2021-2022学年高二上学期数学 人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.1 等比数列的通项公式 课件(共24张PPT)

(共24张PPT)
第四章 数列
4.3.1 等比数列的概念
研究数学对象的基本路径
观察事例
抽象出定义
图象与性质
应用
共性归纳
新课导入：
正所谓
研究对象在变，
研究套路不变，
思想方法不变.
新课导入：
引例：
1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥板上记录了下面的数列：
①
②
③
探究一 、 等比数列的定义
2.《庄子 ﹡天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”
意思：“一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完” 。
如果将“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是：
探究一、等比数列的定义
3. 在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是
2，
4，
8，
16，
… ⑤
32，
64,
探究一、等比数列的定义
细菌个数
第一次
第二次
第三次
2
4
第 n 次
……
分裂次数
8
2n
4.某人存入银行 ɑ元钱，存期为5年，年利率是r，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是
⑥
探究一、等比数列的定义
观察：
请同学们仔细观察以下六个数列，类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以下数列的取值规律？你发现了什么规律？
①
②
③
④
⑤
⑥
探究一 等比数列的定义
取值规律 从第 2 项起，
每一项与它的前一项的比都等于 9．
如果用 表示数列①，那么有
探究一 等比数列的定义
类比等差数列的概念，你能抽象出等比数列的概念吗？
思考：
从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数.
共同特点：
如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的____都等于___一个常数，那么这个数列就叫做__________
常数叫做等 数列的_____
等比数列
二
比
同
等比数列.
公比
等差数列
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.
常数叫做等差数列的公差.
公差通常用字母d表示
公比通常用字母q表示(q≠0)
比
定义
符号语言
探究一 等比数列的定义
(1)
(3) 5，5，5，5，5，5，…
(6)
(2)
观察并判断下列数列是否是等比数列，是的话，指出公比，不是的
话请说明理由:
(4) 0，1，2，4，8，…
(5) 2，0，2，0，2，…
是,公比是 2
是,公比是 -2
是,公比是 1
不一定,分类讨论
不是,分母不能为 0
不是,公比不能是 0
【总结提升】
思考1：等差数列的项、公差均可以是0吗？等比数列呢？
思考2：常数列是等差数列吗？是等比数列吗？
思考3：是否存在既是等差数列又是等比数列的数列？
常数列一定是等差数列，公差为0；
非零常数列是等比数列，公比为1.
非零常数列既是等差数列又是等比数列，公差为0，公比为1.
等差数列的项、公差均可以是0，但等比数列的项和公比均不可以是0
等差中项
等比中项
如果三个数a，A，b组成等差数列，那么A叫做a和b的等差中项.
如果三个数a，G，b组成等比数列，那么G叫做a和b的等比中项
定义
a，A，b成等差数列
a，G，b成等比数列
探究二 、等比中项的概念
关系
思考：任意两个实数a，b都有等比中项吗？
若a，b同号则有两个等比中项；若a，b异号则无等比中项.
探究三 、等比数列的通项公式
探究 你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？
三 等比数列的通项公式
等比数列的通项公式：
思考：已知等比数列的第m项 ,公比为q,求通项公式 .
等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示.
两式相除得
因此
探究：类似等差数列与一次函数的关系，等比数列可以与哪类函数建立关系？
指数型函数
思考1：类比指数函数的性质，判断公比 的等比数列的单调性？完成表格.
q>1
0a1>0
a1<0
q=1
三 等比数列的通项公式
从图像上看，
表示等比数列 中的各项的点
是指数型函数
图象上一群孤立的点.
思考2：公比q＞0且q≠1的等比数列的图象有什么特点？
三 等比数列的通项公式
解法1:
例1
四 例题巩固
解法2:
变式 若48和12分别是第4项和第8项，求第6项.
例1
四 例题巩固
等比中项还要关注项的关系，奇数项的符号相同，偶数项的符号相同.
解：
例2
四 例题巩固
在解决与等比数列有关的数的设法：对称设元法
1.如果是三个数成等比数列，可设为 ，a，aq
2.如果是四个数成等比数列，可设为 ， ，aq，aq3
【归纳总结】等比数列有关的数的设元技巧：
等差数列
等比数列
类比
抽象概念
代数运算
归纳法
累乘法
累加法
通项公式
函数角度
数
一次函数
指数函数
数
形
形
课堂小结
课堂小结
二、思想与方法层面
1、类比的思想
2、函数的思想
3、方程的思想
三、核心素养
数学抽象、直观想象、
逻辑推理、数学运算
课后作业
（一）课本31页2、5
（二）思考：在等比数列中，若m,n,r,s∈ N *，且m+n=r+s，那么，这些项与项之间满足什么等量关系？