直线的一般式方程
新课程标准解读 核心素养
1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的一般式 数学抽象
2.会进行直线方程的五种形式间的转化 数学运算
同学们，前面我们学习了直线方程的四种形式：点斜式、斜截式、两点式、截距式．
[问题] (1)你能发现这四种形式的直线有什么共同特征吗？
(2)探究它们的方程能否化简为统一的形式．
知识点 直线的一般式方程
1．定义：关于x，y的二元一次方程 Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)叫作直线的一般式方程．
2．系数的几何意义：当B≠0时，则－＝k(斜率)，－＝b(y轴上的截距)；
当B＝0，A≠0时，则－＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率．
1．平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？
提示：都可以．
2．每一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)都能表示一条直线吗？
提示：都能表示一条直线．
1．直线x－y＋1＝0的倾斜角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：选A 由直线的一般式方程，得它的斜率为，从而倾斜角为30°.
2．斜率为2，且经过点A(1，3)的直线的一般式方程为________．
解析：由直线点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，化成一般式为2x－y＋1＝0.
答案：2x－y＋1＝0
直线的一般式方程
[例1] 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．
(1)斜率是且经过点A(5，3)；
(2)经过A(－1，5)，B(2，－1)两点；
(3)在x，y轴上的截距分别是－3，－1.
[解] (1)由点斜式方程得y－3＝(x－5)，
整理得x－y＋3－5＝0.
(2)由两点式方程得＝，
整理得2x＋y－3＝0.
(3)由截距式方程得＋＝1，
整理得x＋3y＋3＝0.
求直线一般式方程的策略
(1)当A≠0时，方程可化为x＋y＋＝0，只需求，的值；若B≠0，则方程化为x＋y＋＝0，只需确定，的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程；
(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．
[跟踪训练]
1．已知直线l的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－4，则直线l的点斜式方程为________；截距式方程为________；斜截式方程为________；一般式方程为________．
解析：点斜式方程： y＋4＝(x－0)，截距式方程：＋＝1，斜截式方程： y＝x－4，一般式方程：x－y－4＝0.
答案：y＋4＝(x－0) ＋＝1 y＝x－4 x－y－4＝0
2．把直线l的一般式方程x－2y＋6＝0化为斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形．
解：把直线l的一般式方程化为斜截式y＝x＋3.
因此，直线l的斜率k＝，它在y轴上的截距是3.
在直线l的方程x－2y＋6＝0中，令y＝0，得x＝－6，
即直线l在x轴上的截距是－6.
由上面可得直线l与x轴、y轴的交点坐标分别为A(－6，0)，B(0，3)，
如图，过A，B两点作直线，就得直线l.
直线的一般式方程的应用
[例2] (链接教科书第17页例6)设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.
(1)已知直线l在x轴上的截距为－3，求m的值；
(2)已知直线l的斜率为1，求m的值．
[解] (1)由题意知m2－2m－3≠0，即m≠3且m≠－1，
令y＝0，则x＝，
∴＝－3，得m＝－或m＝3(舍去)．
∴m＝－.
(2)由题意知，2m2＋m－1≠0，即m≠且m≠－1.
由直线l化为斜截式方程得y＝x＋，
则＝1，
得m＝－2或m＝－1(舍去)．
∴m＝－2.
[母题探究]
(变设问)对于本例中的直线l，若直线l与y轴平行，求m的值．
解：∵直线l与y轴平行，
∴∴m＝.
已知含参的直线的一般式方程求参数的值(范围)的步骤
[跟踪训练]
直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求a的值；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
解：(1)①当a＝－1时，直线l的方程为y＋3＝0，显然不符合题意；
②当a≠－1时，令x＝0，则y＝a－2，
令y＝0，则x＝.
∵l在两坐标轴上的截距相等，
∴a－2＝，
解得a＝2或a＝0.
综上，a的值为2或0.
(2)直线l的方程可化为y＝－(a＋1)x＋a－2，故要使l不经过第二象限，只需解得a≤－1.
∴a的取值范围为(－∞，－1]．
1．直线＋＝1化成一般式方程为( )
A．y＝－x＋4 B．y＝－(x－3)
C．4x＋3y－12＝0 D．4x＋3y＝12
答案：C
2．在直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是( )
A．30° B．60°
C．150° D．120°
解析：选C 直线斜率k＝－，所以倾斜角为150°，故选C.
3．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为( )
A．A≠0 B．B≠0
C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0
解析：选D 方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A，B不能同时为0，即A2＋B2≠0.
4．已知直线mx－2y－3m＝0(m≠0)在x轴上的截距是它在y轴上截距的4倍，则m＝________．
解析：直线方程可化为＋＝1，
∴－×4＝3，解得m＝－.
答案：－
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1．2 直线的方程
