安徽省合肥市第三十八中学2021-2022学年九年级上学期12月月考数学试题（WORD版，含答案解析）

合肥瑶海三十八中2021-2022学年九上段考（12月）数学试卷
一、选择题
1. 若3m=4n(mn≠0)，则下列比例式成立的是（ ）
A B. C. D.
2. 如图，以下四个条件中不能判定ABC∽ACD的是（ ）
A. ∠B=∠ACD B. ∠ACB=∠ADC C. AB CD=AC BC D. AC2=AD AB
3. 在RtABC中，∠C=90°，sinA=，则tanA=（ ）
A. B. C. D.
4. 在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2-2x-1先向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得抛物线的表达式为（ ）
A. y=(x+1)2-3 B. y=(x+1)2-1 C. y=(x-3)2-1 D. y=(x-3)2-3
5. 如图，在ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE平分∠ACB交BD于点E，若AD=，则BE=（ ）
A. 4 B. C. D.
6. 已知锐角α满足tan（α+10°）=1， 则锐用α的度数为（ ）
A. 20° B. 35° C. 45° D. 50°
7. 如图，已ABC和ADE均是等边三角形，点D在边BC上，DE与AC相交于点F，若AB=6，AD=5，CD=4，则EF=（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE=10m，且tan∠CEF=，那么矩形ABCD的面积为（ ）cm；
A. 280 B. 300 C. 320 D. 360
9. 如图，在RtABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，AE是BC边上的中线，过点B作BD⊥AE于点H，交AC于点D，则AD的长为（ ）
A. 2 B. C. D.
10. 已知关于x的抛物线y=x-ax-4的对称轴为直线x=2，则下列各点在这条抛物线上的是（ ）
A. (3，4) B. (-2，-8) C. (4，4) D. (，)
二、填空题
11. 已知∠A为锐角，若cosA=sin65°，则∠A的度数为____________．
12. 如图，在边长为1正方形网格中，A、B、C、D、E各点均为格点，则图中能用字母表示_________．
13. 在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-3x+1的对称轴交x轴于点A，点B是位于x轴上方的对称轴上一点，BC∥x轴交对称轴右侧的抛物线于点C．若四边形OACB是平行四边形，则点C的坐标为___________．
14. 如图，ABC是边长为6的等边三角形，CE平分外角∠ACF，点D在AC上，连接BD并延长交CE于点E，若CD=AD，则__________；BE=____________．
三、解答题
15. 计算：
16. 如图，一次函数y= kx+b与反比例函数y=的图象交于A(-2，1)、B(1，a)两点．
（1）分别求出反比例函数与一次函数的关系式；
（2）观察图象，直接写出当反比例函数值大于一次函数值时x取值范围；
17. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，．
（1）将向左平移4个单位长度，得到，请画出．
（2）以点为位似中心，请在第三象限内画出，使它与位似，且相似比为．并写出点，的坐标______．
18. 如图，在中，于点，若．，，求的值．
19. 如图，在ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠DAE=∠F．
(1) 求证：△ABE∽△ECF；
(2) 若AB=5，AD=8，BE=2，求FC的长．
20. 如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B、C、E在同一水平直线上），已知AB=100m，DE=20m，求障碍物B、C两点间的距离（结果精确到0.1m）．(参考数据：≈1.414，≈1.732)
21. 如图，在ABC中，AB=AC，∠A为锐角且不等于60°，AD平分∠BAC交BC于点D，BE⊥AC于点E，AD交BE于点F．
（1）写出图中所有与ACD相似的三角形（全等除外）；
（2）连接DE，求证：ABF∽△EDF．
22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且，点是第三象限内抛物线上的一动点．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）若，求点的坐标；
（3）连接，求面积的最大值及此时点的坐标．
23. 在△ABC中，P为边AB上一点．
（1）如图1，若∠ACP＝∠B，求证：AC2＝AP·AB；
（2）若M为CP中点，AC＝2，
① 如图2，若∠PBM＝∠ACP，AB＝3，求BP的长；
② 如图3，若∠ABC＝45°，∠A＝∠BMP＝60°，直接写出BP的长．
合肥瑶海三十八中2021-2022学年九上段考（12月）数学试卷
一、选择题
1. 若3m=4n(mn≠0)，则下列比例式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据两内向之积等于两外项之积对各选项进行变形计算，即可得解．
【详解】A、得，，故本选项错误；
B、由得，，故本选项正确；
C、由得，，故本选项错误；
D、由得，，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】题目主要考查比例的性质，理解比例变形是解题关键．
2. 如图，以下四个条件中不能判定ABC∽ACD的是（ ）
A. ∠B=∠ACD B. ∠ACB=∠ADC C. AB CD=AC BC D. AC2=AD AB
【答案】C
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定条件判断即可；
【详解】当∠B=∠ACD，时，，故A不符合题意；
当∠ACB=∠ADC，时，，故B不符合题意；
当AB CD=AC BC时，，此时不能证明，故C符合题意；
当AC2=AD AB时，，再根据，即可得到，故D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，准确分析判断是解题的关键．
3. 在RtABC中，∠C=90°，sinA=，则tanA=（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】依题意，作出图形，设，则，利用勾股定理求得，根据正切的定义求得即可．
【详解】解：如图，在中，，
，
设，则，
由勾股定理可得，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了锐角三角形函数的定义、勾股定理解直角三角形，理解三角函数的定义是解题关键．
4. 在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2-2x-1先向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得抛物线的表达式为（ ）
A. y=(x+1)2-3 B. y=(x+1)2-1 C. y=(x-3)2-1 D. y=(x-3)2-3
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意先将抛物线解析式的一般式化为顶点式，然后根据图象平移的规律“上加下减，左加右减”即可得．
【详解】解：抛物线可化简为，
先向下平移1个单位长度可得：，
再向左平移2个单位长度可得：，
所得的抛物线的解析式为：，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数解析式的平移变换的方法及一般式化为顶点式，理解函数图象平移变换的方法是解题关键．
5. 如图，在ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE平分∠ACB交BD于点E，若AD=，则BE=（ ）
A. 4 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质及角平分线的性质可得：，，利用等角对等边得：，，再由相似三角形的判定及性质可得且，利用图中边的等量关系可得关于BE的一元二次方程，求解即可得．
【详解】解：∵，，
∴，
∵BD平分，CE平分，
∴，，
∴，，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
可得：，
解得：或（舍去），
∴，
故选：C．
【点睛】题目主要考查等腰三角形、角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的解法，理解题意，根据相似三角形的对应边成比例得出方程是解题关键．
6. 已知锐角α满足tan（α+10°）=1， 则锐用α的度数为（ ）
A. 20° B. 35° C. 45° D. 50°
【答案】B
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可；
详解】∵tan（α+10°）=1，且，
∴，
∴；
故选B．
【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，准确计算是解题的关键．
7. 如图，已ABC和ADE均是等边三角形，点D在边BC上，DE与AC相交于点F，若AB=6，AD=5，CD=4，则EF=（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据等边三角形的性质得到DE= AD=5，∠CDE=∠BAD，证明△ABD∽△DCF，得到，求出DF，即可得到答案．
【详解】解：∵ABC和ADE均是等边三角形，
∴∠B=∠C=∠ADE=60°，DE= AD=5，
∵∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，
∴∠CDE=∠BAD，
∴△ABD∽△DCF，
∴，
∴，
∴，
∴EF=DE-DF=，
故选：A．
【点睛】此题考查等边三角形的性质，相似三角形的判定及性质，熟记相似三角形的判定定理并应用解决问题是解题的关键．
8. 如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE=10m，且tan∠CEF=，那么矩形ABCD的面积为（ ）cm；
A. 280 B. 300 C. 320 D. 360
【答案】C
【解析】
【分析】设，则，根据勾股定理得到，再根据已知条件证明，得到，得到，，在根据勾股定理求出k计算即可；
【详解】解：在Rt△EFC中，tan∠CEF==，
∴设，则，根据勾股定理得到，
由折叠的性质知，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
在中，由勾股定理可得：，
∴，
∴，，
∴矩形ABCD的面积为；
故选C．
【点睛】本题主要考查了翻折变换，矩形的性质和解直角三角形，准确分析计算是解题的关键．
9. 如图，在RtABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，AE是BC边上的中线，过点B作BD⊥AE于点H，交AC于点D，则AD的长为（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过点作于点，先根据等腰直角三角形的性质可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得，设，从而可得，然后根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得的长，最后根据线段的和差即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，
是的中线，，
，
在中，，
，
是等腰直角三角形，
，
设，则，
，
，
，
在和中，，
，
，即，
解得，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．
10. 已知关于x的抛物线y=x-ax-4的对称轴为直线x=2，则下列各点在这条抛物线上的是（ ）
A. (3，4) B. (-2，-8) C. (4，4) D. (，)
【答案】D
【解析】
【分析】先根据抛物线的对称轴求出的值，从而可得抛物线的解析式，再将各点坐标代入解析式进行检验即可得．
【详解】解：关于的抛物线的对称轴为直线，
，解得，
则抛物线的解析式为，
当时，，则点不在这条抛物线上，
当时，，则点不在这条抛物线上，
当时，，则点不在这条抛物线上，
当时，，则点在这条抛物线上，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，根据对称轴求出二次函数的解析式是解题关键．
二、填空题
11. 已知∠A为锐角，若cosA=sin65°，则∠A的度数为____________．
【答案】25°
【解析】
【分析】根据一个角的正弦值等于它的余角的余弦值即可求解．
【详解】解：∵cosA=sin65°，
即cosA=sin(90° A)= sin65°.
∴90° ∠A=65°
∴∠A=25°
故答案为：25°.
【点睛】本题主要考查互为余角的正余弦的关系：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．掌握互为余角的正余弦的关系是解决问题的关键.解：
12. 如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C、D、E各点均为格点，则图中能用字母表示_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据网格寻找相等的角度以及成比例的线段，即可得出结果．
【详解】解：根据题意可得：，，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键．
13. 在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-3x+1的对称轴交x轴于点A，点B是位于x轴上方的对称轴上一点，BC∥x轴交对称轴右侧的抛物线于点C．若四边形OACB是平行四边形，则点C的坐标为___________．
【答案】（3，1）
【解析】
【分析】根据题目中的函数解析式可以求得抛物线的对称轴，从而可以求得点A的坐标和点B的横坐标，以及OA的长，然后根据平行四边形的性质可以求得点C的横坐标，然后代入抛物线解析式即可求得点C的坐标，本题得以解决．
【详解】解：∵抛物线y=x2-3x+1=（x-）2-，
∴该抛物线的对称轴为直线x=，
∵抛物线y=x2-3x+1的对称轴交x轴于点A，点B是位于x轴上方的对称轴上一点，BC∥x轴交对称轴右侧的抛物线于点C，四边形OACB是平行四边形，
∴点A的坐标为（，0），点B的横坐标为，
OA=，OA=BC=，
∴点C的横坐标为：+=3，
∵点C在抛物线上，
∴点C的纵坐标为：y=32-3×3+1=1，
即点C的坐标为（3，1），
故答案为：（3，1）．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
14. 如图，ABC是边长为6的等边三角形，CE平分外角∠ACF，点D在AC上，连接BD并延长交CE于点E，若CD=AD，则__________；BE=____________．
【答案】 ①. ##0.5 ②.
【解析】
【分析】先根据等边三角形的性质可得，再根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得，然后过点作于点，利用直角三角形的性质分别求出的长，最后在中，利用勾股定理即可得的长．
【详解】解：是边长为6的等边三角形，
，
平分外角，
，
和中，，
，
，即，
解得，
，
如图，过点作于点，
在中，，
，
，
在中，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确找出两个相似三角形是解题关键．
三、解答题
15. 计算：
【答案】0
【解析】
详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了负整数次幂、绝对值以及特殊角的三角函数等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．
16. 如图，一次函数y= kx+b与反比例函数y=的图象交于A(-2，1)、B(1，a)两点．
（1）分别求出反比例函数与一次函数的关系式；
（2）观察图象，直接写出当反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围；
【答案】（1），；（2）或．
【解析】
【分析】（1）先根据点的坐标，利用待定系数法求出反比例函数的解析式，从而可得点的坐标，再利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；
（2）结合点的横坐标，根据函数的图象即可得．
【详解】解：（1）将点代入得：，
则反比例函数的解析式为，
将点代入得：，即，
将点代入得：，解得，
则一次函数的解析式为；
（2）当反比例函数值大于一次函数值时，的取值范围是或．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法是解题关键．
17. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，．
（1）将向左平移4个单位长度，得到，请画出．
（2）以点为位似中心，请在第三象限内画出，使它与位似，且相似比为．并写出点，的坐标______．
【答案】（1）如图所示，见解析；（2）画图见解析；，．
【解析】
【分析】（1）根据点的坐标平移规律，确定对应点的坐标，描点连线即可；
（2）位似比是横坐标，纵坐标扩大的倍数，根据点的位置确定坐标即可．
【详解】解：（1）∵，，，将向左平移4个单位长度，
∴，，，
即，，，
如图所示：
（2）∵，，相似比为，
∴变换后的坐标长度为，，
∵，在第三象限，
∴点，的坐标分别为，，如图所示．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了坐标系点坐标的平移规律和位似作图，熟练掌握平移规律和位似的性质是解题的关键．
18. 如图，在中，于点，若．，，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】在中，利用正切定义解得CD的长，结合已知条件，可得BD的长，再由勾股定理解题即可．
【详解】解：，
．
．
在中
，
【点睛】本题考查解直角三角形，其中涉及锐角三角函数、勾股定理等知识，是常见考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
19. 如图，在ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠DAE=∠F．
(1) 求证：△ABE∽△ECF；
(2) 若AB=5，AD=8，BE=2，求FC的长．
【答案】(1)详见解析；(2)
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质可知AB∥CD，AD∥BC．所以∠B＝∠ECF，∠DAE＝∠AEB，又因为又∠DAE＝∠F，进而可证明：△ABE∽△ECF；
（2）由（1）可知：△ABE∽△ECF，所以，由平行四边形的性质可知BC＝AD＝8，所以EC＝BC BE＝8 2＝6，代入计算即可．
【详解】（1）证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC．
∴∠B＝∠ECF，∠DAE＝∠AEB．
又∵∠DAE＝∠F，
∴∠AEB＝∠F．
∴△ABE∽△ECF；
（2）∵△ABE∽△ECF，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝8．
∴EC＝BC BE＝8 2＝6．
∴．
∴FC＝.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，关键是由平行四边形的性质得出AB∥CD，AD∥BC．
20. 如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B、C、E在同一水平直线上），已知AB=100m，DE=20m，求障碍物B、C两点间的距离（结果精确到0.1m）．(参考数据：≈1.414，≈1.732)
【答案】障碍物、两点间的距离约为．
【解析】
【分析】过点作于点，先根据矩形的判定与性质可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得，然后在中，解直角三角形可得，最后根据即可得出答案．
【详解】解：如图，过点作于点，
则四边形是矩形，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，，
，
，
，
中，，
，
答：障碍物、两点间的距离约为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用等知识点，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．
21. 如图，在ABC中，AB=AC，∠A为锐角且不等于60°，AD平分∠BAC交BC于点D，BE⊥AC于点E，AD交BE于点F．
（1）写出图中所有与ACD相似的三角形（全等除外）；
（2）连接DE，求证：ABF∽△EDF．
【答案】（1）△AFE、△BCE、△BFD；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）由等腰三角形的性质得出AD⊥BC，由两角相等证得与ACD相似的三角形有△AFE、△BCE、△BFD；
（2）由两角相等证得△AFE∽△BFD，得出即，有由夹角相等，即可证得结论．
【详解】解（1）与△ACD相似的三角形有：△AFE、△BCE、△BFD证明如下：
∵AD平分∠BAC，AB=AC，
∴AD⊥BC，
由∵BE⊥AC，
∴∠ADC＝∠ADB＝∠AEC＝∠AEB＝90°，
又∵∠EAF＝∠DAC，
∴△AFE∽△ACD；
又∵∠C＝∠C，
∴△BCE∽△ACD，
∴∠DBE＝∠DAC，
又∵∠BDF＝∠ADC＝90°，
∴△BFD∽△ACD；
（2）∵△BFD∽△ACD，
∴∠CAD＝∠CBE，
又∵∠AFE＝∠BFD，
∴△AFE∽△BFD，
∴，
∴，
∵∠AFB＝∠EFD，
∴ABF∽△EDF．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形判定的条件是解答本题的关键．
22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且，点是第三象限内抛物线上的一动点．
（1）求此抛物线表达式；
（2）若，求点的坐标；
（3）连接，求面积的最大值及此时点的坐标．
【答案】（1）；（2）（，）；（3）面积的最大值是8；点的坐标为（，）．
【解析】
【分析】（1）由二次函数的性质，求出点C的坐标，然后得到点A、点B的坐标，再求出解析式即可；
（2）由，则点P的纵坐标为，代入解析式，即可求出点P的坐标；
（3）先求出直线AC的解析式，过点P作PD∥y轴，交AC于点D，则，设点P为（，），则点D为（，），求出PD的长度，利用二次函数的性质，即可得到面积的最大值，再求出点P的坐标即可．
【详解】解：（1）在抛物线中，
令，则，
∴点C的坐标为（0，），
∴OC=2，
∵，
∴，，
∴点A为（，0），点B为（，0），
则把点A、B代入解析式，得
，解得：，
∴；
（2）由题意，∵，点C为（0，），
∴点P的纵坐标为，
令，则，
解得：，，
∴点P的坐标为（，）；
（3）设直线AC的解析式为，则
把点A、C代入，得
，解得：，
∴直线AC的解析式为；
过点P作PD∥y轴，交AC于点D，如图：
设点P 为（，），则点D为（，），
∴，
∵OA=4，
∴，
∴，
∴当时，取最大值8；
∴，
∴点P的坐标为（，）．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，二次函数的性质，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数和一次函数的性质进行解题，注意利用数形结合的思想进行解题．
23. 在△ABC中，P为边AB上一点．
（1）如图1，若∠ACP＝∠B，求证：AC2＝AP·AB；
（2）若M为CP的中点，AC＝2，
① 如图2，若∠PBM＝∠ACP，AB＝3，求BP的长；
② 如图3，若∠ABC＝45°，∠A＝∠BMP＝60°，直接写出BP的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）①BP＝；②BP＝．
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据已知条件易证△ACP∽△ABC，由相似三角形的性质即可证得结论；（2）①如图，作CQ∥BM交AB延长线于Q，设BP＝x，则PQ＝2x，易证△APC∽△ACQ，所以AC2＝AP·AQ，由此列方程，解方程即可求得BP的长；②如图：作CQ⊥AB于点Q，作CP0＝CP交AB于点P0，再证△AP0C∽△MPB，（2）的方法求得AP0的长，即可得BP的长．
试题解析：（1）证明：∵∠ACP＝∠B，∠BAC＝∠CAP，
∴△ACP∽△ABC，
∴AC：AB＝AP：AC，
∴AC2＝AP·AB；
（2）①如图，作CQ∥BM交AB延长线于Q，设BP＝x，则PQ＝2x
∵∠PBM＝∠ACP，∠PAC＝∠CAQ，
∴△APC∽△ACQ，
由AC2＝AP·AQ得：22＝（3－x）（3＋x），∴x＝
即BP＝；
②如图：作CQ⊥AB于点Q，作CP0＝CP交AB于点P0，
∵AC＝2，∴AQ＝1，CQ＝BQ＝ ，
设AP0=x，P0Q＝PQ＝1－x，BP＝－1＋x，
∵∠BPM＝∠CP0A，∠BMP＝∠CAP0，
∴△AP0C∽△MPB，∴，
∴MP P0C＝AP0 BP＝x（－1＋x），
解得x＝
∴BP＝－1＋＝．
考点：三角形综合题.