北师大版九年级数学下册：2.2 第2课时二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象和性质课件(共23张PPT)

(共23张PPT)
第二章 二次函数
2.2 第2课时 二次函数y=ax2和y=ax2+c的
图象和性质
随堂演练
课堂小结
获取新知
例题讲解
情景导入
羽毛球的运动轨迹可以用y=ax2的图象刻画,大家能回忆出二次函数y=x2的性质吗？
情景导入
获取新知
（2）描点.
（3）连线.
（1）列表.
探究一：画二次函数y=2x2的图象.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
2x2 … …
18
8
2
0
2
8
18
1
2
3
4
5
x
2
4
6
8
10
12
14
16
18
y
O
-1
-2
-3
-4
-5
y=2x2
二次函数y=ax2的图象与性质
问题1 二次函数y=2x2的图象是什么形状？
二次函数y=2x2的图象是一条抛物线，
并且抛物线开口向上.
问题2 图象的对称轴是什么？
y轴就是它的对称轴.
想一想
1
2
3
4
5
x
2
4
6
8
10
12
14
16
18
y
O
-1
-2
-3
-4
-5
y=2x2
问题3 图象的顶点坐标是什么？
原点 (0,0).
问题4 当x取何值时，y的值最小？
最小值是什么？
x=0时，ymin=0.
当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大.
问题5 当x<0时，随着x值的增大，
y值如何变化？当x>0时呢？
1
2
3
4
5
x
2
4
6
8
10
12
14
16
18
y
O
-1
-2
-3
-4
-5
y=2x2
1
2
3
4
5
x
2
4
6
8
10
12
14
16
18
y
O
-1
-2
-3
-4
-5
y=2x2
问题6 二次函数y=2x2与y=x2有什么相同和不同？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？
开口方向相同：向上
对称轴相同：y轴
顶点相同：原点
开口大小不同
开口方向：向上；对称轴：y轴；顶点坐标：（0，0）
它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？
开口方向、对称轴、顶点坐标相同，开口大小不同
二次函数 , y=x2 ,y=2x2的图象有什么相同和不同之处？
当a>0时，a的值越大，开口越小.
探究二：在同一直角坐标系中，画出函数
的图象如图所示，观察其开口大小与a的值有什么关系？
x
y
O
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
－8
当a<0时，a的绝对值越大，开口越小.
总结：在二次函数y=ax2中，a的绝对值越大，开口越小.
二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和性质如下表：
函数 y＝ax2 图象 开口方向 开口大小 顶点坐标 对称轴 增减性 最值
a＞0 向上 |a|越大， 开口越小 (0，0) y轴(直线x＝0) 左减 右增 当x＝0时，
y最小值＝0
a＜0 向下 |a|越小， 开口越大 (0，0) y轴(直线x＝0) 左增 右减
当x＝0时，
y最大值＝0
归纳总结
例1 若点A(x1,y1)，B(x2,y2)是二次函数y=-3x2图象上的两点，且x1＞x2＞0，那么y1与y2的大小关系是_____________.
y2＞y1
例题讲解
探究三： 画出二次函数y=2x2+1和y=2x2-1的图象，观察图象，看一看它们是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？
(1)列表：
x ··· －2 －1.5 －1 0 1 1.5 2 ···
y =2x2＋1 ··· ···
y = 2x2－1 ··· ···
9
5.5
3
1
3
5.5
9
7
3.5
1
－1
1
3.5
7
二次函数y=ax2+c的图象与性质
获取新知
(2)描点
(3)连线
4
x
y
O
－2
2
2
4
6
－4
8
10
－2
y = 2x2＋1
y = 2x2－1
y=2x2+1的图象是轴对称图形
开口：向上
对称轴：y轴
顶点坐标：（0,1）
y=2x2-1的图象是轴对称图形
开口：向上
对称轴：y轴
顶点坐标：（0,-1）
可以发现，把抛物线y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 ；把抛物线 y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 y=2x2-1.
下
y=2x2+1
上
4
x
y
O
－2
2
2
4
6
－4
8
10
－2
y = 2x2＋1
y = 2x2－1
二次函数y=ax2+c的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到：
当c > 0 时,向上平移c个单位长度得到；
当c < 0 时,向下平移个单位长度得到.
二次函数y=ax2 与y=ax2+c（a ≠ 0）的图象的关系
上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减.
归纳总结
二次函数 y=ax2+c的性质
y=ax2+c a＞0 a＜0
开口方向
对称轴
顶点坐标
最值
增减性
向上
向下
y轴
y轴
（0,c）
当x=0时，y最小值=c
当x=0时，y最大值=c
当x＜0时，y随x的增大而减小；x＞0时，y随x的增大而增大.
当x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大.
（0,c）
1.画抛物线y=ax2+c的图象有些方法？
2.抛物线y=ax2+c 中的a决定什么？c决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？
第一种方法：平移法，两步即第一步画y=ax2的图象，再向上（或向下）平移︱c ︱单位.
第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线.
a决定开口方向和大小；c决定顶点的纵坐标.
对称轴为y轴；顶点坐标为(0,c).
想一想
例题讲解
例2 根据下列条件分别求a的取值或取值范围：
(1)函数y＝(a－2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，
当x＜0时，y随x的增大而增大；
(2)函数y＝(3a－2)x2有最大值；
(3)抛物线y＝(a＋2)x2与抛物线y＝－ x2的形状相同；
(4)函数y＝axa2＋a的图象是开口向上的抛物线．
解：(1)由题意得a－2＜0，解得a＜2.
(2)由题意得3a－2＜0，解得a＜ .
(3)由题意得|a＋2|＝ ，解得a1＝－ ，a2＝－ .
(4)由题意得a2＋a＝2，解得a1＝－2，a2＝1，
由题知a＞0，∴a＝1.
随堂演练
1. 在同一坐标系中画出y1＝2x2，y2＝－2x2和y3＝ x2的图象，正确的是图中的(　　)
D
2.下列各组抛物线中能够互相平移彼此得到对方的是( )
A.y＝2x2与y＝3x2 B.y= x2+2与y=2x2+
C.y＝2x2与y＝x2+2 D.y＝x2与y＝x2－2
D
3.对于二次函数y＝3x2＋2，下列说法错误的是(　　)
A．最小值为2
B．图象与x轴没有公共点
C．当x<0时，y随x的增大而增大
D．图象的对称轴是y轴
C
4.(1)抛物线y＝2x2＋3可以由抛物线y＝2x2向 平移_____个
单位得到．
(2)抛物线y＝- x2+1向 平移 个单位后，会得到抛物线y=- x2．
(3)抛物线y＝-2x2-5的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 .
上
3
下
1
向下
y轴
(0，-5)
5. 已知 是二次函数，且当x＞0时，y随x增大而增大，求k的值.
解： 是二次函数，即二次项的系数不为0，x的指数等于2.
又因当x＞0时，y随x增大而增大,即说明二次项的系数大于0.
因此，
解得 k=2
课堂小结
二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2 +c的图象、性质及关系
抛物线 y=ax2(a≠0) y= ax2 +c
开口方向 对称轴 顶点
增减性 最值
关系 y=ax2向上（下）平移|c|个单位 a>0，开口向上， a＜0，开口向下
y轴
原点（0，0）
最大（小）值是0
最大（小）值是c
（0，c）
a>0时，在对称轴左侧递减，在对称轴右侧递增；a<0时，在对称轴左侧递增，在对称轴右侧递减