北师大版九年级数学下册：1.5 三角函数的应用课件(共25张PPT)

(共25张PPT)
第一章 直角三角形的边角关系
1.5 三角函数的应用
随堂演练
课堂小结
获取新知
情景导入
例题讲解
情景导入
《泰坦尼克号》
泰坦尼克号叙述了一段浪漫凄美的爱情故事。泰坦尼克号的沉没让人感到遗憾，如果舵手能够分清方向、准确的计算距离，避开冰山，也许“泰坦尼克号”的结局是完美的.
那你知道如何结合方位角等数据进行计算，帮助轮船在航行中远离危险吗？
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类型一 方位角问题
方位角的定义：
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方位角.
30°
45°
B
O
A
东
西
北
南
北偏东30°
南偏西45°
东
西
北
O
(1)正东，正南，正西，正北
(2)西北方向:_________
西南方向:__________
东南方向:__________
东北方向:__________
射线OA
A
B
C
D
OB
OC
45°
射线OE
射线OF
射线OG
射线OH
E
G
F
H
45°
45°
45°
OD
南
例题讲解
例1 如图，海中有一小岛A，该岛四周10 n mile内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20 n mile后到达该岛的南偏西25°的C处.之后，货轮继续往东航行.你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？
问题1：货轮要向正东方向继续行驶，有没有触礁的危险，由什么来决定？
北
东
B
C
D
A
分析：是否有触礁的危险是由船与小岛的最短距离与危险区域的半径值比较决定，即
货轮继续向东航行到A的最短距离如果大于10 n mile，则无触礁的危险；
如果小于或者等于10 n mile，则有触礁的危险.
问题2：如何求AD的长？
解：过A作BC的垂线，交BC的延长线于点D，
得到Rt△ABD和Rt △ACD，
从而BD=ADtan 55°，CD=ADtan 25°，
所以BC=BD-CD= ADtan 55° - ADtan 25° =20，
即AD（tan 55°-tan 25°）=20，
因为20.79 n mile>10 n mile，所以货轮没有触礁的危险.
北
东
B
C
D
A
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
归纳总结
类型二 俯角、仰角问题
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在进行测量时，
从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；
从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
铅直线
水平线
视线
视线
仰角
俯角
例题讲解
例2 如图，小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50 m至B处.测得仰角为60°，那么该塔有多高？（小明的身高忽略不计，结果精确到1 m）
解：在Rt△ADC中， ，
即
在Rt△BDC中， ，即
∵AB=AC-BC=50，
∴
解得CD≈43（m），即塔CD的高度约为43 m.
问题引申：
如果考虑小明的身高呢？
如果设小明测量时，眼睛离地面的距离为1.6 m，
其他数据不变，此时塔的高度为多少？你能画出
示意图吗？
解：由前面的解答过程可知CC′≈43 m，
则CD≈43+1.6=44.6（m）.
即考虑小明的身高，塔的高度约为44.6 m.
B
D
A
C
B′
A′
C′
30°
60°
例3 如图，飞机A在目标B正上方1000m处，飞行员测得地面目标C的俯角为30°，则地面目标B，C之间的距离是________．
解析：由题意可知，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝∠CAD＝30°，AB＝1000m，
仰角、俯角问题的常见基本模型：
模型二
模型四
A
D
B
E
C
模型一
模型三
归纳总结
随堂演练
1. 如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树
的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA
的高度为(　　)
A.　　　　　　　
B．30sin α米
C．30tan α米
D．30cos α米
C
2. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯
塔2海里的A处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正
东位置，则海轮航行的距离AB是(　　)
A．2海里
B．2sin 55°海里
C．2cos 55°海里
D．2tan 55°海里
C
3.如图，从地面上的C，D两点测得树顶A仰角分别是45°和30°，已知CD=200米，点C在BD上，则树高AB等于 （根号保留）．
4. 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，则从C岛看A，B两岛的视角∠ACB等于 ．
90°
5.如图，已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD与地面成45°，∠A＝60°，CD＝4 m，BC＝(4 －2 ) m，则电线杆AB的长为________．
6. 如图, 一艘海轮位于灯塔P的 北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处.这时，B处距离灯塔 P有多远（结果取整数)？
65°
34°
P
B
C
A
PC=PA·cos（90°－65°）
=80×cos25°
≈80×0.91
=72.505.
在Rt△BPC中，∠B=34°，
因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130n mile．
解：如图 ，在Rt△APC中，
65°
34°
P
B
C
A
7. 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m，这栋楼有多高（结果取整数）？
仰角
水平线
俯角
解：如图，a = 30°,β= 60°， AD＝120．
答：这栋楼高约为277.1m.
仰角
水平线
俯角
8. 例某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的40°减至35°,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少 楼梯多占多长一段地面 (结果精确到0.01m).
解: 如图∠ACD=40°,∠ABD=35°, AC=4m.
∴AD=4sin40°
∴AB= ≈4.48(m)
∴AB－AC=0.48(m)
即调整后的楼梯会加长0.48m.
Rt△ACD中,
Rt△ABD中,
A
D
C
B
课堂小结