2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.3垂径定理 解答题专题提升训练(word版含答案)
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.3垂径定理 解答题专题提升训练(word版含答案) |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 548.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-17 19:13:36 | ||
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文档简介
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3-3垂径定理》解答题专题提升训练（附答案）
1．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，如果CE＝1，AB＝10，求半径OC的长．
2．好山好水好绍兴，石拱桥在绍兴处处可见，小明要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面AB宽度16m时，拱顶高出水平面4m，货船宽12m，船舱顶部为矩形并高出水面3m．
（1）请你帮助小明求此圆弧形拱桥的半径；
（2）小明在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由．
3．如图，AB为圆O直径，F点在圆上，E点为AF中点，连接EO，作CO⊥EO交圆O于点C，作CD⊥AB于点D，已知直径为10，OE＝4，求OD的长度．
4．如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．
（1）求证：AC＝CG；
（2）若CD＝EG＝8，求⊙O的半径．
5．如图，锐角△ABC内接于 O，BE⊥AC于点D，交O于点E，DF⊥BC于点F，DE＝DF，连接AE．
（1）求证：AE＝BD．
（2）若CD＝1，AE＝2，求⊙O的半径及AB的长．
6．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，BC＝3．
（1）求AB的长；
（2）求⊙O的半径．
7．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，BC边上的高AH＝3，点P是边BC上的动点，以CP为半径的⊙C与边AD交于点E，F（点E在点F的左侧）．
（1）当⊙C经过点A时，求CP的长；
（2）连接AP，当AP∥CE时，求⊙C的半径及弦EF的长．
8．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD交AC于点E，AD＝CD．
（1）求证：OD∥BC；
（2）若AC＝10，DE＝4，求BC的长．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点D在AB的延长线上，且BD＝3，过点D作DE⊥AD，交AC的延长线于点E，以DE为直径的⊙O交AE于点F．
（1）求⊙O的半径及圆心O到弦EF的距离；
（2）设CD交⊙O于点G，试说明G是CD的中点．
10．如图，点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上，且OA＝5，AC＝3，CD平行于AB，与弧AB相交于点M、N．
（1）求线段OD的长；
（2）若tan∠C＝，求弦MN的长．
11．如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连接AC．
（1）求证：AC＝CG；
（2）若CD＝8，OG＝10，求⊙O的半径．
12．如图，已知BC是⊙O的直径，弦AD⊥BC于点H，与弦BF交于点E，AD＝8，BH＝2．
（1）求⊙O的半径；
（2）若∠EAB＝∠EBA，求证：BF＝2AH．
13．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣3，0），C（，0）．
（1）求⊙M的半径；
（2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH＝FH．
（3）在（2）的条件下求AF的长．
14．如图，点A、B、C在⊙O上，AB＝CB＝9，AD∥BC，CD⊥AD，且AD＝2．
（1）求线段CD、AC的长；
（2）求⊙O的半径．
15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，CD∥AB，且AB是⊙O的直径，AE⊥CD交CD的延长线于点E，若AE＝2，CD＝3．
（1）求⊙O的直径；
（2）若翻折使点B与E重合的直线l（折痕）交⊙O于P，Q两点，求△BPQ的面积．
16．如图，点A，D，B，C在⊙O上，AB⊥BC，DE⊥AB于点E．若BC＝3，AE＝DE＝1，求⊙O半径的长．
17．如图，A，B，C，D在⊙O上，AB∥CD，经过圆心O的线段EF⊥AB于点F，与CD交于点E．
（1）如图1，当⊙O半径为5，CD＝4，若EF＝BF，求弦AB的长；
（2）如图2，当⊙O半径为，CD＝2，若OB⊥OC，求弦AC的长．
18．如图，AB为⊙O直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为弧ABD中点，连接CD，CA．
（1）求证：∠ABD＝2∠BDC；
（2）过点C作CE⊥AB于H，交AD于E，求证：EA＝EC；
（3）在（2）的条件下，若OH＝5，AD＝24，求线段DE的长
19．已知：点A（﹣1﹣，0），B（0，1+），过A、B两点作直线l，以点C（0，）为圆心，为半径作圆C，直线l与圆C相交于M、N两点．
（1）求线段MN的长度．
（2）求∠MON的大小（O为坐标原点）．
20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，且PD∥CB，弦PB与CD交于点F
（1）求证：FC＝FB；
（2）若CD＝24，BE＝8，求⊙O的直径．
参考答案
1．解：连接OA，
∵CD是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴AE＝BE
∵AB＝10
∴AE＝5
设OA＝R
∴OE＝R﹣1
根据勾股定理：R2＝52+（R﹣1）2
解得R＝13，
∴半径OC的长为13．
2．解：（1）如图，连接OB．
∵OC⊥AB，
∴D为AB中点，
∵AB＝16m，
∴BD＝AB＝8m．
又∵CD＝4m，
设OB＝OC＝r，则OD＝（r﹣4）m．
在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+82，
解得r＝10．
答：此圆弧形拱桥的半径为10米．
（2）连接ON
∵CD＝4m，船舱顶部为长方形并高出水面3m，
∴CE＝4﹣3＝1（m），
∴OE＝r﹣CE＝10﹣1＝9（m），
在Rt△OEN中，EN2＝ON2﹣OE2＝102﹣92＝19，
∴EN＝（m）．
∴MN＝2EN＝2m＜12m．
∴此货船B不能顺利通过这座拱桥．
3．解：∵E点为AF中点，
∴OE⊥AF，
∵CO⊥EO，
∴OC∥AF，
∴∠OAE＝∠COD，
∵CD⊥AB，
∴∠AEO＝∠ODC，
在△AEO和△ODC中，
，
∴△AEO≌△ODC（AAS），
∴CD＝OE＝4，
∵OC＝5，
∴OD＝＝＝3．
4．（1）证明：∵DF⊥CG，CD⊥AB，
∴∠DEB＝∠BFG＝90°，
∵∠DBE＝∠GBF，
∴∠D＝∠G，
∵∠A＝∠D，
∴∠A＝∠G，
∴AC＝CG；
（2）解：连接OC，如图，
设⊙O的半径为r．
∵CA＝CG，CD⊥AB，
∴AE＝EG＝8，EC＝ED＝4，
∴OE＝AE﹣OA＝8﹣r，
在Rt△OEC中，∵OC2＝OE2+EC2，
∴r2＝（8﹣r）2+42，
解得r＝5，
∴⊙O的半径为5．
5．（1）证明：∵BE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠ADE＝∠BFD＝90°，
由圆周角定理得：∠EAD＝∠CBD，
在△EAD和△DBF中，
，
∴△EAD≌△DBF（AAS），
∴AE＝BD；
（2）解：过O作OH⊥AB于H，连接OA、OB，
∵AE＝2，AE＝BD，
∴BD＝2，
∵CD＝1，
∴由勾股定理得：BC＝＝3，
∵OH⊥AB，OA＝OB，
∴AH＝BH，∠BOH＝AOB，
∵∠ACB＝∠AOB，
∴∠ACB＝∠HOB，
即cos∠HOB＝cos∠ACB，
∴＝＝，
设OH＝x，则OB＝3x，
∵△EAD≌△DBF，
∴DE＝DF，
∵S△CDB＝＝，
∴1×＝3×DF，
解得：DF＝，
即DE＝DF＝，
由勾股定理得：AD＝＝＝，
∴AB＝＝＝，
∴AH＝BH＝，
在Rt△BHO中，由勾股定理得：OH2+BH2＝OB2，
x2+（）2＝（3x）2，
解得：x＝，
∴半径OB的长度是3×＝．
6．解：（1）连接AC，如图，
∵CD⊥AB，
∴AF＝BF，即CD垂直平分AB，
∴CA＝CB＝3，
∵AO⊥BC，
∴CE＝BE，即AE垂直平分BC，
∴AB＝AC＝3；
（2）∵AB＝AC＝BC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴AE⊥BC，
∴AE平分∠BAC，即∠OAF＝30°，
在Rt△OAF中，∵OF＝AF＝×＝，
∴OA＝2OF＝，
即⊙O的半径为．
7．解：（1）连接AC，如图1所示：∵AH⊥BC，
∴∠AHB＝∠AHC＝90°，
∴BH＝＝＝4，
∴CH＝BC﹣BH＝4，
∴CA＝＝5，
当⊙C经过点A时，CP＝CA＝5；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，当AP∥CE时，四边形APCE是平行四边形，
∵CP＝CE，
∴四边形APCE是菱形，
∴PA＝CP，
设PA＝CP＝x，则PH＝4﹣x，
在Rt△APH中，
由勾股定理得：AH2+PH2＝PA2，
即32+（4﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
即⊙C的半径为，
作CM⊥EF于M，如图2所示：则CM＝AH＝3，ME＝MF＝EF，
在Rt△CEM中，由勾股定理得：ME＝＝＝，
∴EF＝2ME＝．
8．（1）证明：∵AD＝DC，
∴＝，
∴OD⊥AC，
∴∠AEO＝90°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠AEO＝∠ACB，
∴OD∥BC．
（2）解：∵OD⊥AC，
∴AE＝EC＝5，
设OA＝OD＝r，
在Rt△AOE中，OA2＝AE2+OE2，
∴r2＝52+（r﹣4）2，
∴r＝，
∴OE＝r﹣DE＝﹣4＝，
∵AE＝EC，AO＝OB，
∴BC＝2OE＝．
9．解：（1）过点O作OH⊥EF于H，
由勾股定理得，AC＝＝4，
∵DE⊥AD，∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠ADE，
∵∠C＝∠C，
∴△ACB∽△ADE，
∴＝，即＝，
解得，DE＝6，
∴⊙O的半径为3，
AE＝＝10，
∵∠EHO＝∠EDA，∠OEH＝∠AED，
∴△EHO∽△EDA，
∴＝，即＝，
解得，OH＝，
∴点O到EF距离为；
（2）连接EG，
∵AE＝10，AC＝4，
∴EC＝6，
∴EC＝ED，
∵DE是⊙O的直径，
∴EG⊥CD，
∴G是CD的中点．
10．解：（1）∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠OAB，∠D＝∠OBA，
∴∠C＝∠D，
∴OD＝OC＝OA+AC＝5+3＝8；
（2）过O点作OE⊥MN于E，连接OM，如图，则ME＝NE，
在Rt△OCE中，tanC＝＝，
设OE＝3x，则CE＝4x，
∴OC＝5x，
即5x＝8，解得x＝，
∴OE＝，
在Rt△OME中，ME＝＝＝，
∴MN＝2ME＝．
11．（1）证明：∵DF⊥CG，CD⊥AB，
∴∠DEB＝∠BFG＝90°，
∵∠DBE＝∠GBF，
∴∠D＝∠G，
∵∠A＝∠D，
∴∠A＝∠G，
∴AC＝CG．
（2）解：设⊙O的半径为r．则AG＝OA+OG＝r+10，
∵CA＝CG，CD⊥AB，
∴AE＝EG＝，EC＝ED＝4，
∴OE＝AE﹣OA＝，
在Rt△OEC中，∵OC2＝OE2+EC2，
∴r2＝（）2+42，
解得r＝或（舍弃），
∴⊙O的半径为．
12．（1）解：连接OA交BF于G，如图，⊙O的半径为r，
∵AD⊥OB，
∴AH＝DH＝4，
在Rt△OHA中，OH＝r﹣2，OA＝r，
∴r2＝42+（r﹣2）2
，解得r＝5，
即⊙O的半径为5；
（2）方法一
证明：连接CF，如图，
∵AD⊥OB，
∴弧AB＝弧DB，
∵∠EAB＝∠EBA，
∴弧BD＝弧AF，
∴弧AB＝弧AF，
∴OA⊥BG，
∴BG＝FG，
∴∠OAH＝∠OBG，
在△OAH和△OBG中，
，
∴△OAH≌△OBG（AAS），
∴AH＝BG，
∴BF＝2AH．
方法二：∵AD⊥OB，
∴弧AB＝弧DB，AH＝DH，
∵∠EAB＝∠EBA，
∴弧BD＝弧AF，
∴弧AB＝弧AF，
∴弧AD＝弧BF，
∴BF＝AD＝2AH．
13．解：（1）如图（一），过M作MT⊥BC于T连BM，
∵BC是⊙M的一条弦，MT是垂直于BC的直径，
∴BT＝TC＝BC＝2，
∴BM＝＝4；
（2）如图（二），连接AE，则∠AEC＝∠ABC，
∵CE⊥AB，
∴∠HBC+∠BCH＝90°
在△COF中，
∵∠OFC+∠OCF＝90°，
∴∠HBC＝∠OFC＝∠AFH．
在△AEH和△AFH中，
∵，
∴△AEH≌△AFH（AAS），
∴EH＝FH．
（3）由（1）易知，∠BMT＝∠BAC＝60°，
作直径BG，连CG，则∠BGC＝∠BAC＝60°，
∵⊙O的半径为4，
∴CG＝4．
连AG，
∵∠BCG＝90°，
∴CG⊥x轴，
∴CG∥AF，
∵∠BAG＝90°，
∴AG⊥AB，
∵CE⊥AB，
∴AG∥CE，
∴四边形AFCG为口，
∴AF＝CG＝4．
14．解：（1）作AE⊥BC于E，如图1所示：
则AE＝DC，EC＝AD＝2，
∴BE＝BC﹣EC＝9﹣2＝7，
∴CD＝AE＝＝＝4，
∴AC＝＝＝6；
（2）作BF⊥AC于F，连接OA，如图2所示：
则AF＝CF＝AC＝3，
∴BF垂直平分AC，
∴BF一定过圆心O，BF＝＝＝6，
设⊙O的半径为r，则OF＝6﹣r，
在Rt△OAF中，由勾股定理得：（6﹣r）2+32＝r2，
解得：r＝，
即⊙O的半径为．
15．解：（1）连接AC，∵AB∥CD且AE⊥CD，
∴AB⊥AE，∠ECA＝∠BAC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B+∠BAC＝∠BAC+∠EAC＝90°，
∴∠B＝∠EAC，
∵∠ADE＝∠B，
∴∠EAC＝∠ADE，
∵∠E＝∠AEC，
∴△ACE∽△DAE，
∴＝，
∴AE2＝ED EC，
设DE＝x，则22＝x（x+3），
解得：x1＝1，x2＝﹣4（舍去），
即：DE＝1，
在Rt△ACE中，AC2＝AE2+CE2，
∴AC2＝20，
∵∠ACB＝∠E，∠CAE＝∠B，
∴△ACE∽△BAC，
∴＝
∴AB＝5；
（2）设BE与PQ交于G，AB与PQ交于F，
∵AE＝2，AB＝5，
∴BE＝＝，
∵翻折使点B与E重合，
∴BG⊥PQ，BG＝BE＝，
∵∠BGF＝∠EAB＝90°，∠GBF＝∠ABE，
∴△BGF∽△BAE，
∴＝，
∴＝，
∴BF＝，
∴OF＝﹣＝，
过O作OH⊥于H，
∴OH∥BG，PQ＝2HQ，
∴△OFH∽△BFG，
∴＝，
∴＝，
∴OH＝，
连接OQ，
∴HQ＝＝，
∴PQ＝2HQ＝，
∴△BPQ的面积＝×＝．
16．解：如图，连接AD，AC，连接CD与AB交于点F，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°．
∴AC为直径．
∴∠ADC＝90°．
∵AE＝DE，DE⊥AB，
∴∠DAB＝∠ADE＝45°．
∴∠BCF＝∠DAB＝45°．
∴BC＝BF＝3．
在△ADF中，∠DAB＝∠AFD＝45°，
∴EF＝ED＝1．
∴AB＝5．
∴AC＝＝．
∴⊙O半径的长．
17．解：（1）如图1中，连接OB，OC．设BF＝EF＝x，OF＝y．
∵AB∥CD，EF⊥AB，
∴EF⊥CD，
∴∠CEF＝∠BFO＝90°
∴AF＝BF＝x，DE＝EC＝2，
根据勾股定理可得：，
解得（舍弃）或，
∴BF＝4，AB＝2BF＝8．
（2）如图2中，作CH⊥AB于H．
∵OB⊥OC，
∴∠A＝∠BOC＝45°，
∵AH⊥CH，
∴△ACH是等腰直角三角形，
∵AC＝CH，
∵AB∥CD，EF⊥AB，
∴EF⊥CD，
∠CEF＝∠EFH＝∠CHF＝90°，
∴四边形EFHC是矩形，
∴CH＝EF，
在Rt△OEC中，∵EC＝，OC＝，
OE＝＝＝2，
∵∠EOC+∠OCE＝90°，∠EOC+∠FOB＝90°，
∴∠FOB＝∠ECO，
∵OB＝OC，
∴△OFB≌△CEO（AAS），
∴OF＝EC＝，
∴CH＝EF＝3，
∴AC＝EF＝6．
18．解：（1）如图1，设∠BDC＝α，∠DAC＝β，
则∠CAB＝∠BDC＝α，
∵点C为弧ABD中点，
∴＝，
∴∠ADC＝∠DAC＝β，
∴∠DAB＝β﹣α，
连接AD，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴α+β＝90°，
∴β＝90°﹣α，
∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝90°﹣（β﹣α），
∴∠ABD＝2α，
∴∠ABD＝2∠BDC；
（2）∵CE⊥AB，
∴∠ACE+∠CAB＝∠ADC+∠BDC＝90°，
∵∠CAB＝∠CDB，
∴∠ACE＝∠ADC，
∵∠CAE＝∠ADC，
∴∠ACE＝∠CAE，
∴AE＝CE；
（3）如图2，连接OC，
∴∠COB＝2∠CAB，
∵∠ABD＝2∠BDC，∠BDC＝∠CAB，
∴∠COB＝∠ABD，
∵∠OHC＝∠ADB＝90°，
∴△OCH∽△ABD，
∴，
∵OH＝5，
∴BD＝10，
∴AB＝＝26，
∴AO＝13，
∴AH＝18，
∵△AHE∽△ADB，
∴，即＝，
∴AE＝，
∴DE＝．
19．解：（1）作CH⊥MN于H，则H为MN的中点，
∵OB＝1+，OC＝
∴CB＝1
又∵∠ABC＝45°
∴CH＝
连接CM、CN，在Rt△HCM中，
∵CH＝，
又∵MC＝
∴MH＝，
∴MN＝
（2）在Rt△MCH中，
∵CH＝，
又∵MC＝
∴∠MCH＝60°
∴∠MCN＝120°
∴∠MON＝60°．
20．（1）证明：∵PD∥CB，∴＝，∴∠FBC＝∠FCB，∴FC＝FB．
（2）解：如图：连接OC，设圆的半径为r，在Rt△OCE中，
OC＝r，OE＝r﹣8，CE＝12，∴r2＝（r﹣8）2+122，
解方程得：r＝13．
所以⊙O的直径为26．
1．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，如果CE＝1，AB＝10，求半径OC的长．
2．好山好水好绍兴，石拱桥在绍兴处处可见，小明要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面AB宽度16m时，拱顶高出水平面4m，货船宽12m，船舱顶部为矩形并高出水面3m．
（1）请你帮助小明求此圆弧形拱桥的半径；
（2）小明在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由．
3．如图，AB为圆O直径，F点在圆上，E点为AF中点，连接EO，作CO⊥EO交圆O于点C，作CD⊥AB于点D，已知直径为10，OE＝4，求OD的长度．
4．如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．
（1）求证：AC＝CG；
（2）若CD＝EG＝8，求⊙O的半径．
5．如图，锐角△ABC内接于 O，BE⊥AC于点D，交O于点E，DF⊥BC于点F，DE＝DF，连接AE．
（1）求证：AE＝BD．
（2）若CD＝1，AE＝2，求⊙O的半径及AB的长．
6．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，BC＝3．
（1）求AB的长；
（2）求⊙O的半径．
7．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，BC边上的高AH＝3，点P是边BC上的动点，以CP为半径的⊙C与边AD交于点E，F（点E在点F的左侧）．
（1）当⊙C经过点A时，求CP的长；
（2）连接AP，当AP∥CE时，求⊙C的半径及弦EF的长．
8．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD交AC于点E，AD＝CD．
（1）求证：OD∥BC；
（2）若AC＝10，DE＝4，求BC的长．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点D在AB的延长线上，且BD＝3，过点D作DE⊥AD，交AC的延长线于点E，以DE为直径的⊙O交AE于点F．
（1）求⊙O的半径及圆心O到弦EF的距离；
（2）设CD交⊙O于点G，试说明G是CD的中点．
10．如图，点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上，且OA＝5，AC＝3，CD平行于AB，与弧AB相交于点M、N．
（1）求线段OD的长；
（2）若tan∠C＝，求弦MN的长．
11．如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连接AC．
（1）求证：AC＝CG；
（2）若CD＝8，OG＝10，求⊙O的半径．
12．如图，已知BC是⊙O的直径，弦AD⊥BC于点H，与弦BF交于点E，AD＝8，BH＝2．
（1）求⊙O的半径；
（2）若∠EAB＝∠EBA，求证：BF＝2AH．
13．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣3，0），C（，0）．
（1）求⊙M的半径；
（2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH＝FH．
（3）在（2）的条件下求AF的长．
14．如图，点A、B、C在⊙O上，AB＝CB＝9，AD∥BC，CD⊥AD，且AD＝2．
（1）求线段CD、AC的长；
（2）求⊙O的半径．
15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，CD∥AB，且AB是⊙O的直径，AE⊥CD交CD的延长线于点E，若AE＝2，CD＝3．
（1）求⊙O的直径；
（2）若翻折使点B与E重合的直线l（折痕）交⊙O于P，Q两点，求△BPQ的面积．
16．如图，点A，D，B，C在⊙O上，AB⊥BC，DE⊥AB于点E．若BC＝3，AE＝DE＝1，求⊙O半径的长．
17．如图，A，B，C，D在⊙O上，AB∥CD，经过圆心O的线段EF⊥AB于点F，与CD交于点E．
（1）如图1，当⊙O半径为5，CD＝4，若EF＝BF，求弦AB的长；
（2）如图2，当⊙O半径为，CD＝2，若OB⊥OC，求弦AC的长．
18．如图，AB为⊙O直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为弧ABD中点，连接CD，CA．
（1）求证：∠ABD＝2∠BDC；
（2）过点C作CE⊥AB于H，交AD于E，求证：EA＝EC；
（3）在（2）的条件下，若OH＝5，AD＝24，求线段DE的长
19．已知：点A（﹣1﹣，0），B（0，1+），过A、B两点作直线l，以点C（0，）为圆心，为半径作圆C，直线l与圆C相交于M、N两点．
（1）求线段MN的长度．
（2）求∠MON的大小（O为坐标原点）．
20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，且PD∥CB，弦PB与CD交于点F
（1）求证：FC＝FB；
（2）若CD＝24，BE＝8，求⊙O的直径．
参考答案
1．解：连接OA，
∵CD是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴AE＝BE
∵AB＝10
∴AE＝5
设OA＝R
∴OE＝R﹣1
根据勾股定理：R2＝52+（R﹣1）2
解得R＝13，
∴半径OC的长为13．
2．解：（1）如图，连接OB．
∵OC⊥AB，
∴D为AB中点，
∵AB＝16m，
∴BD＝AB＝8m．
又∵CD＝4m，
设OB＝OC＝r，则OD＝（r﹣4）m．
在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+82，
解得r＝10．
答：此圆弧形拱桥的半径为10米．
（2）连接ON
∵CD＝4m，船舱顶部为长方形并高出水面3m，
∴CE＝4﹣3＝1（m），
∴OE＝r﹣CE＝10﹣1＝9（m），
在Rt△OEN中，EN2＝ON2﹣OE2＝102﹣92＝19，
∴EN＝（m）．
∴MN＝2EN＝2m＜12m．
∴此货船B不能顺利通过这座拱桥．
3．解：∵E点为AF中点，
∴OE⊥AF，
∵CO⊥EO，
∴OC∥AF，
∴∠OAE＝∠COD，
∵CD⊥AB，
∴∠AEO＝∠ODC，
在△AEO和△ODC中，
，
∴△AEO≌△ODC（AAS），
∴CD＝OE＝4，
∵OC＝5，
∴OD＝＝＝3．
4．（1）证明：∵DF⊥CG，CD⊥AB，
∴∠DEB＝∠BFG＝90°，
∵∠DBE＝∠GBF，
∴∠D＝∠G，
∵∠A＝∠D，
∴∠A＝∠G，
∴AC＝CG；
（2）解：连接OC，如图，
设⊙O的半径为r．
∵CA＝CG，CD⊥AB，
∴AE＝EG＝8，EC＝ED＝4，
∴OE＝AE﹣OA＝8﹣r，
在Rt△OEC中，∵OC2＝OE2+EC2，
∴r2＝（8﹣r）2+42，
解得r＝5，
∴⊙O的半径为5．
5．（1）证明：∵BE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠ADE＝∠BFD＝90°，
由圆周角定理得：∠EAD＝∠CBD，
在△EAD和△DBF中，
，
∴△EAD≌△DBF（AAS），
∴AE＝BD；
（2）解：过O作OH⊥AB于H，连接OA、OB，
∵AE＝2，AE＝BD，
∴BD＝2，
∵CD＝1，
∴由勾股定理得：BC＝＝3，
∵OH⊥AB，OA＝OB，
∴AH＝BH，∠BOH＝AOB，
∵∠ACB＝∠AOB，
∴∠ACB＝∠HOB，
即cos∠HOB＝cos∠ACB，
∴＝＝，
设OH＝x，则OB＝3x，
∵△EAD≌△DBF，
∴DE＝DF，
∵S△CDB＝＝，
∴1×＝3×DF，
解得：DF＝，
即DE＝DF＝，
由勾股定理得：AD＝＝＝，
∴AB＝＝＝，
∴AH＝BH＝，
在Rt△BHO中，由勾股定理得：OH2+BH2＝OB2，
x2+（）2＝（3x）2，
解得：x＝，
∴半径OB的长度是3×＝．
6．解：（1）连接AC，如图，
∵CD⊥AB，
∴AF＝BF，即CD垂直平分AB，
∴CA＝CB＝3，
∵AO⊥BC，
∴CE＝BE，即AE垂直平分BC，
∴AB＝AC＝3；
（2）∵AB＝AC＝BC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴AE⊥BC，
∴AE平分∠BAC，即∠OAF＝30°，
在Rt△OAF中，∵OF＝AF＝×＝，
∴OA＝2OF＝，
即⊙O的半径为．
7．解：（1）连接AC，如图1所示：∵AH⊥BC，
∴∠AHB＝∠AHC＝90°，
∴BH＝＝＝4，
∴CH＝BC﹣BH＝4，
∴CA＝＝5，
当⊙C经过点A时，CP＝CA＝5；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，当AP∥CE时，四边形APCE是平行四边形，
∵CP＝CE，
∴四边形APCE是菱形，
∴PA＝CP，
设PA＝CP＝x，则PH＝4﹣x，
在Rt△APH中，
由勾股定理得：AH2+PH2＝PA2，
即32+（4﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
即⊙C的半径为，
作CM⊥EF于M，如图2所示：则CM＝AH＝3，ME＝MF＝EF，
在Rt△CEM中，由勾股定理得：ME＝＝＝，
∴EF＝2ME＝．
8．（1）证明：∵AD＝DC，
∴＝，
∴OD⊥AC，
∴∠AEO＝90°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠AEO＝∠ACB，
∴OD∥BC．
（2）解：∵OD⊥AC，
∴AE＝EC＝5，
设OA＝OD＝r，
在Rt△AOE中，OA2＝AE2+OE2，
∴r2＝52+（r﹣4）2，
∴r＝，
∴OE＝r﹣DE＝﹣4＝，
∵AE＝EC，AO＝OB，
∴BC＝2OE＝．
9．解：（1）过点O作OH⊥EF于H，
由勾股定理得，AC＝＝4，
∵DE⊥AD，∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠ADE，
∵∠C＝∠C，
∴△ACB∽△ADE，
∴＝，即＝，
解得，DE＝6，
∴⊙O的半径为3，
AE＝＝10，
∵∠EHO＝∠EDA，∠OEH＝∠AED，
∴△EHO∽△EDA，
∴＝，即＝，
解得，OH＝，
∴点O到EF距离为；
（2）连接EG，
∵AE＝10，AC＝4，
∴EC＝6，
∴EC＝ED，
∵DE是⊙O的直径，
∴EG⊥CD，
∴G是CD的中点．
10．解：（1）∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠OAB，∠D＝∠OBA，
∴∠C＝∠D，
∴OD＝OC＝OA+AC＝5+3＝8；
（2）过O点作OE⊥MN于E，连接OM，如图，则ME＝NE，
在Rt△OCE中，tanC＝＝，
设OE＝3x，则CE＝4x，
∴OC＝5x，
即5x＝8，解得x＝，
∴OE＝，
在Rt△OME中，ME＝＝＝，
∴MN＝2ME＝．
11．（1）证明：∵DF⊥CG，CD⊥AB，
∴∠DEB＝∠BFG＝90°，
∵∠DBE＝∠GBF，
∴∠D＝∠G，
∵∠A＝∠D，
∴∠A＝∠G，
∴AC＝CG．
（2）解：设⊙O的半径为r．则AG＝OA+OG＝r+10，
∵CA＝CG，CD⊥AB，
∴AE＝EG＝，EC＝ED＝4，
∴OE＝AE﹣OA＝，
在Rt△OEC中，∵OC2＝OE2+EC2，
∴r2＝（）2+42，
解得r＝或（舍弃），
∴⊙O的半径为．
12．（1）解：连接OA交BF于G，如图，⊙O的半径为r，
∵AD⊥OB，
∴AH＝DH＝4，
在Rt△OHA中，OH＝r﹣2，OA＝r，
∴r2＝42+（r﹣2）2
，解得r＝5，
即⊙O的半径为5；
（2）方法一
证明：连接CF，如图，
∵AD⊥OB，
∴弧AB＝弧DB，
∵∠EAB＝∠EBA，
∴弧BD＝弧AF，
∴弧AB＝弧AF，
∴OA⊥BG，
∴BG＝FG，
∴∠OAH＝∠OBG，
在△OAH和△OBG中，
，
∴△OAH≌△OBG（AAS），
∴AH＝BG，
∴BF＝2AH．
方法二：∵AD⊥OB，
∴弧AB＝弧DB，AH＝DH，
∵∠EAB＝∠EBA，
∴弧BD＝弧AF，
∴弧AB＝弧AF，
∴弧AD＝弧BF，
∴BF＝AD＝2AH．
13．解：（1）如图（一），过M作MT⊥BC于T连BM，
∵BC是⊙M的一条弦，MT是垂直于BC的直径，
∴BT＝TC＝BC＝2，
∴BM＝＝4；
（2）如图（二），连接AE，则∠AEC＝∠ABC，
∵CE⊥AB，
∴∠HBC+∠BCH＝90°
在△COF中，
∵∠OFC+∠OCF＝90°，
∴∠HBC＝∠OFC＝∠AFH．
在△AEH和△AFH中，
∵，
∴△AEH≌△AFH（AAS），
∴EH＝FH．
（3）由（1）易知，∠BMT＝∠BAC＝60°，
作直径BG，连CG，则∠BGC＝∠BAC＝60°，
∵⊙O的半径为4，
∴CG＝4．
连AG，
∵∠BCG＝90°，
∴CG⊥x轴，
∴CG∥AF，
∵∠BAG＝90°，
∴AG⊥AB，
∵CE⊥AB，
∴AG∥CE，
∴四边形AFCG为口，
∴AF＝CG＝4．
14．解：（1）作AE⊥BC于E，如图1所示：
则AE＝DC，EC＝AD＝2，
∴BE＝BC﹣EC＝9﹣2＝7，
∴CD＝AE＝＝＝4，
∴AC＝＝＝6；
（2）作BF⊥AC于F，连接OA，如图2所示：
则AF＝CF＝AC＝3，
∴BF垂直平分AC，
∴BF一定过圆心O，BF＝＝＝6，
设⊙O的半径为r，则OF＝6﹣r，
在Rt△OAF中，由勾股定理得：（6﹣r）2+32＝r2，
解得：r＝，
即⊙O的半径为．
15．解：（1）连接AC，∵AB∥CD且AE⊥CD，
∴AB⊥AE，∠ECA＝∠BAC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B+∠BAC＝∠BAC+∠EAC＝90°，
∴∠B＝∠EAC，
∵∠ADE＝∠B，
∴∠EAC＝∠ADE，
∵∠E＝∠AEC，
∴△ACE∽△DAE，
∴＝，
∴AE2＝ED EC，
设DE＝x，则22＝x（x+3），
解得：x1＝1，x2＝﹣4（舍去），
即：DE＝1，
在Rt△ACE中，AC2＝AE2+CE2，
∴AC2＝20，
∵∠ACB＝∠E，∠CAE＝∠B，
∴△ACE∽△BAC，
∴＝
∴AB＝5；
（2）设BE与PQ交于G，AB与PQ交于F，
∵AE＝2，AB＝5，
∴BE＝＝，
∵翻折使点B与E重合，
∴BG⊥PQ，BG＝BE＝，
∵∠BGF＝∠EAB＝90°，∠GBF＝∠ABE，
∴△BGF∽△BAE，
∴＝，
∴＝，
∴BF＝，
∴OF＝﹣＝，
过O作OH⊥于H，
∴OH∥BG，PQ＝2HQ，
∴△OFH∽△BFG，
∴＝，
∴＝，
∴OH＝，
连接OQ，
∴HQ＝＝，
∴PQ＝2HQ＝，
∴△BPQ的面积＝×＝．
16．解：如图，连接AD，AC，连接CD与AB交于点F，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°．
∴AC为直径．
∴∠ADC＝90°．
∵AE＝DE，DE⊥AB，
∴∠DAB＝∠ADE＝45°．
∴∠BCF＝∠DAB＝45°．
∴BC＝BF＝3．
在△ADF中，∠DAB＝∠AFD＝45°，
∴EF＝ED＝1．
∴AB＝5．
∴AC＝＝．
∴⊙O半径的长．
17．解：（1）如图1中，连接OB，OC．设BF＝EF＝x，OF＝y．
∵AB∥CD，EF⊥AB，
∴EF⊥CD，
∴∠CEF＝∠BFO＝90°
∴AF＝BF＝x，DE＝EC＝2，
根据勾股定理可得：，
解得（舍弃）或，
∴BF＝4，AB＝2BF＝8．
（2）如图2中，作CH⊥AB于H．
∵OB⊥OC，
∴∠A＝∠BOC＝45°，
∵AH⊥CH，
∴△ACH是等腰直角三角形，
∵AC＝CH，
∵AB∥CD，EF⊥AB，
∴EF⊥CD，
∠CEF＝∠EFH＝∠CHF＝90°，
∴四边形EFHC是矩形，
∴CH＝EF，
在Rt△OEC中，∵EC＝，OC＝，
OE＝＝＝2，
∵∠EOC+∠OCE＝90°，∠EOC+∠FOB＝90°，
∴∠FOB＝∠ECO，
∵OB＝OC，
∴△OFB≌△CEO（AAS），
∴OF＝EC＝，
∴CH＝EF＝3，
∴AC＝EF＝6．
18．解：（1）如图1，设∠BDC＝α，∠DAC＝β，
则∠CAB＝∠BDC＝α，
∵点C为弧ABD中点，
∴＝，
∴∠ADC＝∠DAC＝β，
∴∠DAB＝β﹣α，
连接AD，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴α+β＝90°，
∴β＝90°﹣α，
∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝90°﹣（β﹣α），
∴∠ABD＝2α，
∴∠ABD＝2∠BDC；
（2）∵CE⊥AB，
∴∠ACE+∠CAB＝∠ADC+∠BDC＝90°，
∵∠CAB＝∠CDB，
∴∠ACE＝∠ADC，
∵∠CAE＝∠ADC，
∴∠ACE＝∠CAE，
∴AE＝CE；
（3）如图2，连接OC，
∴∠COB＝2∠CAB，
∵∠ABD＝2∠BDC，∠BDC＝∠CAB，
∴∠COB＝∠ABD，
∵∠OHC＝∠ADB＝90°，
∴△OCH∽△ABD，
∴，
∵OH＝5，
∴BD＝10，
∴AB＝＝26，
∴AO＝13，
∴AH＝18，
∵△AHE∽△ADB，
∴，即＝，
∴AE＝，
∴DE＝．
19．解：（1）作CH⊥MN于H，则H为MN的中点，
∵OB＝1+，OC＝
∴CB＝1
又∵∠ABC＝45°
∴CH＝
连接CM、CN，在Rt△HCM中，
∵CH＝，
又∵MC＝
∴MH＝，
∴MN＝
（2）在Rt△MCH中，
∵CH＝，
又∵MC＝
∴∠MCH＝60°
∴∠MCN＝120°
∴∠MON＝60°．
20．（1）证明：∵PD∥CB，∴＝，∴∠FBC＝∠FCB，∴FC＝FB．
（2）解：如图：连接OC，设圆的半径为r，在Rt△OCE中，
OC＝r，OE＝r﹣8，CE＝12，∴r2＝（r﹣8）2+122，
解方程得：r＝13．
所以⊙O的直径为26．