北师大版九年级数学下册：3.5 确定圆的条件课件(共27张PPT)

(共27张PPT)
第三章 圆
3.5 确定圆的条件
例题讲解
随堂演练
情景导入
获取新知
知识回顾
课堂总结
知识回顾
问题 构成圆的基本要素有哪些
两个条件:
圆心
半径
o
r
情景引入
如图，你能将旋转木马破碎的圆形底座还原，以帮助考古学家画进行深入的研究吗？
想一想：要确定一个圆必须满足什么条件
获取新知
探索一
经过一个已知点A能确定一个圆吗
A
●O1
●O2
●O3
●O5
●O4
经过一个已知点
能作无数个圆
因为圆心不定，
所以半径也就不定，
所以可以作无数个圆
回顾线段垂直平分线的尺规作图的方法
1．分别以点A和B为圆心，以
大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；
2.作直线MN.
N
M
A
B
探索二
经过两个已知点A，B能确定一个圆吗
A
B
●O1
●O2
●O3
●O4
到A和B距离相等的点，即圆心在线段AB的垂直平分线上，所以圆心和半径均不确定
经过两个已知点A，B能作无数个圆
A
B
C
D
E
G
F
●o
经过B,C两点的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上.
经过A,B,C三点的圆的圆心应该在这两条垂直平分线的交点O的位置.
经过A,B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.
过不在同一直线上的三点A,B,C能不能确定一个圆
探索三
假设经过A，B，C三点的⊙O存在.
（1）圆心O到A，B，C三点距离
（填“相等”或”不相等”）.
（2） ⊙O要经过A ， B两点，则圆心应在AB的 上； ⊙O要经过A ， C两点，则圆心应在AC的 上；
（3）点O的位置应在 .
半径为___________________
相等
垂直平分线
垂直平分线
AB，AC垂直平分线的交点
OA或OB或OC的长度
N
M
F
E
O
A
B
C
过如下三点能不能作圆 为什么
A
B
C
不能.因为圆心不存在
不在同一直线上的三点确定一个圆
位置关系
有且只有
例题讲解
例1 如图①是一个残破的圆轮，李师傅想要再浇铸一个同样大小的圆轮，你能想办法帮助李师傅吗？
解：如图②：
(1)在圆轮所在的圆弧上任取三
点A，B，C，并连接AB，BC；
(2)分别作AB，BC的垂直平分线
DE，FG，DE，FG相交于点O；
(3)以O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙O就是圆轮所在的圆
获取新知
经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.
C
A
B
O
如图：⊙O是△ABC的外接圆， △ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.
性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.
作图：三角形三条边的垂直平分线的交点.
●O
分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.
A
B
C
A
B
C
C
A
B
┐
●O
●O
锐角三角形：内部
直角三角形：
斜边中点
钝角三角形：外部
下列说法是否正确
(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆( )
(2)任意一个圆有且只有一个内接三角形( )
(3)经过三点一定可以确定一个圆( )
(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等( )
√
×
×
√
议一议
例2 如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，O为原点，∠ABO＝60°，若△AOB的外接圆与y轴交于点D(0，3)．
(1)求∠DAO的度数；
(2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．
解：(1)∵∠ADO＝∠ABO＝60°，
∠DOA＝90°，
∴∠DAO＝30°；
例题讲解
(2)∵点D的坐标是(0，3)，
∴OD＝3.在Rt△AOD中，
OA＝OD·tan∠ADO＝ ，
AD＝2OD＝6，
∴点A的坐标是( ，0)．
∵∠AOD＝90°，
∴AD是圆的直径，
∴△AOB外接圆的面积是9π.
方法总结：图形中求三角形外接圆的面积时，关键是确定外接圆的直径(或半径)长度．
如图所示，△ ABC 内接于⊙ O，∠ C=45 °，AB=4，求⊙ O 的半径.
例3
导引：
要求⊙O的半径，已知弦AB的长，需以AB为边与⊙O的半径(或直径)构成等腰直角三角形，因此有两个切入点．方法一：如图2，连接OA，OB，利用圆周角定理可得∠AOB＝2∠C＝90°，再利用勾股定理求出半径；方法二：如图2，作直径AD，连接BD，
利用同弧所对的圆周角相等，得
∠D＝∠C＝45°，再利用勾股
定理可求出半径．
图2
解：
方法一：如图1，连接OA，OB，设⊙O的半径为r，
∵∠C＝45°，∴∠AOB＝2∠C＝90°.
∴OA2＋OB2＝AB2，即r2＋r2＝42.
解得r1＝2 ，r2＝－2 (不符合题意，舍去)．
∴⊙O的半径为2 .
图1
方法二：如图2，作直径AD，连接BD，设⊙O的半径为r.
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°.
又∵∠D＝∠C＝45°，∴∠DAB＝45°.
∴BD＝AB＝4.
在Rt△ABD中，AB2＋BD2＝AD2，即42＋42＝(2r)2
解得r1＝2 ，r2＝－2 (不符合题意，舍去)．
∴⊙O的半径为2 .
图2
求三角形的外接圆半径时，最常用的办法是作出圆心与三角形顶点的连线(即半径)，延长使这条半径变为直径，将求半径转化为直角三角形中求边的长．
归纳总结
随堂演练
1.下列命题不正确的是（ ）
A.过一点有无数个圆. B.过两点有无数个圆.
C.弦是圆的一部分. D.过同一直线上三点不能作圆.
C
2.三角形的外心具有的性质是（ ）
A.到三边的距离相等. B.到三个顶点的距离相等.
C.外心在三角形的外. D.外心在三角形内.
B
3.如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是(　　)
A．点P
B．点Q
C．点R
D．点M
B
4.等腰三角形底边上的高与一腰的垂直平分线的交点是（ ）
A.重心 B.垂心 C.外心 D.无法确定.
C
5. 过两点A,B的圆有　　　个,这些圆的圆心都在线段AB的　　　　　　_　　　　　 上;过　　　　　　_　的三点的圆有且只有一个.
无数
垂直平分线
不在同一直线上
6.如图，在△ABC中，点O在边AB上，且点O为△ABC的外心，求∠ACB的度数．
解：∵点O为△ABC的外心，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，∠OCB＝∠OBC.
∵∠OAC＋∠OCA＋∠OCB＋∠OBC＝180°，
∴∠OCA＋∠OCB＝90°，
即∠ACB＝90°.
7. 小明家的房前有一块矩形的空地,空地上有三棵树A,B,C,如图,小明想建一个圆形花坛,使三棵树都在花坛的边上.请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹).
解:如图所示,☉O就是花坛的位置
课堂小结