可以输给小明的概率是多少
(2)任找一个人,其血不能输给小明的概率是多少
探究一
探究二
探究三
思维辨析
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解:(1)对任一人,其血型为A,B,AB,O型血的事件分别记为A',B',C',D',它们是互斥的.
由已知,有P(A')=0.28,P(B')=0.29,P(C')=0.08,P(D')=0.35.
因为B,O型血可以输给B型血的人,所以“可以输给B型血的人”为事件B'+D'.根据互斥事件的概率加法公式,有P(B'+D')=P(B')+P(D')=0.29+0.35=0.64.
故任找一人,其血可以输给小明的概率为0.64.
(2)因为A,AB型血不能输给B型血的人,所以“不能输给B型血的人”为事件A'+C',且P(A'+C')=P(A')+P(C')=0.28+0.08=0.36.
故任找一人,其血不能输给小明的概率为0.36.
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探究二
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思维辨析
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对立事件概率的应用
【例3】将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次,观察向上的点数.
(1)求两数中至少有一个奇数的概率;
(2)求以第一次向上的点数为横坐标x,第二次向上的点数为纵坐标y的点(x,y)在圆x2+y2=15的外部的概率.
分析:(1)先求两数均为偶数的概率,利用对立事件的概率公式解出;(2)因为得到的点不可能在圆x2+y2=15上,所以先求出点在圆内的概率,再求点在圆外的概率.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
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解:将一枚均匀的骰子先后抛掷2次,共有36个等可能的基本事件.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
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反思感悟若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时,需要分类太多,而其对立面的分类较少或唯一,则可考虑利用对立事件的概率公式,即“正难则反”.当所求的事件中含有“至少……” “至多……”等词语时,常用对立事件的概率公式计算.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
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变式训练3某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组,3个小组分别有39,32,33个成员,一些成员参加了不止1个小组,具体情况如图所示.随机选取1个成员:
(1)他至少参加2个小组的概率是多少
(2)他参加不超过2个小组的概率是多少
探究一
探究二
探究三
思维辨析
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解:(1)从图可以看出,3个课外兴趣小组的总人数为60.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
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未弄清概率加法公式的适用条件而致误
【典例】 战士射击一次,击中环数大于7的概率为0.6,击中环数是6或7或8的概率相等,且和为0.3,则该战士射击1次,击中环数大于5的概率为 .
错解P=0.6+0.3=0.9.
正解记事件A为“击中6环”,事件B为“击中7环”,事件C为“击中7环以上”,则事件A,B,C彼此互斥,且P(A)=0.1,P(B)=0.1,P(C)=0.6.
记事件D为“击中5环以上”,则P(D)=P(A+B+C)=0.1+0.1+0.6=0.8.
纠错心得本题误认为“击中7环以上”与“击中环数是6或7或8”是互斥事件,从而误认为所求概率为0.6+0.3=0.9,造成解题错误,在运用互斥事件概率加法公式时一定要弄清公式所适用的范围.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
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变式训练某射手射击一次,射中10环、9环、8环的概率分别为0.2,0.3,0.1,则此射手在一次射击中成绩不超过8环的概率为( )
A.0.9 B.0.6 C.0.5 D.0.3
解析:设事件A,B分别表示命中10环,9环,事件D表示不超过8环.事件A+B与事件D是对立事件,而事件A与事件B是互斥事件,所以P(D)=1-0.2-0.3=0.5.
答案:C
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探究二
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思维辨析
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1.给出以下结论:①互斥事件一定对立;②对立事件一定互斥;③互斥事件不一定对立;④事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率;⑤事件A与B互斥,则有P(A)=1-P(B).其中正确命题的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:对立必互斥,互斥不一定对立,故②③正确,①错;又当A∪B=A时,P(A∪B)=P(A),故④错;只有事件A与B为对立事件时,才有P(A)=1-P(B),故⑤错.
答案:C
2.若事件A与B是互斥事件,且事件A+B的概率是0.8,事件A的概率是事件B的概率的3倍,则事件A的概率为( )
A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.8
解析:由已知得P(A)+P(B)=0.8,又P(A)=3P(B),于是P(A)=0.6.
答案:C
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思维辨析
当堂检测
3.据统计,在某银行的一个营业窗口等候的人数及其相应的概率如下:
则至多有2人等候排队的概率是 ,至少有3人等候排队的概率是 .
解析:记A=“至多有2人等候排队”,
则P(A)=0.05+0.14+0.35=0.54.
B=“至少有3人等候排队”,
则P(B)=0.3+0.1+0.06=0.46.
答案:0.54 0.46
探究一
探究二
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思维辨析
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4.在20 000张福利彩票中,设有特等奖1名,一等奖3名,二等奖5名,三等奖10名,从中买1张彩票.求获得二等奖或三等奖的概率.
解:设P(A),P(B),P(C),P(D)分别表示获得特等奖、一等奖、二等奖、三等奖的概率.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
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5.将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次,得到的点数分别记为a,b.求直线ax+by+5=0与圆x2+y2=1不相切的概率.
解:先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子,将得到的点数记为a,b,则事件总数为6×6=36.(共31张PPT)
§3 模拟方法——概率的应用
1.几何概型的定义与特点
(1)定义
向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M,若点M落在子区域G1 G的概率与G1的面积成正比,而与G的形状、位置无关,即
则称这种模型为几何概型.
(2)特点
①试验中所有的可能出现的结果(基本事件)有无限多个.
②每个基本事件出现的可能性相等.
名师点拨几何概型的概率计算方法
(1)把实际问题转化为几何图形问题.
(2)计算基本事件空间与事件A包含的基本事件对应的区域测度(长度、面积、体积、角度等大小).
(3)计算比值利用
P(A)=
【做一做】 几何概型与古典概型的区别是( )
A.几何概型的基本事件是等可能的
B.几何概型的基本事件的个数是有限的
C.几何概型的基本事件的个数是无限的
D.几何概型的基本事件不是等可能的
解析:几何概型是无限多个等可能事件的情况,而古典概型中的等可能事件只有有限多个.
答案:C
2.模拟方法
虽然可以通过做大量重复试验用随机事件发生的频率来估计其概率,但是,人工进行试验费时、费力,并且有时很难实现.因此,我们常常借助模拟方法来估计某些随机事件发生的概率.用模拟方法可以在短时间内完成大量的重复试验.对于某些无法确切知道概率的问题,模拟方法能帮助我们得到其概率的近似值.模拟方法在实际中有很多应用.
规律总结用模拟方法估算面积
(1)用模拟方法估算面积的关键是利用随机模拟法和几何概型的概率公式分别求出几何概率,然后通过解方程得到相应部分面积的近似值.
(2)对于较复杂的问题通常采用以下方法:
①要设计一个图形,使其面积与某个常数有关;
②设计一个几何概型;
③设计适当的试验,并通过这个试验结果来计算所求结果的近似值.
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)事件M“从区间[-5,5]上任意取出一个数,求取到绝对值大于1的数的概率”是几何概型. ( )
(2)事件N“从区间[-5,5]上任意取出一个整数,求取到大于1且小于2的数的概率”是几何概型. ( )
(3)事件P“向一个边长为10 cm的正方形内投一点,求点离中心不超过1 cm的概率”是几何概型. ( )
答案:(1)√ (2)× (3)√
探究一
探究二
探究三
思维辨析
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与长度有关的几何概型的求解
【例1】求解下列各题:
(1)取一根长5 m的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得的两段绳子的长度都不小于2 m的概率是多少
(2)某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,求他等车时间不超过10分钟的概率.
(3)在半径为1的圆周上任取两点,连接两点成一条弦,求弦长超过此圆内接正三角形边长的概率.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
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分析:(1)剪断绳子的位置是任意的,且剪断的位置有无限多个,且发生的可能性都是相等的,因此事件发生的可能性只与剪断位置所处的绳子段的长度有关; (2)用数轴画出班车发车时间与小明等车不超过10分钟需要到达车站时间段,然后利用线段的长度比值表示所求概型;(3)也是几何概型,应先寻找满足弦长等于此圆内接正三角形边长的点,再寻找满足弦长超过此圆内接正三角形边长的点,计算其长度,利用几何概型的概率公式计算.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
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解:(1)如图所示,记事件A为“剪得的两段绳子的长度都不小于2 m”.把绳子分成三段,于是当剪断点处在中间一段时,事件A发生.因为中间一段绳子的长度是1 m,所以
(2)如图所示,画出时间轴:
小明到达的时间会随机地落在图中线段AB中,而当他的到达时间落在线段AC或DB时,才能保证他等车的时间不超过10分钟,根据几何概型得所求概率
探究一
探究二
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思维辨析
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探究一
探究二
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思维辨析
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反思感悟1.在求解与长度有关的几何概型时,首先找到几何区域D,区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段,然后找到事件A发生时对应的区域d,在找区域d的过程中,确定边界点是问题的关键,但边界点是否取到不影响事件A的概率.
2.若试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示,则其概率的计算公式为P(A)=
3.这里的长度,可以指直线段的长度,也可以指曲线段的长度,还可以指时间的长度等.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
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答案:4
探究一
探究二
探究三
思维辨析
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与面积有关的几何概型的求解
【例2】 (1)如图所示,一半径为2的扇形(其中扇形中心角为90°),在其内部随机地撒一粒黄豆,则它落在阴影部分的概率为 .
(2)设点M(x,y)在|x|≤1,|y|≤1对应区域内均匀分布,试在此平面区域内取一点a,求点a距离边界不超过 的概率.
探究一
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探究一
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反思感悟与面积有关的几何概型的概率求法
1.与面积有关的几何概型的概率公式:
2.解与面积有关的几何概型问题应注意:
(1)根据题意确认所求问题的基本事件是否与面积有关;
(2)找出或构造随机事件对应的几何图形,并能求出有关图形的面积;
(3)在研究射击、射箭、射门、投掷等问题时,常转化为几何概型,利用面积计算来求其概率.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
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变式训练2(1)若x∈[-2,2],y∈[-2,2],则x2+y2≤1的概率等于 .
(2)(2018江苏苏州高一同步练习)射箭比赛的箭靶中有五个涂有不同颜色的圆环,从外向内分别为白色、黑色、蓝色、红色,靶心是金色,金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122 cm,靶心直径为12.2 cm,运动员在一定距离外射箭,假设每箭都能中靶,且射中靶面内任意一点是等可能的,那么射中黄心的概率为多少
探究一
探究二
探究三
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探究一
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探究一
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与体积有关的几何概型的求解
【例3】已知正方体ABCD-A1B1C1D1内有一个内切球O,则在正方体ABCD-A1B1C1D1内任取点M,点M在球O内的概率是 .
(2)有一杯2升的水,其中含有一个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升水,求小杯水中含有这个细菌的概率.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
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反思感悟如果试验的结果所构成的区域可用体积来度量,我们要结合问题的背景,选择好观察角度,准确找出基本事件所占的总的体积及事件A所分布的体积.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
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变式训练3有一杯2升的水,其中含有一个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升水,求小杯水中含有这个细菌的概率.
解:把判断这个细菌所在的位置看成一次试验,设“所取的0.1升水中含有这个细菌”为事件A,
则事件A构成的区域体积是0.1升,全部试验结果构成的区域体积是2升,所以
探究一
探究二
探究三
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因选错几何度量而致误
【典例】在等腰直角三角形ABC中,过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM,与线段AB交于点M,求AM
探究一
探究二
探究三
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纠错心得虽然在线段上任取一点是等可能的,但过点C和任取的点所作的射线是不均匀的,因而不能把等可能取点看作等可能作射线,因此不满足几何概型的条件.弄清基本事件的度量是正确解答本题的关键,本题基本事件的度量是∠ACB的大小而不是线段AB的长度,因此在解决几何概型的问题时,一定要结合题意分清观察的角度.
探究一
探究二
探究三
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1.在区间[10,20]内的所有实数中,随机取一个实数a,则a≤13的概率为( )
答案:C
探究一
探究二
探究三
思维辨析
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解析:问题相当于在以O为球心,1为半径的球外,且在以O为球心,2为半径的球内任取一点,
答案:A
探究一
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思维辨析
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3.一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体容器内自由飞行,若小蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1,称其为“安全飞行”,则小蜜蜂“安全飞行”的概率为( )
答案:C
4.如图,在矩形ABCD中,点E为边CD的中点.若在矩形ABCD内部随机取一个点Q,则点Q取自△ABE内部的概率等于( )
答案:C
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探究三
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5.已知圆C:x2+y2=9.
(1)若连续掷两次质地均匀的骰子,记向上的点数分别为m,n,则点(m,n)在圆C内的概率是多少
(2)若m,n是任意两个实数,且m∈[-4,4],n∈[-5,5],则点(m,n)在圆C内的概率是多少
探究一
探究二
探究三
思维辨析
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解:(1)点在圆内需满足m2+n2<9,适合题意的点有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)共4个.
(2)依题意,所有可能的点(m,n)可构成一个长、宽分别为10和8的矩形区域,如图.(共37张PPT)
本 章 整 合
概
率
专题一
专题二
专题三
专题一:古典概型与几何概型
1.古典概型是一种最基本的概率模型,解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征,即有限性和等可能性,应用公式 时,要正确理解基本事件与事件A的关系,关键是求出n,m的值,在求n和m值时,经常采用的方法是列举法、树状图法、列表法、坐标法等.
2.几何概型与古典概型相比,都具有等可能性,但几何概型基本事件有无限多个.在求解时,要注意首先作出判断,然后利用公式
,这里的度量指的是长度、体积、面积或角度等.
专题一
专题二
专题三
【例1】 在平面直角坐标系xOy中,平面区域W中的点的坐标(x,y)满足x2+y2≤5,从区域W中随机取点M(x,y).
(1)若x∈Z,y∈Z,求点M位于第四象限的概率.
(2)已知直线l:y=-x+b(b>0)与圆O:x2+y2=5相交所截得的弦长为 ,求y≥-x+b的概率.
解:(1)若x∈Z,y∈Z,则点M的个数共有21个,列举如下:
(-2,-1),(-2,0),(-2,1);
(-1,-2),(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2);
(0,-2),(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2);
(1,-2),(1,-1),(1,0),(1,1),(1,2);
(2,-1),(2,0),(2,1).
当点M的坐标为(1,-1),(1,-2),(2,-1)时,点M位于第四象限.故点M位于第四象限的概率为 .
专题一
专题二
专题三
专题一
专题二
专题三
解析:∵f(x0)=log2x0>0,
∴x0>1.
答案:B
专题一
专题二
专题三
变式训练2在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1,2,3,4,5的五个球(球除标号外都相同),现从甲、乙两个盒子中各取出一个球,每个小球被取出的可能性相等.
(1)求取出的两个球上标号为相邻整数的概率;
(2)求取出的两个球上标号之和与标号之积都不小于5的概率.
解:设从甲、乙两个盒子中各取出一个球,编号分别为x,y,用(x,y)表示抽取结果,结果有以下25种:
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5);
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5);
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5);
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5);
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5).
专题一
专题二
专题三
专题一
专题二
专题三
专题一
专题二
专题三
【例2】 将两枚质地均匀的骰子同时抛掷一次,则两枚骰子中向上的点数至少有一个不大于5的概率等于 .
解析:依题意,两枚骰子向上的点数所有可能的情况共有6×6=36种.
记事件A为“两枚骰子中向上的点数至少有一个不大于5”,
专题一
专题二
专题三
【例3】 为积极配合世界大运会志愿者招募工作,某大学数学学院拟成立由4名同学组成的志愿者招募宣传队,经过初步选定,2名男同学,4名女同学共6名同学成为候选人,每位候选人当选宣传队队员的机会是相同的.
(1)求当选的4名同学中恰有1名男同学的概率.
(2)求当选的4名同学中至少有3名女同学的概率.
专题一
专题二
专题三
解:(1)将2名男同学和4名女同学分别编号为1,2,3,4,5,6(其中1,2是男同学,3,4,5,6是女同学),该学院6名同学中有4名当选的情况有(1,2,3,4),(1,2,3,5),(1,2,3,6),(1,2,4,5),(1,2,4,6),(1,2,5,6),(1,3,4,5), (1,3,4,6),(1,3,5,6),(1,4,5,6),(2,3,4,5),(2,3,4,6),(2,3,5,6),(2,4,5,6),(3,4,5,6),共15种,当选的4名同学中恰有1名男同学的情况有(1,3,4,5), (1,3,4,6),(1,3,5,6),(1,4,5,6),(2,3,4,5),(2,3,4,6),(2,3,5,6),(2,4,5,6),共8种,
专题一
专题二
专题三
变式训练3袋中有形状、大小、质地都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为 .
专题一
专题二
专题三
专题三:概率与统计知识的综合
概率与统计相结合,是近年来新课标数学高考试题的一个亮点,其中所涉及的统计知识是基础知识,所涉及的概率是古典概型,虽然是综合题,但是难度不大,属于中档以下难度.
专题一
专题二
专题三
【例4】 随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图所示.
(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高;
(2)计算甲班的样本方差;
(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学,求身高为176 cm的同学被抽中的概率.
分析:(1)茎叶图中的数据越集中在上部,则说明该班的平均身高较高;(2)先求出平均数,再代入方差公式即可;(3)写出所有基本事件,再统计基本事件的总数和所求事件包含的基本事件的个数,利用古典概型概率公式计算概率.
专题一
专题二
专题三
解:(1)由茎叶图可知:甲班同学的身高集中于160~179 cm之间,而乙班同学的身高集中于170~180 cm之间.因此乙班同学的平均身高高于甲班.
专题一
专题二
专题三
(3)设乙班中身高为176 cm的同学被抽中的事件为A,用(x,y)表示从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173 cm的同学的身高,则所有的基本事件有:(181,173),(181,176),(181,178),(181,179),(179,173), (179,176),(179,178),(178,173),(178,176),(176,173),共10个基本事件.
而事件A含有:(181,176),(179,176),(178,176),(176,173),共4个基本事件,
专题一
专题二
专题三
【例5】 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问50名职工,根据这50名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为:[40,50),[50,60),…,[80,90),[90,100].
(1)求频率分布直方图中a的值;
(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率;
(3)从评分在[40,60)的受访职工中,随机抽取2人,求此2人的评分都在[40,50)的概率.
专题一
专题二
专题三
解:(1)因为(0.004+a+0.018+0.022×2+0.028)×10=1,所以a=0.006.
(2)由所给频率分布直方图知,50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022+0.018)×10=0.4,
所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.
(3)受访职工中评分在[50,60)的有:50×0.006×10=3(人),记为A1,A2,A3;
受访职工中评分在[40,50)的有:50×0.004×10=2(人),记为B1,B2.
从这5名受访职工中随机抽取2人,所有可能的结果共有10种,它们是{A1,A2},{A1,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,A3},{A2,B1},{A2,B2}, {A3,B1},{A3,B2},{B1,B2},又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种,即{B1,B2},故所求的概率为
考点1 古典概型
1.(2018全国2高考)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为( )
A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.3
解析:设2名男同学为男1,男2,3名女同学为女1,女2,女3,则任选两人共有(男1,女1),(男1,女2),(男1,女3),(男1,男2),(男2,女1),(男2,女2)(男2,女3)(女1,女2),(女1,女3),(女2,女3)共10种,其中选中两人都为女同学共(女1,女2),(女1,女3)、(女2,女3)3种,故
答案:D
2.(2017全国2高考)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )
解析:由题意可得抽取两张卡片上的数的所有情况如下表所示(表中点的横坐标表示第一次取到的数,纵坐标表示第二次取到的数):
答案:D
3.(2016全国乙高考)为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )
解析:总的基本事件是:红黄,白紫;红白,黄紫;红紫,黄白,共3种.满足条件的基本事件是:红黄,白紫;红白,黄紫,共2种.故所求事件的概率为
答案:C
4.(2016全国丙高考)小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )
解析:密码的前两位共有15种可能,其中只有1种是正确的密码,因此所求概率为 .故选C.
答案:C
5.(2015课标全国Ⅰ高考)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为( )
解析:从1,2,3,4,5中任取3个数共有10种不同的取法,其中的勾股数只有3,4,5,因此3个数构成一组勾股数的取法只有一种,故所求概率为
答案:C
6.(2014课标全国Ⅰ高考)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为 .
解析:记两本数学书分别为a1,a2,语文书为b,则3本书一共有6种不同的排法:a1a2b,a1ba2,a2a1b,a2ba1,ba1a2,ba2a1,其中2本数学书相邻的排法有4种:a1a2b,a2a1b,ba1a2,ba2a1,故所求概率为
7.(2018天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.
(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人
(2)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;
②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率.
解(1)由已知,甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学,因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2人.
(2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为
{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{A,G},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{B,G},{C,D},{C,E},{C,F},{C,G},{D,E},{D,F},{D,G},{E,F},{E,G},{F,G},共21种.
②由(1),不妨设抽出的7名同学中,来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,E,来自丙年级的是F,G,则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A,B},{A,C},{B,C},{D,E},{F,G},共5种.所以,事件M发生的概率
考点2 几何概型
8.(2018全国1高考)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则( )
A.p1=p2 B.p1=p3
C.p2=p3 D.p1=p2+p3
答案:A
9.(2016课标全国甲高考)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )
解析:因为红灯持续时间为40秒,
所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为
答案:B
10.(2016课标全国甲高考)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1,x2,…,xn, y1,y2,…,yn,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 ( )
解析:利用几何概型求解,由题意可知,
答案:C
考点3 统计与概率的综合
11.(2016课标全国甲高考)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:
(1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求P(A)的估计值;
(2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的估计值;
(3)求续保人本年度平均保费的估计值.
解:(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.
(3)由所给数据得
调查的200名续保人的平均保费为
0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.192 5a.
因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.
12.(2015课标全国Ⅱ高考)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对产品的满意度评分,得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表.
A地区用户满意度评分的频率分布直方图
(1)作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);
B地区用户满意度评分的频率分布直方图
(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度分为三个等级:
估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大 说明理由.
解:(1)
通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值;B地区用户满意度评分比较集中,而A地区用户满意度评分比较分散.
(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.
记CA表示事件:“A地区用户的满意度等级为不满意”;CB表示事件:“B地区用户的满意度等级为不满意”.
由直方图得P(CA)的估计值为(0.01+0.02+0.03)×10=0.6,P(CB)的估计值为(0.005+0.02)×10=0.25.
所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.