2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.5确定圆的条件 解答题专题提升训练(word版含答案)
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.5确定圆的条件 解答题专题提升训练(word版含答案) |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 624.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-17 19:15:19 | ||
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文档简介
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3-5确定圆的条件》
解答题专题提升训练（附答案）
1．如图，D是等腰三角形ABC底边的中点，过点A、B、D作⊙O．
（1）求证：AB是⊙O的直径；
（2）延长CB交⊙O于点E，连接DE，求证：DC＝DE．
2．已知如图，△ABC内接于⊙O，AE为直径，AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F．
（1）求证：∠DAC＝∠BAE；
（2）当点C是的中点时，求证：FC＝AD．
3．已知△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB的平分线交⊙O于点D．
（Ⅰ）如图1，若AB是⊙O的直径，AB＝6，求AD的长；
（Ⅱ）如图2，若∠BAC的平分线交CD于点E，求证：DE＝DA．
4．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AF是⊙O的弦，AF⊥BC，垂足为D，点E为上一点，且BE＝CF．
（1）求证：AE是⊙O的直径；
（2）若∠ABC＝∠EAC，AE＝4，求AC的长．
5．已知△ABC内接于⊙O．
（Ⅰ）如图①，AP是⊙O的直径，∠BAP＝25°，求∠C的度数；
（Ⅱ）如图②，连接AO并延长交BC于点M，且AM⊥BC．连接BO并延长交AC于点N，且BN⊥AC．求∠C的度数．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，点D在⊙O上，连接AD，过点B作BE∥AD，交⊙O于点E，延长DC、BE交于点F．
求证：（1）DB＝DF；
（2）四边形AEFD是平行四边形．
7．如图1，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点B作BE⊥AC，交⊙O于点D，垂足为E，连接AD．
（1）求证：∠BAC＝2∠CAD；
（2）如图2，连接CD，点F在线段BD上，且DF＝2DC，G是的中点，连接FG，若FG＝2，CD＝2，求⊙O的半径．
8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，CD⊥AB于点D，BO的延长线交CD于点E，交⊙O于另一点F．
（1）求证：∠DBE＝∠BCD．
（2）若BC＝4，BE＝4，求AB的长．
9．如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为4，求弦AB的长．
10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，过A，C，E三点的⊙O交AB边于另一点F，且F是的中点，AD是⊙O的一条直径，连接DE并延长交AB边于M点．
（1）求证：四边形CDMF为平行四边形；
（2）当CD＝AB时，求sin∠ACF的值．
11．如图，⊙O为△ABC的外接圆，AB为⊙O直径，AC＝BC，点D在劣弧BC上，CE⊥CD交AD于E，连接BD．
（1）求证：△ACE≌△BCD．
（2）若CD＝2，BD＝3，求⊙O的半径．
12．如图，△ABC的外角∠BAD的平分线与它的外接圆相交于点E，连接BE，CE．
（1）求证：BE＝CE；
（2）若BC＝4，tan∠EAB＝，求⊙O的半径．
13．如图，D是△ABC外接圆上的点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F．BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC＝PB．
（1）求证：∠BAD＝∠PCB；
（2）求证：BG∥CD；
（3）设△ABC外接圆的圆心为O，若AC＝2DH，∠COD＝23°，求∠P的度数．
14．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点F在BC边上，过A，B，F三点的⊙O交AC于另一点D，作直径AE，连接EF并延长交AC于点G，连接BE，BD，四边形BDGE是平行四边形．
（1）求证：AB＝BF．
（2）当F为BC的中点，且AC＝3时，求⊙O的直径长．
15．材料：如图①，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，点M是弧ABC的中点，则从点M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．
（1）如图②，已知等边△ABC内接于⊙O，AB＝12，D为弧AC上一点，∠ABD＝45°，AE⊥BD于点E，求△BDC的周长；
（2）求证：CD＝AB+BD．
16．如图，已知⊙O是边长为6的等边△ABC的外接圆，点D，E分别是BC，AC上两点，且BD＝CE，连接AD，BE相交于点P，延长线段BE交⊙O于点F，连接CF．
（1）求证：AD∥FC；
（2）连接PC，当△PEC为直角三角形时，求tan∠ACF的值．
17．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，M为AB上一点，过M，C，B三点的⊙O交AC于P，过点P作PD∥AB，交⊙O于点D．
（1）若M是AB中点，连接MD，求证：四边形APDM是平行四边形；
（2）连接PM，当PM＝PC，且AC＝4，tanA＝，求线段PD的长．
18．如图，△ABC是⊙O的内接三角形．AE是⊙O的直径，交BC于点G．过点A作AF⊥BC，AF分别与BC、⊙O交于点D、F，连接BE、CF．
（1）求证：∠BAE＝∠CAF；
（2）若AB＝8，AC＝6，AG＝5，求AF的长．
19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上（不包括端点B，C），过A，C，D三点的⊙O交AB于另一点E，连接AD，DE，CE，且CE⊥AD于点G，过点C作CF∥DE交AD于点F，连接EF．
（1）求证：四边形DCFE是菱形；
（2）当tan∠AEF＝，AC＝4时，求⊙O的直径长．
20．如图，D是△ABC外接圆上的动点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F．BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC＝PB．
（1）求证：BG∥CD；
（2）设△ABC外接圆的圆心为O，若AB＝DH，∠OHD＝80°，求∠BDE的大小．
参考答案
1．（1）证明：连接BD，
∵BA＝BC，AD＝DC，
∴BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∴AB是⊙O的直径；
（2）证明：∵BA＝BC，
∴∠A＝∠C，
由圆周角定理得，∠A＝∠E，
∴∠C＝∠E，
∴DC＝DE．
2．证明：（1）连接BE，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
∴∠AEB+∠BAE＝90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ACB+∠DAC＝90°，
由圆周角定理得：∠AEB＝∠ACB，
∴∠DAC＝∠BAE；
（2）连接CE，
∵点C是的中点，
∴＝，
∴AC＝CE，
∵∠DAC＝∠BAE，∠FCE＝∠BAE，
∴∠DAC＝∠FCE，
在△CFE和△ADC中，
，
∴△CFE≌△ADC（AAS），
∴FC＝AD．
3．（Ⅰ）解：连接OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴，
∴∠AOD＝90°，
即△AOD为等腰直角三角形，
∵AB＝6，
∴OA＝OD＝3．
∴；
（Ⅱ）证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠EAB，
∵∠BCD＝∠BAD，
∠ACD＝∠BCD，
∴∠ACD＝∠BAD，
∴∠ACD+∠CAE＝∠BAD+∠EAB，
即∠EAD＝∠AED，
∴DE＝DA．
4．（1）证明：∵BE＝CF，
∴＝，
∴∠BAE＝∠CAF，
∵AF⊥BC，
∴∠CAF+∠ACB＝90°，
由圆周角定理得：∠ACB＝∠AEB，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝90°，
∴AE是⊙O的直径；
（2）解：连接CE，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE＝90°，
∵∠ABC＝∠EAC，
∴＝，
∴AC＝CE，
∴AC＝AE＝2．
5．解：（1）∵AP为直径，
∴∠ABP＝90°，
∴∠APB＝90°﹣∠BAP＝65°，
∴∠C＝∠APB＝25°．
（2）∵AM⊥BC，
∴点M为BC中点，
∴AB＝AC，
∵BN⊥AC，
∴点N为AC中点，
∴AB＝BC，
∴AB＝AC＝BC，即△ABC为等边三角形，
∴∠C＝60°．
6．证明：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
由圆周角定理得：∠ADB＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ADB，
∵BE∥AD，
∴∠ADB＝∠DBF，∠DFB+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠DBF，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠DFB，
∴∠DFB＝∠DBF，
∴DB＝DF；
（2）由圆周角定理得：∠ADB＝∠AEB，
∴∠DBF＝∠AEB，
∴∠AEB＝∠DFB，
∴AE∥CD，
∵BE∥AD，
∴四边形AEFD是平行四边形．
7．（1）证明：如图1，作AH⊥BC于H，
∴∠AHC＝90°，
∴∠HAC+∠C＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠BAC＝2∠CAH，
∵BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∴∠CBE+∠C＝90°，
∴∠CBE＝∠CAH，
∵＝，
∴∠CAD＝∠CBE，
∴∠CAH＝∠CAD，
∴∠BAC＝2∠CAD；
（2）解：如图，连接GC并延长交AD延长线于点H，连接DG，BG，AG，
∵G是的中点，
∴，
∴GB＝GC，∠BAG＝∠CAG，
∴∠CAG＝∠DAC，
∵AB＝AC，
∴AG垂直平分BC，
∴AG为直径，
∴∠ADG＝∠ACG＝90°，
∴∠GDH＝∠ACH＝90°，
∵∠AGC+∠CAG＝90°，∠AHC+∠CAH＝90°，
∴∠AGC＝∠AHC，
∴AG＝AH，
∴CG＝CH，
在Rt△GDH中，DC＝CG＝CH，即GH＝2DC＝DF，
∵∠AEB＝90°＝∠ACG，
∴BD∥GH，
∴四边形GHDF为平行四边形，
∴DH＝FG＝2，
设半径为r，则AH＝AG＝2r，AD＝2r﹣2，
在Rt△AGD中，DG2＝AG2﹣AD2＝（2r）2﹣（2r﹣2）2＝8r﹣4，
在Rt△GDH中，GH＝DF＝2CD＝4，
∴DG2＝GH2﹣DH2＝32﹣4＝28，
∴8r﹣4＝28，解得r＝4，
∴⊙O的半径为4．
8．（1）证明：如图，连接CF，
∵BF为直径，
∴∠BCF＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝∠BFC，
∴∠ACD＝180°﹣∠ADC﹣∠BAC，
∠FBC＝180°﹣∠BCF﹣∠BFC，
∴∠ACD＝∠FBC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠DBE＝∠BCD；
（2）解：∠DBE+∠DEB＝90°，∠DEB＝∠FEC，
∴∠DBE+∠FEC＝90°，
∵∠BCD+∠FCE＝90°，∠DBE＝∠BCD，
∴∠FEC＝∠FCE，
∴FE＝FC，
设FC＝x，则BF＝4+x，
在Rt△BCF中，BC2+FC2＝BF2，即（4）2+x2＝（4+x）2，
解得x＝2，
∴BF＝6，
如图，过点A作AG⊥BC于G，
∵AB＝AC，
∴BG＝CG＝2，
∴点A、O、G在同一直线上，
∴OG＝FC＝1，
∴AG＝AO+OG＝4，
在Rt△ABG中，AB2＝AG2+BG2＝24，
∴AB＝2．
9．解：如图，连接OA，OC．
∵∠COA＝2∠CBA＝2×45°＝90°，
在Rt△AOC中，根据勾股定理得：AC＝＝4，
∵CD⊥AB，∠CAB＝30°，
∴CD＝BD＝AC＝2．
∴AD＝CD＝2，
∴AB＝AD+BD＝2+2．
10．（1）证明：连接DF、EF，
∵∠BAC＝90°，
∴FC是⊙O的直径，
∵F是的中点，
∴＝，
∴∠ADF＝∠EDF，
∵OF＝OD，
∴∠ADF＝∠OFD，
∴∠OFD＝∠EDF，
∴FC∥DM，
∵OA＝OD，OF＝OC，∠BAC＝90°，
∴四边形AFDC为矩形，
∴AF∥CD，
∴四边形CDMF为平行四边形；
（2）解：∵四边形AFDC为矩形，四边形CDMF为平行四边形，
∴CD＝AF＝FM＝EF，
∵CD＝AB，
∴CD＝（2CD+BM），
∴CD＝2BM，
∵BM∥CD，
∴△BEM∽△CED，
∴＝＝，
∴EC＝2BE，
设BM＝a，则CD＝2a，BF＝3a，EF＝2a，
在Rt△BEF中，BE＝＝a，
∴EC＝2a，
在Rt△CEF中，FC＝＝2a，
在Rt△FAC中，sin∠ACF＝＝＝．
11．解：（1）证明：∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CE⊥CD，
∴∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣∠ECB＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（ASA）；
（2）∵△ACE≌△BCD，
∴CE＝CD，AE＝BD，
∵CE⊥CD，
∴△ECD是等腰直角三角形，
∵CD＝2，BD＝3,
∴DE＝2，AE＝3，
∴AD＝5，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AB＝＝2，
∴⊙O的半径为．
12．（1）证明：∵四边形ACBE是圆内接四边形，
∴∠EAD＝∠EBC，
∵AE平分∠BAD，
∴∠EAD＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠EBC，
∴BE＝CE．
（2）解：如图，连接EO并延长交BC于点F，连接OB，
由圆的对称性及等腰三角形的对称性可知，EF⊥BC，
∴点F是BC的中点，
∵BC＝4，tan∠EAB＝，
∴BF＝2，tan∠EAB＝＝，
∴EF＝，
设⊙O的半径的半径为r，
∴OE＝OB＝r，OF＝﹣r，
∴OF2+BF2＝OB2，即（﹣r）2+22＝r2，
解得，r＝．
13．（1）证明：如图1，
∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠BCD+∠PCB＝180°，
∴∠BAD＝∠PCB；
（2）证明：∵PC＝PB，
∴∠PCB＝∠PBC，
由（1）得∠BAD＝∠PCB，
∵∠BAD＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠PCB＝∠PBC，
∴BC∥DF，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∴AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∵BG⊥AD，
∴∠AGB＝90°，
∴∠ADC＝∠AGB，
∴BG∥CD；
（3）解：由（1）得：BC∥DF，BG∥CD，
∴四边形BCDH是平行四边形，
∴BC＝DH，
∵AC＝2DH，
∴AC＝2BC，
在Rt△ABC中，
∵AB＝＝BC，
∴tan∠ACB＝＝，
∴∠ACB＝60°，
连接OD，
∵∠COD＝23°，OD＝OC，
∴∠OCD＝（180°﹣23°）＝（ ）°，
∴∠PCB＝180°﹣∠ACB﹣∠OCD＝（ ）°，
∵PC＝PB，
∴∠P＝180°﹣2×（ ）°＝97°．
14．解：（1）连接AF，
∵AE是⊙O的直径，
∴AF⊥EG，
∵四边形BDGE是平行四边形，
∴BD∥EG，
∴BD⊥AF，
∵∠BAC＝90°，
∴BD是⊙O的直径，
∴BD垂直平分AF，
∴AB＝BF；
（2）∵当F为BC的中点，
∴BF＝BC，
∵AB＝BF，
∴AB＝BC，
∵∠BAC＝90°，
∴∠C＝30°，
∴∠ABC＝60°，AB＝AC＝，
∵AB＝BF，
∴∠ABD＝30°，
∴BD＝2，
∴⊙O的直径长为2．
15．（1）解：∵AE⊥BD，∠ABD＝45°，
∴△AEB是等腰直角三角形，
∴BE＝＝6，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，
∴点A为弧BDC的中点，
∴AE平分折弦CDB，即BE＝ED+DC，
∴BD+DC＝2BE＝12，
∴△BDC的周长＝BD+CD+BC＝12+12；
（2）证明：如图，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG，
∵M是弧ABC的中点，
∴MA＝MC，
∵BA＝GC，∠A＝∠C，MA＝MC，
∴△MBA≌△MGC（SAS），
∴MB＝MG，
∵MD⊥BC，
∴BD＝GD，
∴DC＝GC+GD＝AB+BD．
16．解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC，
∴∠ABD＝∠∠BCE＝60°，
∵BD＝CE，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BDA＝∠CEB，
∵∠CEB＝∠F+∠FCE，
∵∠F＝∠BAC＝∠BCA＝60°，
∴∠CEB＝∠BCA+∠FCE＝∠BCF，
∴∠BDA＝∠BCF，
∴AD∥CF；
（2）如图，连接PC，
当△PEC为直角三角形时，可分3种情况讨论：
①∠PCE＝90°或∠CEP＝90°或∠CPE＝90°，
①当∠PCE＝90°时，
∵∠PCE＜∠ACB＝60°，
∴∠PCE＝90°这种情况不存在；
②当∠PEC＝90°时，
∵∠PEC＝∠F+∠ACF，
∵∠F＝60°，
∴∠ACF＝30°，
∴tan∠ACF＝；
③当∠CPE＝90°时，过点A作AH⊥BC于点H，如图，
设AE＝x，则CD＝AE＝x，CE＝6﹣x，
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝CH＝3，∠HAC＝∠HAB＝30°，
∴HD＝3﹣x，
∵∠BFC＝60°，∠CPE＝90°，
∴∠PCF＝∠HAC＝30°，
∴AD∥FC，
∴∠FCA＝∠DAC，
∴∠PCF﹣∠FCA＝∠HAC﹣∠DAC，
∴∠HAD＝∠PCE，
∵∠AHD＝∠CPE＝90°，
∴△AHD∽△CPE，
∴＝，
∴PE AD＝HD CE①，
∵∠BPD＝∠APE＝∠ACB＝60°，
∠PAE＝∠CAD，
∴△PAE∽△CAD，
∴PE AD＝AE CD②，
观察①②式可知：
HD CE＝AE CD，
∴（3﹣x）（6﹣x）＝x2，
解得x＝2，
∴AE＝2，
过点E作EG⊥AB于点G，
在Rt△AEG中，∠EAG＝60°，
∴AG＝AE cos60°＝2×＝1，
EG＝AE sin60°＝2×＝，
∴BG＝AB﹣AG＝6﹣1＝5，
在Rt△BGE中，tan∠ABE＝＝，
∴tan∠ACF＝tan∠ABE＝，
综上所述，当△PEC为直角三角形时，
tan∠ACF的值为或．
17．（1）证明：连接CM，PB，DM，如图1所示：
∵∠C＝90°，四边形BCPM为圆内接四边形，
∴∠C+∠BMP＝180°，
∴∠BMP＝90°，BP为⊙O的直径，
又∵PD∥AB，
∴∠DPM＝180°﹣∠BMP＝90°，
∴MD为⊙O的直径，
∵∠C＝90°，M为AB的中点，
∴CM＝AB＝BM，
∴，
又∵MD为⊙O的直径，
∴DM垂直平分BC，
∴PC∥MD，
∴四边形APDM为平行四边形；
（2）解：连接BD、CD、BP，如图2所示：
∵MD和BP均为⊙O的直径，
∴∠DPM＝∠PMB＝∠PDB＝90°，
∴四边形PDBM为矩形，
∴PM＝BD，
∵PM＝PC，
∴PC＝BD，
在Rt△BPD和Rt△PBC中，，
∴Rt△BPD≌Rt△PBC（HL），
∴PD＝BC，
在Rt△ACB中，AC＝4，tanA＝＝，
∴BC＝4tanA＝2，
∴PD＝BC＝2．
18．（1）证明：∵AF⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACB+∠CAF＝90°，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
∴∠BAE+∠E＝90°，
由圆周角定理得，∠ACB＝∠E，
∴∠BAE＝∠CAF；
（2）解：由圆周角定理得，∠ABG＝∠AFC，又∠BAE＝∠CAF，
∴△ABG∽△AFC，
∴＝，即＝，
解得，AF＝．
19．解：（1）证明：∵CE⊥AD，
∴EG＝CG，
∵CF∥DE，
∴∠DEG＝∠FCG，
∵∠FGC＝∠DGE，
∴△DEG≌△FCG（ASA），
∴ED＝FC，
∴四边形DCFE为平行四边形，
又∵CE⊥DF，
∴四边形DCFE是菱形；
（2）∵AG⊥EC，EG＝CG，
∴AE＝AC＝4，
∵四边形AEDC内接于⊙O，
∴∠BED＝∠BCA＝90°，
∵四边形DCFE是菱形，
∴EF∥DC，DE＝DC，
∴∠AEF＝∠ABC，
∴tan∠ABC＝tan∠AEF＝，
在Rt△BED中，设DE＝3a，则BE＝4a，
∴DC＝3a，BD＝＝5a，
∵BC2+AC2＝AB2，
∴（5a+3a）2+42＝（4a+4）2，
解得a＝或a＝0（舍去），
∴DE＝DC＝2，
∴AD＝＝＝2．
即⊙O的直径长为2．
20．（1）证明：如图1，∵PC＝PB，
∴∠PCB＝∠PBC，
∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠BCD+∠PCB＝180°，
∴∠BAD＝∠PCB，
∵∠BAD＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠PCB＝∠PBC，
∴BC∥DF，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∴AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∵BG⊥AD，
∴∠AGB＝90°，
∴∠ADC＝∠AGB，
∴BG∥CD；
（2）由（1）得：BC∥DF，BG∥CD，
∴四边形BCDH是平行四边形，
∴BC＝DH，
在Rt△ABC中，∵AB＝DH，
∴tan∠ACB＝＝，
∴∠ACB＝60°，∠BAC＝30°，
∴∠ADB＝60°，BC＝AC，
∴DH＝AC，
①当点O在DE的左侧时，如图2，作直径DM，连接AM、OH，则∠DAM＝90°，
∴∠AMD+∠ADM＝90°
∵DE⊥AB，
∴∠BED＝90°，
∴∠BDE+∠ABD＝90°，
∵∠AMD＝∠ABD，
∴∠ADM＝∠BDE，
∵DH＝AC，
∴DH＝OD，
∴∠DOH＝∠OHD＝80°，
∴∠ODH＝20°
∵∠ADB＝60°，
∴∠ADM+∠BDE＝40°，
∴∠BDE＝∠ADM＝20°，
②当点O在DE的右侧时，如图3，作直径DN，连接BN，
由①得：∠ADE＝∠BDN＝20°，∠ODH＝20°，
∴∠BDE＝∠BDN+∠ODH＝40°，
综上所述，∠BDE的度数为20°或40°．
解答题专题提升训练（附答案）
1．如图，D是等腰三角形ABC底边的中点，过点A、B、D作⊙O．
（1）求证：AB是⊙O的直径；
（2）延长CB交⊙O于点E，连接DE，求证：DC＝DE．
2．已知如图，△ABC内接于⊙O，AE为直径，AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F．
（1）求证：∠DAC＝∠BAE；
（2）当点C是的中点时，求证：FC＝AD．
3．已知△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB的平分线交⊙O于点D．
（Ⅰ）如图1，若AB是⊙O的直径，AB＝6，求AD的长；
（Ⅱ）如图2，若∠BAC的平分线交CD于点E，求证：DE＝DA．
4．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AF是⊙O的弦，AF⊥BC，垂足为D，点E为上一点，且BE＝CF．
（1）求证：AE是⊙O的直径；
（2）若∠ABC＝∠EAC，AE＝4，求AC的长．
5．已知△ABC内接于⊙O．
（Ⅰ）如图①，AP是⊙O的直径，∠BAP＝25°，求∠C的度数；
（Ⅱ）如图②，连接AO并延长交BC于点M，且AM⊥BC．连接BO并延长交AC于点N，且BN⊥AC．求∠C的度数．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，点D在⊙O上，连接AD，过点B作BE∥AD，交⊙O于点E，延长DC、BE交于点F．
求证：（1）DB＝DF；
（2）四边形AEFD是平行四边形．
7．如图1，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点B作BE⊥AC，交⊙O于点D，垂足为E，连接AD．
（1）求证：∠BAC＝2∠CAD；
（2）如图2，连接CD，点F在线段BD上，且DF＝2DC，G是的中点，连接FG，若FG＝2，CD＝2，求⊙O的半径．
8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，CD⊥AB于点D，BO的延长线交CD于点E，交⊙O于另一点F．
（1）求证：∠DBE＝∠BCD．
（2）若BC＝4，BE＝4，求AB的长．
9．如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为4，求弦AB的长．
10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，过A，C，E三点的⊙O交AB边于另一点F，且F是的中点，AD是⊙O的一条直径，连接DE并延长交AB边于M点．
（1）求证：四边形CDMF为平行四边形；
（2）当CD＝AB时，求sin∠ACF的值．
11．如图，⊙O为△ABC的外接圆，AB为⊙O直径，AC＝BC，点D在劣弧BC上，CE⊥CD交AD于E，连接BD．
（1）求证：△ACE≌△BCD．
（2）若CD＝2，BD＝3，求⊙O的半径．
12．如图，△ABC的外角∠BAD的平分线与它的外接圆相交于点E，连接BE，CE．
（1）求证：BE＝CE；
（2）若BC＝4，tan∠EAB＝，求⊙O的半径．
13．如图，D是△ABC外接圆上的点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F．BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC＝PB．
（1）求证：∠BAD＝∠PCB；
（2）求证：BG∥CD；
（3）设△ABC外接圆的圆心为O，若AC＝2DH，∠COD＝23°，求∠P的度数．
14．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点F在BC边上，过A，B，F三点的⊙O交AC于另一点D，作直径AE，连接EF并延长交AC于点G，连接BE，BD，四边形BDGE是平行四边形．
（1）求证：AB＝BF．
（2）当F为BC的中点，且AC＝3时，求⊙O的直径长．
15．材料：如图①，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，点M是弧ABC的中点，则从点M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．
（1）如图②，已知等边△ABC内接于⊙O，AB＝12，D为弧AC上一点，∠ABD＝45°，AE⊥BD于点E，求△BDC的周长；
（2）求证：CD＝AB+BD．
16．如图，已知⊙O是边长为6的等边△ABC的外接圆，点D，E分别是BC，AC上两点，且BD＝CE，连接AD，BE相交于点P，延长线段BE交⊙O于点F，连接CF．
（1）求证：AD∥FC；
（2）连接PC，当△PEC为直角三角形时，求tan∠ACF的值．
17．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，M为AB上一点，过M，C，B三点的⊙O交AC于P，过点P作PD∥AB，交⊙O于点D．
（1）若M是AB中点，连接MD，求证：四边形APDM是平行四边形；
（2）连接PM，当PM＝PC，且AC＝4，tanA＝，求线段PD的长．
18．如图，△ABC是⊙O的内接三角形．AE是⊙O的直径，交BC于点G．过点A作AF⊥BC，AF分别与BC、⊙O交于点D、F，连接BE、CF．
（1）求证：∠BAE＝∠CAF；
（2）若AB＝8，AC＝6，AG＝5，求AF的长．
19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上（不包括端点B，C），过A，C，D三点的⊙O交AB于另一点E，连接AD，DE，CE，且CE⊥AD于点G，过点C作CF∥DE交AD于点F，连接EF．
（1）求证：四边形DCFE是菱形；
（2）当tan∠AEF＝，AC＝4时，求⊙O的直径长．
20．如图，D是△ABC外接圆上的动点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F．BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC＝PB．
（1）求证：BG∥CD；
（2）设△ABC外接圆的圆心为O，若AB＝DH，∠OHD＝80°，求∠BDE的大小．
参考答案
1．（1）证明：连接BD，
∵BA＝BC，AD＝DC，
∴BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∴AB是⊙O的直径；
（2）证明：∵BA＝BC，
∴∠A＝∠C，
由圆周角定理得，∠A＝∠E，
∴∠C＝∠E，
∴DC＝DE．
2．证明：（1）连接BE，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
∴∠AEB+∠BAE＝90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ACB+∠DAC＝90°，
由圆周角定理得：∠AEB＝∠ACB，
∴∠DAC＝∠BAE；
（2）连接CE，
∵点C是的中点，
∴＝，
∴AC＝CE，
∵∠DAC＝∠BAE，∠FCE＝∠BAE，
∴∠DAC＝∠FCE，
在△CFE和△ADC中，
，
∴△CFE≌△ADC（AAS），
∴FC＝AD．
3．（Ⅰ）解：连接OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴，
∴∠AOD＝90°，
即△AOD为等腰直角三角形，
∵AB＝6，
∴OA＝OD＝3．
∴；
（Ⅱ）证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠EAB，
∵∠BCD＝∠BAD，
∠ACD＝∠BCD，
∴∠ACD＝∠BAD，
∴∠ACD+∠CAE＝∠BAD+∠EAB，
即∠EAD＝∠AED，
∴DE＝DA．
4．（1）证明：∵BE＝CF，
∴＝，
∴∠BAE＝∠CAF，
∵AF⊥BC，
∴∠CAF+∠ACB＝90°，
由圆周角定理得：∠ACB＝∠AEB，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝90°，
∴AE是⊙O的直径；
（2）解：连接CE，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE＝90°，
∵∠ABC＝∠EAC，
∴＝，
∴AC＝CE，
∴AC＝AE＝2．
5．解：（1）∵AP为直径，
∴∠ABP＝90°，
∴∠APB＝90°﹣∠BAP＝65°，
∴∠C＝∠APB＝25°．
（2）∵AM⊥BC，
∴点M为BC中点，
∴AB＝AC，
∵BN⊥AC，
∴点N为AC中点，
∴AB＝BC，
∴AB＝AC＝BC，即△ABC为等边三角形，
∴∠C＝60°．
6．证明：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
由圆周角定理得：∠ADB＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ADB，
∵BE∥AD，
∴∠ADB＝∠DBF，∠DFB+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠DBF，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠DFB，
∴∠DFB＝∠DBF，
∴DB＝DF；
（2）由圆周角定理得：∠ADB＝∠AEB，
∴∠DBF＝∠AEB，
∴∠AEB＝∠DFB，
∴AE∥CD，
∵BE∥AD，
∴四边形AEFD是平行四边形．
7．（1）证明：如图1，作AH⊥BC于H，
∴∠AHC＝90°，
∴∠HAC+∠C＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠BAC＝2∠CAH，
∵BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∴∠CBE+∠C＝90°，
∴∠CBE＝∠CAH，
∵＝，
∴∠CAD＝∠CBE，
∴∠CAH＝∠CAD，
∴∠BAC＝2∠CAD；
（2）解：如图，连接GC并延长交AD延长线于点H，连接DG，BG，AG，
∵G是的中点，
∴，
∴GB＝GC，∠BAG＝∠CAG，
∴∠CAG＝∠DAC，
∵AB＝AC，
∴AG垂直平分BC，
∴AG为直径，
∴∠ADG＝∠ACG＝90°，
∴∠GDH＝∠ACH＝90°，
∵∠AGC+∠CAG＝90°，∠AHC+∠CAH＝90°，
∴∠AGC＝∠AHC，
∴AG＝AH，
∴CG＝CH，
在Rt△GDH中，DC＝CG＝CH，即GH＝2DC＝DF，
∵∠AEB＝90°＝∠ACG，
∴BD∥GH，
∴四边形GHDF为平行四边形，
∴DH＝FG＝2，
设半径为r，则AH＝AG＝2r，AD＝2r﹣2，
在Rt△AGD中，DG2＝AG2﹣AD2＝（2r）2﹣（2r﹣2）2＝8r﹣4，
在Rt△GDH中，GH＝DF＝2CD＝4，
∴DG2＝GH2﹣DH2＝32﹣4＝28，
∴8r﹣4＝28，解得r＝4，
∴⊙O的半径为4．
8．（1）证明：如图，连接CF，
∵BF为直径，
∴∠BCF＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝∠BFC，
∴∠ACD＝180°﹣∠ADC﹣∠BAC，
∠FBC＝180°﹣∠BCF﹣∠BFC，
∴∠ACD＝∠FBC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠DBE＝∠BCD；
（2）解：∠DBE+∠DEB＝90°，∠DEB＝∠FEC，
∴∠DBE+∠FEC＝90°，
∵∠BCD+∠FCE＝90°，∠DBE＝∠BCD，
∴∠FEC＝∠FCE，
∴FE＝FC，
设FC＝x，则BF＝4+x，
在Rt△BCF中，BC2+FC2＝BF2，即（4）2+x2＝（4+x）2，
解得x＝2，
∴BF＝6，
如图，过点A作AG⊥BC于G，
∵AB＝AC，
∴BG＝CG＝2，
∴点A、O、G在同一直线上，
∴OG＝FC＝1，
∴AG＝AO+OG＝4，
在Rt△ABG中，AB2＝AG2+BG2＝24，
∴AB＝2．
9．解：如图，连接OA，OC．
∵∠COA＝2∠CBA＝2×45°＝90°，
在Rt△AOC中，根据勾股定理得：AC＝＝4，
∵CD⊥AB，∠CAB＝30°，
∴CD＝BD＝AC＝2．
∴AD＝CD＝2，
∴AB＝AD+BD＝2+2．
10．（1）证明：连接DF、EF，
∵∠BAC＝90°，
∴FC是⊙O的直径，
∵F是的中点，
∴＝，
∴∠ADF＝∠EDF，
∵OF＝OD，
∴∠ADF＝∠OFD，
∴∠OFD＝∠EDF，
∴FC∥DM，
∵OA＝OD，OF＝OC，∠BAC＝90°，
∴四边形AFDC为矩形，
∴AF∥CD，
∴四边形CDMF为平行四边形；
（2）解：∵四边形AFDC为矩形，四边形CDMF为平行四边形，
∴CD＝AF＝FM＝EF，
∵CD＝AB，
∴CD＝（2CD+BM），
∴CD＝2BM，
∵BM∥CD，
∴△BEM∽△CED，
∴＝＝，
∴EC＝2BE，
设BM＝a，则CD＝2a，BF＝3a，EF＝2a，
在Rt△BEF中，BE＝＝a，
∴EC＝2a，
在Rt△CEF中，FC＝＝2a，
在Rt△FAC中，sin∠ACF＝＝＝．
11．解：（1）证明：∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CE⊥CD，
∴∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣∠ECB＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（ASA）；
（2）∵△ACE≌△BCD，
∴CE＝CD，AE＝BD，
∵CE⊥CD，
∴△ECD是等腰直角三角形，
∵CD＝2，BD＝3,
∴DE＝2，AE＝3，
∴AD＝5，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AB＝＝2，
∴⊙O的半径为．
12．（1）证明：∵四边形ACBE是圆内接四边形，
∴∠EAD＝∠EBC，
∵AE平分∠BAD，
∴∠EAD＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠EBC，
∴BE＝CE．
（2）解：如图，连接EO并延长交BC于点F，连接OB，
由圆的对称性及等腰三角形的对称性可知，EF⊥BC，
∴点F是BC的中点，
∵BC＝4，tan∠EAB＝，
∴BF＝2，tan∠EAB＝＝，
∴EF＝，
设⊙O的半径的半径为r，
∴OE＝OB＝r，OF＝﹣r，
∴OF2+BF2＝OB2，即（﹣r）2+22＝r2，
解得，r＝．
13．（1）证明：如图1，
∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠BCD+∠PCB＝180°，
∴∠BAD＝∠PCB；
（2）证明：∵PC＝PB，
∴∠PCB＝∠PBC，
由（1）得∠BAD＝∠PCB，
∵∠BAD＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠PCB＝∠PBC，
∴BC∥DF，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∴AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∵BG⊥AD，
∴∠AGB＝90°，
∴∠ADC＝∠AGB，
∴BG∥CD；
（3）解：由（1）得：BC∥DF，BG∥CD，
∴四边形BCDH是平行四边形，
∴BC＝DH，
∵AC＝2DH，
∴AC＝2BC，
在Rt△ABC中，
∵AB＝＝BC，
∴tan∠ACB＝＝，
∴∠ACB＝60°，
连接OD，
∵∠COD＝23°，OD＝OC，
∴∠OCD＝（180°﹣23°）＝（ ）°，
∴∠PCB＝180°﹣∠ACB﹣∠OCD＝（ ）°，
∵PC＝PB，
∴∠P＝180°﹣2×（ ）°＝97°．
14．解：（1）连接AF，
∵AE是⊙O的直径，
∴AF⊥EG，
∵四边形BDGE是平行四边形，
∴BD∥EG，
∴BD⊥AF，
∵∠BAC＝90°，
∴BD是⊙O的直径，
∴BD垂直平分AF，
∴AB＝BF；
（2）∵当F为BC的中点，
∴BF＝BC，
∵AB＝BF，
∴AB＝BC，
∵∠BAC＝90°，
∴∠C＝30°，
∴∠ABC＝60°，AB＝AC＝，
∵AB＝BF，
∴∠ABD＝30°，
∴BD＝2，
∴⊙O的直径长为2．
15．（1）解：∵AE⊥BD，∠ABD＝45°，
∴△AEB是等腰直角三角形，
∴BE＝＝6，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，
∴点A为弧BDC的中点，
∴AE平分折弦CDB，即BE＝ED+DC，
∴BD+DC＝2BE＝12，
∴△BDC的周长＝BD+CD+BC＝12+12；
（2）证明：如图，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG，
∵M是弧ABC的中点，
∴MA＝MC，
∵BA＝GC，∠A＝∠C，MA＝MC，
∴△MBA≌△MGC（SAS），
∴MB＝MG，
∵MD⊥BC，
∴BD＝GD，
∴DC＝GC+GD＝AB+BD．
16．解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC，
∴∠ABD＝∠∠BCE＝60°，
∵BD＝CE，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BDA＝∠CEB，
∵∠CEB＝∠F+∠FCE，
∵∠F＝∠BAC＝∠BCA＝60°，
∴∠CEB＝∠BCA+∠FCE＝∠BCF，
∴∠BDA＝∠BCF，
∴AD∥CF；
（2）如图，连接PC，
当△PEC为直角三角形时，可分3种情况讨论：
①∠PCE＝90°或∠CEP＝90°或∠CPE＝90°，
①当∠PCE＝90°时，
∵∠PCE＜∠ACB＝60°，
∴∠PCE＝90°这种情况不存在；
②当∠PEC＝90°时，
∵∠PEC＝∠F+∠ACF，
∵∠F＝60°，
∴∠ACF＝30°，
∴tan∠ACF＝；
③当∠CPE＝90°时，过点A作AH⊥BC于点H，如图，
设AE＝x，则CD＝AE＝x，CE＝6﹣x，
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝CH＝3，∠HAC＝∠HAB＝30°，
∴HD＝3﹣x，
∵∠BFC＝60°，∠CPE＝90°，
∴∠PCF＝∠HAC＝30°，
∴AD∥FC，
∴∠FCA＝∠DAC，
∴∠PCF﹣∠FCA＝∠HAC﹣∠DAC，
∴∠HAD＝∠PCE，
∵∠AHD＝∠CPE＝90°，
∴△AHD∽△CPE，
∴＝，
∴PE AD＝HD CE①，
∵∠BPD＝∠APE＝∠ACB＝60°，
∠PAE＝∠CAD，
∴△PAE∽△CAD，
∴PE AD＝AE CD②，
观察①②式可知：
HD CE＝AE CD，
∴（3﹣x）（6﹣x）＝x2，
解得x＝2，
∴AE＝2，
过点E作EG⊥AB于点G，
在Rt△AEG中，∠EAG＝60°，
∴AG＝AE cos60°＝2×＝1，
EG＝AE sin60°＝2×＝，
∴BG＝AB﹣AG＝6﹣1＝5，
在Rt△BGE中，tan∠ABE＝＝，
∴tan∠ACF＝tan∠ABE＝，
综上所述，当△PEC为直角三角形时，
tan∠ACF的值为或．
17．（1）证明：连接CM，PB，DM，如图1所示：
∵∠C＝90°，四边形BCPM为圆内接四边形，
∴∠C+∠BMP＝180°，
∴∠BMP＝90°，BP为⊙O的直径，
又∵PD∥AB，
∴∠DPM＝180°﹣∠BMP＝90°，
∴MD为⊙O的直径，
∵∠C＝90°，M为AB的中点，
∴CM＝AB＝BM，
∴，
又∵MD为⊙O的直径，
∴DM垂直平分BC，
∴PC∥MD，
∴四边形APDM为平行四边形；
（2）解：连接BD、CD、BP，如图2所示：
∵MD和BP均为⊙O的直径，
∴∠DPM＝∠PMB＝∠PDB＝90°，
∴四边形PDBM为矩形，
∴PM＝BD，
∵PM＝PC，
∴PC＝BD，
在Rt△BPD和Rt△PBC中，，
∴Rt△BPD≌Rt△PBC（HL），
∴PD＝BC，
在Rt△ACB中，AC＝4，tanA＝＝，
∴BC＝4tanA＝2，
∴PD＝BC＝2．
18．（1）证明：∵AF⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACB+∠CAF＝90°，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
∴∠BAE+∠E＝90°，
由圆周角定理得，∠ACB＝∠E，
∴∠BAE＝∠CAF；
（2）解：由圆周角定理得，∠ABG＝∠AFC，又∠BAE＝∠CAF，
∴△ABG∽△AFC，
∴＝，即＝，
解得，AF＝．
19．解：（1）证明：∵CE⊥AD，
∴EG＝CG，
∵CF∥DE，
∴∠DEG＝∠FCG，
∵∠FGC＝∠DGE，
∴△DEG≌△FCG（ASA），
∴ED＝FC，
∴四边形DCFE为平行四边形，
又∵CE⊥DF，
∴四边形DCFE是菱形；
（2）∵AG⊥EC，EG＝CG，
∴AE＝AC＝4，
∵四边形AEDC内接于⊙O，
∴∠BED＝∠BCA＝90°，
∵四边形DCFE是菱形，
∴EF∥DC，DE＝DC，
∴∠AEF＝∠ABC，
∴tan∠ABC＝tan∠AEF＝，
在Rt△BED中，设DE＝3a，则BE＝4a，
∴DC＝3a，BD＝＝5a，
∵BC2+AC2＝AB2，
∴（5a+3a）2+42＝（4a+4）2，
解得a＝或a＝0（舍去），
∴DE＝DC＝2，
∴AD＝＝＝2．
即⊙O的直径长为2．
20．（1）证明：如图1，∵PC＝PB，
∴∠PCB＝∠PBC，
∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠BCD+∠PCB＝180°，
∴∠BAD＝∠PCB，
∵∠BAD＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠PCB＝∠PBC，
∴BC∥DF，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∴AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∵BG⊥AD，
∴∠AGB＝90°，
∴∠ADC＝∠AGB，
∴BG∥CD；
（2）由（1）得：BC∥DF，BG∥CD，
∴四边形BCDH是平行四边形，
∴BC＝DH，
在Rt△ABC中，∵AB＝DH，
∴tan∠ACB＝＝，
∴∠ACB＝60°，∠BAC＝30°，
∴∠ADB＝60°，BC＝AC，
∴DH＝AC，
①当点O在DE的左侧时，如图2，作直径DM，连接AM、OH，则∠DAM＝90°，
∴∠AMD+∠ADM＝90°
∵DE⊥AB，
∴∠BED＝90°，
∴∠BDE+∠ABD＝90°，
∵∠AMD＝∠ABD，
∴∠ADM＝∠BDE，
∵DH＝AC，
∴DH＝OD，
∴∠DOH＝∠OHD＝80°，
∴∠ODH＝20°
∵∠ADB＝60°，
∴∠ADM+∠BDE＝40°，
∴∠BDE＝∠ADM＝20°，
②当点O在DE的右侧时，如图3，作直径DN，连接BN，
由①得：∠ADE＝∠BDN＝20°，∠ODH＝20°，
∴∠BDE＝∠BDN+∠ODH＝40°，
综上所述，∠BDE的度数为20°或40°．