2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.8圆内接正多边形 解答题专题提升训练(word版含答案)
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.8圆内接正多边形 解答题专题提升训练(word版含答案) |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 524.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-17 19:16:43 | ||
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文档简介
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3-8圆内接正多边形》
解答题专题提升训练（附答案）
1．如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是的中点，连接AE，DE，CE．
（1）求证：AE＝DE；
（2）若CE＝1，求四边形AECD的面积．
2．已知，正方形ABCD内接于⊙O，点P是弧AD上一点．
（1）如图1，若点P是弧AD的中点，求证：CE＝CD；
（2）如图2，若图中PE＝OE，求的值．
3．如图，点M、N分别在正五边形ABCDE的边BC、CD上，且BM＝CN，AM交BN于点P．
（1）求证：AM＝BN；
（2）求∠APN的度数．
4．【阅读理解】
[阅读与思考]
如图①，在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝CM，∠NOC＝ ；
如图②，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝DM，∠NOD＝ ；
如图③，在正五边形ABCDE中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝EM，∠NOE＝ ；
[理解与运用]
在正六边形ABCDEF中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝FM，∠NOF＝ ；
在正十边形ABCDEFGHIJ中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝JM，∠NOJ＝ ；
[归纳与总结]
根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4…An中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是A1A2，A2A3上的点，且A1M＝A2N，A1N与AnM相交于O．也会有类似的结论，你的结论是 ．
5．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）求证：△ABC是等边三角形．
（2）若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距．
6．七年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：
（1）如图1，等边三角形ABC中，在AB、AC边上分别取点M、N，使BM＝AN，连接BN、CM，发现BN＝CM，且∠NOC＝60°，试说明：∠NOC＝60°．
（2）如图2，正方形ABCD中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM＝BN，连接AN、DM，那么∠DON＝ 度，并说明理由．
（3）如图3，正五边形ABCDE中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM＝BN，连接AN、EM，那么AN＝ ，且∠EON＝ 度．（正n边形内角和（n﹣2）×180°，正多边形各内角相等）
7．如图，图1、图2、图3、…、图n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动．
（1）求图1中∠APN的度数是 ；图2中，∠APN的度数是 ，图3中∠APN的度数是 ．
（2）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案） ．
8．如图，⊙O的半径等于4cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O
（1）求圆心O到AF的距离；
（2）求正六边形ABCDEF的面积．
9．（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为劣弧BC上一动点．求证：PA＝PB+PC；
（2）已知：如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为劣弧BC上一动点．求证：PA＝PC+PB．
10．如图，已知正三角形ABC内接于⊙O，AD是⊙O的内接正十二边形的一条边长，连接CD，若CD＝6cm，求⊙O的半径．
11．如图，正六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形．
（1）若⊙O的半径为4cm．求正六边形ABCDEF的周长和面积．
（2）点G在弧CD上，CG恰好是⊙O内接正十边形的一边，DG恰好是⊙O内接正n边形的一边，求n．
12．如图，在正方形ABCD内有一折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，并且AE＝3，EF＝4，FC＝5，求正方形ABCD的外接圆的半径．
13．如图③，点E，D分别是正三角形ABC，正四边形ABCM，正五边形ABCMN中以点C为顶点的一边延长线和另一边反向延长线上的点，且△ABE与△BCD能相互重合，DB的延长线交AE于点F．
（1）在图①中，求∠AFB的度数；
（2）在图②中，∠AFB的度数为 ，图③中，∠AFB的度数为 ；
（3）继续探索，可将本题推广到一般的正n边形情况，用含n的式子表示∠AFB的度数．
14．如图：⊙O的内接正方形ABCD，E为边CD上一点，且DE＝CE，延长BE交⊙O于F，连接FC，若正方形边长为1，求弦FC的长．
15．如图，已知等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，CD＝5cm，求⊙O的半径R．
16．如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD交DB的延长线于点F，交DE的延长线于点G．
（1）写出图中所有的等腰三角形；
（2）求证：∠G＝2∠F．
17．（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为弧BC上一动点，求证：PA＝PB+PC；
（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为弧BC上一动点，求证：；
（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，并给予证明．
18．已知：如图，边长为2的正五边形ABCDE内接于⊙O，AB、DC的延长线交于点F，过点E作EG∥CB交BA的延长线于点G．
（1）求证：AB2＝AG BF；
（2）证明：EG与⊙O相切，并求AG、BF的长．
19．如图，正△ABC外切于⊙O，正方形DEFG内接于⊙O．若正△ABC的边长为6，求正方形DEFG的面积．
20．如图1，正六边形ABCDEF的边长为a，P是BC边上一动点，过P作PM∥AB交AF于M，作PN∥CD交DE于N．
（1）①∠MPN＝ ；
②求证：PM+PN＝3a．
（2）如图2，点O是AD的中点，联结OM、ON，求证：OM＝ON．
参考答案
1．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，
∴＝，
∵E是的中点，
∴＝，
∴+＝+，即＝，
∴AE＝DE．
（2）解：连接BD，AO，过点D作DF⊥DE交EC的延长线于F．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC＝∠DEC＝45°，DA＝DC，
∵∠EDF＝90°，
∴∠F＝∠EDF﹣∠DEF＝90°﹣45°＝45°，
∴DE＝DF，
∵∠AED＝∠AOD＝45°，
∴∠AED＝∠F＝45°，
∵∠ADC＝∠EDF＝90°，
∴∠ADE+∠EDC＝∠CDF+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
∴S△ADE＝S△CDF，
∴S四边形AECD＝S△DEF，
∵EF＝DE＝EC+DE，EC＝1，
∴1+DE＝DE，
∴DE＝+1，
∴S四边形AECD＝S△DEF＝DE2＝+．
2．（1）证明：如图1，连接DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OB＝OD＝OC，
∴EB＝ED，∠ODC＝∠OCD＝45°，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵点P是弧AD的中点，
∴∠PBD＝∠ABD＝×∠AOD＝22.5°，
∴∠EDC＝∠CDO+∠ODE＝45°+22.5°＝67.5°，
∴∠CED＝180°﹣DCE﹣∠CDE＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠CED＝∠EDC，
∴CE＝CD；
（2）解：如图2，连接DE，DP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠EOD＝90°，OA＝OD，
∴∠P＝∠BAD＝90°，
∵PE＝OE，DE＝DE，
∴Rt△PDE≌Rt△ODE（HL），
∴∠PDE＝∠2，由（1）知∠1＝∠2，
∴∠1＝∠2＝∠PDE，
∴∠1+∠2+∠PDE＝90°，
∴∠2＝30°，
∴OE＝DE，
∴DE＝2OE，
∴OD＝＝OE，
∴＝，
∴OD＝OA＝OE，
∴AE＝OA﹣OE＝（﹣1）OE，EC＝OE+OC＝（+1）OE，
∴＝＝2﹣．
3．（1）证明：∵多边形ABCDE是正五边形，
∴AB＝BC，∠ABM＝∠BCN，
在△ABM和△BCN中，
，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴AM＝BN；
（2）解：∵多边形ABCDE是正五边形，
∴∠ABC＝∠ABN+∠CBN＝，
∵△ABM≌△BCN，
∴∠BAM＝∠CBN，
∵∠APN是△ABP的外角，
∴∠APN＝∠ABN+∠BAM＝∠ABN+∠CBN＝108°．
4．解：[阅读与思考]
∵在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，
∴∠B＝∠CAM，AB＝AC，
∵在△ABN和△CAM中
，
∴△ABN≌△CAM（SAS），
∴AN＝CM，∠BAN＝∠MCA，
∴∠NOC＝∠OAC+∠MCA＝∠OAC+∠BAN＝∠BAC＝60°，
故答案为：60°；
∵在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AN＝DM，
∴AD＝AB，
在△ABN和△DAM中，
，
∴△ABN≌△DAM（SAS），
∴∠AMD＝∠ANB，∠ADM＝∠BAN，
∴∠DON＝∠DAN+∠ADM＝90°，
答案为：90°；
∵在正五边形ABCDE中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝EM，
∴AB＝AE，∠EAM＝∠ABN，
∵在△AEM和△BAN中，
，
∴△ABN≌△EAM（SAS），
∴AN＝EM，∠AEM＝∠BAN，
∴∠EON＝∠AEM+∠EAO＝108°，
故答案为：108°；
[理解与运用]
∵正三角形的内角度数为：60°，
正方形的内角度数为：90°，
正五边形的内角度数为：108°，
所以同理可得：
在正六边形ABCDEF中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝FM，∠NOF＝120°；
故答案为：120°；
同理可得：
在正十边形ABCDEFGHIJ中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝JM，∠NOJ＝144°；
故答案为：144°；
[归纳与总结]
根据以上所求的角恰好等于正n边形的内角，
所以所求的角恰好等于正n边形的内角．
故答案为：以上所求的角恰好等于正n边形的内角．
5．（1）证明：在⊙O中，
∵∠BAC与∠CPB是对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，
∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，
又∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）过O作OD⊥BC于D，连接OB，
则∠OBD＝30°，∠ODB＝90°，
∵OB＝2，
∴OD＝1，
∴等边△ABC的边心距为1．
6．（1）证明：∵△ABC是正三角形，
∴∠A＝∠ABC＝60°，AB＝BC，
在△ABN和△BCM中，，
∴△ABN≌△BCM（SAS），
∴∠ABN＝∠BCM，
又∵∠ABN+∠OBC＝60°，
∴∠BCM+∠OBC＝60°，
∴∠NOC＝60°；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAM＝∠ABN＝90°，AD＝AB，
又∵AM＝BN，
∴△ABN≌△DAM（SAS），
∴AN＝DM，∠ADM＝∠BAN，
又∵∠ADM+∠AMD＝90°，
∴∠BAN+∠AMD＝90°
∴∠AOM＝90°；即∠DON＝90°；
（3）解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠A＝∠B，AB＝AE，
又∵AM＝BN，
∴△ABN≌△EAM（SAS），
∴AN＝ME，
∴∠AEM＝∠BAN，
∴∠NOE＝∠NAE+∠AEM＝∠NAE+∠BAN＝∠BAE＝108°．
故答案为：90°，EM，108°．
7．解：（1）图1：∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，
∴∠BAM＝∠CBN，
又∵∠APN＝∠BPM，
∴∠APN＝∠BPM＝∠ABN+∠BAM＝∠ABN+∠CBN＝∠ABC＝60°；
同理可得：在图2中，∠APN＝90°；在图3中，∠APN＝108°．
（2）由（1）可知，∠APN＝所在多边形的内角度数，故在图n中，．
8．解：（1）过O作OH⊥AF于H，连接OA，OF，
∵在正六边形ABCDEF中，∠BAF＝120°，
∴∠OAF＝60°，
∵OA＝4，
∴AH＝OA＝2，
∴OH＝＝＝2；
∴圆心O到AF的距离为2；
（2）∵OA＝OF，∠OAF＝60°，
∴△OAF是等边三角形，
∴AF＝OA＝4，
∴S△AOF＝×4×2＝4，
∴正六边形ABCDEF的面积＝6S△AOF＝24．
9．证明：（1）延长BP至E，使PE＝PC，连接CE，如图1，
∵A、B、P、C四点共圆，
∴∠BAC+∠BPC＝180°，
∵∠BPC+∠EPC＝180°，
∴∠BAC＝∠CPE＝60°，
∵PE＝PC，
∴△PCE是等边三角形，
∴CE＝PC，∠E＝60°；
又∵∠BCE＝60°+∠BCP，∠ACP＝60°+∠BCP，
∴∠BCE＝∠ACP，
∵△ABC、△ECP为等边三角形，
∴CE＝PC，AC＝BC，
在△BEC和△APC中，
，
∴△BEC≌△APC（SAS），
∴PA＝BE＝PB+PC；
（2）过点B作BE⊥PB交PA于E，连接OA，OB．如图2，
∵∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°
∴∠1＝∠3，
∵∠APB＝∠AOB＝45°，
∴BP＝BE，
∴PE＝PB，
在△ABE和△CBP中，
，
∴△ABE≌△CBP（SAS），
∴PC＝AE，
∴PA＝AE+PE＝PC+PB；
10．解：连接OA、OD、OC，如图所示：
∵等边△ABC内接于⊙O，AD为内接正十二边形的一边，
∴∠AOC＝×360°＝120°，∠AOD＝×360°＝30°，
∴∠COD＝∠AOC﹣∠BAD＝90°，
∵OC＝OD，
∴△OCD是等腰直角三角形，
∴OC＝OD＝CD＝×6＝6，
即⊙O的半径为6cm．
11．解：（1）连接OC，OD，
∵六边形ABCDEF是圆内接正六边形，
∴∠AOD＝＝60°，
∵OC＝OD，
∴△COD是正三角形，
∴CD＝OC＝OD＝4（cm），
∴正六边形ABCDEF的周长为4×6＝24（cm），
∵S△COD＝×4××4＝4（cm2），
∴S正六边形ABCDEF＝6S△COD＝24（cm2），
答：正六边形ABCDEF的周长为24cm，面积为24cm2；
（2）连接OG，
∵CG是正十边形的边长，
∴∠COG＝＝36°，
∴∠DOG＝∠COD﹣∠COG＝60°﹣36°＝24°，
∵DG是圆内接正n边形的边长，
∴＝24°，
解得n＝15．
12．解：连接AC，则AC是该圆的直径，延长AE交圆于G，
连接CG，则∠AGC＝90°，
∵AE⊥EF，EF⊥FC，
∵四边形EFCG是矩形，
∴EG＝FC＝5，GC＝EF＝4，
∴AG＝8．
由勾股定理得，AC＝＝4，
∴正方形外接圆的半径为2．
13．解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠ABE＝∠BCD＝120°．
∵△ABE与△BCD能相互重合，
∴∠E＝∠D，∠DBC＝∠BAE．
∵∠FBE＝∠CBD，
∴∠AFB＝∠E+∠FBE＝∠D+∠CBD＝∠ACB＝60°；
（2）图②中，∵△ABE与△BCD能相互重合，
∴∠E＝∠D．
∵∠FBE＝∠CBD，∠D+∠CBD＝90°，
∴∠AFB＝∠E+∠FBE＝∠D+∠CBD＝90°；
同理可得，图③中∠AFB＝108°．
故答案为：90°，108°；
（3）由（1）（2）可知，在正n边形中，∠AFB＝．
14．解：连接BD．
∵CE＝×1＝，
∴BE＝＝，
在Rt△ABD中，BD＝＝，
∵∠DBE＝∠FCE，∠CFE＝∠BDE，
∴△DEB∽△FEC，
∴＝，
∴＝，
∴FC＝．
15．解：连接OB，OC，OD，
∵等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，
∴∠BOC＝×360°＝120°，∠BOD＝×360°＝30°，
∴∠COD＝∠BOC﹣∠BOD＝90°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝45°，
∴OC＝CD cos45°＝5×＝5（cm）．
即⊙O的半径R＝5cm．
16．（1）解：∵DC＝BC，
∴△CDB是等腰三角形，
∵∠C＝108°，
∴∠1＝∠CBD＝36°，
∵AF∥CD，
∴∠F＝∠1＝36°，
可得四边形DEAB是等腰梯形，
∴∠DBA＝∠2＝72°，
∴∠F＝∠BAF＝36°，
∴△BAF是等腰三角形，
进而可得：∠GEA＝∠G＝∠2＝72°，
∴△FDG，△AEG是等腰三角形，
故等腰三角形有：△BCD，△ABF，△FDG，△AEG．
（2）证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠C＝∠CDE＝108°，CD＝CB．
得∠1＝36°，
∴∠2＝108°﹣36°＝72°．
又∵AF∥CD，
∴∠F＝∠1＝36°，
故∠G＝180°﹣∠2﹣∠F＝180°﹣72°﹣36°＝72°＝2∠F．
17．证明：（1）延长BP至E，使PE＝PC，
连接CE．∵A、B、P、C四点共圆，
∴∠BAC+∠BPC＝180°，
∵∠BPC+∠EPC＝180°，
∴∠BAC＝∠CPE＝60°，PE＝PC，
∴△PCE是等边三角形，
∴CE＝PC，∠E＝60°；
又∵∠BCE＝60°+∠BCP，∠ACP＝60°+∠BCP，
∴∠BCE＝∠ACP，
∵△ABC、△ECP为等边三角形，
∴CE＝PC，AC＝BC，
∴△BEC≌△APC（SAS），
∴PA＝BE＝PB+PC．（2分）
（2）过点B作BE⊥PB交PA于E．
∵∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°
∴∠1＝∠3，
∴∠APB＝45°，
∴BP＝BE，∴；
又∵AB＝BC，
∴△ABE≌△CBP，
∴PC＝AE．
∴．（4分）
（3）答：；
证明：过点B，作BM⊥AP，在AP上截取AQ＝PC，
连接BQ，∵∠BAP＝∠BCP，AB＝BC，
∴△ABQ≌△CBP，
∴BQ＝BP．
∴MP＝QM，
又∵∠APB＝30°，
∴cos30°＝，
∴PM＝PB，
∴
∴（7分）
18．证明：（1）易证五边形ABCDE的外角∠FCB＝∠EAG＝∠FBC，
∵EG∥CB，
∴∠EAG＝∠FBC．
∴△EAG∽△FBC．
∴，即BC AE＝AG BF．
又∵BC＝AE＝AB，
∴AB2＝AG BF．①
（2）连接EF，由（1）可知FB＝FC，即△FBC为等腰三角形，易知BA＝CD，
∴FA＝FD，
∴EF⊥BC且EF平分BC，
∴EF过圆心O．
又∵EG∥CB，∴EF⊥EG，
∴EG与⊙O相切．
∴EG2＝AG BG．
由（1）可知∠G＝∠EAG，∴EG＝EA＝2，
设AG＝x，则22＝x（x+2），解得x＝，
∴AG＝，代入①中可得：BF＝．
19．解：设⊙O与BC相切于点M，连接OM、OB、OD、OE，如图所示：
则∠OMB＝90°，∠OBM＝30°，
∴BM＝BC＝＝3，
∴OM＝BM tan30°＝3×＝，
∴OD＝OE＝，
∵四边形DEFG是正方形，
∴∠DOE＝90°，
∴△DOE是等腰直角三角形，
∴DE＝OD＝＝，
即正方形的DEFG的面积为6．
20．解：（1）①∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝120°
又∴PM∥AB，PN∥CD，
∴∠BPM＝60°，∠NPC＝60°，
∴∠MPN＝180°﹣∠BPM﹣∠NPC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
故答案为：60°．
②如图1，作AG⊥MP交MP于点G，BH⊥MP于点H，CL⊥PN于点L，DK⊥PN于点K，
MP+PN＝MG+GH+HP+PL+LK+KN，
∵正六边形ABCDEF中，PM∥AB，PN∥CD，
∴∠AMG＝∠BPH＝∠CPL＝∠DNK＝60°，
∴GM＝AM，HP＝BP，PL＝PC，NK＝ND，
∵AM＝BP，PC＝DN，
∴MG+HP+PL+KN＝a，GH＝LK＝a，
∴MP+PN＝MG+GH+HP+PL+LK+KN＝3a．
（2）如图2，连接OE，
∵六边形ABCDEF是正六边形，AB∥MP，PN∥DC，
∴AM＝BP＝EN，
∵∠MAO＝∠OEN＝60°，OA＝OE，
在△ONE和△OMA中，
，
∴△OMA≌△ONE（SAS），
∴OM＝ON．
解答题专题提升训练（附答案）
1．如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是的中点，连接AE，DE，CE．
（1）求证：AE＝DE；
（2）若CE＝1，求四边形AECD的面积．
2．已知，正方形ABCD内接于⊙O，点P是弧AD上一点．
（1）如图1，若点P是弧AD的中点，求证：CE＝CD；
（2）如图2，若图中PE＝OE，求的值．
3．如图，点M、N分别在正五边形ABCDE的边BC、CD上，且BM＝CN，AM交BN于点P．
（1）求证：AM＝BN；
（2）求∠APN的度数．
4．【阅读理解】
[阅读与思考]
如图①，在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝CM，∠NOC＝ ；
如图②，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝DM，∠NOD＝ ；
如图③，在正五边形ABCDE中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝EM，∠NOE＝ ；
[理解与运用]
在正六边形ABCDEF中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝FM，∠NOF＝ ；
在正十边形ABCDEFGHIJ中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝JM，∠NOJ＝ ；
[归纳与总结]
根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4…An中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是A1A2，A2A3上的点，且A1M＝A2N，A1N与AnM相交于O．也会有类似的结论，你的结论是 ．
5．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）求证：△ABC是等边三角形．
（2）若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距．
6．七年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：
（1）如图1，等边三角形ABC中，在AB、AC边上分别取点M、N，使BM＝AN，连接BN、CM，发现BN＝CM，且∠NOC＝60°，试说明：∠NOC＝60°．
（2）如图2，正方形ABCD中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM＝BN，连接AN、DM，那么∠DON＝ 度，并说明理由．
（3）如图3，正五边形ABCDE中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM＝BN，连接AN、EM，那么AN＝ ，且∠EON＝ 度．（正n边形内角和（n﹣2）×180°，正多边形各内角相等）
7．如图，图1、图2、图3、…、图n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动．
（1）求图1中∠APN的度数是 ；图2中，∠APN的度数是 ，图3中∠APN的度数是 ．
（2）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案） ．
8．如图，⊙O的半径等于4cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O
（1）求圆心O到AF的距离；
（2）求正六边形ABCDEF的面积．
9．（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为劣弧BC上一动点．求证：PA＝PB+PC；
（2）已知：如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为劣弧BC上一动点．求证：PA＝PC+PB．
10．如图，已知正三角形ABC内接于⊙O，AD是⊙O的内接正十二边形的一条边长，连接CD，若CD＝6cm，求⊙O的半径．
11．如图，正六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形．
（1）若⊙O的半径为4cm．求正六边形ABCDEF的周长和面积．
（2）点G在弧CD上，CG恰好是⊙O内接正十边形的一边，DG恰好是⊙O内接正n边形的一边，求n．
12．如图，在正方形ABCD内有一折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，并且AE＝3，EF＝4，FC＝5，求正方形ABCD的外接圆的半径．
13．如图③，点E，D分别是正三角形ABC，正四边形ABCM，正五边形ABCMN中以点C为顶点的一边延长线和另一边反向延长线上的点，且△ABE与△BCD能相互重合，DB的延长线交AE于点F．
（1）在图①中，求∠AFB的度数；
（2）在图②中，∠AFB的度数为 ，图③中，∠AFB的度数为 ；
（3）继续探索，可将本题推广到一般的正n边形情况，用含n的式子表示∠AFB的度数．
14．如图：⊙O的内接正方形ABCD，E为边CD上一点，且DE＝CE，延长BE交⊙O于F，连接FC，若正方形边长为1，求弦FC的长．
15．如图，已知等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，CD＝5cm，求⊙O的半径R．
16．如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD交DB的延长线于点F，交DE的延长线于点G．
（1）写出图中所有的等腰三角形；
（2）求证：∠G＝2∠F．
17．（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为弧BC上一动点，求证：PA＝PB+PC；
（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为弧BC上一动点，求证：；
（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，并给予证明．
18．已知：如图，边长为2的正五边形ABCDE内接于⊙O，AB、DC的延长线交于点F，过点E作EG∥CB交BA的延长线于点G．
（1）求证：AB2＝AG BF；
（2）证明：EG与⊙O相切，并求AG、BF的长．
19．如图，正△ABC外切于⊙O，正方形DEFG内接于⊙O．若正△ABC的边长为6，求正方形DEFG的面积．
20．如图1，正六边形ABCDEF的边长为a，P是BC边上一动点，过P作PM∥AB交AF于M，作PN∥CD交DE于N．
（1）①∠MPN＝ ；
②求证：PM+PN＝3a．
（2）如图2，点O是AD的中点，联结OM、ON，求证：OM＝ON．
参考答案
1．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，
∴＝，
∵E是的中点，
∴＝，
∴+＝+，即＝，
∴AE＝DE．
（2）解：连接BD，AO，过点D作DF⊥DE交EC的延长线于F．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC＝∠DEC＝45°，DA＝DC，
∵∠EDF＝90°，
∴∠F＝∠EDF﹣∠DEF＝90°﹣45°＝45°，
∴DE＝DF，
∵∠AED＝∠AOD＝45°，
∴∠AED＝∠F＝45°，
∵∠ADC＝∠EDF＝90°，
∴∠ADE+∠EDC＝∠CDF+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
∴S△ADE＝S△CDF，
∴S四边形AECD＝S△DEF，
∵EF＝DE＝EC+DE，EC＝1，
∴1+DE＝DE，
∴DE＝+1，
∴S四边形AECD＝S△DEF＝DE2＝+．
2．（1）证明：如图1，连接DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OB＝OD＝OC，
∴EB＝ED，∠ODC＝∠OCD＝45°，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵点P是弧AD的中点，
∴∠PBD＝∠ABD＝×∠AOD＝22.5°，
∴∠EDC＝∠CDO+∠ODE＝45°+22.5°＝67.5°，
∴∠CED＝180°﹣DCE﹣∠CDE＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠CED＝∠EDC，
∴CE＝CD；
（2）解：如图2，连接DE，DP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠EOD＝90°，OA＝OD，
∴∠P＝∠BAD＝90°，
∵PE＝OE，DE＝DE，
∴Rt△PDE≌Rt△ODE（HL），
∴∠PDE＝∠2，由（1）知∠1＝∠2，
∴∠1＝∠2＝∠PDE，
∴∠1+∠2+∠PDE＝90°，
∴∠2＝30°，
∴OE＝DE，
∴DE＝2OE，
∴OD＝＝OE，
∴＝，
∴OD＝OA＝OE，
∴AE＝OA﹣OE＝（﹣1）OE，EC＝OE+OC＝（+1）OE，
∴＝＝2﹣．
3．（1）证明：∵多边形ABCDE是正五边形，
∴AB＝BC，∠ABM＝∠BCN，
在△ABM和△BCN中，
，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴AM＝BN；
（2）解：∵多边形ABCDE是正五边形，
∴∠ABC＝∠ABN+∠CBN＝，
∵△ABM≌△BCN，
∴∠BAM＝∠CBN，
∵∠APN是△ABP的外角，
∴∠APN＝∠ABN+∠BAM＝∠ABN+∠CBN＝108°．
4．解：[阅读与思考]
∵在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，
∴∠B＝∠CAM，AB＝AC，
∵在△ABN和△CAM中
，
∴△ABN≌△CAM（SAS），
∴AN＝CM，∠BAN＝∠MCA，
∴∠NOC＝∠OAC+∠MCA＝∠OAC+∠BAN＝∠BAC＝60°，
故答案为：60°；
∵在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AN＝DM，
∴AD＝AB，
在△ABN和△DAM中，
，
∴△ABN≌△DAM（SAS），
∴∠AMD＝∠ANB，∠ADM＝∠BAN，
∴∠DON＝∠DAN+∠ADM＝90°，
答案为：90°；
∵在正五边形ABCDE中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝EM，
∴AB＝AE，∠EAM＝∠ABN，
∵在△AEM和△BAN中，
，
∴△ABN≌△EAM（SAS），
∴AN＝EM，∠AEM＝∠BAN，
∴∠EON＝∠AEM+∠EAO＝108°，
故答案为：108°；
[理解与运用]
∵正三角形的内角度数为：60°，
正方形的内角度数为：90°，
正五边形的内角度数为：108°，
所以同理可得：
在正六边形ABCDEF中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝FM，∠NOF＝120°；
故答案为：120°；
同理可得：
在正十边形ABCDEFGHIJ中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝JM，∠NOJ＝144°；
故答案为：144°；
[归纳与总结]
根据以上所求的角恰好等于正n边形的内角，
所以所求的角恰好等于正n边形的内角．
故答案为：以上所求的角恰好等于正n边形的内角．
5．（1）证明：在⊙O中，
∵∠BAC与∠CPB是对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，
∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，
又∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）过O作OD⊥BC于D，连接OB，
则∠OBD＝30°，∠ODB＝90°，
∵OB＝2，
∴OD＝1，
∴等边△ABC的边心距为1．
6．（1）证明：∵△ABC是正三角形，
∴∠A＝∠ABC＝60°，AB＝BC，
在△ABN和△BCM中，，
∴△ABN≌△BCM（SAS），
∴∠ABN＝∠BCM，
又∵∠ABN+∠OBC＝60°，
∴∠BCM+∠OBC＝60°，
∴∠NOC＝60°；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAM＝∠ABN＝90°，AD＝AB，
又∵AM＝BN，
∴△ABN≌△DAM（SAS），
∴AN＝DM，∠ADM＝∠BAN，
又∵∠ADM+∠AMD＝90°，
∴∠BAN+∠AMD＝90°
∴∠AOM＝90°；即∠DON＝90°；
（3）解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠A＝∠B，AB＝AE，
又∵AM＝BN，
∴△ABN≌△EAM（SAS），
∴AN＝ME，
∴∠AEM＝∠BAN，
∴∠NOE＝∠NAE+∠AEM＝∠NAE+∠BAN＝∠BAE＝108°．
故答案为：90°，EM，108°．
7．解：（1）图1：∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，
∴∠BAM＝∠CBN，
又∵∠APN＝∠BPM，
∴∠APN＝∠BPM＝∠ABN+∠BAM＝∠ABN+∠CBN＝∠ABC＝60°；
同理可得：在图2中，∠APN＝90°；在图3中，∠APN＝108°．
（2）由（1）可知，∠APN＝所在多边形的内角度数，故在图n中，．
8．解：（1）过O作OH⊥AF于H，连接OA，OF，
∵在正六边形ABCDEF中，∠BAF＝120°，
∴∠OAF＝60°，
∵OA＝4，
∴AH＝OA＝2，
∴OH＝＝＝2；
∴圆心O到AF的距离为2；
（2）∵OA＝OF，∠OAF＝60°，
∴△OAF是等边三角形，
∴AF＝OA＝4，
∴S△AOF＝×4×2＝4，
∴正六边形ABCDEF的面积＝6S△AOF＝24．
9．证明：（1）延长BP至E，使PE＝PC，连接CE，如图1，
∵A、B、P、C四点共圆，
∴∠BAC+∠BPC＝180°，
∵∠BPC+∠EPC＝180°，
∴∠BAC＝∠CPE＝60°，
∵PE＝PC，
∴△PCE是等边三角形，
∴CE＝PC，∠E＝60°；
又∵∠BCE＝60°+∠BCP，∠ACP＝60°+∠BCP，
∴∠BCE＝∠ACP，
∵△ABC、△ECP为等边三角形，
∴CE＝PC，AC＝BC，
在△BEC和△APC中，
，
∴△BEC≌△APC（SAS），
∴PA＝BE＝PB+PC；
（2）过点B作BE⊥PB交PA于E，连接OA，OB．如图2，
∵∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°
∴∠1＝∠3，
∵∠APB＝∠AOB＝45°，
∴BP＝BE，
∴PE＝PB，
在△ABE和△CBP中，
，
∴△ABE≌△CBP（SAS），
∴PC＝AE，
∴PA＝AE+PE＝PC+PB；
10．解：连接OA、OD、OC，如图所示：
∵等边△ABC内接于⊙O，AD为内接正十二边形的一边，
∴∠AOC＝×360°＝120°，∠AOD＝×360°＝30°，
∴∠COD＝∠AOC﹣∠BAD＝90°，
∵OC＝OD，
∴△OCD是等腰直角三角形，
∴OC＝OD＝CD＝×6＝6，
即⊙O的半径为6cm．
11．解：（1）连接OC，OD，
∵六边形ABCDEF是圆内接正六边形，
∴∠AOD＝＝60°，
∵OC＝OD，
∴△COD是正三角形，
∴CD＝OC＝OD＝4（cm），
∴正六边形ABCDEF的周长为4×6＝24（cm），
∵S△COD＝×4××4＝4（cm2），
∴S正六边形ABCDEF＝6S△COD＝24（cm2），
答：正六边形ABCDEF的周长为24cm，面积为24cm2；
（2）连接OG，
∵CG是正十边形的边长，
∴∠COG＝＝36°，
∴∠DOG＝∠COD﹣∠COG＝60°﹣36°＝24°，
∵DG是圆内接正n边形的边长，
∴＝24°，
解得n＝15．
12．解：连接AC，则AC是该圆的直径，延长AE交圆于G，
连接CG，则∠AGC＝90°，
∵AE⊥EF，EF⊥FC，
∵四边形EFCG是矩形，
∴EG＝FC＝5，GC＝EF＝4，
∴AG＝8．
由勾股定理得，AC＝＝4，
∴正方形外接圆的半径为2．
13．解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠ABE＝∠BCD＝120°．
∵△ABE与△BCD能相互重合，
∴∠E＝∠D，∠DBC＝∠BAE．
∵∠FBE＝∠CBD，
∴∠AFB＝∠E+∠FBE＝∠D+∠CBD＝∠ACB＝60°；
（2）图②中，∵△ABE与△BCD能相互重合，
∴∠E＝∠D．
∵∠FBE＝∠CBD，∠D+∠CBD＝90°，
∴∠AFB＝∠E+∠FBE＝∠D+∠CBD＝90°；
同理可得，图③中∠AFB＝108°．
故答案为：90°，108°；
（3）由（1）（2）可知，在正n边形中，∠AFB＝．
14．解：连接BD．
∵CE＝×1＝，
∴BE＝＝，
在Rt△ABD中，BD＝＝，
∵∠DBE＝∠FCE，∠CFE＝∠BDE，
∴△DEB∽△FEC，
∴＝，
∴＝，
∴FC＝．
15．解：连接OB，OC，OD，
∵等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，
∴∠BOC＝×360°＝120°，∠BOD＝×360°＝30°，
∴∠COD＝∠BOC﹣∠BOD＝90°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝45°，
∴OC＝CD cos45°＝5×＝5（cm）．
即⊙O的半径R＝5cm．
16．（1）解：∵DC＝BC，
∴△CDB是等腰三角形，
∵∠C＝108°，
∴∠1＝∠CBD＝36°，
∵AF∥CD，
∴∠F＝∠1＝36°，
可得四边形DEAB是等腰梯形，
∴∠DBA＝∠2＝72°，
∴∠F＝∠BAF＝36°，
∴△BAF是等腰三角形，
进而可得：∠GEA＝∠G＝∠2＝72°，
∴△FDG，△AEG是等腰三角形，
故等腰三角形有：△BCD，△ABF，△FDG，△AEG．
（2）证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠C＝∠CDE＝108°，CD＝CB．
得∠1＝36°，
∴∠2＝108°﹣36°＝72°．
又∵AF∥CD，
∴∠F＝∠1＝36°，
故∠G＝180°﹣∠2﹣∠F＝180°﹣72°﹣36°＝72°＝2∠F．
17．证明：（1）延长BP至E，使PE＝PC，
连接CE．∵A、B、P、C四点共圆，
∴∠BAC+∠BPC＝180°，
∵∠BPC+∠EPC＝180°，
∴∠BAC＝∠CPE＝60°，PE＝PC，
∴△PCE是等边三角形，
∴CE＝PC，∠E＝60°；
又∵∠BCE＝60°+∠BCP，∠ACP＝60°+∠BCP，
∴∠BCE＝∠ACP，
∵△ABC、△ECP为等边三角形，
∴CE＝PC，AC＝BC，
∴△BEC≌△APC（SAS），
∴PA＝BE＝PB+PC．（2分）
（2）过点B作BE⊥PB交PA于E．
∵∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°
∴∠1＝∠3，
∴∠APB＝45°，
∴BP＝BE，∴；
又∵AB＝BC，
∴△ABE≌△CBP，
∴PC＝AE．
∴．（4分）
（3）答：；
证明：过点B，作BM⊥AP，在AP上截取AQ＝PC，
连接BQ，∵∠BAP＝∠BCP，AB＝BC，
∴△ABQ≌△CBP，
∴BQ＝BP．
∴MP＝QM，
又∵∠APB＝30°，
∴cos30°＝，
∴PM＝PB，
∴
∴（7分）
18．证明：（1）易证五边形ABCDE的外角∠FCB＝∠EAG＝∠FBC，
∵EG∥CB，
∴∠EAG＝∠FBC．
∴△EAG∽△FBC．
∴，即BC AE＝AG BF．
又∵BC＝AE＝AB，
∴AB2＝AG BF．①
（2）连接EF，由（1）可知FB＝FC，即△FBC为等腰三角形，易知BA＝CD，
∴FA＝FD，
∴EF⊥BC且EF平分BC，
∴EF过圆心O．
又∵EG∥CB，∴EF⊥EG，
∴EG与⊙O相切．
∴EG2＝AG BG．
由（1）可知∠G＝∠EAG，∴EG＝EA＝2，
设AG＝x，则22＝x（x+2），解得x＝，
∴AG＝，代入①中可得：BF＝．
19．解：设⊙O与BC相切于点M，连接OM、OB、OD、OE，如图所示：
则∠OMB＝90°，∠OBM＝30°，
∴BM＝BC＝＝3，
∴OM＝BM tan30°＝3×＝，
∴OD＝OE＝，
∵四边形DEFG是正方形，
∴∠DOE＝90°，
∴△DOE是等腰直角三角形，
∴DE＝OD＝＝，
即正方形的DEFG的面积为6．
20．解：（1）①∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝120°
又∴PM∥AB，PN∥CD，
∴∠BPM＝60°，∠NPC＝60°，
∴∠MPN＝180°﹣∠BPM﹣∠NPC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
故答案为：60°．
②如图1，作AG⊥MP交MP于点G，BH⊥MP于点H，CL⊥PN于点L，DK⊥PN于点K，
MP+PN＝MG+GH+HP+PL+LK+KN，
∵正六边形ABCDEF中，PM∥AB，PN∥CD，
∴∠AMG＝∠BPH＝∠CPL＝∠DNK＝60°，
∴GM＝AM，HP＝BP，PL＝PC，NK＝ND，
∵AM＝BP，PC＝DN，
∴MG+HP+PL+KN＝a，GH＝LK＝a，
∴MP+PN＝MG+GH+HP+PL+LK+KN＝3a．
（2）如图2，连接OE，
∵六边形ABCDEF是正六边形，AB∥MP，PN∥DC，
∴AM＝BP＝EN，
∵∠MAO＝∠OEN＝60°，OA＝OE，
在△ONE和△OMA中，
，
∴△OMA≌△ONE（SAS），
∴OM＝ON．