重庆市西南大学附高2022届高三上学期第三次月考(12月)数学试卷(PDF版含答案)

文档属性

名称 重庆市西南大学附高2022届高三上学期第三次月考(12月)数学试卷(PDF版含答案)
格式 pdf
文件大小 588.4KB
资源类型 教案
版本资源 人教新课标A版
科目 数学
更新时间 2021-12-16 14:07:45

图片预览

文档简介

西南大学附属中学校高 2022届第三次月考
数 学 试 题
(满分:150 分;考试时间:120 分钟)
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上.
2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔填涂;答非选择题时,必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书写;
必须在题号对应的答题区域内作答,超出答题区域书写无效;保持答卷清洁、完整.
3.考试结束后,将答题卡交回(试题卷学生留存,以备评讲).
一、单项选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的.
1
1. 设集合M ={ x | 0 x 3}, N = x x 5 ,则M N =( )
2
1 1
A. x 0 x B. x x 3 C. x 3 x 5 D. x 0 x 5
2 2
2. 已知 z =1 2 i ,则 z ( z + 2i ) =( )
A.9 2 i B.1 2i C.9 + 2 i D.1+ 2 i
3. 已知直线 l : y = kx与圆C : (x 2)2 + y2 = 4交于 A ,B 两点,若 | AB | = 2 3 ,则 k =( )
3
A. B. C. 3 D. 2
3
a
4. 已知数列{a }满足: a =1, an+1 =
n (n N*)
n 1 .则 a6 =( ) an + 2
1 1 1 1
A. B. C. D.
31 32 63 64
5. 已知向量 a ,b 满足 a = (1, 3 ) ,| b | =1,| a + b | = 2 ,则 a 在b 方向上的投影为( )
1 1
A.1 B. C.– 1 D.
2 2
6. 已知 A、B、C 是半径为 2 的球面上的三个点,且 AC⊥BC,AC = 1,BC = 3,则三棱锥
O-ABC 的体积为( )
3 3 1
A.1 B. C. D.
2 6 2
第三次月考 数学 第 1 页(共 5 页)
5
7. 若函数 f (x) = (a 2cos x)sin x + x (其中 a 为参数)在 R 上单调递增,则 a 的取值范围
2
是( )
1 1 1 1 1 1A. 0, B.

, C. , ,+ D. ,0
2 2 2

2 2 2
8. 已知定义在 R 上的函数 f (x) 满足如下条件:①函数 f (x) 的图象关于 y 轴对称;②对于任
3
意 x R , f (x) = f (2 x) ;③当 x 0,1 时, f (x) = x ;④ g(x) = f (4x) .若过点
2
(–1,0)的直线 l 与函数 g (x)的图象在 x 0,2 上恰有 8 个交点,则直线 l 斜率 k 的取
值范围是( )
6 3 33A. 0, B. 0, C. ( 0,1 ) D.

0,
11 5 8
二、多项选择题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的四个选项中,有
多项符合题目要求.全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分.
9. 已知函数 f (x) = 2sin( x+ )( 0,| | )的部分图象如图所示,则( )
A. = 2
B. f (0) = 3

C.若 x1 + x2 = ,则 f (x1) = f (x2)
3

D.若 x1 + x2 = ,则 f (x1)+ f (x2) = 0
3
10. 下列说法正确的是( )
A.命题“ sin 0”是“角 是第一象限角”的必要不充分条件
B.设随机变量 N(2, 2
5
),若 P ( 3a 2) = P ( a +1) ,则 a =
4
2 1
C.正实数 a,b 满足 a +b =1,则 + 的最小值为 5
a b
D.若函数 f (x) = | 4x x2 | +m有 4 个零点,则 4 m 0
11. 正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 2,E,F,G 分别为 BC,CC1,BB1 的中点.则( )
A.直线 D1D 与直线 AF 垂直
B.直线 A1G 与平面 AEF 平行
9
C.平面 AEF 截正方体所得的截面面积为
2
2
D.点 C 到平面 AEF 的距离为
3
第三次月考 数学 第 2 页(共 5 页)
(ex 1)2 x
12. 已知函数 f (x) = + 4sin2 ,则下列说法正确的是( )
ex 2
A.函数 y = f (x) 是偶函数,且在 ( ,+ ) 上不单调
B.函数 y = f ' (x)是奇函数,且在 ( ,+ ) 上不单调递增

C.函数 y = f (x) 在 ( ,0)上单调递增
2
D.对任意m R ,都有 f (| m |) = f (m),且 f (m) 0
三、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
sin + 2cos
13. 若 tan = 2,则 = _____________.
2sin cos
14. 给 3 个人写 3 封内容不同的信,写好后将它们随意装入写好地址与收信人的 3 个信封,每
个信封装一封信,则全部装错.的概率为_____________.
x2 y2
15. 若双曲线 C: =1(a > 0,b > 0)的一个焦点 F 关于其一条渐近线的对称点 P 在双
a2 b2
曲线上,且直线 PF 与圆 x2 + y2 = 2相切,则双曲线离心率为_____________.
16. 拿破仑定理是法国著名的军事家拿破仑·波拿马最早提出的一个几何定理:“以任意三角
形的三条边为边,向外构造三个等边三角形,则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等
边三个角形的顶点”.在△ABC 中, A=120 ,以 AB、BC、AC 为边向外作三个等边三
角形,其外接圆圆心依次为O1、O2、O3,若△O1O2O3 的面积为 2 3 ,则△ABC 的周长的
取值范围为_____________.
四、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (10 分) 已知等差数列{a }的前 nn 项和为 Sn , 且 a3 = 7 , S11 =143.
(1) 求{an}的通项公式以及 Sn ;
1 1 1 25
(2) 求使不等式 + + + 成立的最小值 n.
S1 S2 Sn 42
第三次月考 数学 第 3 页(共 5 页)
18. (12 分) △ABC 中,内角 A ,B ,C 所对的边分别为 a,b ,c ,b = 5,(2b c)cos A = acosC .
(1) 求 A ;
(2) 已知点 D 为边 AB 上一点,CD⊥ BC ,AD = 1,求 BC 的长.
19. (12 分) 据了解,现在快节奏的工作、不健康的生活方式,使人们患上“三高(高血压、
高血脂、高血糖)”的几率不断升高,患病人群也日渐趋向年轻化.某科研机构为了研究
喝酒与糖尿病是否有关,现对该市 30 名男性成人进行了问卷调查,并得到了如下列联表,
规定“平均每天喝 100 ml 以上的”为常喝.已知在所有的 30 人中随机抽取 1 人,是糖尿
1
病的概率为 .
3
常喝 不常喝 合计
有糖尿病 2
无糖尿病 4
合 计 30
(1) 请将上述列联表补充完整;根据列联表判断是否有 99.5%的把握认为糖尿病与喝酒有
关?请说明理由.
(2) 研究发现,有 5 种药物对糖尿病有一定的抑制作用,其中有 2 种特别有效,现在要通
过逐一试验直到把这 2 种特别有效的药物找出来为止,每一次试验花费的费用是 200
元,设所需要的试验费用为 X,求 X 的分布列与数学期望 E(X ) .
参考数据:
P(K 2 k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
2 n(ad bc)
2
参考公式: K = (其中 n = a +b+ c + d ).
(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)
第三次月考 数学 第 4 页(共 5 页)
20. (12 分) 如图,四棱锥 P ABCD的底面是边长为 2 3 的菱
形, DAB = 60 ,PA= PB = PD = 2 5 ,E 为 AD 的中点.
(1) 证明:平面 PBC ⊥平面 PBE ;
(2) 已知点 F 为 PC 上的点,PC = 4PF,求二面角
A DF B 的余弦值.
x2 y2
21. (12 分) 已知椭圆C1 : + =1(a b 0)的左、右焦点分别为 F1、F2 , P 为椭圆上的
a2 b2
一点,△PF1F2 的周长为 6,过焦点的弦中最短的弦长为 3;椭圆C1 的右焦点为抛物线
C : y22 = 2px 的焦点.
(1) 求椭圆C1 与抛物线C2 的方程;
(2) 过椭圆C1 的右顶点Q 的直线 l 交抛物线C2 于 A、B 两点,点 O 为原点,射线 OA、OB
分别交椭圆于 C、D 两点,△OCD 的面积为 S1 ,以 A、C、D、B为顶点的四边形的
10
面积为 S2 ,问是否存在直线 l 使得 S2 = S1?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,
3
请说明理由.
1
22. 已知函数 f (x) = a ln x (a +1)x + x
2
(a > 0).
2
(1) 讨论函数 f (x) 的单调性;
f (x ) f (x )
(2) 若对于任意 a 5,8 , x1、x2 2,4 ,恒有 1 2 成立,试求 的
x1 x2 x1x2
取值范围.
第三次月考 数学 第 5 页(共 5 页)
第三次月考数学试题答案 19(1)解:
一、选择题 常喝 不常喝 合计
1~4:BCAC 5~6:DDBA
有糖尿病 8 2 10
9:AC 10:AB 11:BCD 12:AD
二、填空题 无糖尿病 4 16 20
13 4 1: ; 14: ; 15: 5 16: [2 6 3 2,4 6) 合 计 12 18 30
3 3
K 2 30(8 16 2 4)
2
三、解答题 10 7.879
17 (1) a 10 20 12 18解:在等差数列 n 中, 所以,有 99.5%的把握认为糖尿病与喝酒有关.
S 11(a∵ 1 a11) 11a 143 (2)解 X 的取值可能为 400,600,80011 2 6 2 A2A1 A3
1 P(X 400)
A2 1 P(X 600) 3 2 3 3
∴ a6 13,又∵ a3 7, ∴公差 d (a6 a3) 2,∴ a1 3, A25 10 A
3
5 103
A1A1 1 1n(a a ) 3 2A3A2 3
∴ a a (n 1)d 2n 1, ∴ S 1 n n(n 2) P(X 800) 5 (或者 P(X 800) 1 P(X 400)
1 3 3
P(X 600) 1 )
n 1 n 2 A5 5 10 10 5
2 1 1 1 1 1 1 1 1 分布列如下( )
S1 S2 Sn 1 Sn 1 3 2 4 (n 1) (n 1) n (n 2) X 400 600 800
1
(1 1 1 1 1 1 1 1 ) 1 3 3
2 3 2 4 n 1 n 1 n n 2 P 10 10 5
1 1 1 1
(1 ) 25
2 2 n 1 n 2 42 E(X ) 400 1 3 3 600 800 700 (元)
10 10 5
即13n2 45n 100 0 ,解得 n 5 20或者n ,
13 20(1)证明:
∵ n为正整数, ∴ n 5, ∴ n的最小值为 5. ∵四边形 ABCD为菱形,且 DAB 60
∴ BAD、 BCD为等边三角形,
18(1)解 (2b c)cos A acosC ∴ AB AD BD
由正弦定理得: (2sin B sinC)cos A sin AcosC ∵ E为 AD的中点,∴ BE AD ,
2sin Bcos A sin AcosC cos AsinC ∵ PA PD , ∴ PE AD ,
2sin Bcos A sin(A C) sin B ∵ AE BE E , ∴ AD 平面PBE,
∵ BC / /AD , ∴ BC 平面PBE ,
∵ A, B,C的三角形的内角,∴ sin B 0
1 ∵ BC 平面PBC ,∴平面PBC 平面PBE .
∴ cos A ,即 A .
2 3 (2)解:∵ AB BC CD AD 2 3
(2)由余弦定理得: 由(1)可得 BE AB 2 AE 2 3
CD2 AD2 b2 2AD b cosA 52 1 12 2 1 5 21 PA PB PD 2 5 ,可得O为 BAD外心,,∴
2 CD 21 因 BAD为等边三角形,O也为 BAD重心,
2 2 2
cos CDA AD CD AC 21 ,∴ cos CDB 21 ∴OB 2OE =2 PO PB
2 OB2 4,OC 4
2 AD AC 14 14 以O为原点建立空间直角坐标系,如图所示,
CD
∵CD BC , ∴ cos CDB ,∴ BD 14 则 A( 3, 1,0), B(0,2,0), D( 3, 1,0) ,
BD
P(0,0,4)
2 2 , C( 2 3,2,0)∴ AC BD CD 5 7
∵ PC 4PF, ∴ F ( 3 , 1 ,3)
2 2

∴ DA ( 2 3,0,0) DB ( 3,3,0) DF 3 ( , 3 ,3)
2 2
设平面 ADF 的法向量为m ( x,y,z )
得m 1,
m DA 0
2 3x 0


所以存在直线 l,方程为 x y 2 0或者 x y 2 0 .
m DF 0
3 x 3 y 3z 0
2 2
令, y 2,则 x 0,z 1,即m (0,2,-1),

设平面 ADF 的法向量为 n (a,b,c)
22.(1)解:函数 f (x)的定义域为 (0, ),

n DB 0 3a 3b 0 f (x) a (a 1) x x
2 (a 1)x a (x a)(x 1)

n DF 0 3 a 3 b 3c 0 x x x
2 2 ∴当 0 a 1时, f (x)在 (0,a), (1, ) 上单调递增,在 (a,1)上单调递减;
令, b 1,则 a 3,c 0,即 n ( 3,1,0), 当 a 1时, f (x)在 (0, )上单调递增;
m n 2 5 当 a 1时, f (x)在 (0,1), (a, ) 上单调递增,在 (1,a)上单调递减.cos m ,n
m n 2 5 5 f (x1) f (x(2)解:由 2
)

x1 x2 x1x2
5
所以二面角 A DF B的余弦值为
5 得 f (x1) f (x )

x 2 x x 1
x2 ,即 f (x1) f (x2 ) ,且 0,
21.(1)由题意得 1 2 x2 x1
2a 2c 6 由(1)可知,当 a 1时,在 (1,a)上单调递减.
a 2
2b2 不妨设 x1 x2 ,
3 ,解得, b 3a ∵ a 5,8 x、x 2,4 , 1 2 ,即1 x1 x2 a ,
a2 b2 c2 c 1 ∴ f (x1) f (x2 ),
x2 y2 x2 x1
所以椭圆的方程为 1, 抛物线的方程为 y2 4x .
4 3 ∴ f (x1) f (x )
f (x 2 ,即 1) f (x2 ) ,
(2)解,由题意得 x1 x2 x1 x2
直线 l的斜率存在且不为 0,设直线 l的方程为 x my 2,设 A(x1, y1)、B(x2 , y2 ) 、 令 g(x) f (x)

,则只需要证明 g(x)在 [2,4]上单调递增,
C(x3 , y3 )、D(x4 , y )
x
4
即,对 x [2,4] g (x) 0
x my 2
,都有 ,

由 2 ,得 y
2 4my 8 0, y1 y2 4m, y y 8
2 3 2
y 4x 1 2 , g (x) f (x)

= x (a 1)x a = x (a 1)x ax 2 0,x x x2 x2
1
S OA OB sin AOB OA OB y y y y 即对 x [2,4], a 5,810 13 , x
3 (a 1)x2 ax 0
∵ S2 S
AOB 2
1,∴
1 2 1 2 2 3 2
3 S 11 OC OD sin COD OC OD y y y y 3
即 a( x x) x x 0,
3 4 3 4
2 ∵ x [2,4],∴ x2 x 0,
2 y1 4 4 只需,8( x2 x) x3 x2 0∵ y 4x , ∴直线OA的斜率为 ,即直线OA的方程为 y x1 1 x1 y1 y

1 h(x) 8( x2 x) x3 x2 x3 9x2 8x
2 2
y
4
x h (x) 3x 18x 8 3(x 3) 19
y1 y2 3 64由 , 得 , 对 x [2,4], h (x) 02 3 ,2
x y2 3y1 64
1
∴ h(x)在[2,4]上单调递减,
4 3 ∴ h(x)min h(4) 48 0
2 3 64
同理可得 y ∴ 48 .4 3y2 64,2
2
y2 y2 3 64 3 64 3 643 4 3y2 64 3y2 64 48m21 2 121
S AOB y1y2 121 48m
2 132

S y y 21 3 4 9 3
同课章节目录