北师大版九年级数学下册：2.5 第2课时利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根课件(共22张PPT)

(共22张PPT)
第二章 二次函数
2.5 第2课时 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根
随堂演练
课堂小结
例题讲解
知识回顾
获取新知
问题：上节课我们学习了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)和二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)之间的关系，那么如何利用二次函数图象直接求出一元二次方程的根呢
知识回顾
求一元二次方程 的近似根（精确到0.1）.
分析：一元二次方程 x -2x-1=0 的根就是抛物线 y=x -2x-1 与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
获取新知
利用图象法求一元二次方程的近似根
解：画出函数 y=x -2x-1 的图象（如下图），由图象可知，方程有两个实数根，一个在-1与0之间,另一个在2与3之间.
先求位于-1到0之间的根，由图象可估计这个根是-0.4或-0.5，利用计算器进行探索，见下表：
x … -0.4 -0.5 …
y … -0.04 0.25 …
观察上表可以发现，当x分别取-0.4和-0.5时，对应的y由负变正，可见在-0.5与-0.4之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2-2x-1的一个根，题目只要求精确到0.1，这时取x=-0.4或x=-0.5都符合要求.但当x=-0.4时更为接近0.故x1≈-0.4.
同理可得另一近似值为x2≈2.4.
(1)用描点法作二次函数 y=ax2+bx+c的图象；
(2)观察估计二次函数 的图象与x轴的交点的横坐标；
(可将单位长度十等分,借助计算器确定其近似值)；
(3)确定方程ax2+bx+c=0的近似根.
利用图象法求一元二次方程的近似根
归纳总结
例1 小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”总结了以下几种方法，请你将有关内容补充完整．
例题：求一元二次方程x2－x－1＝0的两个解．
(1)解法一：选择一种合适的方法(公式法、配方法、因式分解法)求解．
例题讲解
(1)公式法：
∵a＝1，b＝－1，c＝－1，
∴Δ＝b2－4ac＝(－1)2－4×1×(－1)＝5＞0.
∴
即x1＝ x2＝ .
解：
(2)解法二：利用二次函数图象与x轴的交点求解．如图①，把方程x2－x－1＝0的解看成是二次函数y＝__________的图象与x轴交点的横坐标x1，x2，则x1，x2就是方程的解．
x2－x－1
(3)解法三：利用两个函数图象的交点求解．
①把方程x2－x－1＝0的解看成是二次函数y＝________的图象与直线y＝_______的交点的横坐标；
②在图②中画出这两个函数的图象，用x1，x2在x轴上
标出方程的解．
x2－x
1
导引：当 y＝－x2＋2x－3的函数值为－8时，对应点的横坐标即为一元二次方程－x2＋2x－3＝－8的根，如图所示．
例2 利用二次函数的图象求一元二次方程－x2＋2x－3＝－8的近似根．
解：在平面直角坐标系内作函数y＝－x2＋2x－3的图象，如图，
由图象可知方程－x2＋2x－3＝－8的根是抛物线y＝－x2＋
2x－3与直线y＝－8的公共点的横坐标，左边的公共点横坐
标在－1与－2之间，右边的公共点横坐标在3和4之间．
(1)先求在－1和－2之间的根，利用计算器进行探索：
因此x＝－1.4是方程－x2＋2x－3＝－8的一个近似根．
x －1.1 －1.2 －1.3 －1.4 －1.5
y －6.41 －6.84 －7.29 －7.76 －8.25
(2)另一根可以类似地求出：
因此x＝3.4是方程－x2＋2x－3＝－8的另一个近似根．
x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
y －6.41 －6.84 －7.29 －7.76 －8.25
解：先把方程化成x2＝－2x＋3.
如图，在同一直角坐标系中
分别画出函数y＝x2和
y＝－2x＋3的图象，得到它
们的交点为(－3，9)和(1，1)，
则方程x2＋2x－3＝0的解为x＝－3或x＝1.
例3 利用函数的图象，求方程x2＋2x－3＝0的根．
利用图象交点法求一元二次方程的根的步骤：
(1)将ax2＋bx＋c＝0化为ax2＝－bx－c的形式；
(2)在同一坐标系中画出y＝ax2与y＝－bx－c的图象；
(3)观察图象：两图象的公共点情况即为方程的根的情况，如有公共点，则公共点的横坐标即为ax2＋bx＋c＝0的根．
归纳总结
随堂演练
1.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点,则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况是 (　　)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.无法确定
A
2.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为(　　)
A．x1≈－2.1，x2≈0.1
B．x1≈－2.5，x2≈0.5
C．x1≈－2.9，x2≈0.9
D．x1≈－3，x2≈1
解析：由图象可得二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－1，而对称轴右侧图象与x轴交点到原点的距离约为0.5，∴x2≈0.5；又∵对称轴为x＝－1，则
＝－1，∴x1＝2×(－1)－0.5＝－2.5.故x1≈－2.5，x2≈0.5.故选B.
B
判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（ ）
A. 3< x < 3.23 B. 3.23 < x < 3.24
C. 3.24 x 3.23 3.24 3.25 3.26
y=ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09
3.根据下列表格的对应值:
C
4. 在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a>0)的部分图像如图所示,直线x=1是它的对称轴.若一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根x1的取值范围是2-15. 求方程x2-2x-6=0中较大的x2精确到0.1的近似值.(结果精确到0.1)
解：如图 ，画出二次函数 y＝x2－2x－6的图像.
观察画出的抛物线，现在求x2的近似值．
(1)容易看出：当x＝3时，y＜0，当x＝4时，
y＞0，且在3＜x＜4范围内，y随x的增大而增大，
∴3＜x2＜4.
(2)取3和4的中间数3.5代入表达式中试值．
当x＝3.5时，y＝3.52－2×3.5－6＝－0.75＜0；
当x＝4时，y＞0，在3.5＜x＜4范围内，
y随x的增大而增大，∴3.5＜x2＜4.
(3)取3.5和4的中间数3.75代入表达式中试值．
当x＝3.75时，y＝3.752－2×3.75－6＝0.562 5＞0；
当x＝3.5时，y＜0.在3.5＜x＜3.75范围内，
y随x的增大而增大，
∴3.5＜x2＜3.75.
(1)作图：用描点法作二次函数
y=ax2+bx+c的图象
(2)观察：估计二次函数 的图象与
x轴的交点的横坐标
(3)估算：取值估算，逐步逼近
利用图象法求一元二次方程的近似根
课堂小结