两条直线的交点
新课程标准解读 核心素养
能用解方程组的方法求两直线的交点坐标 数学抽象、数学运算
中段导弹防御系统是用来对敌方弹道导弹进行探测和跟踪，然后发射拦截导弹，在敌方弹道导弹尚未到达目标之前，在空中对其进行拦截并将其摧毁．假若导弹的飞行路线是一条直线，拦截导弹的飞行路线也是直线，则被拦截的一瞬间即为两直线相交的过程．
[问题] 把上述问题放在平面直角坐标系中，如何求解两直线的交点坐标？
知识点 两直线的交点坐标
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系如表所示：
方程组的解 一组 无数组 无解
直线l1，l2的公共点 一个 无数个 零个
直线l1，l2的位置关系 相交 重合 平行
1．仅用直线的斜率能判断两直线的位置关系吗？
提示：不能．
2．两个直线方程联立组成方程组，此方程组的解是这两条直线的交点坐标吗？
提示：是．
1．直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是( )
A．(4，1) B．(1，4)
C. D.
解析：选C 由方程组得即直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是.
2．直线l1：x＋y＋2＝0与直线l2：2x＋2y＋3＝0位置关系是________．
答案：平行
两条直线的交点问题
[例1] (链接教科书第27页例1)分别判断下列直线l1与l2是否相交．如果相交，求出交点的坐标．
(1)l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0；
(2)l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0；
(3)l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＋8y－10＝0.
[解] (1)解方程组得
所以，l1与l2相交，交点是M.
(2)解方程组
①×2－②得9＝0，矛盾，这个方程组无解，所以l1与l2无公共点，l1∥l2.
(3)解方程组
①×2得6x＋8y－10＝0.
①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合．
两条直线相交的判定方法
方法1 联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交
方法2 两直线的斜率都存在，且斜率不相等
方法3 两直线的斜率一个存在，另一个不存在
[跟踪训练]
判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标．
(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；
(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0.
解：(1)解方程组得所以直线l1与l2相交，交点坐标为(－1，－1)．
(2)解方程组
①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解．所以直线l1与l2无公共点，即l1∥l2.
求过两条直线交点的直线问题
[例2] (链接教科书第28页例3)求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．
[解] 法一：解方程组得交点坐标为(－1，2)．
又由直线l3的斜率为，得直线l的斜率为－，
则直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即5x＋3y－1＝0.
法二：由于直线l⊥l3，故直线l满足5x＋3y＋C＝0.又直线l过直线l1，l2的交点(－1，2)，
故5×(－1)＋3×2＋C＝0，解得C＝－1，故直线l的方程为5x＋3y－1＝0.
[母题探究]
(变条件)若本例中的条件“垂直于直线l3”换为“平行于直线l3”其他条件不变，试求直线l的方程．
解：解方程组得交点坐标为(－1，2)，
又由直线l3的斜率为得直线l的斜率为，
故直线l的方程为y－2＝(x＋1)，
即3x－5y＋13＝0.
过两条直线交点的直线方程的求法
(1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程；
(2)特殊解法(直线系法)：先设出过两直线交点的直线方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程．
[跟踪训练]
求过两直线l1：x－3y－1＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程．
解：解方程组得交点坐标为(－2，－1)，
又直线过原点(0，0)，所以直线的斜率为k＝＝，
故直线l的方程是y＝x即x－2y＝0.
直线恒过定点问题
[例3] 求证：不论λ为何实数，直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3都恒过一定点．
[证明] 法一(特殊值法)：取λ＝0，得到直线l1：2x＋y＋3＝0，
取λ＝1，得到直线l2：x＝－3，
故l1与l2的交点为P(－3，3)．
将点P(－3，3)代入方程左边，
得(λ＋2)×(－3)－(λ－1)×3＝－6λ－3，
∴点(－3，3)在直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3上．
∴直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3恒过定点(－3，3)．
法二(分离参数法)：由(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3，
整理，得(2x＋y＋3)＋λ(x－y＋6)＝0.
则直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3通过直线2x＋y＋3＝0与x－y＋6＝0的交点．
由方程组得
∴直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3恒过定点(－3，3)．
解决过定点问题常用的三种方法
(1)特殊值法：给方程中的参数取两个特殊值，可得关于x，y的两个方程，从中解出的x，y的值即为所求定点的坐标；
(2)点斜式法：将含参数的直线方程写成点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；
(3)分离参数法：将含参数的直线方程整理为过交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0的形式，则该方程表示的直线必过直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0的交点，而此交点就是定点．比较这三种方法可知，方法一计算较烦琐，方法二变形较困难，方法三最简便因而也最常用．
[跟踪训练]
求证：不论m取何值，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过一定点．
证明：当m＝1时，直线方程为y＝－4；
当m＝时，直线方程为x＝9.这两条直线的交点为(9，－4)．
又当x＝9，y＝－4时，9(m－1)＋(－4)(2m－1)＝m－5，即点(9，－4)在直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5上，
故无论m取何值，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过定点(9，－4)．
过两条直线交点的直线系方程
(1)设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，则过l1，l2的交点的直线系方程为m(A1x＋B1y＋C1)＋n(A2x＋B2y＋C2)＝0(其中m，n为参数，且m2＋n2≠0)．
当m＝1，n＝0时，此方程即直线l1的方程；
当m＝0，n＝1时，此方程即直线l2的方程．
上面的直线系方程可以改写为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(其中λ为参数)，(*)
需注意，此时直线系中不包括直线l2.
(2)点斜式y－y0＝k(x－x0)和斜截式y＝kx＋b都是交点直线系方程．
①将点斜式整理为y－y0－k(x－x0)＝0，对照交点直线系方程(*)，其中λ就是－k，y－y0＝0是直线l1，x－x0＝0是直线l2，故y－y0＝k(x－x0)是过点(x0，y0)除x＝x0外的所有直线；
②同①可说明直线系方程y＝kx＋b(b为已知，k为参数)是过点(0，b)除x＝0(即y轴)外的所有直线．
[迁移应用]
(2021·江苏扬州中学月考)求经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程．
解：设所求直线为l.∵直线l过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点，∴设直线l的方程为2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0，即(λ＋2)x＋(λ－3)y＋2λ－3＝0.∵直线l与直线3x＋y－1＝0平行，∴＝≠，解得λ＝.从而所求直线方程为15x＋5y＋16＝0.
1．直线x＝1和直线y＝2的交点坐标是( )
A．(2，2) B．(1，1)
C．(1，2) D．(2，1)
解析：选C 由得交点坐标为(1，2)，故选C.
2．直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点坐标为( )
A．(－4，－3) B．(4，3)
C．(－4，3) D．(3，4)
解析：选C 由方程组得故选C.
3．不论m为何实数，直线l：(m－1)x＋(2m－3)y＋m＝0恒过定点( )
A．(－3，－1) B．(－2，－1)
C．(－3，1) D．(－2，1)
解析：选C 直线l的方程可化为m(x＋2y＋1)－x－3y＝0，
令解得
∴直线l恒过定点(－3，1)．故选C.
4．斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交点的直线方程为________．
解析：设所求直线方程为3x－y＋4＋λ(x＋y－4)＝0，
即(3＋λ)x＋(λ－1)y＋4－4λ＝0，
∴k＝＝－2，解得λ＝5.
∴所求直线方程为2x＋y－4＝0.
答案：2x＋y－4＝0
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1．4 两条直线的交点
