2022年广东高中数学学业水平考试模拟卷三（Word含答案解析）

2022年广东高中数学学业水平考试模拟卷三
学校:___________姓名：___________班级：___________成绩：___________
选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，每小题6分，共90分。
1．已知集合A=，B=，则=（ ）
A．{1，3} B．{1，3，5} C．{1，3，5，7} D．
2．下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．设， ，， 则（ ）
A．cC．c4．为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向右平行移动个单位长度
B．向左平行移动个单位长度
C．向右平行移动个单位长度
D．向左平行移动个单位长度
5．设用二分法求方程在区间上近似解的过程中，计算得到，则方程的根落在区间（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在矩形ABCD中，，将矩形ABCD绕边AB所在直线旋转一周形成一个圆柱，则该圆柱的体积为（ ）
A．3π B．6π C．12π D．16π
7．如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD=2AB=4，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为（ ）
A．90° B．45° C．60° D．30°
8．下列事件：
①如果，那么．
②某人射击一次，命中靶心．
③任取一实数（且），函数是增函数，
④从盛有一红、二白共三个球的袋子中，摸出一球观察结果是黄球．
其中是随机事件的为
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
9．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．如图在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住，则＝（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
11．某学校有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤服务人员24名，今从中抽取一个容量为20的样本，采用（ ）较为合适.
A．简单随机抽样 B．系统抽样
C．分层抽样 D．其他抽样
12．下列说法中，正确的是（ ）
A．每一条直线都有倾斜角和斜率
B．若直线倾斜角为，则斜率为
C．若两直线的斜率，满足，则两直线互相垂直
D．直线与直线（）一定互相平行
13．已知某学校高二年级的一班和二班分别有人和人.某次学校考试中，两班学生的平均分分别为和，则这两个班学生的数学平均分为（ ）
A． B．
C． D．
14．据人口普查统计，育龄妇女生男生女是等可能的，如果允许生育二胎，则某一育龄妇女两胎均
是女孩的概率是
A． B． C． D．
15．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图所示的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是（ ）
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
二、填空题:把答案填在题中的横线上,每小题6分,共24分.
16．过点作圆的切线，则切线长为__________.
17．设数列的前项和为，若，，则_______.
18．设，，且，则的最小值为______.
19．如图所示，一学生在河岸紧靠河边笔直行走，在处时，经观察，在河对岸有一参照物与学生前进方向成角，学生前进后，测得该参照物与前进方向成角，则河的宽度为______.
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算过程,每小题12分,共36分.
20．某城市地铁项目正在紧张建设中，通车后将给市民出行带来便利.已知某条线路通车后，地铁的发车时间间隔（单位：分钟）满足.经测算，地铁载客量与发车时间间隔相关，当时地铁为满载状态，载客量为人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为分钟时的载客量为人，记地铁载客量为.
（1）求的表达式，并求当发车时间间隔为分钟时，地铁的载客量；
（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？每分钟的最大净收益为多少？
21．已知a，b，c分别为锐角三角形三个内角A，B，C的对边，且．
（1）求A；
（2）若，的面积为，求b，c．
22．如图，三棱柱ABC- A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧棱BB1⊥底面ABC，BB1=2，D，E分别为CC1， AA1的中点.
（1）求证∶ CE //平面BDA1；
（2）求四棱锥B-CAA1D的体积.
试卷第1页，共3页
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2022年广东高中数学学业水平考试模拟卷三
参考答案
1．A
【分析】
根据集合的交集定义得到答案.
【详解】
集合B中只有1，3满足集合A中的条件,
∴={1，3}，
故选：.
2．C
【分析】
根据对数的运算法则逐一判断可得选项.
【详解】
对于A：，故A不正确；
对于B：，故B不正确；
对于C：∵,∴，故C正确，
对于D：，故D不正确，
故选： C.
3．B
【分析】
根据指数函数与对数函数单调性，结合中间值比较即可.
【详解】
解：因为，，，
所以
故选：B
4．C
【分析】
根据三角图象变换的法则即可求出．
【详解】
因为，所以只要把函数图象上所有的点向右平行移动个单位长度，即可得到函数的图象．
故选：C
5．B
【分析】
利用零点存在性定理求解.
【详解】
函数在单调递增，又因为，
所以由零点存在性定理知，在区间上有零点，
即在区间上的根落在区间上.
故选：B.
6．C
【分析】
根据题意得到圆柱的底面半径和高，结合体积公式，即可求解.
【详解】
由题意，矩形中，，
即圆柱的底面圆的半径为，高为，
所以圆柱的体积为.
故选：C.
7．D
【分析】
设G为AD的中点，连接GF，GE，由三角形中位线定理可得，，则∠GFE即为EF与CD所成的角，结合AB=2，CD=4，EF⊥AB，在△GEF中，利用三角函数即可得到答案.
【详解】
解：设G为AD的中点，连接GF，GE
则GF，GE分别为△ABD，△ACD的中线.
∴ ，且，，且，则EF与CD所成角的度数等于EF与GE所成角的度数
又EF⊥ AB，
∴ EF⊥ GF
则△GEF为直角三角形，GF=1，GE=2，∠GFE=90°
∴ 在直角△GEF中，
∴ ∠GEF=30°.
故选：D.
8．D
【详解】
是必然事件；
中时，单调递增，时，为减函数，故是随机事件；
是随机事件；
是不可能事件
故答案选
9．C
【分析】
根据线面位置关系依次讨论各选项即可得答案.
【详解】
对于A选项，若，，则或异面，故A选项错误；
对于B选项，若，则或相交，故B选项错误；
对于C选项，由得，所以当时，，故C选项正确；
对于D选项，若且时，，故D选项错误；
故选：C
10．B
【分析】
以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算即可求解.
【详解】
以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，
则A(0，0)，B(4，1)，C(6，4)，
＝(4，1)，＝(2，3)，
＝4×2＋1×3＝11，
故选：B.
【点睛】
本题考查了向量数量积的坐标运算，考查了基本运算能力，属于基础题.
11．C
【分析】
利用分层抽样的概念求解.
【详解】
由题知，学校教职工有3种类别，所以选用分层抽样较为合适.
故选：C.
12．C
【分析】
根据直线的倾斜角与斜率的定义及关系，以及两直线的位置的判定方法，逐项判定，即可求解.
【详解】
对于A中，每条直线都有倾斜角，当倾斜角为，直线的斜率不存在，所以A错误；
对于B中，当直线倾斜角为，此时直线的斜率不存在，所以B错误；
对于C中，若两直线的斜率分别为，，当，则两直线互相垂直，所以C正确；
对于D中，当时，直线与直线为重合直线，所以D错误.
故选：C.
13．C
【分析】
利用平均数公式可求得结果.
【详解】
这两个班学生的数学总分为，故这两个班学生的数学平均分为.
故选：C.
14．C
【解析】
试题分析：所有基本事件有：，两胎均是女孩的基本事件只有，两胎均是女孩的概率，故选C.
考点：古典概型.
15．A
【分析】
观察折线图，结合选项逐一判断即可
【详解】
对于选项A，由图易知月接待游客量每年7，8月份明显高于12月份，故A错；
对于选项B，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B正确；
对于选项C，观察折线图，各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份，故C正确；
对于D选项，观察折线图，各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确.
故选：A
16．
【分析】
求出圆心与点的距离，再利用勾股定理即可得出答案.
【详解】
解：圆的圆心为，半径，
则圆心与点的距离，
所以切线长为.
故答案为：.
17．.
【解析】
试题分析：由题意得，，
∴是以为首项，为公比的等比数列，∴，故填：.
考点：数列的通项公式及其运算.
18．
【分析】
将等式变形为，由此得出，展开后利用基本不等式可得出的最小值.
【详解】
在等式两边同时除以得，
，，，
当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用基本不等式求最值，涉及的妙用，解题时将注意将定值条件化简变形，考查计算能力，属于中等题.
19．.
【分析】
先在中用正弦定理求出，然后河的宽度为
【详解】
由题意可得在中，,且
所以由正弦定理得：
则
所以河的宽度为：
故答案为：
【点睛】
本题考查的是运用正弦定理解三角形，较简单.
20．（1），人（2）当发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大，每分钟的最大净收益为元
【分析】
（1）由题意分别写出与时，的表达式，写成分段函数的形式，可得的表达式，可得的值；
（2）分别求出时，时，净收益为的表达式，并求出其最大值，进行比较可得净收益最大及收益最大时的时间.
【详解】
解：当时，
当时，设
解得，所以，
所以
(人)
当时，
当时
当时，
当且仅当时，即时， 取到最大值.
答:的表达式为
当发车时间间隔为分钟时，地铁的载客量为人.
当发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大，每分钟的最大净收益为元.
【点睛】
本题主要考查分段函数解析式的求解及函数模型的实际应用，及利用基本不等式求解函数的最值，综合性大，属于中档题.
21．（1）；（2）.
【分析】
（1）由正弦定理可得，消去，可得，可得答案；
（2）由（1）所求A及，可得的值，再由余弦定理，可得b，c的值.
【详解】
解：（1）因为，
由正弦定理得：，
因为，所以．
因为A为锐角，所以．
（2）由，得：．
又的面积为，即．
所以．则．解得．
【点睛】
本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，需注意公式的灵活运用.
22．（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）先证明CE //DA1，再利用线面平行的判定定理即可证明；
（2）利用线面垂直的判定定理的判定定理证明BF⊥平面CAA1D，然后求出直角梯形CAA1D的面积，利用锥体体积公式即可求解.
【详解】
（1）在三棱柱中，AA1 //CC1，AA1= CC1
因为D，E分别是CC1， AA1的中点，
所以CD//EA1，CD= EA1
所以四边形CEA1D是平行四边形.
所以CE //DA1
又因为CE平面BDA1，DA1 平面BDA1
所以CE//平面BDA1.
（2）设F为AC的中点，又△ABC为正三角形，
所以BF⊥AC.
在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1//BB1.
因为BB⊥平面ABC，所以AA1⊥平面ABC.
又BF平面ABC
所以AA1⊥BF.
又BF⊥AC，AA1∩AC=A
所以BF⊥平面CAA1D .
因此BF是四棱锥B-CAA1D的高，
因为正△ABC的边长为2，所以.
在三棱柱中，，
又D是CC1的中点，所以CD=1.
于是直角梯形CAA1D的面积
所以
所以四棱锥B-CAA1D的体试卷第1页，共3页
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