北师大版九年级数学下册3-9弧长及扇形面积解答题专题提升训练（word版含答案）
文档属性
| 名称 | 北师大版九年级数学下册3-9弧长及扇形面积解答题专题提升训练（word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 464.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-17 18:21:17 | ||
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文档简介
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3-9弧长及扇形面积》
解答题专题提升训练（附答案）
1．已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC＝6cm，AC＝8cm，∠ABD＝45°．
（1）求BD的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
2．已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC＝6cm，AC＝8cm，∠ABD＝45°．
（1）求AB的长；
（2）求BD的长；
（3）求图中阴影部分的面积．
3．如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，BE＝OF．
（1）求证：OF∥BC．
（2）求证：△AFO≌△CEB．
（3）若EB＝5cm，设OE＝x，求x值及阴影部分的面积．
4．如图，已知AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E，∠D＝65°．
（1）求∠CAD的度数；
（2）若AB＝4，求的长．
5．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连结AC交⊙O于点F．
（1）AB与AC的大小有什么关系？请说明理由；
（2）若AB＝8，∠BAC＝45°，求：图中的长．
6．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，线段BC上点D为线段AB的垂直平分线与BC的交点，以AC为直径的⊙O交BC于点E．
（1）求证：AD切⊙O于点A；
（2）若BD＝2，求图中阴影部分的面积．
7．如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，点E是的中点，过点E作AB的垂线，交AB于点M，交⊙O于点N，分别连接EB，CN．
（1）EM与BE的数量关系是 ；
（2）求证：＝；
（3）若AM＝，MB＝1，求阴影部分图形的面积．
8．如图：已知AB为圆O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC，OC，BC．
（1）求证：∠ACO＝∠BCD；
（2）若EB＝5cm，CD＝10cm，求圆O的直径；
（3）在（2）的条件下，求劣弧BC的长．
9．如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作⊙O，点E在BC边上，连接AE交⊙O于点F，连接BF并延长交CD于点G，OA＝3．
（1）求证：△ABE≌△BCG；
（2）若∠AEB＝55°，求劣弧的长．（结果保留π）
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以直角边BC为直径的⊙O交斜边AB于点D．点E为边AC的中点，连接DE并延长交BC的延长线于点F．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若∠B＝30°，AC＝4，求阴影部分的面积．
11．已知：如图，在半圆O中，直径AB的长为6，点C是半圆上一点，过圆心O作AB的垂线交线段AC的延长线于点D，交弦BC于点E．
（1）求证：∠D＝∠ABC；
（2）记OE＝x，OD＝y，求y关于x的函数表达式；
（3）若OE＝CE，求图中阴影部分的面积．
12．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，点B经过的路线为弧BD求图中阴影部分的面积．
13．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E为BC的中点，连接OD、DE．
（1）求证：OD⊥DE；
（2）若∠BAC＝30°，AB＝12，求阴影部分的面积．
14．如图，半圆O的直径AB＝20，将半圆O绕点B顺时针旋转45°得到半圆O′，与AB交于点P．
（1）求AP的长；
（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
15．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至D，使得DC＝CB，延长DA与⊙O交于点E，连接AC，CE．
（1）求证：∠D＝∠E；
（2）若AB＝4，的长度为π，求阴影部分的面积．
16．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，∠A＝30°，BC＝2，点D是AB的中点，连接DO并延长交⊙O于点P，过点P作PF⊥AC于点F．
（1）求劣弧PC的长；（结果保留π）
（2）求阴影部分的面积．（结果保留π）．
17．如图，四边形ABCD是一个正方形，E，D，A，F四点在一直线上，且ED＝DA＝AF＝2厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？（π取3.14）
18．如图，正方形ABCD的边长为4cm，点E在BC上，四边形EBGF也是正方形，边长为1cm，以B为圆心，BA长为半径画，连接AF，CF，求图中阴影部分面积．
19．如图，点P是正方形ABCD内一点，连接PA，PB，PC．将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置．
（1）设AB＝m，PB＝n（m＞n），求△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域（图中阴影部分）的面积；
（2）若PA＝2，PB＝4，∠APB＝135°，求PC的长．
20．如图①，AE是⊙O的直径，点C是⊙O上的点，连接AC并延长AC至点D，使CD＝CA，连接ED交⊙O于点B．
（1）求证：点C是劣弧的中点；
（2）如图②，连接EC，若AE＝2AC＝6，求阴影部分的面积．
参考答案
1．解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵BC＝6cm，AC＝8cm，
∴AB＝＝＝10（cm）；
∵∠ABD＝45°，OD＝OB，
∴∠ODB＝∠ABD＝45°，
∴∠DOB＝180°﹣∠ODB﹣∠ABD＝90°，
∵AB＝10cm，
∴OB＝OA＝5cm，
∴OD＝5cm，
∴BD＝＝＝5（cm）；
（2）阴影部分的面积S＝S扇形AOD＝＝π（cm2）．
2．解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵BC＝6cm，AC＝8cm，
∴AB＝＝＝10（cm）；
（2）连接OD，
∵∠ABD＝45°，OD＝OB，
∴∠ODB＝∠ABD＝45°，
∴∠DOB＝180°﹣∠ODB﹣∠ABD＝90°，
∵AB＝10cm，
∴OB＝OA＝5cm，
∴OD＝5cm，
∴BD＝＝＝5（cm）；
（3）过O作OE⊥BD于E，
∵OD＝OB＝5cm，BD＝5cm，S△DOB＝，
∴，
解得：OE＝，
∴阴影部分的面积S＝S扇形DOB﹣S△ODB＝﹣×＝（π﹣）cm2
3．（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴AC⊥BC，
又∵OF⊥AC，
∴OF∥BC；
（2）证明：∵AB⊥CD，
∴＝，
∴∠CAB＝∠BCD，
在△AFO和△CEB中，
∴△AFO≌△CEB（AAS）；
（3）解：连接DO．设OE＝x，
∵OF∥BC，OA＝OB，
∴OF＝BC，
∵OF＝BE＝5cm，
∴BC＝10cm，
∵△AFO≌△CEB，
∴OA＝BC＝10cm，
∴CE＝＝＝5cm，
∴CD＝2CE＝10cm，
∵OB＝x+5，
∴OE＝OB﹣5＝10﹣5＝5cm，
∵cos∠COE＝＝＝，
∴∠COE＝60°
∴∠COD＝120°，
∴扇形COD的面积是：＝cm2
△COD的面积是：CD OE＝＝25cm2
∴阴影部分的面积是：（﹣25）cm2．
4．解：（1）如图，连接OC，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝65°，
∴∠AOD＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
∵OD∥BC，OB＝OC，
∴∠AOD＝∠OBC＝∠OCB＝∠COD＝50°，
∴∠CAD＝∠COD＝25°；
（2）由AB＝4可得半径为2，∠BOC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
因此的长为＝．
5．解：（1）AB＝AC，理由如下：
如图，连接OD，
∵OA＝OB，BD＝CD，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∴∠ACB＝∠ODB，
又∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠OBD＝∠ACB，
∴AB＝AC；
（2）∵OD∥AC，∠BAC＝45°，
∴∠BOD＝∠BAC＝45°，
由AB＝8，可得半径为4，
所以的长为＝π．
6．（1）证明：在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，
∴∠BAC＝120°，
∵线段BC上点D为线段AB的垂直平分线与BC的交点，
∴AD＝BD，
∴∠DAB＝∠B＝30°，
∴∠DAC＝120°﹣30°＝90°，
∴CA⊥AD，
∵AC经过圆心O，
∴AD切⊙O于点A；
（2）解：连接OE，作OF⊥CE于F，则EF＝CF，
∵BD＝2，
∴AD＝BD＝2，
∵∠C＝30°，∠DAC＝90°，
∴CD＝2AD＝4，
∴BC＝3BD＝6，
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠C＝30°，
∴∠OEC＝∠B，∠EOC＝120°，
∴OE∥AB，
∵OA＝OC，
∴CE＝BE＝BC＝3，
∴EF＝CF＝，
∴OF＝tan30°×＝，OC＝＝，
∴S阴影＝S扇形COE﹣S△COE＝﹣＝π﹣．
7．解：（1）∵AC为⊙O的直径，点E是的中点，
∴∠ABE＝45°，
∵AB⊥EN，
∴△BME是等腰直角三角形，
∴BE＝EM，
故答案为BE＝EM；
（2）连接EO，
∵AC是⊙O的直径，E是的中点，
∴∠AOE＝90°，
∴∠ABE＝∠AOE＝45°，
∵EN⊥AB，垂足为点M，
∴∠EMB＝90°
∴∠ABE＝∠BEN＝45°，
∴＝，
∵点E是的中点，
∴＝，
∴＝，
∴﹣＝﹣，
∴＝；
（3）连接AE，OB，ON，
∵EN⊥AB，垂足为点M，
∴∠AME＝∠EMB＝90°，
∵BM＝1，由（2）得∠ABE＝∠BEN＝45°，
∴EM＝BM＝1，
又∵BE＝EM，
∴BE＝，
∵在Rt△AEM中，EM＝1，AM＝，
∴tan∠EAB＝＝，
∴∠EAB＝30°，
∵∠EAB＝∠EOB，
∴∠EOB＝60°，
又∵OE＝OB，
∴△EOB是等边三角形，
∴OE＝BE＝，
又∵＝，
∴BE＝CN，
∴△OEB≌△OCN（SSS），
∴CN＝BE＝
又∵S扇形OCN＝＝，S△OCN＝CN×CN＝×＝，
∴S阴影＝S扇形OCN﹣S△OCN＝﹣．
8．解：（1）∵CE＝ED，
∴∠BCD＝∠BAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠ACO＝∠BCD；
（2）设⊙O的半径为Rcm，则OE＝OB﹣EB＝（R﹣5）cm，
CE＝CD＝×10＝5cm，
在Rt△CEO中，由勾股定理可得：
OC2＝OE2+CE2，
即R2＝（R﹣5）2+（5）2，
解得R＝10．
∴圆O的直径2R＝20cm；
（3）在Rt△OEC中，OE＝10﹣5＝5＝OC，
∴∠OCE＝30°，
∴∠EOC＝60°，
∴劣弧BC的长是＝cm．
9．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCG＝90°，
∵AB是直径，
∴∠AFB＝90°，
∴∠BAE+∠ABF＝90°，∠ABF+∠CBG＝90°，
∴∠BAE＝∠CBG，
在△ABE和△BCG中，
，
∴△ABE≌△BCG（ASA）．
（2）解：连接OF，
∵∠ABE＝90°，∠AEB＝55°，
∴∠BAE＝90°﹣55°＝35°，
∴∠BOF＝2∠BAE＝70°，
∵OA＝3，
∴的长＝＝．
10．（1）证明：连接OD、CD，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
又∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°，
∴△ACD是直角三角形，
又∵点E是斜边AC的中点，
∴EC＝ED，
∴∠ECD＝∠EDC
又∵∠ECD+∠OCD＝∠ACB＝90度，
∴∠EDC+∠ODC＝∠ODE＝90°，
∴直线DE是⊙O的切线；
（2）解：由（1）已证：∠ODF＝90°，
∵∠B＝30°，
∴∠DOF＝60°，
∴∠F＝30°，
在Rt△ABC中，AC＝4，
∴BC＝＝＝4，
∴，
在Rt△ODF中，，
∴阴影部分的面积为：＝．
11．解：（1）∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°
∴∠A+∠ABC＝90°
∵DO⊥AB，
∴∠A+∠D＝90°
∴∠D＝∠ABC．
（2）∵OB＝OC，
∴∠B＝∠OCE，
∴∠OCE＝∠D．
而∠COE＝∠COD，
∴△OCE∽△ODC，
∴＝，即＝
∴y＝（0＜x＜3）．
（3）设∠B＝a，则∠BCO＝a，
∵OE＝CE，
∴∠EOC＝∠BCO＝a
在△BCO中，a+a+90°+a＝180°，
∴a＝30°
∴S＝﹣﹣×32＝﹣π．
12．解：∵在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，
∴根据旋转可知：∠DAB＝30°，△AED≌△ACB，
∴S△AED＝S△ACB
∴图中阴影部分的面积S＝S扇形DAB+S△AED﹣S△ACB＝S扇形DAB＝＝π．
13．（1）证明：连接DB．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠CDB＝90°，
∵点E是BC的中点，
∴DE＝CE＝BC，
∴∠EDC＝∠C，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO，
∵∠ABC＝90°，
∴∠A+∠C＝90°，
∴∠ADO+∠EDC＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴OD⊥DE；
（2）∵AB＝12，∠BAC＝30°，
∴AD＝6，
阴影部分的面积＝﹣×6×3
＝12π﹣9．
14．解：（1）∵∠OBA′＝45°，O′P＝O′B，
∴△O′PB是等腰直角三角形，
∴PB＝BO，
∴AP＝AB﹣BP＝20﹣10；
（2）阴影部分面积为：
S阴影＝S扇形O′A′P+S△O′PB＝×π×100+10×10×＝25π+50．
15．解：（1）∵AB是圆O直径，
∴AC⊥BD；
又∵DC＝BC，
∴AC⊥BD，且平分BD，
∴AD＝AB，
∴∠D＝∠B；
∵∠B＝∠E
∴∠D＝∠E．
（2）如图，连接OC，过点O作OF⊥BC于点F．
设∠AOC＝α度，由弧长公式得：
，
∴α＝60，即∠AOC＝60°；
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，而∠AOC＝∠OBC+∠OCB，
∴∠B＝30°，AC＝AB＝2；OF＝OB＝1；
∵cos30°＝，
∴BC＝2；
S阴影＝S扇形AOC+S△BOC
＝
＝．
16．解：（1）∵点D是AB的中点，PD经过圆心，
∴PD⊥AB，
∵∠A＝30°，
∴∠POC＝∠AOD＝60°，OA＝2OD，
∵PF⊥AC，
∴∠OPF＝30°，
∴OF＝OP，
∵OA＝OC，AD＝BD，
∴BC＝2OD，
∴OA＝BC＝2，
∴⊙O的半径为2，
∴劣弧PC的长＝＝＝π；
（2）∵OF＝OP，
∴OF＝1，
∴PF＝＝，
∴S阴影＝S扇形﹣S△OPF＝﹣×1×＝π﹣．
17．解：∵四边形ABCD是一个正方形，
∴AD＝CD＝BC＝AB，
∵ED＝DA＝AF＝2厘米，
∴△CDE与△ABF是等腰直角三角形，
∴阴影部分的面积＝S正方形ABCD+△ABF﹣S扇形
＝×2×2+×2×2﹣
＝4﹣
＝2.43（平方厘米）．
答：阴影部分的面积是2.43平方厘米．
18．解：正方形EBGF面机S＝1×1＝1（cm2），
扇形ABC面积：S＝＝4π，
三角形CEF面积：S＝×1×（4﹣1）＝（cm2），
三角形AGF面积：S＝×1×（4+1）＝（cm2），
S阴＝4π++1﹣＝4π（cm2）．
19．解：
（1）∵将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，
∴△PAB≌△P'CB，
∴S△PAB＝S△P'CB，S阴影＝S扇形BAC﹣S扇形BPP′＝（m2﹣n2）；
（2）连接PP′，根据旋转的性质可知：△APB≌△CP′B，
∴BP＝BP′＝4，P′C＝PA＝2，∠PBP′＝90°，
∴△PBP'是等腰直角三角形，P′P2＝PB2+P'B2＝32．
又∵∠BP′C＝∠BPA＝135°，
∴∠PP′C＝∠BP′C﹣∠BP′P＝135°﹣45°＝90°，
即△PP′C是直角三角形，
∴PC＝＝6．
20．解：（1）连接CE，
∵AE是⊙O的直径，
∴CE⊥AD，
∵AC＝CD，
∴AE＝ED，
∴∠AEC＝∠DEC，
∴＝；
∴点C是劣弧 的中点；
（2）连接BC，OB，OC，
∵AE＝2AC＝6，
∴∠AEC＝30°，AE＝AD，
∴∠AED＝60°，
∴△AED是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵＝，
∴＝＝，
∴AE∥BC，∠BOC＝60°，
∴S△OBC＝S△EBC，
∴S阴影＝S扇形＝＝π．
解答题专题提升训练（附答案）
1．已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC＝6cm，AC＝8cm，∠ABD＝45°．
（1）求BD的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
2．已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC＝6cm，AC＝8cm，∠ABD＝45°．
（1）求AB的长；
（2）求BD的长；
（3）求图中阴影部分的面积．
3．如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，BE＝OF．
（1）求证：OF∥BC．
（2）求证：△AFO≌△CEB．
（3）若EB＝5cm，设OE＝x，求x值及阴影部分的面积．
4．如图，已知AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E，∠D＝65°．
（1）求∠CAD的度数；
（2）若AB＝4，求的长．
5．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连结AC交⊙O于点F．
（1）AB与AC的大小有什么关系？请说明理由；
（2）若AB＝8，∠BAC＝45°，求：图中的长．
6．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，线段BC上点D为线段AB的垂直平分线与BC的交点，以AC为直径的⊙O交BC于点E．
（1）求证：AD切⊙O于点A；
（2）若BD＝2，求图中阴影部分的面积．
7．如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，点E是的中点，过点E作AB的垂线，交AB于点M，交⊙O于点N，分别连接EB，CN．
（1）EM与BE的数量关系是 ；
（2）求证：＝；
（3）若AM＝，MB＝1，求阴影部分图形的面积．
8．如图：已知AB为圆O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC，OC，BC．
（1）求证：∠ACO＝∠BCD；
（2）若EB＝5cm，CD＝10cm，求圆O的直径；
（3）在（2）的条件下，求劣弧BC的长．
9．如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作⊙O，点E在BC边上，连接AE交⊙O于点F，连接BF并延长交CD于点G，OA＝3．
（1）求证：△ABE≌△BCG；
（2）若∠AEB＝55°，求劣弧的长．（结果保留π）
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以直角边BC为直径的⊙O交斜边AB于点D．点E为边AC的中点，连接DE并延长交BC的延长线于点F．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若∠B＝30°，AC＝4，求阴影部分的面积．
11．已知：如图，在半圆O中，直径AB的长为6，点C是半圆上一点，过圆心O作AB的垂线交线段AC的延长线于点D，交弦BC于点E．
（1）求证：∠D＝∠ABC；
（2）记OE＝x，OD＝y，求y关于x的函数表达式；
（3）若OE＝CE，求图中阴影部分的面积．
12．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，点B经过的路线为弧BD求图中阴影部分的面积．
13．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E为BC的中点，连接OD、DE．
（1）求证：OD⊥DE；
（2）若∠BAC＝30°，AB＝12，求阴影部分的面积．
14．如图，半圆O的直径AB＝20，将半圆O绕点B顺时针旋转45°得到半圆O′，与AB交于点P．
（1）求AP的长；
（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
15．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至D，使得DC＝CB，延长DA与⊙O交于点E，连接AC，CE．
（1）求证：∠D＝∠E；
（2）若AB＝4，的长度为π，求阴影部分的面积．
16．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，∠A＝30°，BC＝2，点D是AB的中点，连接DO并延长交⊙O于点P，过点P作PF⊥AC于点F．
（1）求劣弧PC的长；（结果保留π）
（2）求阴影部分的面积．（结果保留π）．
17．如图，四边形ABCD是一个正方形，E，D，A，F四点在一直线上，且ED＝DA＝AF＝2厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？（π取3.14）
18．如图，正方形ABCD的边长为4cm，点E在BC上，四边形EBGF也是正方形，边长为1cm，以B为圆心，BA长为半径画，连接AF，CF，求图中阴影部分面积．
19．如图，点P是正方形ABCD内一点，连接PA，PB，PC．将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置．
（1）设AB＝m，PB＝n（m＞n），求△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域（图中阴影部分）的面积；
（2）若PA＝2，PB＝4，∠APB＝135°，求PC的长．
20．如图①，AE是⊙O的直径，点C是⊙O上的点，连接AC并延长AC至点D，使CD＝CA，连接ED交⊙O于点B．
（1）求证：点C是劣弧的中点；
（2）如图②，连接EC，若AE＝2AC＝6，求阴影部分的面积．
参考答案
1．解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵BC＝6cm，AC＝8cm，
∴AB＝＝＝10（cm）；
∵∠ABD＝45°，OD＝OB，
∴∠ODB＝∠ABD＝45°，
∴∠DOB＝180°﹣∠ODB﹣∠ABD＝90°，
∵AB＝10cm，
∴OB＝OA＝5cm，
∴OD＝5cm，
∴BD＝＝＝5（cm）；
（2）阴影部分的面积S＝S扇形AOD＝＝π（cm2）．
2．解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵BC＝6cm，AC＝8cm，
∴AB＝＝＝10（cm）；
（2）连接OD，
∵∠ABD＝45°，OD＝OB，
∴∠ODB＝∠ABD＝45°，
∴∠DOB＝180°﹣∠ODB﹣∠ABD＝90°，
∵AB＝10cm，
∴OB＝OA＝5cm，
∴OD＝5cm，
∴BD＝＝＝5（cm）；
（3）过O作OE⊥BD于E，
∵OD＝OB＝5cm，BD＝5cm，S△DOB＝，
∴，
解得：OE＝，
∴阴影部分的面积S＝S扇形DOB﹣S△ODB＝﹣×＝（π﹣）cm2
3．（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴AC⊥BC，
又∵OF⊥AC，
∴OF∥BC；
（2）证明：∵AB⊥CD，
∴＝，
∴∠CAB＝∠BCD，
在△AFO和△CEB中，
∴△AFO≌△CEB（AAS）；
（3）解：连接DO．设OE＝x，
∵OF∥BC，OA＝OB，
∴OF＝BC，
∵OF＝BE＝5cm，
∴BC＝10cm，
∵△AFO≌△CEB，
∴OA＝BC＝10cm，
∴CE＝＝＝5cm，
∴CD＝2CE＝10cm，
∵OB＝x+5，
∴OE＝OB﹣5＝10﹣5＝5cm，
∵cos∠COE＝＝＝，
∴∠COE＝60°
∴∠COD＝120°，
∴扇形COD的面积是：＝cm2
△COD的面积是：CD OE＝＝25cm2
∴阴影部分的面积是：（﹣25）cm2．
4．解：（1）如图，连接OC，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝65°，
∴∠AOD＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
∵OD∥BC，OB＝OC，
∴∠AOD＝∠OBC＝∠OCB＝∠COD＝50°，
∴∠CAD＝∠COD＝25°；
（2）由AB＝4可得半径为2，∠BOC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
因此的长为＝．
5．解：（1）AB＝AC，理由如下：
如图，连接OD，
∵OA＝OB，BD＝CD，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∴∠ACB＝∠ODB，
又∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠OBD＝∠ACB，
∴AB＝AC；
（2）∵OD∥AC，∠BAC＝45°，
∴∠BOD＝∠BAC＝45°，
由AB＝8，可得半径为4，
所以的长为＝π．
6．（1）证明：在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，
∴∠BAC＝120°，
∵线段BC上点D为线段AB的垂直平分线与BC的交点，
∴AD＝BD，
∴∠DAB＝∠B＝30°，
∴∠DAC＝120°﹣30°＝90°，
∴CA⊥AD，
∵AC经过圆心O，
∴AD切⊙O于点A；
（2）解：连接OE，作OF⊥CE于F，则EF＝CF，
∵BD＝2，
∴AD＝BD＝2，
∵∠C＝30°，∠DAC＝90°，
∴CD＝2AD＝4，
∴BC＝3BD＝6，
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠C＝30°，
∴∠OEC＝∠B，∠EOC＝120°，
∴OE∥AB，
∵OA＝OC，
∴CE＝BE＝BC＝3，
∴EF＝CF＝，
∴OF＝tan30°×＝，OC＝＝，
∴S阴影＝S扇形COE﹣S△COE＝﹣＝π﹣．
7．解：（1）∵AC为⊙O的直径，点E是的中点，
∴∠ABE＝45°，
∵AB⊥EN，
∴△BME是等腰直角三角形，
∴BE＝EM，
故答案为BE＝EM；
（2）连接EO，
∵AC是⊙O的直径，E是的中点，
∴∠AOE＝90°，
∴∠ABE＝∠AOE＝45°，
∵EN⊥AB，垂足为点M，
∴∠EMB＝90°
∴∠ABE＝∠BEN＝45°，
∴＝，
∵点E是的中点，
∴＝，
∴＝，
∴﹣＝﹣，
∴＝；
（3）连接AE，OB，ON，
∵EN⊥AB，垂足为点M，
∴∠AME＝∠EMB＝90°，
∵BM＝1，由（2）得∠ABE＝∠BEN＝45°，
∴EM＝BM＝1，
又∵BE＝EM，
∴BE＝，
∵在Rt△AEM中，EM＝1，AM＝，
∴tan∠EAB＝＝，
∴∠EAB＝30°，
∵∠EAB＝∠EOB，
∴∠EOB＝60°，
又∵OE＝OB，
∴△EOB是等边三角形，
∴OE＝BE＝，
又∵＝，
∴BE＝CN，
∴△OEB≌△OCN（SSS），
∴CN＝BE＝
又∵S扇形OCN＝＝，S△OCN＝CN×CN＝×＝，
∴S阴影＝S扇形OCN﹣S△OCN＝﹣．
8．解：（1）∵CE＝ED，
∴∠BCD＝∠BAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠ACO＝∠BCD；
（2）设⊙O的半径为Rcm，则OE＝OB﹣EB＝（R﹣5）cm，
CE＝CD＝×10＝5cm，
在Rt△CEO中，由勾股定理可得：
OC2＝OE2+CE2，
即R2＝（R﹣5）2+（5）2，
解得R＝10．
∴圆O的直径2R＝20cm；
（3）在Rt△OEC中，OE＝10﹣5＝5＝OC，
∴∠OCE＝30°，
∴∠EOC＝60°，
∴劣弧BC的长是＝cm．
9．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCG＝90°，
∵AB是直径，
∴∠AFB＝90°，
∴∠BAE+∠ABF＝90°，∠ABF+∠CBG＝90°，
∴∠BAE＝∠CBG，
在△ABE和△BCG中，
，
∴△ABE≌△BCG（ASA）．
（2）解：连接OF，
∵∠ABE＝90°，∠AEB＝55°，
∴∠BAE＝90°﹣55°＝35°，
∴∠BOF＝2∠BAE＝70°，
∵OA＝3，
∴的长＝＝．
10．（1）证明：连接OD、CD，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
又∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°，
∴△ACD是直角三角形，
又∵点E是斜边AC的中点，
∴EC＝ED，
∴∠ECD＝∠EDC
又∵∠ECD+∠OCD＝∠ACB＝90度，
∴∠EDC+∠ODC＝∠ODE＝90°，
∴直线DE是⊙O的切线；
（2）解：由（1）已证：∠ODF＝90°，
∵∠B＝30°，
∴∠DOF＝60°，
∴∠F＝30°，
在Rt△ABC中，AC＝4，
∴BC＝＝＝4，
∴，
在Rt△ODF中，，
∴阴影部分的面积为：＝．
11．解：（1）∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°
∴∠A+∠ABC＝90°
∵DO⊥AB，
∴∠A+∠D＝90°
∴∠D＝∠ABC．
（2）∵OB＝OC，
∴∠B＝∠OCE，
∴∠OCE＝∠D．
而∠COE＝∠COD，
∴△OCE∽△ODC，
∴＝，即＝
∴y＝（0＜x＜3）．
（3）设∠B＝a，则∠BCO＝a，
∵OE＝CE，
∴∠EOC＝∠BCO＝a
在△BCO中，a+a+90°+a＝180°，
∴a＝30°
∴S＝﹣﹣×32＝﹣π．
12．解：∵在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，
∴根据旋转可知：∠DAB＝30°，△AED≌△ACB，
∴S△AED＝S△ACB
∴图中阴影部分的面积S＝S扇形DAB+S△AED﹣S△ACB＝S扇形DAB＝＝π．
13．（1）证明：连接DB．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠CDB＝90°，
∵点E是BC的中点，
∴DE＝CE＝BC，
∴∠EDC＝∠C，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO，
∵∠ABC＝90°，
∴∠A+∠C＝90°，
∴∠ADO+∠EDC＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴OD⊥DE；
（2）∵AB＝12，∠BAC＝30°，
∴AD＝6，
阴影部分的面积＝﹣×6×3
＝12π﹣9．
14．解：（1）∵∠OBA′＝45°，O′P＝O′B，
∴△O′PB是等腰直角三角形，
∴PB＝BO，
∴AP＝AB﹣BP＝20﹣10；
（2）阴影部分面积为：
S阴影＝S扇形O′A′P+S△O′PB＝×π×100+10×10×＝25π+50．
15．解：（1）∵AB是圆O直径，
∴AC⊥BD；
又∵DC＝BC，
∴AC⊥BD，且平分BD，
∴AD＝AB，
∴∠D＝∠B；
∵∠B＝∠E
∴∠D＝∠E．
（2）如图，连接OC，过点O作OF⊥BC于点F．
设∠AOC＝α度，由弧长公式得：
，
∴α＝60，即∠AOC＝60°；
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，而∠AOC＝∠OBC+∠OCB，
∴∠B＝30°，AC＝AB＝2；OF＝OB＝1；
∵cos30°＝，
∴BC＝2；
S阴影＝S扇形AOC+S△BOC
＝
＝．
16．解：（1）∵点D是AB的中点，PD经过圆心，
∴PD⊥AB，
∵∠A＝30°，
∴∠POC＝∠AOD＝60°，OA＝2OD，
∵PF⊥AC，
∴∠OPF＝30°，
∴OF＝OP，
∵OA＝OC，AD＝BD，
∴BC＝2OD，
∴OA＝BC＝2，
∴⊙O的半径为2，
∴劣弧PC的长＝＝＝π；
（2）∵OF＝OP，
∴OF＝1，
∴PF＝＝，
∴S阴影＝S扇形﹣S△OPF＝﹣×1×＝π﹣．
17．解：∵四边形ABCD是一个正方形，
∴AD＝CD＝BC＝AB，
∵ED＝DA＝AF＝2厘米，
∴△CDE与△ABF是等腰直角三角形，
∴阴影部分的面积＝S正方形ABCD+△ABF﹣S扇形
＝×2×2+×2×2﹣
＝4﹣
＝2.43（平方厘米）．
答：阴影部分的面积是2.43平方厘米．
18．解：正方形EBGF面机S＝1×1＝1（cm2），
扇形ABC面积：S＝＝4π，
三角形CEF面积：S＝×1×（4﹣1）＝（cm2），
三角形AGF面积：S＝×1×（4+1）＝（cm2），
S阴＝4π++1﹣＝4π（cm2）．
19．解：
（1）∵将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，
∴△PAB≌△P'CB，
∴S△PAB＝S△P'CB，S阴影＝S扇形BAC﹣S扇形BPP′＝（m2﹣n2）；
（2）连接PP′，根据旋转的性质可知：△APB≌△CP′B，
∴BP＝BP′＝4，P′C＝PA＝2，∠PBP′＝90°，
∴△PBP'是等腰直角三角形，P′P2＝PB2+P'B2＝32．
又∵∠BP′C＝∠BPA＝135°，
∴∠PP′C＝∠BP′C﹣∠BP′P＝135°﹣45°＝90°，
即△PP′C是直角三角形，
∴PC＝＝6．
20．解：（1）连接CE，
∵AE是⊙O的直径，
∴CE⊥AD，
∵AC＝CD，
∴AE＝ED，
∴∠AEC＝∠DEC，
∴＝；
∴点C是劣弧 的中点；
（2）连接BC，OB，OC，
∵AE＝2AC＝6，
∴∠AEC＝30°，AE＝AD，
∴∠AED＝60°，
∴△AED是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵＝，
∴＝＝，
∴AE∥BC，∠BOC＝60°，
∴S△OBC＝S△EBC，
∴S阴影＝S扇形＝＝π．