北师大版数学九年级下册：2.4 第1课时最大面积问题课件(共24张PPT)

(共24张PPT)
第二章 二次函数
2.4 第1课时 最大面积问题
随堂演练
课堂小结
例题讲解
获取新知
1.如何求出二次函数 y = ax2 + bx + c 的最小（大）值？
由于抛物线y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点，当 时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大） 值
①当自变量的取值范围是全体实数时，
(1)若a＞0时，在顶点处取得最小值，此时不存在最大值；
a＜0时，在顶点处取得最大值，此时不存在最小值．
获取新知
求二次函数的最大(或最小)值
②当自变量的取值范围是x1≤x≤x2时，
(1)若 在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，
最大值与最小值同时存在，
如图①，当a＞0时， 最小值在x＝ 处取得，
最大值为函数在x＝x1，x＝x2时的较大的函数值；
当a＜0时，最大值在x＝ 处取得，
最小值为函数在x＝x1，x＝x2时的较小的函数值；
(2)若 不在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，最大值和最小值同时存在，且函数在x＝x1，x＝x2时的函数值中，较大的为最大值，较小的为最小值，如图②.
例1 写出下列抛物线的最值.
（1）y=x2-4x-5;
解：(1)∵a=1＞0，对称轴为x=2,顶点坐标为（2，-9）,
∴当x=2时，y取最小值，最小值为-9;
(2)y=-x2-3x+4.
(2)∵a=-1＜0，对称轴为x= ,顶点坐标为（ ， ）,
∴当x= 时，y取最大值，最大值为 ;
例题讲解
导引：先求出抛物线y＝x2－2x－3的顶点坐标，然后
看顶点的横坐标是否在所规定的自变量的取值
范围内，根据不同情况求解，也可画出图象，
利用图象求解．
例2 分别在下列范围内求函数y＝x2－2x－3的最值：
(1)0＜x＜2；(2)2≤x≤3.
解：∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，
∴图象的顶点坐标为(1，－4)．
(1)∵x＝1在0＜x＜2范围内，且a＝1＞0，
∴当x＝1时，y有最小值，y最小值＝－4.
∵x＝1是0＜x＜2范围的中点，在直线x＝1两侧的
图象左右对称，端点处取不到，
∴不存在最大值．
(2)∵x＝1不在2≤x≤3范围内(如图)，
而函数y＝x2－2x－3(2≤x≤3)的图象是抛物线
y＝x2－2x－3的一部分，且当2≤x≤3时，
y随x的增大而增大，
∴当x＝3时，
y最大值＝32－2×3－3＝0；
当x＝2时，
y最小值＝22－2×2－3＝－3.
引例:从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是 h= 30t - 5t 2 （0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
t/s
h/m
O
1
2
3
4
5
6
20
40
h= 30t - 5t 2
可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点.也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值.
获取新知
几何图形面积的最大面积
小球运动的时间是 3s 时，小球最高.小球运动中的最大高度是 45 m．
t/s
h/m
O
1
2
3
4
5
6
20
40
h= 30t - 5t 2
例3 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？
问题1 矩形面积公式是什么？
问题2 如何用l表示另一边？
问题3 面积S的函数关系式是什么？
问题4：当l是多少时，场地的面积S最大？
解:根据题意得
S=l(30-l),
即 S=-l2+30l (0因此，当 时，
S有最大值
也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大.
5
10
15
20
25
30
100
200
l
s
O
变式 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
x
x
60-2x
问题2 我们可以设面积为S，如何设自变量？
问题3 面积S的函数关系式是什么？
问题4 如何求自变量x的取值范围？墙长32m对此题有什么作用？
问题5 如何求最值？
最值在顶点处，即当x=15m时，S=450m2.
问题1 变式1与例1有什么不同？
S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x.
0＜60－2x≤32，即14≤x＜30.
设垂直于墙的边长为x m，
实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围.通过变式1与变式2的对比，希望同学们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值.
归纳总结
例4 某建筑物的窗户如图，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15 m，当x等于多少时，窗户通过的光线最多？（结果精确到0.01 m）此时，窗户的面积是多少？（结果精确到0.01 m2）
x
x
y
解：∵7x+4y+πx=15,
∴0＜x＜1.48.
设窗户的面积是S m2, 则
因此，当x约为1.07m时，窗户通过的光线最多.此时，窗户的面积约为4.02 m2.
x
x
y
二次函数解决几何面积最值问题的方法
1.求出函数解析式和自变量的取值范围；
2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,
3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.
随堂演练
1. 已知一个直角三角形两直角边长之和为20 cm，则这个直角三角形的最大面积为(　　)
A．25 cm2 B．50 cm2
C．100 cm2 D．不确定
B
2. 赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为 ，当水面离桥拱顶的高度DO是2m时，这时水面宽度AB为（　　）
A.10m B. m C. m D. m
D
3. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm，点P从点A开始沿AB向B以2 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C以1 cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当△PBQ的面积最大时，运动时间为________．
11.2 s
4. 张大伯准备用一面长15 m的墙和长38 m的栅栏修建一个如图所示的矩形养殖场ABCD，并在养殖场的一侧留出一个2 m宽的门．
(1)求养殖场的面积y(m2)与BC边的长x(m)之间的函数关系式．
(2)当BC边的长为多少时，养殖场的面积最大？最大面积是多少？
解：(1)由题意得，AB＝ m，
∴y＝x· ＝x· ＝－ x2＋20x.
由题意知
∴0＜x≤15.∴y＝－ x2＋20x，其中0＜x≤15.
(2)y＝－ x2＋20x＝－ (x2－40x)
＝－ (x－20)2＋200.
∵a＝－ ＜0，0＜x≤15，∴y随x的增大而增大．
∴当x＝15时，y最大＝－ ×(15－20)2＋200＝187.5.
答：BC边的长为15 m时，养殖场的面积最大，最大面
积是187.5 m2.
课堂小结