云南省丽江市古城区第一高级中学2021-2022学年高一12月月考数学试卷（Word版含答案解析）

丽江市古城区第一高级中学2021-2022学年高一12月月考
数学试卷
1. 在中，，，，则
A. 2 B. C. D. 1
1. 的值为
A. B. 0 C. D. 1
1. 在数列中，，，，则
A. 3 B. C. D.
1. 在中，已知D为AC上一点，若，则
A. B. C. D.
1. 《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，长儿的年龄为
A. 23 B. 32 C. 35 D. 38
1. 已知向量，，若与的夹角为，则
A. 2 B. C. D. 1
1. 已知，则的值为
A. B. C. D.
1. 已知数列的前n项和满足，记数列的前n项和为，则的值为
A. B. C. D.
1. 在中，若，则的形状为
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
1. 在中，，，，则外接圆的面积为
A. B. C. D.
1. 等差数列中，，且，为其前n项和，则
A. ， B. ，
C. ， D. ，
1. 如图所示，点A、B、C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点M，若，，，则的最小值为
A. B. C. D.
1. 已知：，，，若A，C，D三点共线，则______.
1. 已知，则______.
1. 一艘船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东，且与它相距海里，则此船的航速是______海里/小时．
1. 已知数列满足，，用表示不超过x的最大整数，则数列的前10项和为__________.
1. 已知向量，
若，求；
若，求与夹角的余弦值．
1. 已知为等差数列的前n项和，已知，
求数列的通项公式；
求，并求的最小值.
1. 已知向量，，
求函数的对称中心及单调减区间；
若，求的值域．
1. 已知的面积为S，且
求的值；
若，，求的面积
1. 在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且向量，，满足
求角C的大小；
若，，成等差数列，且，求边c的长．
1. 已知数列满足，
证明：为等差数列．
记数列的前n项和为，证明：
1.
答案
1.【答案】D
【解析】解：由余弦定理可得，
即，解得，
故选：
直接利用余弦定理代入求解即可．
本题考查解三角形，主要涉及余弦定理，考查学生计算能力，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：
故选：
直接利用两角和与差的三角函数，回家求解即可．
本题考查两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力．
3.【答案】C
【解析】解：根据题意，由，得，
所以；；
故选：
根据题意可得，所以利用，的值计算出，进一步计算出，即可．
本题考查数列的递推公式，考查学生的归纳推理和运算求解的能力，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：如图，，
故选：
作图，根据向量三角形法则进行表示即可
本题考查平面向量基本定理，涉及向量三角形法则的应用，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：设这位公公9个儿子的年龄从大到小成等差数列，设年龄最小的儿子年龄为，则公差为，
由题意，，求得，
故选：
设这位公公9个儿子的年龄从大到小成等差数列，设年龄最小的儿子年龄为，则公差为，再利用，求得的值，可得结论．
本题主要考查等差数列的前n项和公式的应用，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：根据题意，，，
则，，又由与的夹角为，
则，则，
故选：
根据题意，求出、的值，又由，计算可得答案．
本题考查向量数量积的计算，涉及向量的坐标计算，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：因为，
所以
故选：
由已知利用诱导公式，二倍角公式化简所求即可得解．
本题主要考查了诱导公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：，
当时，有，
又当时，也适合上式，
，，
…，
故选：
先利用求得，进而求得，再利用裂项相消法求得结果即可．
本题主要考查数列通项公式的求法及裂项相消法在数列求和中的应用，属于中档题．
9.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查三角形形状的判断，涉及两角和与差的三角函数公式，属基础题．
由两角和与差的三角函数公式结合三角形的知识可得或进而可作出判断．
【解答】
解：，
，
，
，
，
或
，，
或
为直角三角形或等腰三角形．
故选
10.【答案】C
【解析】解：由余弦定理可得，
，
由正弦定理可得，其中2R为三角形外接圆的直径，
，
则的外接圆的面积为 ，
故选：
先由余弦定理可得，进而求得，由正弦定理可得，为三角形外接圆的直径，可求外接圆的半径R，从而可求面积．
本题主要考查了正弦定理、余弦定理、同角平方关系的知识综合应用．要注意公式的熟练掌握及灵活应用，属于中档题．
11.【答案】B
【解析】解：等差数列中，，且，为其前n项和，
由等差数列的性质可得：，
，
故选：
由等差数列的性质可得：，
本题考查命题真假的判断，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12.【答案】A
【解析】解：由已知条件知，m，，设圆O的半径为1；
；
；
将带入并整理得；
；
时，；
且时，取最小值，取最大值；
此时，，即为最小值．
故选：A
设圆O的半径为1，对，两边平方可得，根据已知条件可知m，，所以将带入上式并求出的表达式，进而得到答案．
考查向量数量积的运算，以及二次函数的最值，余弦函数的单调性及最值．
13.【答案】4
【解析】解：，
，C，D三点共线，
，解得
故答案为：
利用向量坐标运算、向量共线定理即可得出．
本题考查了向量坐标运算、向量共线定理，考查了计算能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为，
所以，两边平方可得，
则
故答案为：
利用两角和的正弦公式化简已知等式可得，两边平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦公式即可求解的值．
本题主要考查了两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
15.【答案】32
【解析】解：在中，已知，，且边海里，
利用正弦定理可得：，
，
，
从A到S匀速航行时间为半个小时，
速度应为：海里/小时．
故答案为：
由题意及图形在中，已知，，又已知三角形ABS中边，先求出边AB的长，再利用物理知识解出．
本题以实际问题为载体，考查正弦定理的运用此，考查了学生的物理知识，属于基础题．
16.【答案】29
【解析】
【分析】
本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列中取整问题，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
直接利用数列的递推关系式和数列的取整问题的应用求出结果．
【解答】
解：数列满足，，设，
当时，，
，所以，
，所以，
，所以，
，所以，
，所以，
，所以，
，所以，
，所以，
，所以，
所以…
故答案为：

17.【答案】解：已知向量，
若，则，求得，，
若，设与夹角为，则，求得，即，
【解析】由题意利用两个向量平行的性质，求出t的值，再根据求向量的模方法，求得结果．
由题意利用两个向量垂直的性质，求出t的值，再根据两个向量的夹角公式，得出结论．
本题主要考查两个向量平行的性质，求向量的模，两个向量的夹角公式，属于基础题．
18.【答案】解：等差数列中，，，
所以，
解得，，
故，
由得，，
故当时，的最小值
【解析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公可求，d，然后结合等差数列的通项公式可求；
结合等差数列的求和公式可求，然后结合二次函数的性质可求．
本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式，还考查了等差数列和的最值的求解，属于基础题．
19.【答案】解：因为，，
所以


，
令，，则，，
即对称中心，，
令，，
则，，
则函数的单调递减区间为，；
由得，，
因为，所以，
当，即时，，
当，即时，，
综上，，的值域为
【解析】根据向量坐标运算性质得到，进而根据正弦函数性质可求其对称中心和单调减区间；
根据x的取值范围，结合表达式即可求得其值域
本题考查掌握数量积的坐标运算，两角和的正弦公式、二倍角公式，正弦、余弦定理，正弦函数的单调性，对称中心的其求法，利用向量的数量积及其化简三角函数是解题的关键，考查知识广泛，比较综合，属于中档题．
20.【答案】解：设的角A，B，C，所对应的边分别为a，b，c，
，
，，即，
，，
，，，
，
由正弦定理知：得，
三角形的面积
【解析】根据向量数量积的定义结合三角形的面积公式建立方程求出，结合正切的倍角公式进行计算即可
利用两角和差的正弦公式求出的值，结合正弦定理以及三角形的面积公式进行计算即可．
本题主要考查三角形面积的计算，以及正弦定理两角和差的正弦公式以及三角形面积的计算，考查学生的计算能力．
21.【答案】解：
对于，，，
又，
，即，又
；
由，，成等差数列，得
由正弦定理得，
，
，
得，即，
由余弦定理，
，即，
【解析】根据平面向量的数量积的运算法则及两角和的正弦函数公式化简，得到等于，化简后即可求出的值，根据C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
由，，成等差数列，根据等差数列的性质得到等于，根据正弦定理得到，再根据向量的减法法则化简已知的，利用平面向量的数量积的运算法则得到ab的值，利用余弦定理表示出c的平方，把求出的C的度数，及ab的值代入即可列出关于c的方程，求出方程的解即可得到c的值．
本题考查向量的运算、等差数列的性质、正余弦定理解三角形知识，考查利用所学知识分析问题、解决问题的能力．
22.【答案】证明：因为
所以，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，
故数列是首项为1，公差为1的等差数列．
由知，
所以，
因为，
所以……
【解析】将变形可得，从而可证得为等差数列；
由可求出数列的通项，进而可得，利用裂项求和法求出，从而证明不等式成立．
本题主要考查等差数列的证明，数列的求和，不等式的证明，考查逻辑推理能力，属于中档题．