北师大版九年级数学下册：2.2 第3课时二次函数y=a(x-h)2和y= a(x-h)2 +k的图象和性质课件(共25张PPT)

(共25张PPT)
第二章 二次函数
2.2 第3课时
二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象和性质
随堂演练
课堂小结
获取新知
例题讲解
知识回顾
a,c的符号 a>0,c>0 a>0,c<0 a<0,c>0 a<0,c<0
图象
开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的增减性 最值 向上
向下
y轴（直线x=0）
y轴（直线x=0）
（0,c）
（0,c）
当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.
当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小.
x=0时，y最小值=c
x=0时，y最大值=c
问题1 说说二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的特征.
知识回顾
问题2 二次函数 y=ax2+c（a≠0）与 y=ax2（a ≠ 0） 的图象有何关系？
二次函数y=ax2+c（a ≠ 0）的图象可以由 y=ax2（a ≠ 0）
的图象平移得到：
当c > 0 时，向上平移|c|个单位长度得到.
当c < 0 时，向下平移|c|个单位长度得到.
问题3 函数 的图象，能否也可以由函数
平移得到？
应该可以.
画出二次函数 的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点．
x ··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ···
··· ···
··· ···
－2
－2
0
0
－2
－2
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
0
x
y
获取新知
二次函数y=a（x-h）2的图象和性质
-8
－4
x
y
O
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
向下
直线x=-1
( -1 , 0 )
直线x=0
直线x=1
向下
向下
( 0 , 0 )
( 1, 0)
对于函数 ，x取哪些值时， y值随x值的增大而增大？ x取哪些值时， y值随x值的增大而减小？
函数 ( 或 )
当x>1 (x>0 或 x>-1)时，
y值随x值的增大而增大;
当x<1 (x<0 或 x<-1)时，
y值随x值的增大而减小.
类似地，可以得出二次函数 y=a(x-h)2的下列性质
y=a(x-h)2 a＞0 a＜0
开口方向
对称轴
顶点坐标
最值
增减性
向上
向下
直线x=h
直线x=h
（h,0）
（h,0）
当x=h时，y最小值=0
当x=h时，y最大值=0
当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大.
当x＞h时，y随x的增大而减小；x＜h时，y随x的增大而增大.
归纳总结
例1 若抛物线y＝3(x＋ )2的图象上有三个点，A(－3 ，y1)，B(－1，y2)，C(0，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为________________．
解析：∵抛物线y＝3(x＋ )2的对称轴为x＝－ ，a＝3＞0，∴x＜－ 时，y随x的增大而减小；x＞－ 时，y随x的增大而增大．∵点A的坐标为(－3 ，y1)，∴点A在抛物线上的对称点A′的坐标为( ，y1)．∵－ ＜ 1＜0＜ ，∴y2＜y3＜y1.故答案为y2＜y3＜y1.
y2＜y3＜y1
例题讲解
向右平移
1个单位
问题1：抛物线 ， 的图象与抛物线 的图象有什么关系？
x
y
O
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
向左平移
1个单位
二次函数y=ax2的图象与y=a(x-h)2的图象的关系
获取新知
二次函数y=a（x-h)2的图象与y=ax2 的图象的关系
可以看作互相平移得到(h>0).
平移规律：
括号内左加右减，括号外不变.
y=a(x-h)2
当向左平移 ︱h︱ 时
y=a(x+h)2
当向右平移 ︱h︱ 时
y=ax2
例2 抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求a的值和平移后的函数关系式．
解：二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为y＝a(x－3)2，
把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2， ，
∴平移后二次函数关系式为y＝ (x－3)2.
例题讲解
探究1. 画出函数 的图象. 指出它的开口方向、顶点、对称轴与增减性.
获取新知
二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质
…
…
…
…
2
1
0
-1
-2
-3
-4
x
解：先列表
再描点、连线
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
O
-1
-2
-3
-4
-5
-10
直线x=－1
开口方向向下；
对称轴是直线x=-1;
顶点坐标是(-1,-1);
x＜-1时，y随x的增大而增大；x＞-1时，y随x的增大而减小.
开口方向向上；
对称轴是直线x=-1;
顶点坐标是(-1,-2);
x＜-1时，y随x的增大而减小；x＞-1时，y随x的增大而增大.
-2
2
x
y
O
-2
4
6
8
-4
2
4
探究2. 画出函数y= 2（x+1）2-2图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点及增减性.
解：列表（略）、描点、连线，画图如右侧：
二次函数 y=a(x-h)2+k的性质
y=a(x-h)2+k a＞0 a＜0
开口方向
对称轴
顶点坐标
最值
增减性
向上
向下
直线x=h
直线x=h
（h,k）
（h,k）
当x=h时，y最小值=k
当x=h时，y最大值=k
当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大.
当x＞h时，y随x的增大而减小；x＜h时，y随x的增大而增大.
归纳总结
例题讲解
例3 抛物线y＝3(x－1)2＋2的开口方向、顶点坐标、对称轴分别是(　　)
A．向下、(1，2)、直线x＝1　　
B．向上、(－1，2)、直线x＝－1
C．向下、(－1，2)、直线x＝－1
D．向上、(1，2)、直线x＝1
抛物线y＝3(x－1)2＋2的开口向上，顶点坐标为(1， 2)，对称轴为直线x＝1，故选D.
解析：
D
本题运用了性质判断法，运用二次函数的性质，结合图象进行判断
怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ？
平移方法1
向左平移
1个单位
向下平移
1个单位
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
O
-1
-2
-3
-4
-5
-10
想一想
平移方法2
向左平移
1个单位
向下平移
1个单位
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
O
-1
-2
-3
-4
-5
-10
二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2+k的关系
可以看作互相平移得到的(h>0，k>0).
y = ax2
y = ax2 + k
y = a(x - h )2
y = a( x - h )2 + k
上下
平移
左右
平移
上下
平移
左右
平移
平移规律
简记为：
上下平移，
括号外上加下减；
左右平移，
括号内左加右减.
二次项系数a不变.
归纳总结
随堂演练
1. 将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函数
y＝－2(x＋1)2的图象，平移的方法是(　　)
A．向上平移1个单位　　B．向下平移1个单位
C．向左平移1个单位　　D．向右平移1个单位
C
2.对于抛物线y=- (x 2）2+6，下列结论：
①抛物线的开口向下；
②对称轴为直线x=2；
③顶点坐标为（2，6）；
④当x＞2时，y随x的增大而减小．
其中正确的结论有（　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
D
3.已知y＝ (x－3)2－2的部分图象如图所示，抛物线与x轴交点的一个坐标是(1，0)，则另一个交点的坐标是________．
解析：由抛物线的对称性知，对称轴为x＝3，一个交点坐标是(1，0)，
则另一个交点坐标是(5，0)．
(5，0)
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5
向上
( 1, －2 )
向下
向下
( 3 , 7)
( 2 , －6 )
向上
直线x=－3
直线x=1
直线x=3
直线x=2
(－3, 5 )
y=－3(x－1)2－2
y = 4(x－3)2＋7
y=－5(2－x)2－6
4.完成下列表格:
5.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平移得到
解：由抛物线向上平移7个单位再向右平移3个单位得到的.
二次函数y=a(x-h)2 、y=a(x-h)2+k的图象和性质
图象特点
当a>0,开口向上；当a<0,开口向下
平移规律
左右平移：括号内左加右减
上下平移：括号外上加下减
开口方向
对称轴
顶点坐标
直线x=h
(h,0)
函数性质
a＞0，当x>h时，y随x的增大而增大;
当xa＜0，当x>h时，y随x的增大而减小;
当x课堂小结