2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.4圆周角与圆心角的关系 解答题专题提升训练(word版含答案)
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.4圆周角与圆心角的关系 解答题专题提升训练(word版含答案) |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 651.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-17 19:18:19 | ||
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文档简介
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3-4圆周角与圆心角的关系》
解答题专题提升训练（附答案）
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．
（1）求证：BE＝CE；
（2）若BD＝3，CE＝4，求AC的长．
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上任意一点，延长AG，与DC的延长线交于点F，连接AD，DG，CG．
（1）求证：∠AGD＝∠FGC．
（2）连AC，若BE＝2，CD＝4，则判断△ACD为何种三角形，并说明理由．
3．如图，C、D两点在以AB为直径的半圆上，AD平分∠BAC，连接OD交BC于点E．
（1）求证：OD∥AC．
（2）若AB＝10，BC＝8，连结BD，求BD的长．
4．如图，四边形APBC内接于圆，∠APC＝60°，AB＝AC，AP，CB的延长线相交于点D．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）若AP＝3，BP＝2，求PC的长；
（3）若∠PAC＝90°，AB＝2，求PD的长．
5．如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，且AB⊥CD，垂足为G，点E在劣弧上，连接CE．
（1）求证：CE平分∠AEB；
（2）连接BC，若BC∥AE，求证：BC＝BE．
6．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD，OD相交于点E，F．
（1）求证：点D为的中点；
（2）若DF＝7，AC＝24，求⊙O的直径．
7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上任意一点，连AD，GD，AG．
（1）找出图中和∠ADC相等的角，并给出证明．
（2）已知BE＝2，CD＝6，求AB的长．
8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．
（1）若∠B＝125°，∠BAC＝25°，求∠E的度数；
（2）若⊙O的半径为6，且∠B＝2∠ADC，求AC的长．
9．如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直相交于点E．取上一点H，连CH与AB相交于点F．
（1）作AG⊥CH于G，求证：∠HAG＝∠BCE；
（2）若H为的中点，且HD＝3，求HF的长．
10．如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，且BC∥OD，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若BC＝3，DE＝2，求⊙O的半径长．
11．已知点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
（1）如图1，若BC为⊙O的直径，求∠CBD的大小；
（2）如图2，若∠CAB＝60°，BD＝5，求⊙O的半径．
12．如图，AB是⊙O的一条弦，过点O作OC⊥AB于D，交⊙O于点C，点E在⊙O上，且∠AEC＝30°，连接OB．
（1）求∠BOC的度数；
（2）若CD＝4，求AB的长．
13．如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝40°，以AB为直径画⊙O交AC于点D，E是线段AB上的动点，延长DE交⊙O于F点，连接AF．
（1）如图1，求∠F的度数；
（2）如图2，当AE＝AD时，求∠DFO的度数．
14．已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接BC，过点O作OD⊥BC于D，交于点E，连接AE，交BC于F．
（1）如图1，求证：∠BAC＝2∠E．
（2）如图2，连接OF，若OF⊥AB，DF＝1，求AE的长．
15．如图，AB，CD是⊙O的直径，点F是AD延长线上一点，且CF⊥AB于点E，交⊙O于点G．
（1）求证：∠F＝∠FCB．
（2）若FC＝6，tan∠F＝，求⊙O的直径．
16．如图，在⊙O中，AB为⊙O直径，直线MN（在直径AB上方）交⊙O于C、D两点，且MN∥AB，连接CB，DB；点P为直径AB下方⊙O上一点，连接DP，BP．
（1）求证：∠BDC+∠BCN＝90°；
（2）若tanP＝，⊙O半径为5，求CD的长．
17．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接BD，CO的延长线交⊙O于点F，AF，CD的延长线交于点G．
（1）求证：∠G＝∠CDB．
（2）若tan∠G＝，DG＝4，求⊙O的半径．
18．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点D平分劣弧，连接BD，过点D的直线分别交AC、AB的延长线于点E、F．给出如下信息：①EF⊥AC；②直线EF是⊙O的切线．
（1）在信息①、②中选择其中一个作为条件，另一个作为结论，并加以证明．你选择的条件是 ，结论是 ；
（2）若AB＝5，BD＝3，求线段BF的长．
19．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，G是弧BC上一点，连结BC，AG，GD，AG分别交CD，BC于点E，F．已知AE＝CE．
（1）求证：C是弧AG的中点．
（2）若AB＝13，tanD＝，求DG的长．
20．如图，在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，以AD为直径的⊙O交AB于点E，交AC于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为H，交于点G，交AD于点M，连接AG，DE，DF．
（1）求证：∠GAD+∠EDF＝180°；
（2）若∠ACB＝45°，AD＝4，tan∠ABC＝2，求HF的长．
参考答案
1．（1）证明：连接AE，如图，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠AEC＝90°，
∴AE⊥BC，
而AB＝AC，
∴BE＝CE；
（2）解：连接DE，如图，
∵BE＝CE＝4，
∴BC＝8，
∵∠BED＝∠BAC，
而∠DBE＝∠CBA，
∴△BED∽△BAC，
∴＝，即＝，
∴BA＝，
∴AC＝BA＝．
2．（1）证明：连接AC．
∵AB⊥CD，
∴EC＝ED，
∴AC＝AD，
∴∠3＝∠ADC，
∵∠1+∠AGC＝180°，∠AGC+∠ADC＝180°，
∴∠1＝∠ADC，
∵∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2，即：∠AGD＝∠FGC；
（2）解：结论：△ADC是等边三角形．
理由：连接BC．
∵AB⊥CD，
∴∠BEC＝90°，EC＝DE＝CD＝2，
∴tan∠EBC＝＝，
∴∠EBC＝60°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝30°，
∵∠AEC＝90°，
∴∠3＝90°﹣30°＝60°，
∵AE⊥CD，EC＝ED，
∴AC＝AD，
∴△ACD是等边三角形．
3．（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠DAB，
∵OA＝OD，
∴∠DAB＝∠ADO，
∴∠CAD＝∠ADO，
∴OD∥AC；
（2）解：设AD交BC于M，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝∠ADB＝90°，
∵OD∥AC，
∴∠DEM＝90°，
由勾股定理得：AC＝＝＝6，
∵AO＝BO，OD∥AC，
∴CE＝BE＝＝4，
∵AC＝6，
∴OE＝AC＝3，
∵OD＝AB＝10＝5，
∴DE＝5﹣3＝2，
∵OD∥AC，
∴△DEM∽△ACM，
∴＝，
∴＝，
解得：EM＝1，则BM＝4+1＝5，
在Rt△DEM中，由勾股定理得：DM＝＝＝，
在Rt△MDB中，由勾股定理得：BD＝＝＝2．
4．（1）证明：∵∠APC＝60°，
∴∠ABC＝∠APC＝60°，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形；
（2）解：如图1中，在PC上截取PT，使得PT＝PA．
∵∠APT＝60°，
∴△APT是等边三角形，
∵△ABC是等边三角形，
∴AP＝AT，AB＝AC，∠PAT＝∠BAC＝60°，
∴∠PAB＝∠TAC，
∴△PAB≌△TAC（SAS），
∴PB＝TC＝2，
∵PT＝PA＝3，
∴PC＝PT+CT＝3+2＝5；
（3）解：在Rt△PAC中，∠APC＝60°，∠PAC＝90°，AC＝AB＝2，
∴∠PCA＝30°，
∴PC＝2PA．
∵PC2＝PA2+AC2，
∴PA＝2，PC＝4．
同理，可求出CD＝4，AD＝6，
∴PD＝AD﹣PA＝4．
5．（1）证明：∵CD⊥AB，CD是直径，
∴＝，
∴∠AEC＝∠BEC，
∴CE平分∠AEB；
（2）证明：∵BC∥AE，
∴∠AEC＝∠BCE，
又∠AEC＝∠BEC，
∴∠BCE＝∠BEC，
∴BE＝BC．
6．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OD∥BC，
∴∠OFA＝90°，
∴OF⊥AC，
∴＝，
即点D为的中点；
（2）解：OF⊥AC，
∴AF＝AC＝12，
∵DF＝7，
∴OF＝OD﹣DF＝OA﹣7，
∵OA2＝AF2+OF2，
∴OA2＝122+（OA﹣7）2，
∴OA＝，
∴⊙O的直径为．
7．解：（1）∠AGD＝∠ADC，
理由如下：∵弦CD⊥AB，
∴DE＝CE，＝，
∴∠AGD＝∠ADC，∠ACD＝∠ADC；
（2）设OC＝OB＝r，
∵OB⊥CD，
∴EC＝DE＝3，
∵OC2＝OE2+EC2，
∴R2＝（R﹣2）2+32，
∴R＝，
∴AB＝2R＝．
8．解：（1）∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝125°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣125°＝55°，
∵＝，∠BAC＝25°，
∴∠DCE＝∠BAC＝25°，
∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝55°﹣25°＝30°；
（2）连接AO，CO，过O作OH⊥AC于H，则AO＝CO＝6，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠ADC＝180°，
∵∠B＝2∠ADC，
∴∠ADC＝60°，∠B＝2∠ADC＝120°，
∴∠AOC＝2∠ADC＝120°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝30°，
∵AO＝6，OH⊥AC，
∴OH＝AO＝3，
由勾股定理得：AH＝＝＝3，
∵OH⊥AC，OH过圆心O，
∴AH＝CH＝3，
∴AC＝AH+CH＝6．
9．（1）证明：如图1中，
∵AB⊥CD，
∴∠CEB＝90°，
∵AG⊥CH，
∴∠AGH＝90°，
∵∠GAH+∠AHG＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∠ABE＝∠AHG，
∴∠HAG＝∠BCE．
（2）解：如图2中，连接AC，AD，DF．
∵AB⊥CD，
∴CE＝DE，
∴AC＝AD，FC＝FD，
∴∠FCD＝∠FDC，∠ACD＝∠ADC，
∴∠ACF＝∠ADF，
∵＝，
∴∠ADF＝∠DCH＝∠ADH，
∴∠ACF＝∠DCF＝∠FDC＝∠ADF，
∵∠HFD＝∠FCD+∠FDC＝2∠FCD，∠HDF＝2∠FCD，
∴∠HDF＝∠HFD，
∴FH＝DH＝3．
10．（1）证明：∵OD∥BC，
∴∠ODB＝∠CBD，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠OBD＝∠CBD，
∴BD平分∠ABC；
（2）解：过O点作OH⊥BC于H，如图，则BH＝CH＝BC＝，
∵DE⊥AB，OH⊥BC，
∴∠DEO＝90°，∠OHB＝90°，
∵OD∥BC，
∴∠DOE＝∠OBH，
在△ODE和△BOH中，
，
∴△ODE≌△BOH（AAS），
∴DE＝OH＝2，
在Rt△OBH中，OB＝＝＝，
即⊙O的半径长为．
11．解：（1）∵BC为⊙O的直径，
∴∠CAB＝90°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠CAB＝45°，
∴∠CBD＝∠CAD＝45°；
（2）如图2，连接DO并延长交⊙O于E，连接BE，
则∠EBD＝90°，
∵∠CAB＝60°，AD平分∠CAB，
∴∠DAB＝∠CAB＝30°，
∴DE＝2BD，
∵BD＝5，
∴DE＝10，
∴⊙O的半径为5．
12．解：（1）∵OC⊥AB，
∴＝，
∵∠AEC＝30°，
∴∠BOC＝2∠AEC＝60°；
（2）∵OC⊥AB，
∴∠BDO＝90°，
∵∠BOC＝60°，
∴∠OBD＝30°，
∴OB＝OC＝2OD，
∴OD＝CD＝4，
∴OB＝8，
∴BD＝＝＝4，
∴AB＝ABD＝8．
13．解：（1）如图1，连接OD，
在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝40°，
∴∠BAC＝50°，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD＝50°，
∴∠AOD＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴∠F＝∠AOD＝40°；
（2）如图2，连接OD，
在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝40°，
∴∠BAC＝50°，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD＝50°，
∵AE＝AD，
∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣50°）＝65°，
∴∠ODF＝∠ADE﹣∠ODA＝65°﹣50°＝15°，
∵OF＝OD，
∴∠DFO＝∠FDO＝15°．
14．（1）证明：如图1中，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OE⊥BC，
∴∠ODB＝∠ACB＝90°，
∴OE∥AC，
∴∠CAF＝∠AEO，
∵OA＝OE，
∴∠AEO＝∠OAE，
∴∠BAC＝2∠E；
（2）解：如图2中，
∵OF⊥AB，OA＝OB，
∴FA＝FB，
∴∠FAB＝∠FBA，
∵∠CAF＝∠EAB，
∴∠CAB＝2∠ABC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
∴∠B＝∠EAO＝∠E＝30°，
∴∠AOE＝120°，
∴∠FOE＝∠E＝30°，
∴FO＝EF，
∵FD⊥OE，
∴EF＝OF＝2DF＝2，AF＝2OF＝4，
∴AE＝AF+EF＝4+2＝6．
15．（1）证明：∵AB，CD是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠DAC＝90°，
∴AF⊥AC，BC⊥AC，
∴AF∥BC，
∴∠F＝∠FCB；
（2）解：∵CF⊥AB，
∴GE＝CE，∠ACF+∠BAC＝∠ACF+∠F＝90°，
∴∠F＝∠BAC，
令GE＝CE＝x，
∵tan∠F＝，
∴tan∠BAC＝＝，
∴AE＝2x，
∵tan∠F＝，
∴EF＝4x，
∵FC＝6，
∴EF＝6﹣x，
∴6﹣x＝4x，
∴x＝，
即CE＝，AE＝，
设OC＝r，
在Rt△COE中，OC2＝OE2+CE2，
即r2＝+，
解得，r＝，
故⊙O的直径为3．
16．（1）证明：连接CA．
∵，
∴∠BDC＝∠CAB，
∵MN∥AB，
∴∠BCN＝∠CBA，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∴∠BDC+∠BCN＝90°．
（2）解：连接AD，过B作BE⊥MN交于E．
∵，
∴∠P＝∠DAB，
∵AB＝10，
在Rt△ADB中，，
设BD＝4x，AD＝3x，
∵BD2+AD2＝AB2，
∴（4x）2+（3x）2＝102，
∴x＝2，
∴BD＝8，AD＝6，
∵∠BDN＝∠DBA，∠BDN+∠DBN＝∠DBA+∠DAB＝90°，
∴∠DBN＝∠DAB＝∠P，
在Rt△EDB中，，
设DE＝4a，BE＝3a，DE2+BE2＝BD2，
∴（4a）2+（3a）2＝82，
∴，
∴，
∵四边形BCDP为圆内接四边形，
∴∠BCD+∠P＝180°，∠BCD+∠BCE＝180°，
∴∠BCE＝∠P．
在Rt△ECB中，，，
∴．
17．（1）证明：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADC+∠BDE＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BDE+∠ABD＝90°，
∴∠ADC＝∠ABD，
∵OA＝OF，
∴∠GAE＝∠AFC＝∠ADC，
∵∠ADC＝∠AFC，∠GAE+∠G＝90°，∠ADC+∠CDB＝90°，
∴∠G＝∠CDB．
（2）由（1）知，∠G＝∠CDB，
∴tan∠CDB＝tanG＝，
∴＝，
设BE＝x，则DE＝2x，GE＝2x+4，
∵＝，
∴AE＝x+2，
∵∠DAE+∠ADE＝90°，∠CDB+∠ADE＝90°，
∴∠DAE＝∠CDB＝∠G，
∴tan∠DAE＝，
∴＝，
∴＝，
∴x＝2，
∴AB＝AE+BE＝x+2+x＝6，
∴⊙O的半径为3．
18．解：（1）条件是①，结论是②，理由如下：
连接OD，
∵点D平分劣弧，
∴＝，
∴∠BOD＝∠COD＝∠BOC，
∵∠A＝∠BOC，
∴∠A＝∠BOD，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴OD⊥EF，
∴直线EF是⊙O的切线，
故答案为：①，②；
（2）连接OD，BC相交于点H，
∵点D平分劣弧，
∴OD⊥BC，
设OH＝x，
∵AB＝5，
∴OD＝，
∴DH＝﹣x，
∵BH2＝OB2﹣OH2＝BD2﹣DH2，
∵BD＝3，
∴﹣x2＝32﹣，
∴x＝，
∵OD⊥EF，OD⊥BC，
∴BC∥EF，
∴△OHB∽△ODF，
∴＝，
即＝，
∴OF＝，
∴BF＝OF﹣OB＝﹣＝．
19．（1）证明：连接OC，AC，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴＝，
∵AE＝CE，
∴∠CAE＝∠ACE，
∴＝，
∴＝，
∴C是弧AG的中点；
（2）解：如（1）图，
由（1）得，＝＝，
∴OC⊥AG，∠ACD＝∠D，
∵tanD＝，
∴tanB＝tanD＝tan∠ACH＝，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CD⊥AB，
∴＝＝，
∴AH＝CH，BH＝CH，
∵AB＝13，
∴AH+BH＝CH+CH＝13，
∴CH＝6＝DH，
∴AH＝4，BH＝9，
∴AC＝＝2，
∵OC＝，
∴cos∠HCO＝＝，
∵∠HCO+∠COA＝∠OAE+∠COA＝90°，
∴∠HCO＝∠OAE，
∴cos∠OAE＝cos∠HCO＝，
∴tan∠OAE＝tan∠HCO＝，
∴EH＝AH tan∠OAE＝4×＝，
∴DE＝6+＝，CE＝6﹣＝，
∵∠ACD＝∠D，
∴AC∥DG，
∴△AEC∽△GED，
∴＝＝，
∴DG＝AC＝．
20．（1）证明：由题可知∠AGF＝∠ADF（同弧所对的圆周角相等），
∵GF⊥AB，AD为圆的直径，
∴∠AGF+∠GAE＝90°，∠ADF+∠FAD＝90°，
∴∠GAE＝∠FAD，
∴∠GAE+∠DAE＝∠FAD+∠DAE，即∠GAD＝∠EAF，
∵四边形AEDF是圆的内接四边形，
∴∠EAF+∠EDF＝180°，
∴∠GAD+∠EDF＝180°．
（2）解：如图，
连接OF，
∵AD是圆的直径，且AD是△ABC的高，GF⊥AB，
∴∠AED＝∠ADB＝∠AHM＝∠AFD＝90°，
∵∠HAM＝∠DAB，
∴△AHM∽△ADB，
∴＝，
∵tan∠ABC＝＝2，
∴＝2，
∵∠ACB＝45°，
∴∠DAC＝∠ADF＝∠AFO＝45°，
∴∠AOF＝90°，
∵在Rt△AHM与Rt△FOM中：∠AMH＝∠FMO（对顶角），
∴△AHM∽△FOM，
∴＝＝2，
∵AD＝4，
∴OF＝OA＝2，
∴＝2，解得OM＝1，AM＝OA﹣OM＝1，
设HM＝x，则AH＝2x，
在Rt△AHM中有：AH2+HM2＝AM2，
即（2x）2+x2＝1，解得x1＝，x2＝﹣（舍去），
∴AH＝，
∵OF＝OA＝2，
∴AF＝2，
在Rt△AHF中，有：AH2+HF2＝AF2，
即（）2+HF2＝（2）2，
解得HF＝，或HF＝﹣（舍去），
故HF的长为．
解答题专题提升训练（附答案）
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．
（1）求证：BE＝CE；
（2）若BD＝3，CE＝4，求AC的长．
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上任意一点，延长AG，与DC的延长线交于点F，连接AD，DG，CG．
（1）求证：∠AGD＝∠FGC．
（2）连AC，若BE＝2，CD＝4，则判断△ACD为何种三角形，并说明理由．
3．如图，C、D两点在以AB为直径的半圆上，AD平分∠BAC，连接OD交BC于点E．
（1）求证：OD∥AC．
（2）若AB＝10，BC＝8，连结BD，求BD的长．
4．如图，四边形APBC内接于圆，∠APC＝60°，AB＝AC，AP，CB的延长线相交于点D．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）若AP＝3，BP＝2，求PC的长；
（3）若∠PAC＝90°，AB＝2，求PD的长．
5．如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，且AB⊥CD，垂足为G，点E在劣弧上，连接CE．
（1）求证：CE平分∠AEB；
（2）连接BC，若BC∥AE，求证：BC＝BE．
6．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD，OD相交于点E，F．
（1）求证：点D为的中点；
（2）若DF＝7，AC＝24，求⊙O的直径．
7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上任意一点，连AD，GD，AG．
（1）找出图中和∠ADC相等的角，并给出证明．
（2）已知BE＝2，CD＝6，求AB的长．
8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．
（1）若∠B＝125°，∠BAC＝25°，求∠E的度数；
（2）若⊙O的半径为6，且∠B＝2∠ADC，求AC的长．
9．如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直相交于点E．取上一点H，连CH与AB相交于点F．
（1）作AG⊥CH于G，求证：∠HAG＝∠BCE；
（2）若H为的中点，且HD＝3，求HF的长．
10．如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，且BC∥OD，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若BC＝3，DE＝2，求⊙O的半径长．
11．已知点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
（1）如图1，若BC为⊙O的直径，求∠CBD的大小；
（2）如图2，若∠CAB＝60°，BD＝5，求⊙O的半径．
12．如图，AB是⊙O的一条弦，过点O作OC⊥AB于D，交⊙O于点C，点E在⊙O上，且∠AEC＝30°，连接OB．
（1）求∠BOC的度数；
（2）若CD＝4，求AB的长．
13．如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝40°，以AB为直径画⊙O交AC于点D，E是线段AB上的动点，延长DE交⊙O于F点，连接AF．
（1）如图1，求∠F的度数；
（2）如图2，当AE＝AD时，求∠DFO的度数．
14．已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接BC，过点O作OD⊥BC于D，交于点E，连接AE，交BC于F．
（1）如图1，求证：∠BAC＝2∠E．
（2）如图2，连接OF，若OF⊥AB，DF＝1，求AE的长．
15．如图，AB，CD是⊙O的直径，点F是AD延长线上一点，且CF⊥AB于点E，交⊙O于点G．
（1）求证：∠F＝∠FCB．
（2）若FC＝6，tan∠F＝，求⊙O的直径．
16．如图，在⊙O中，AB为⊙O直径，直线MN（在直径AB上方）交⊙O于C、D两点，且MN∥AB，连接CB，DB；点P为直径AB下方⊙O上一点，连接DP，BP．
（1）求证：∠BDC+∠BCN＝90°；
（2）若tanP＝，⊙O半径为5，求CD的长．
17．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接BD，CO的延长线交⊙O于点F，AF，CD的延长线交于点G．
（1）求证：∠G＝∠CDB．
（2）若tan∠G＝，DG＝4，求⊙O的半径．
18．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点D平分劣弧，连接BD，过点D的直线分别交AC、AB的延长线于点E、F．给出如下信息：①EF⊥AC；②直线EF是⊙O的切线．
（1）在信息①、②中选择其中一个作为条件，另一个作为结论，并加以证明．你选择的条件是 ，结论是 ；
（2）若AB＝5，BD＝3，求线段BF的长．
19．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，G是弧BC上一点，连结BC，AG，GD，AG分别交CD，BC于点E，F．已知AE＝CE．
（1）求证：C是弧AG的中点．
（2）若AB＝13，tanD＝，求DG的长．
20．如图，在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，以AD为直径的⊙O交AB于点E，交AC于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为H，交于点G，交AD于点M，连接AG，DE，DF．
（1）求证：∠GAD+∠EDF＝180°；
（2）若∠ACB＝45°，AD＝4，tan∠ABC＝2，求HF的长．
参考答案
1．（1）证明：连接AE，如图，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠AEC＝90°，
∴AE⊥BC，
而AB＝AC，
∴BE＝CE；
（2）解：连接DE，如图，
∵BE＝CE＝4，
∴BC＝8，
∵∠BED＝∠BAC，
而∠DBE＝∠CBA，
∴△BED∽△BAC，
∴＝，即＝，
∴BA＝，
∴AC＝BA＝．
2．（1）证明：连接AC．
∵AB⊥CD，
∴EC＝ED，
∴AC＝AD，
∴∠3＝∠ADC，
∵∠1+∠AGC＝180°，∠AGC+∠ADC＝180°，
∴∠1＝∠ADC，
∵∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2，即：∠AGD＝∠FGC；
（2）解：结论：△ADC是等边三角形．
理由：连接BC．
∵AB⊥CD，
∴∠BEC＝90°，EC＝DE＝CD＝2，
∴tan∠EBC＝＝，
∴∠EBC＝60°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝30°，
∵∠AEC＝90°，
∴∠3＝90°﹣30°＝60°，
∵AE⊥CD，EC＝ED，
∴AC＝AD，
∴△ACD是等边三角形．
3．（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠DAB，
∵OA＝OD，
∴∠DAB＝∠ADO，
∴∠CAD＝∠ADO，
∴OD∥AC；
（2）解：设AD交BC于M，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝∠ADB＝90°，
∵OD∥AC，
∴∠DEM＝90°，
由勾股定理得：AC＝＝＝6，
∵AO＝BO，OD∥AC，
∴CE＝BE＝＝4，
∵AC＝6，
∴OE＝AC＝3，
∵OD＝AB＝10＝5，
∴DE＝5﹣3＝2，
∵OD∥AC，
∴△DEM∽△ACM，
∴＝，
∴＝，
解得：EM＝1，则BM＝4+1＝5，
在Rt△DEM中，由勾股定理得：DM＝＝＝，
在Rt△MDB中，由勾股定理得：BD＝＝＝2．
4．（1）证明：∵∠APC＝60°，
∴∠ABC＝∠APC＝60°，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形；
（2）解：如图1中，在PC上截取PT，使得PT＝PA．
∵∠APT＝60°，
∴△APT是等边三角形，
∵△ABC是等边三角形，
∴AP＝AT，AB＝AC，∠PAT＝∠BAC＝60°，
∴∠PAB＝∠TAC，
∴△PAB≌△TAC（SAS），
∴PB＝TC＝2，
∵PT＝PA＝3，
∴PC＝PT+CT＝3+2＝5；
（3）解：在Rt△PAC中，∠APC＝60°，∠PAC＝90°，AC＝AB＝2，
∴∠PCA＝30°，
∴PC＝2PA．
∵PC2＝PA2+AC2，
∴PA＝2，PC＝4．
同理，可求出CD＝4，AD＝6，
∴PD＝AD﹣PA＝4．
5．（1）证明：∵CD⊥AB，CD是直径，
∴＝，
∴∠AEC＝∠BEC，
∴CE平分∠AEB；
（2）证明：∵BC∥AE，
∴∠AEC＝∠BCE，
又∠AEC＝∠BEC，
∴∠BCE＝∠BEC，
∴BE＝BC．
6．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OD∥BC，
∴∠OFA＝90°，
∴OF⊥AC，
∴＝，
即点D为的中点；
（2）解：OF⊥AC，
∴AF＝AC＝12，
∵DF＝7，
∴OF＝OD﹣DF＝OA﹣7，
∵OA2＝AF2+OF2，
∴OA2＝122+（OA﹣7）2，
∴OA＝，
∴⊙O的直径为．
7．解：（1）∠AGD＝∠ADC，
理由如下：∵弦CD⊥AB，
∴DE＝CE，＝，
∴∠AGD＝∠ADC，∠ACD＝∠ADC；
（2）设OC＝OB＝r，
∵OB⊥CD，
∴EC＝DE＝3，
∵OC2＝OE2+EC2，
∴R2＝（R﹣2）2+32，
∴R＝，
∴AB＝2R＝．
8．解：（1）∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝125°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣125°＝55°，
∵＝，∠BAC＝25°，
∴∠DCE＝∠BAC＝25°，
∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝55°﹣25°＝30°；
（2）连接AO，CO，过O作OH⊥AC于H，则AO＝CO＝6，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠ADC＝180°，
∵∠B＝2∠ADC，
∴∠ADC＝60°，∠B＝2∠ADC＝120°，
∴∠AOC＝2∠ADC＝120°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝30°，
∵AO＝6，OH⊥AC，
∴OH＝AO＝3，
由勾股定理得：AH＝＝＝3，
∵OH⊥AC，OH过圆心O，
∴AH＝CH＝3，
∴AC＝AH+CH＝6．
9．（1）证明：如图1中，
∵AB⊥CD，
∴∠CEB＝90°，
∵AG⊥CH，
∴∠AGH＝90°，
∵∠GAH+∠AHG＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∠ABE＝∠AHG，
∴∠HAG＝∠BCE．
（2）解：如图2中，连接AC，AD，DF．
∵AB⊥CD，
∴CE＝DE，
∴AC＝AD，FC＝FD，
∴∠FCD＝∠FDC，∠ACD＝∠ADC，
∴∠ACF＝∠ADF，
∵＝，
∴∠ADF＝∠DCH＝∠ADH，
∴∠ACF＝∠DCF＝∠FDC＝∠ADF，
∵∠HFD＝∠FCD+∠FDC＝2∠FCD，∠HDF＝2∠FCD，
∴∠HDF＝∠HFD，
∴FH＝DH＝3．
10．（1）证明：∵OD∥BC，
∴∠ODB＝∠CBD，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠OBD＝∠CBD，
∴BD平分∠ABC；
（2）解：过O点作OH⊥BC于H，如图，则BH＝CH＝BC＝，
∵DE⊥AB，OH⊥BC，
∴∠DEO＝90°，∠OHB＝90°，
∵OD∥BC，
∴∠DOE＝∠OBH，
在△ODE和△BOH中，
，
∴△ODE≌△BOH（AAS），
∴DE＝OH＝2，
在Rt△OBH中，OB＝＝＝，
即⊙O的半径长为．
11．解：（1）∵BC为⊙O的直径，
∴∠CAB＝90°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠CAB＝45°，
∴∠CBD＝∠CAD＝45°；
（2）如图2，连接DO并延长交⊙O于E，连接BE，
则∠EBD＝90°，
∵∠CAB＝60°，AD平分∠CAB，
∴∠DAB＝∠CAB＝30°，
∴DE＝2BD，
∵BD＝5，
∴DE＝10，
∴⊙O的半径为5．
12．解：（1）∵OC⊥AB，
∴＝，
∵∠AEC＝30°，
∴∠BOC＝2∠AEC＝60°；
（2）∵OC⊥AB，
∴∠BDO＝90°，
∵∠BOC＝60°，
∴∠OBD＝30°，
∴OB＝OC＝2OD，
∴OD＝CD＝4，
∴OB＝8，
∴BD＝＝＝4，
∴AB＝ABD＝8．
13．解：（1）如图1，连接OD，
在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝40°，
∴∠BAC＝50°，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD＝50°，
∴∠AOD＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴∠F＝∠AOD＝40°；
（2）如图2，连接OD，
在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝40°，
∴∠BAC＝50°，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD＝50°，
∵AE＝AD，
∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣50°）＝65°，
∴∠ODF＝∠ADE﹣∠ODA＝65°﹣50°＝15°，
∵OF＝OD，
∴∠DFO＝∠FDO＝15°．
14．（1）证明：如图1中，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OE⊥BC，
∴∠ODB＝∠ACB＝90°，
∴OE∥AC，
∴∠CAF＝∠AEO，
∵OA＝OE，
∴∠AEO＝∠OAE，
∴∠BAC＝2∠E；
（2）解：如图2中，
∵OF⊥AB，OA＝OB，
∴FA＝FB，
∴∠FAB＝∠FBA，
∵∠CAF＝∠EAB，
∴∠CAB＝2∠ABC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
∴∠B＝∠EAO＝∠E＝30°，
∴∠AOE＝120°，
∴∠FOE＝∠E＝30°，
∴FO＝EF，
∵FD⊥OE，
∴EF＝OF＝2DF＝2，AF＝2OF＝4，
∴AE＝AF+EF＝4+2＝6．
15．（1）证明：∵AB，CD是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠DAC＝90°，
∴AF⊥AC，BC⊥AC，
∴AF∥BC，
∴∠F＝∠FCB；
（2）解：∵CF⊥AB，
∴GE＝CE，∠ACF+∠BAC＝∠ACF+∠F＝90°，
∴∠F＝∠BAC，
令GE＝CE＝x，
∵tan∠F＝，
∴tan∠BAC＝＝，
∴AE＝2x，
∵tan∠F＝，
∴EF＝4x，
∵FC＝6，
∴EF＝6﹣x，
∴6﹣x＝4x，
∴x＝，
即CE＝，AE＝，
设OC＝r，
在Rt△COE中，OC2＝OE2+CE2，
即r2＝+，
解得，r＝，
故⊙O的直径为3．
16．（1）证明：连接CA．
∵，
∴∠BDC＝∠CAB，
∵MN∥AB，
∴∠BCN＝∠CBA，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∴∠BDC+∠BCN＝90°．
（2）解：连接AD，过B作BE⊥MN交于E．
∵，
∴∠P＝∠DAB，
∵AB＝10，
在Rt△ADB中，，
设BD＝4x，AD＝3x，
∵BD2+AD2＝AB2，
∴（4x）2+（3x）2＝102，
∴x＝2，
∴BD＝8，AD＝6，
∵∠BDN＝∠DBA，∠BDN+∠DBN＝∠DBA+∠DAB＝90°，
∴∠DBN＝∠DAB＝∠P，
在Rt△EDB中，，
设DE＝4a，BE＝3a，DE2+BE2＝BD2，
∴（4a）2+（3a）2＝82，
∴，
∴，
∵四边形BCDP为圆内接四边形，
∴∠BCD+∠P＝180°，∠BCD+∠BCE＝180°，
∴∠BCE＝∠P．
在Rt△ECB中，，，
∴．
17．（1）证明：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADC+∠BDE＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BDE+∠ABD＝90°，
∴∠ADC＝∠ABD，
∵OA＝OF，
∴∠GAE＝∠AFC＝∠ADC，
∵∠ADC＝∠AFC，∠GAE+∠G＝90°，∠ADC+∠CDB＝90°，
∴∠G＝∠CDB．
（2）由（1）知，∠G＝∠CDB，
∴tan∠CDB＝tanG＝，
∴＝，
设BE＝x，则DE＝2x，GE＝2x+4，
∵＝，
∴AE＝x+2，
∵∠DAE+∠ADE＝90°，∠CDB+∠ADE＝90°，
∴∠DAE＝∠CDB＝∠G，
∴tan∠DAE＝，
∴＝，
∴＝，
∴x＝2，
∴AB＝AE+BE＝x+2+x＝6，
∴⊙O的半径为3．
18．解：（1）条件是①，结论是②，理由如下：
连接OD，
∵点D平分劣弧，
∴＝，
∴∠BOD＝∠COD＝∠BOC，
∵∠A＝∠BOC，
∴∠A＝∠BOD，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴OD⊥EF，
∴直线EF是⊙O的切线，
故答案为：①，②；
（2）连接OD，BC相交于点H，
∵点D平分劣弧，
∴OD⊥BC，
设OH＝x，
∵AB＝5，
∴OD＝，
∴DH＝﹣x，
∵BH2＝OB2﹣OH2＝BD2﹣DH2，
∵BD＝3，
∴﹣x2＝32﹣，
∴x＝，
∵OD⊥EF，OD⊥BC，
∴BC∥EF，
∴△OHB∽△ODF，
∴＝，
即＝，
∴OF＝，
∴BF＝OF﹣OB＝﹣＝．
19．（1）证明：连接OC，AC，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴＝，
∵AE＝CE，
∴∠CAE＝∠ACE，
∴＝，
∴＝，
∴C是弧AG的中点；
（2）解：如（1）图，
由（1）得，＝＝，
∴OC⊥AG，∠ACD＝∠D，
∵tanD＝，
∴tanB＝tanD＝tan∠ACH＝，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CD⊥AB，
∴＝＝，
∴AH＝CH，BH＝CH，
∵AB＝13，
∴AH+BH＝CH+CH＝13，
∴CH＝6＝DH，
∴AH＝4，BH＝9，
∴AC＝＝2，
∵OC＝，
∴cos∠HCO＝＝，
∵∠HCO+∠COA＝∠OAE+∠COA＝90°，
∴∠HCO＝∠OAE，
∴cos∠OAE＝cos∠HCO＝，
∴tan∠OAE＝tan∠HCO＝，
∴EH＝AH tan∠OAE＝4×＝，
∴DE＝6+＝，CE＝6﹣＝，
∵∠ACD＝∠D，
∴AC∥DG，
∴△AEC∽△GED，
∴＝＝，
∴DG＝AC＝．
20．（1）证明：由题可知∠AGF＝∠ADF（同弧所对的圆周角相等），
∵GF⊥AB，AD为圆的直径，
∴∠AGF+∠GAE＝90°，∠ADF+∠FAD＝90°，
∴∠GAE＝∠FAD，
∴∠GAE+∠DAE＝∠FAD+∠DAE，即∠GAD＝∠EAF，
∵四边形AEDF是圆的内接四边形，
∴∠EAF+∠EDF＝180°，
∴∠GAD+∠EDF＝180°．
（2）解：如图，
连接OF，
∵AD是圆的直径，且AD是△ABC的高，GF⊥AB，
∴∠AED＝∠ADB＝∠AHM＝∠AFD＝90°，
∵∠HAM＝∠DAB，
∴△AHM∽△ADB，
∴＝，
∵tan∠ABC＝＝2，
∴＝2，
∵∠ACB＝45°，
∴∠DAC＝∠ADF＝∠AFO＝45°，
∴∠AOF＝90°，
∵在Rt△AHM与Rt△FOM中：∠AMH＝∠FMO（对顶角），
∴△AHM∽△FOM，
∴＝＝2，
∵AD＝4，
∴OF＝OA＝2，
∴＝2，解得OM＝1，AM＝OA﹣OM＝1，
设HM＝x，则AH＝2x，
在Rt△AHM中有：AH2+HM2＝AM2，
即（2x）2+x2＝1，解得x1＝，x2＝﹣（舍去），
∴AH＝，
∵OF＝OA＝2，
∴AF＝2，
在Rt△AHF中，有：AH2+HF2＝AF2，
即（）2+HF2＝（2）2，
解得HF＝，或HF＝﹣（舍去），
故HF的长为．