北师大版九年级数学下册：3.3 垂径定理课件(共30张PPT)

(共30张PPT)
第三章 圆
3.3 垂径定理*
随堂演练
课堂小结
获取新知
例题讲解
情景导入
情景导入
问题:你知道赵州桥吗 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
获取新知
如图, AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD丄AB，垂足为M.
（1）图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
O
C
D
M
A
B
O
C
D
M
A
B
（1）此图是轴对称图形，对称轴是直径CD所在的直线
（2）AM=BM，AC=BC，AD=BD
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已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足为M. 求证：AM=BM，AC =BC，AD =BD.
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O
C
D
M
A
B
证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.
即△AOB是等腰三角形.
∵AB⊥CD，
∴AM=BM，∠AOC=∠BOC.
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AC =BC.
∴AD =BD，
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从而∠AOD=∠BOD.
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
用几何语言表述为：
∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件)
∴ AM=BM，AC =BC,AD =BD.(结论)
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O
C
D
M
A
B
下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
是
不是，因为没有垂直
是
不是，因为CD没有过圆心
想一想
垂径定理的几个基本图形：
A
B
O
C
D
E
A
B
O
E
D
A
B
O
C
归纳总结
A
B
O
D
C
如图所示，在⊙ O 中，AB 为⊙ O 的弦，C，D 是直线
AB 上两点，且AC=BD.
求证：△ OCD 为等腰三角形.
例1
例题讲解
导引：
构建垂径定理的基本图形结合线段垂直平分线性质证明.
解：过点O 作OM ⊥ AB，垂足为M，
∵ OM ⊥ AB，∴ AM=BM.
∵ AC=BD，∴ CM=DM.
又∵ OM ⊥ CD，∴ OC=OD.
∴△ OCD 为等腰三角形.
例2 已知：⊙O中弦AB∥CD,
求证：AC＝BD.
⌒
⌒
.
M
C
D
A
B
O
N
证明：作直径MN⊥AB.
∵AB∥CD，∴MN⊥CD.
则AM＝BM，CM＝DM
（垂直弦的直径平分弦所对的弧）
AM－CM＝BM－DM
∴AC＝BD
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是，对称轴是直径CD所在的直线
如图, AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD， 交AB于点M.
（1）图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
O
C
D
M
A
B
CD⊥AB，AC=BC，AD=BD
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如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AM=BM.
（1）CD⊥AB吗？为什么？
（2）AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？
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⌒
O
C
D
M
A
B
（2）由垂径定理可得AC =BC，AD =BD.
解：（1）连接AO,BO,则AO=BO,
又AM=BM，∴△AOM≌△BOM（SSS），
∴∠AMO=∠BMO=90°，
∴CD⊥AB.
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垂径定理的逆定理
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
∵ CD是直径，AM=BM，(条件)
∴ AB⊥CD，AC =BC，AD =BD.(结论)
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用几何语言表述为：
O
C
D
M
A
B
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.
特别说明：
圆的两条直径是互相平分的.
垂径定理的本质是:
知二得三
（1）一条直线过圆心
（2）这条直线垂直于弦
（3）这条直线平分不是直径的弦
（4）这条直线平分不是直径的弦所对的优弧
（5）这条直线平分不是直径的弦所对的劣弧
例3 如图所示，AB，CD 是⊙ O 的弦，M，N 分别为AB，CD的中点，且∠ AMN = ∠ CNM. 求证：AB=CD.
解：连接OM，ON，OA，OC.
∵ O 为圆心，且M，N 分别为AB，CD 的中点，
∴ AB=2AM，CD=2CN，OM ⊥ AB，ON ⊥ CD.
∴∠ OMA= ∠ ONC=90° .
∵∠ AMN= ∠ CNM，
∴∠ OMN= ∠ ONM. ∴ OM=ON.
又∵ OA=OC，
∴ Rt △ OAM ≌ Rt △ OCN（HL）.
∴ AM=CN. ∴ AB=CD
例4 你知道赵州桥吗 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
A
B
O
C
D
解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.
经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.
∴ AB=37m，CD=7.23m.
∴ AD= AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.
解得R≈27.3（m）.
即主桥拱半径约为27.3m.
R2=18.52+(R-7.23)2
∵
A
B
O
C
D
解:连接OC.
设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.
根据勾股定理，得
解得R=545.
∴这段弯路的半径约为545m.
例5 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是
弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，
垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
● O
C
D
E
F
┗
如图1、2,一弓形弦长为 　 cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为＿＿＿____＿.
C
D
C
B
O
A
D
O
A
B
图1
图2
2cm或12cm
做一做
在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
弓形中重要数量关系
A
B
C
D
O
h
r
d
d+h=r
O
A
B
C
·
归纳总结
随堂演练
1.下列说法中,不正确的是(　　)
A.圆既是轴对称图形,又是中心对称图形
B.圆绕着它的圆心旋转任意角度,都会与自身重合
C.圆的对称轴有无数条,对称中心只有一个
D.圆的每一条直径都是它的对称轴
D
2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，
下列结论不成立的是(　　)
A．CM＝DM B. CB＝DB
C．∠ACD＝∠ADC D．OM＝MB
⌒
⌒
D
3. 如图，⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦，AM＝BM，OM∶OC＝3∶5，则AB的长为(　　)
A．8 cm　　
cm　　
C．6 cm　　
D．2 cm
A
4.如图，AB是⊙O的弦，AB的长为8，P是⊙O上一个动点(不与点A，B重合)，过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为___
4
5.如图，⊙O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.
解：连接OA，∵ CE⊥AB于D，
∴
设OC=xcm，则OD=x-2,
根据勾股定理，得
解得 x=5，
即半径OC的长为5cm.
·
O
A
B
E
C
D
理由：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE。
∴ AE－CE＝BE－DE
即 AC＝BD.
解：AC=BD
6.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？
O
.
A
C
D
B
E
课堂小结