2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.6直线与圆的位置关系 解答题专题提升训练(word版含答案)
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.6直线与圆的位置关系 解答题专题提升训练(word版含答案) |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 570.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-17 19:19:49 | ||
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文档简介
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3-6直线与圆的位置关系》
解答题专题提升训练（附答案）
1．如图，AB是⊙O的直径，点F是△ABC的内心，连接CF并延长交⊙O于D，连接BD并延长至E，使得BD＝DE，连接AE．
（1）求证：FD＝BD；
（2）求证：AE是⊙O的切线．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，点D在AB上，DE⊥AE．⊙O是Rt△ADE的外接圆，交AC于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AC＝8，求S△ADE．
3．如图，在半径为4的⊙O中，E为的中点，OE交BC于F，D为⊙O上一点，DE交AC于G，AD＝AG．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若∠A＝60°，求ED的长．
4．如图，已知AB是⊙O的直径，点E是⊙O上一点，F为的中点，过点F作AE的垂线，垂足为C，交AB的延长线于点D，连接AF．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若BD＝2，sinD＝，求CD的长．
5．如图，AB是⊙O的直径，点D是直径AB上不与A，B重合的一点，过点D作CD⊥AB，且CD＝AB，连接BC，交⊙O于点F，在CD上取一点E，使EF＝EC．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）当D是OA的中点，AB＝8时，求CF的长．
6．如图，O为平行四边形ABCD的边AD上一点，AO＝AB，以OD为半径的⊙O交AD于点E，交CD于点F，OG⊥EF交BC于点G，⊙O和AG相切于点P．
（1）求证：四边形ABGO为菱形；
（2）若AB＝6，cos∠ADC＝，求⊙O的半径R．
7．已知：在⊙O中，AB为直径，P为射线AB上一点，过点P作⊙O的切线，切点为点C，D为弧AC上一点，连接BD、BC、DC．
（1）如图1，求证：∠D＝∠PCB；
（2）如图2，若四边形CDBP为平行四边形，BC＝5，求⊙O的半径．
8．如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦于点E，交⊙O于点F，且CE＝CB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）连接AF、BF，求∠ABF的度数；
（3）如果BE＝10，sinA＝，求⊙O的半径．
9．如图，AB为⊙O的直径，AC、BD、CD分别与⊙O相切于点A、B、E．
（1）如图1，连接OC、OD，求证：OC⊥OD；
（2）如图2，连接AD交⊙O于点M，若tan∠AME＝，求cos∠CDB的值．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，延长CA到点D，以AD为直径作⊙O，交BA的延长线于点E，延长BC到点F，使BF＝EF．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若OC＝9，AC＝4，AE＝8，求BF的长．
11．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点P，AC平分∠DAB，过点A作AD⊥PC于点D，AD与⊙O交于点E．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若AB＝9，sin∠CAB＝，
①求AD的长；
②求AE的长．
12．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，连接AD，使AD＝CD，作以AD为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F，过点E作EG⊥BC于点G．
（1）求证：EG是⊙O的切线；
（2）若AB＝6，cosB＝，请直接写出EG的长度 ．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．D是AB上一点，以CD为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F两点，FG与⊙O相切于点F，且FG⊥AB于点G．
（1）求证：点D为AB的中点．
（2）若BC＝8，CD＝5，求FG的长．
14．已知：如图，△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F．
求证：（1）AD＝BD；
（2）DF是⊙O的切线．
15．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）求证：△PCF是等腰三角形；
（3）若AF＝6，EF＝2，求⊙O的半径长．
16．如图，AB是⊙O的直径，直线AD与⊙O相切于点A，点C在⊙O上，∠DAC＝∠ACD，直线DC与AB的延长线交于点E．AF⊥ED于点F，交⊙O于点G．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）已知⊙O的半径是6cm，EC＝8cm，求GF的长．
17．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F，交AB的延长线于点G．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）已知BD＝2，CF＝2，求AE和BG的长．
18．已知：AB为⊙O的直径，C为圆弧上一点，AD垂直于过C点的切线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E，CF⊥AB，垂足为点F．
（1）如图1，求证：AD＝AF；
（2）如图2，若AB＝12，连接OD交AC于点G，且时，求CF的长度．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AC＜AB，以AC为直径作⊙O，与AB交于点D，E是BC的中点，连接DE，连接DO并延长交BC的延长线于点F，连接AF交⊙O于点G，连接CG．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若＝，求BC的长．
20．如图1，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA＝∠PBD．延长PD交圆的切线BE于点E
（1）判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；
（2）如图2，如果∠BED＝60°，PD＝，求PA的长．
参考答案
1．（1）证明：连接BF，
∵F是△ABC的内心，
∴∠BCF＝∠ACF，∠CBF＝∠ABF．
∵∠BFD＝∠BCF+∠CBF，∠DBF＝∠ABF+∠DBA，∠DBA＝∠BCF，
∴∠DBF＝∠BFD．
∴FD＝BD；
（2）证明：连接OD．
∴OA＝OB．
∵BD＝DE，
∴OD是△BAE的中位线，
∴OD∥AE，
∵∠BCD＝∠ACD，
∴＝，
∵OD是半径，
∴OD⊥AB．
∴EA⊥AB，
∴EA是⊙O的切线．
2．（1）证明：连接OE，
∵∠C＝90°，
∴∠2+∠AEC＝90°，
∵OA＝OE，
∴∠1＝∠OEA，
∵∠1＝∠2，
∴∠AEC+∠OEA＝90°，
即OE⊥BC，
∵OE是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：过点E作EM⊥AB，垂足为M，
∵∠1＝∠2，∠C＝∠AED＝90°，
∴△ACE∽△AED，
∴＝，
即＝，
∴AE＝4，
由勾股定理得，
CE＝＝＝4＝EM，
∴S△ADE＝AD EM
＝×10×4
＝20．
3．（1）证明：连接OD．
∵E为的中点，
∴OE⊥BC于F，
∴∠AGD+∠ODE＝∠EGF+∠OED＝90°，
∵OD＝OE，
∴∠ODE＝∠OED，
∵∠AGD＝∠ADG，
∴∠ADG+∠ODE＝90°．
即OD⊥AD，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：作OH⊥ED于H，
∴DE＝2DH，
∵∠ADG＝∠AGD，
∴AG＝AD，
∵∠A＝60°，
∴∠ADG＝60°，
∴∠ODE＝30°，
∵OD＝4，
∴DH＝OD＝2，
∴DE＝2DH＝4．
4．（1）证明：如图，连接OF．
∵OA＝OF，
∴∠OAF＝∠OFA．
∵F是的中点，
∴．
∴∠FAE＝∠OAF．
∴∠OFA＝∠FAE．
∴OF∥AC．
∵AC⊥CD，
∴OF⊥CD．
∴直线CD是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ODF中，
∵OB＝OF，BD＝2，sinD＝，
∴，
即，
解得OB＝OF＝4．
∴AD＝10，OD＝6．
∵OF∥AC，
∴△ADC∽△ODF．
∴＝，
即＝．
∴AC＝．
∴CD＝．
5．（1）证明：连接OF，如图所示：
∵CD⊥AB，
∴∠DBC+∠C＝90°，
∵OB＝OF，
∴∠OBC＝∠OFB，
∵EF＝EC，
∴∠C＝∠EFC，
∴∠OFB+∠EFC＝90°，
∴∠OFE＝180°﹣90°＝90°，
∴OE⊥EF，
∵OF为⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线．
（2）解：连接AF，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∵D是OA的中点，
∴，
∴BD＝3OD＝6，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵CD＝AB＝8，
由勾股定理得：BC＝10，
∵∠AFB＝∠CDB＝90°，∠FBA＝∠DBC，
∴△FBA∽△DBC，
∴，
∴
∴，
∴．
6．解：（1）∵DE为⊙O的直径，
∴∠EFD＝90°，
∴DF⊥EF，
∵OG⊥EF，
∴OG∥CD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵AB∥OG，
∴四边形ABGO为平行四边形，
∵AO＝AB，
∴四边形ABGO为菱形；
（2）如图，连接OB，过点O作OH⊥BC于点H，
∵四边形ABGO为菱形，
∴OB⊥AG，
∵⊙O和AG相切于点P．
∴OP⊥AG，
∴O，P，B三点共线，OP＝OB，
∵∠D＝∠OGH，AB＝6，
∴BG＝OG＝6，
∴GH＝OG cos∠OGH＝6×＝2，
由勾股定理，得OH＝＝4，
∴OB＝＝4．
∴⊙O的半径R为2．
7．（1）证明：如图1，连接AC，OC，
∵AB为直径，PC为⊙O的切线，
∴∠ACB＝∠OCP＝90°，
∴∠ACO＝∠PCB，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A，
∵∠A＝∠D，
∴∠D＝∠PCB；
（2）解：如图2，连接AC，OC，
∵四边形CDBP为平行四边形，
∴∠D＝∠CPB，
由（1）得，∠ACB＝∠OCP＝90°，∠D＝∠A＝∠CPB，
∴∠D＝∠A＝∠CPB＝∠PCB，
在△ACP中，∠A+∠ACB+∠BCP+∠CPB＝180°，
∴∠A+∠BCP+∠CPB＝90°，
∴∠A＝∠CPB＝∠PCB＝30°，
∴∠OBC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝BC＝5，
故⊙O的半径为5．
8．（1）证明：连接OB，
∵OB＝OA，CE＝CB，
∴∠A＝∠OBA，∠CEB＝∠ABC，
又∵CD⊥OA，
∴∠A+∠AED＝∠A+∠CEB＝90°，
∴∠OBA+∠ABC＝90°，
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：如图1，连接OF，AF，BF，
∵DA＝DO，CD⊥OA，
∴AF＝OF，
∵OA＝OF，
∴△OAF是等边三角形，
∴∠AOF＝60°，
∴∠ABF＝∠AOF＝30°；
（3）解：连接OF，如图2所示：
∵DA＝DO，CD⊥OA，
∴AF＝OF＝OA，
过点O作OG⊥AB于点G，则AG＝BG，
在Rt△AOG中，sin∠BAO＝＝＝，
设DE＝5x，则AE＝13x，AD＝12x，AO＝24x，
∵BE＝10，
∴AB＝10+13x，
则AG＝AB＝5+x，
又∵Rt△AOG中，sin∠BAO＝，则＝，
则＝，
解得x＝，
∴AO＝24x＝．
9．（1）证明：连接OE，
∵AB为⊙O的直径，AC、BD、CD分别与⊙O相切于点A、B、E．
∴∠OAC＝∠DBO＝90°，OE⊥CD，OA＝OB＝OE，
∴CE平分∠ACE，DO平分∠BDC，
∴∠OCD+∠ODC＝（∠ACE+∠BDC），
∵∠OAC+∠DBO＝90°+90°＝180°，
∴AC∥BD，
∴∠ACE+∠BDC＝180°，
∴∠OCD+∠ODC＝90°，
∵∠OCD+∠ODC+∠COD＝180°，
∴∠COD＝90°，
∴OC⊥OD；
（2）解：过C点作CN⊥BD，垂足为N，连接OC，OD，OE，
∵∠CAO＝∠DBO＝∠CNB＝∠CND＝90°，
∴四边形ABNC为矩形，
∴CN＝AB，BN＝AC，
∵∠COD＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，
∵∠BDO+∠BOD＝90°，
∴∠AOC＝∠BDO，
∴△AOC∽△BDO，
∴AC：BO＝AO：BD，
∵∠AOE＝2∠AME，∠AOE＝2∠AOC，
∴∠AME＝∠AOC，
∵tan∠AME＝，
∴tan∠AOC＝＝，
设AC＝a，则BO＝AO＝2a，则CN＝AB＝AO+BO＝4a，
∴a：2a＝2a：BD，
解得BD＝4a，
∴DN＝4a﹣a＝3a，
在Rt△CND中，DC＝，
∴cos∠CDB＝．
10．证明：（1）连接OE，
∵OA＝OE，
∴∠OEA＝∠OAE，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠B＝90°，
∵BF＝EF，
∴∠B＝∠BEF，
∵∠OAE＝∠BAC，
∴∠OEA＝∠BAC，
∴∠OEF＝∠OEA+∠BEF＝∠BAC+∠B＝90°，
∴OE⊥EF，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：连接DE，
∵OC＝9，AC＝4，
∴OA＝OC﹣AC＝5，
∵AD＝2OA，
∴AD＝10，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AED＝90°，
在Rt△ADE中，
∵DE＝＝＝6，
∴cos∠DAE＝＝＝，
在Rt△ABC中，cos∠BAC＝＝，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴＝，
∴AB＝5，
∴BE＝AB+AE＝5+8＝13，
∵OD＝OE，
∴∠ODE＝∠OED，
∵EF是⊙O的切线，
∴∠FEO＝90°，
∵∠OED+∠OEA＝90°，∠FEB+∠OEA＝90°，
∴∠FEB＝∠OED，
∴∠B＝∠FEB＝∠OED＝∠ODE，
∴△FBE∽△ODE，
∴＝，
∴＝，
∴BF＝．
11．解：（1）连接OC，
∵OC＝OA，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠OAC＝∠OCA，
∵AD⊥DP，
∴∠DAC+∠DCA＝90°，
∴∠ACO+∠DCA＝90°，
∴PC与⊙O相切；
（2）①∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°＝∠ADC，
∵，
∴BC＝3，AC＝＝6，
∵∠DAC＝∠CAB，
∴△DCA∽△CBA，
∴＝＝，
即＝＝，
∴AD＝8，CD＝2；
②连接CE，
∵∠EDC＝∠ACB＝90°，
∴△EDC∽△BCA，
∴＝，
即＝，
∴DE＝1，
∴AE＝AD﹣DE＝8﹣1＝7．
12．（1）证明：如图，连接OE，DE，
∵AD为⊙O直径，
∵∠AED＝90°，
∴DE⊥AC，
∵AD＝CD，
∴E是AC的中点，
∵O是AD的中点，
∴OE是三角形ACD的中位线，
∴OE∥BC，
∵EG⊥BC，
∴OE⊥EG，
∵点E在⊙O上，
∴EG是⊙O的切线；
（2）如图，连接AF，
∵AD为⊙O直径，
∵∠AFB＝90°，
∵AB＝6，cosB＝＝，
∴BF＝，
∴AF＝＝＝，
∵EG⊥BC，AF⊥BC，
∴EG∥AF，
∵E是AC的中点，
∴EG是△CAF的中位线，
∴EG＝AF＝．
故答案为：．
13．解：（1）证明：如图，连接OF，
∵FG与⊙O相切，
∴∠OFG＝90°，
∵FG⊥AB，
∴∠DGF＝90°，
∴∠DGF+∠OFG＝180°，
∴OF∥DB，
∴∠OFC＝∠B，
∵OF＝OC，
∴∠OFC＝∠DCB，
∴∠B＝∠DCB，
∴DC＝DB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°，
∴∠A＝∠ACD，
∴DA＝DC，
∴DA＝DB，
∴点D为AB的中点；
（2）如图，连接DF，
∵CD＝5，
∴AB＝2CD＝10，
∴AC＝＝＝6，
∵CD为直径，
∴∠DFC＝90°，
∴FD⊥BC，
∵BD＝DC，
∴BF＝BC＝4，
∵sin∠ABC＝＝，
∴＝，
∴FG＝．
14．证明：（1）连接CD，
∵BC为⊙O的直径，
∴CD⊥AB．
∵AC＝BC，
∴AD＝BD．
（2）连接OD；
∵AD＝BD，OB＝OC，
∴OD是△BCA的中位线，
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴DF⊥OD．
∵OD为半径，
∴DF是⊙O的切线．
15．（1）证明：∵PD为⊙O的切线，
∴OC⊥DP，
∵AD⊥DP，
∴OC∥AD，
∴∠DAC＝∠OCA，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠OAC＝∠DAC，
∴AC平分∠DAB；
（2）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE＝45°，
连接OE．
∴∠BOE＝2∠BCE＝90°，
∴∠OFE+∠OEF＝90°，
而∠OFE＝∠CFP，
∴∠CFP+∠OEF＝90°，
∵OC⊥PD，
∴∠OCP＝90°，即∠OCF+∠PCF＝90°，
而∠OCF＝∠OEF，
∴∠PCF＝∠CFP，
∴△PCF是等腰三角形；
（3）解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝45°，
∴∠BOE＝90°，即OE⊥AB，
设⊙O 的半径为r，则OF＝6﹣r，
在Rt△EOF中，∵OE2+OF2＝EF2，
∴r2+（6﹣r）2＝（2）2，
解得，r1＝4，r2＝2，
当r1＝4时，OF＝6﹣r＝2（符合题意），
当r2＝2时，OF＝6﹣r＝4（不合题意，舍去），
∴⊙O的半径r＝4．
16．（1）证明：连接OC，
∵AD是⊙O的切线，
∴∠OAD＝90°，
∴∠OAC+∠DAC＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠DAC＝∠ACD，
∴∠OCA+∠ACD＝90°，即∠OCD＝90°，
∴ED是⊙O的切线；
（2）解：连接BG，
∵OC＝6cm，EC＝8cm，
∴在Rt△CEO中，OE＝＝10cm．
∴AE＝OE+OA＝16cm．
∵AF⊥ED，
∴∠AFE＝∠OCE＝90°，∠E＝∠E．
∴Rt△AEF∽Rt△OEC，
∴＝，
∴AF＝＝＝9.6cm．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AGB＝90°，
∴BG∥EF，
∴＝，
∴AG＝＝＝7.2cm，
∴GF＝AF﹣AG＝9.6﹣7.2＝2.4cm．
17．解：（1）连接OD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
又∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠ACB＝∠ODB，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∵OD是⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝2，
∵＝cosC＝cos∠ABC＝，
即＝，
∴AB＝12＝AC，
∴AF＝AC﹣CF＝12﹣2＝10，
∵OD∥AC，
∴△GDO∽△GFA，
∴＝，
即＝，
解得BG＝3，
连接BE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，即AE⊥BE，
∵GF⊥AC
∴BE∥GF，
∴＝，
即＝，
解得AE＝8，
故AE＝8，BG＝3．
18．解：（1）如图1，连接OC，
∵直线CE与⊙O相切于点C，
∴OC⊥CE，
∵AD⊥CE，
∴∠ADC＝∠OCE＝90°
∴OC∥AD，
∴∠DAC＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠OAC，
∴∠DAC＝OAC，
∵CF⊥AB，
∴∠AFC＝90°＝∠ADC，
在△ADC和△AFC中，
，
∴△ADC≌△AFC（AAS），
∴AD＝AF
（2）连接OC，
∵OC∥AD，
∴∠ADG＝∠GOC，∠DAG＝∠GCO，
∴△OCG∽△DAG，
∴，
∵AB＝12，
∴OC＝6，
∴AD＝10，
∴AF＝10，
∴OF＝4，
在Rt△COF中，根据勾股定理，得
．
19．解：（1）如图，连接CD，
∵AC为为⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°，
∵E是BC的中点，
∴DE＝CE，
∴∠ECD＝EDC，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵∠OCD+∠ECD＝∠ACB＝90°，
∴∠ODC+∠EDC＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE为⊙O的切线；
（2）∵＝，
∴AG＝CG，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠AGC＝90°，
∴∠ACG＝∠CAG＝45°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACF＝90°，
∴CF＝AC＝4，
∴OF＝＝2，
∵∠EDF＝∠OCF，∠DFE＝∠OFC，
∴△DEF∽△COF，
∴，
∴，
∵DE＝CE，
∴DE＝，
∴BC＝2+2．
20．解：（1）直线PD是否为⊙O的切线．理由如下：
连接OD，如图1，
∵OD＝OB，
∴∠1＝∠OBD，
∵∠PDA＝∠PBD，
∴∠1＝∠PDA，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，即∠2+∠1＝90°，
∴∠PDA+∠2＝90°，即∠PDO＝90°，
∴OD⊥PD，
∴PD为⊙O的切线；
（2）如图2，连接OD，
∵ED和EB为⊙O的切线，
∴ED＝EB，
而∠BED＝60°，
∴△EDB为等边三角形，
∴∠EBD＝60°，
∴∠PBD＝30°，
∴∠PDA＝30°，
而∠ADB＝90°，
∴∠P＝30°，
在Rt△OAD中，OD＝PD＝×＝1，
OP＝2OD＝2，
∴PA＝PO﹣OA＝2﹣1＝1．
解答题专题提升训练（附答案）
1．如图，AB是⊙O的直径，点F是△ABC的内心，连接CF并延长交⊙O于D，连接BD并延长至E，使得BD＝DE，连接AE．
（1）求证：FD＝BD；
（2）求证：AE是⊙O的切线．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，点D在AB上，DE⊥AE．⊙O是Rt△ADE的外接圆，交AC于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AC＝8，求S△ADE．
3．如图，在半径为4的⊙O中，E为的中点，OE交BC于F，D为⊙O上一点，DE交AC于G，AD＝AG．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若∠A＝60°，求ED的长．
4．如图，已知AB是⊙O的直径，点E是⊙O上一点，F为的中点，过点F作AE的垂线，垂足为C，交AB的延长线于点D，连接AF．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若BD＝2，sinD＝，求CD的长．
5．如图，AB是⊙O的直径，点D是直径AB上不与A，B重合的一点，过点D作CD⊥AB，且CD＝AB，连接BC，交⊙O于点F，在CD上取一点E，使EF＝EC．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）当D是OA的中点，AB＝8时，求CF的长．
6．如图，O为平行四边形ABCD的边AD上一点，AO＝AB，以OD为半径的⊙O交AD于点E，交CD于点F，OG⊥EF交BC于点G，⊙O和AG相切于点P．
（1）求证：四边形ABGO为菱形；
（2）若AB＝6，cos∠ADC＝，求⊙O的半径R．
7．已知：在⊙O中，AB为直径，P为射线AB上一点，过点P作⊙O的切线，切点为点C，D为弧AC上一点，连接BD、BC、DC．
（1）如图1，求证：∠D＝∠PCB；
（2）如图2，若四边形CDBP为平行四边形，BC＝5，求⊙O的半径．
8．如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦于点E，交⊙O于点F，且CE＝CB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）连接AF、BF，求∠ABF的度数；
（3）如果BE＝10，sinA＝，求⊙O的半径．
9．如图，AB为⊙O的直径，AC、BD、CD分别与⊙O相切于点A、B、E．
（1）如图1，连接OC、OD，求证：OC⊥OD；
（2）如图2，连接AD交⊙O于点M，若tan∠AME＝，求cos∠CDB的值．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，延长CA到点D，以AD为直径作⊙O，交BA的延长线于点E，延长BC到点F，使BF＝EF．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若OC＝9，AC＝4，AE＝8，求BF的长．
11．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点P，AC平分∠DAB，过点A作AD⊥PC于点D，AD与⊙O交于点E．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若AB＝9，sin∠CAB＝，
①求AD的长；
②求AE的长．
12．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，连接AD，使AD＝CD，作以AD为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F，过点E作EG⊥BC于点G．
（1）求证：EG是⊙O的切线；
（2）若AB＝6，cosB＝，请直接写出EG的长度 ．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．D是AB上一点，以CD为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F两点，FG与⊙O相切于点F，且FG⊥AB于点G．
（1）求证：点D为AB的中点．
（2）若BC＝8，CD＝5，求FG的长．
14．已知：如图，△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F．
求证：（1）AD＝BD；
（2）DF是⊙O的切线．
15．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）求证：△PCF是等腰三角形；
（3）若AF＝6，EF＝2，求⊙O的半径长．
16．如图，AB是⊙O的直径，直线AD与⊙O相切于点A，点C在⊙O上，∠DAC＝∠ACD，直线DC与AB的延长线交于点E．AF⊥ED于点F，交⊙O于点G．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）已知⊙O的半径是6cm，EC＝8cm，求GF的长．
17．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F，交AB的延长线于点G．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）已知BD＝2，CF＝2，求AE和BG的长．
18．已知：AB为⊙O的直径，C为圆弧上一点，AD垂直于过C点的切线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E，CF⊥AB，垂足为点F．
（1）如图1，求证：AD＝AF；
（2）如图2，若AB＝12，连接OD交AC于点G，且时，求CF的长度．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AC＜AB，以AC为直径作⊙O，与AB交于点D，E是BC的中点，连接DE，连接DO并延长交BC的延长线于点F，连接AF交⊙O于点G，连接CG．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若＝，求BC的长．
20．如图1，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA＝∠PBD．延长PD交圆的切线BE于点E
（1）判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；
（2）如图2，如果∠BED＝60°，PD＝，求PA的长．
参考答案
1．（1）证明：连接BF，
∵F是△ABC的内心，
∴∠BCF＝∠ACF，∠CBF＝∠ABF．
∵∠BFD＝∠BCF+∠CBF，∠DBF＝∠ABF+∠DBA，∠DBA＝∠BCF，
∴∠DBF＝∠BFD．
∴FD＝BD；
（2）证明：连接OD．
∴OA＝OB．
∵BD＝DE，
∴OD是△BAE的中位线，
∴OD∥AE，
∵∠BCD＝∠ACD，
∴＝，
∵OD是半径，
∴OD⊥AB．
∴EA⊥AB，
∴EA是⊙O的切线．
2．（1）证明：连接OE，
∵∠C＝90°，
∴∠2+∠AEC＝90°，
∵OA＝OE，
∴∠1＝∠OEA，
∵∠1＝∠2，
∴∠AEC+∠OEA＝90°，
即OE⊥BC，
∵OE是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：过点E作EM⊥AB，垂足为M，
∵∠1＝∠2，∠C＝∠AED＝90°，
∴△ACE∽△AED，
∴＝，
即＝，
∴AE＝4，
由勾股定理得，
CE＝＝＝4＝EM，
∴S△ADE＝AD EM
＝×10×4
＝20．
3．（1）证明：连接OD．
∵E为的中点，
∴OE⊥BC于F，
∴∠AGD+∠ODE＝∠EGF+∠OED＝90°，
∵OD＝OE，
∴∠ODE＝∠OED，
∵∠AGD＝∠ADG，
∴∠ADG+∠ODE＝90°．
即OD⊥AD，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：作OH⊥ED于H，
∴DE＝2DH，
∵∠ADG＝∠AGD，
∴AG＝AD，
∵∠A＝60°，
∴∠ADG＝60°，
∴∠ODE＝30°，
∵OD＝4，
∴DH＝OD＝2，
∴DE＝2DH＝4．
4．（1）证明：如图，连接OF．
∵OA＝OF，
∴∠OAF＝∠OFA．
∵F是的中点，
∴．
∴∠FAE＝∠OAF．
∴∠OFA＝∠FAE．
∴OF∥AC．
∵AC⊥CD，
∴OF⊥CD．
∴直线CD是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ODF中，
∵OB＝OF，BD＝2，sinD＝，
∴，
即，
解得OB＝OF＝4．
∴AD＝10，OD＝6．
∵OF∥AC，
∴△ADC∽△ODF．
∴＝，
即＝．
∴AC＝．
∴CD＝．
5．（1）证明：连接OF，如图所示：
∵CD⊥AB，
∴∠DBC+∠C＝90°，
∵OB＝OF，
∴∠OBC＝∠OFB，
∵EF＝EC，
∴∠C＝∠EFC，
∴∠OFB+∠EFC＝90°，
∴∠OFE＝180°﹣90°＝90°，
∴OE⊥EF，
∵OF为⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线．
（2）解：连接AF，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∵D是OA的中点，
∴，
∴BD＝3OD＝6，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵CD＝AB＝8，
由勾股定理得：BC＝10，
∵∠AFB＝∠CDB＝90°，∠FBA＝∠DBC，
∴△FBA∽△DBC，
∴，
∴
∴，
∴．
6．解：（1）∵DE为⊙O的直径，
∴∠EFD＝90°，
∴DF⊥EF，
∵OG⊥EF，
∴OG∥CD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵AB∥OG，
∴四边形ABGO为平行四边形，
∵AO＝AB，
∴四边形ABGO为菱形；
（2）如图，连接OB，过点O作OH⊥BC于点H，
∵四边形ABGO为菱形，
∴OB⊥AG，
∵⊙O和AG相切于点P．
∴OP⊥AG，
∴O，P，B三点共线，OP＝OB，
∵∠D＝∠OGH，AB＝6，
∴BG＝OG＝6，
∴GH＝OG cos∠OGH＝6×＝2，
由勾股定理，得OH＝＝4，
∴OB＝＝4．
∴⊙O的半径R为2．
7．（1）证明：如图1，连接AC，OC，
∵AB为直径，PC为⊙O的切线，
∴∠ACB＝∠OCP＝90°，
∴∠ACO＝∠PCB，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A，
∵∠A＝∠D，
∴∠D＝∠PCB；
（2）解：如图2，连接AC，OC，
∵四边形CDBP为平行四边形，
∴∠D＝∠CPB，
由（1）得，∠ACB＝∠OCP＝90°，∠D＝∠A＝∠CPB，
∴∠D＝∠A＝∠CPB＝∠PCB，
在△ACP中，∠A+∠ACB+∠BCP+∠CPB＝180°，
∴∠A+∠BCP+∠CPB＝90°，
∴∠A＝∠CPB＝∠PCB＝30°，
∴∠OBC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝BC＝5，
故⊙O的半径为5．
8．（1）证明：连接OB，
∵OB＝OA，CE＝CB，
∴∠A＝∠OBA，∠CEB＝∠ABC，
又∵CD⊥OA，
∴∠A+∠AED＝∠A+∠CEB＝90°，
∴∠OBA+∠ABC＝90°，
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：如图1，连接OF，AF，BF，
∵DA＝DO，CD⊥OA，
∴AF＝OF，
∵OA＝OF，
∴△OAF是等边三角形，
∴∠AOF＝60°，
∴∠ABF＝∠AOF＝30°；
（3）解：连接OF，如图2所示：
∵DA＝DO，CD⊥OA，
∴AF＝OF＝OA，
过点O作OG⊥AB于点G，则AG＝BG，
在Rt△AOG中，sin∠BAO＝＝＝，
设DE＝5x，则AE＝13x，AD＝12x，AO＝24x，
∵BE＝10，
∴AB＝10+13x，
则AG＝AB＝5+x，
又∵Rt△AOG中，sin∠BAO＝，则＝，
则＝，
解得x＝，
∴AO＝24x＝．
9．（1）证明：连接OE，
∵AB为⊙O的直径，AC、BD、CD分别与⊙O相切于点A、B、E．
∴∠OAC＝∠DBO＝90°，OE⊥CD，OA＝OB＝OE，
∴CE平分∠ACE，DO平分∠BDC，
∴∠OCD+∠ODC＝（∠ACE+∠BDC），
∵∠OAC+∠DBO＝90°+90°＝180°，
∴AC∥BD，
∴∠ACE+∠BDC＝180°，
∴∠OCD+∠ODC＝90°，
∵∠OCD+∠ODC+∠COD＝180°，
∴∠COD＝90°，
∴OC⊥OD；
（2）解：过C点作CN⊥BD，垂足为N，连接OC，OD，OE，
∵∠CAO＝∠DBO＝∠CNB＝∠CND＝90°，
∴四边形ABNC为矩形，
∴CN＝AB，BN＝AC，
∵∠COD＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，
∵∠BDO+∠BOD＝90°，
∴∠AOC＝∠BDO，
∴△AOC∽△BDO，
∴AC：BO＝AO：BD，
∵∠AOE＝2∠AME，∠AOE＝2∠AOC，
∴∠AME＝∠AOC，
∵tan∠AME＝，
∴tan∠AOC＝＝，
设AC＝a，则BO＝AO＝2a，则CN＝AB＝AO+BO＝4a，
∴a：2a＝2a：BD，
解得BD＝4a，
∴DN＝4a﹣a＝3a，
在Rt△CND中，DC＝，
∴cos∠CDB＝．
10．证明：（1）连接OE，
∵OA＝OE，
∴∠OEA＝∠OAE，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠B＝90°，
∵BF＝EF，
∴∠B＝∠BEF，
∵∠OAE＝∠BAC，
∴∠OEA＝∠BAC，
∴∠OEF＝∠OEA+∠BEF＝∠BAC+∠B＝90°，
∴OE⊥EF，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：连接DE，
∵OC＝9，AC＝4，
∴OA＝OC﹣AC＝5，
∵AD＝2OA，
∴AD＝10，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AED＝90°，
在Rt△ADE中，
∵DE＝＝＝6，
∴cos∠DAE＝＝＝，
在Rt△ABC中，cos∠BAC＝＝，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴＝，
∴AB＝5，
∴BE＝AB+AE＝5+8＝13，
∵OD＝OE，
∴∠ODE＝∠OED，
∵EF是⊙O的切线，
∴∠FEO＝90°，
∵∠OED+∠OEA＝90°，∠FEB+∠OEA＝90°，
∴∠FEB＝∠OED，
∴∠B＝∠FEB＝∠OED＝∠ODE，
∴△FBE∽△ODE，
∴＝，
∴＝，
∴BF＝．
11．解：（1）连接OC，
∵OC＝OA，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠OAC＝∠OCA，
∵AD⊥DP，
∴∠DAC+∠DCA＝90°，
∴∠ACO+∠DCA＝90°，
∴PC与⊙O相切；
（2）①∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°＝∠ADC，
∵，
∴BC＝3，AC＝＝6，
∵∠DAC＝∠CAB，
∴△DCA∽△CBA，
∴＝＝，
即＝＝，
∴AD＝8，CD＝2；
②连接CE，
∵∠EDC＝∠ACB＝90°，
∴△EDC∽△BCA，
∴＝，
即＝，
∴DE＝1，
∴AE＝AD﹣DE＝8﹣1＝7．
12．（1）证明：如图，连接OE，DE，
∵AD为⊙O直径，
∵∠AED＝90°，
∴DE⊥AC，
∵AD＝CD，
∴E是AC的中点，
∵O是AD的中点，
∴OE是三角形ACD的中位线，
∴OE∥BC，
∵EG⊥BC，
∴OE⊥EG，
∵点E在⊙O上，
∴EG是⊙O的切线；
（2）如图，连接AF，
∵AD为⊙O直径，
∵∠AFB＝90°，
∵AB＝6，cosB＝＝，
∴BF＝，
∴AF＝＝＝，
∵EG⊥BC，AF⊥BC，
∴EG∥AF，
∵E是AC的中点，
∴EG是△CAF的中位线，
∴EG＝AF＝．
故答案为：．
13．解：（1）证明：如图，连接OF，
∵FG与⊙O相切，
∴∠OFG＝90°，
∵FG⊥AB，
∴∠DGF＝90°，
∴∠DGF+∠OFG＝180°，
∴OF∥DB，
∴∠OFC＝∠B，
∵OF＝OC，
∴∠OFC＝∠DCB，
∴∠B＝∠DCB，
∴DC＝DB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°，
∴∠A＝∠ACD，
∴DA＝DC，
∴DA＝DB，
∴点D为AB的中点；
（2）如图，连接DF，
∵CD＝5，
∴AB＝2CD＝10，
∴AC＝＝＝6，
∵CD为直径，
∴∠DFC＝90°，
∴FD⊥BC，
∵BD＝DC，
∴BF＝BC＝4，
∵sin∠ABC＝＝，
∴＝，
∴FG＝．
14．证明：（1）连接CD，
∵BC为⊙O的直径，
∴CD⊥AB．
∵AC＝BC，
∴AD＝BD．
（2）连接OD；
∵AD＝BD，OB＝OC，
∴OD是△BCA的中位线，
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴DF⊥OD．
∵OD为半径，
∴DF是⊙O的切线．
15．（1）证明：∵PD为⊙O的切线，
∴OC⊥DP，
∵AD⊥DP，
∴OC∥AD，
∴∠DAC＝∠OCA，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠OAC＝∠DAC，
∴AC平分∠DAB；
（2）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE＝45°，
连接OE．
∴∠BOE＝2∠BCE＝90°，
∴∠OFE+∠OEF＝90°，
而∠OFE＝∠CFP，
∴∠CFP+∠OEF＝90°，
∵OC⊥PD，
∴∠OCP＝90°，即∠OCF+∠PCF＝90°，
而∠OCF＝∠OEF，
∴∠PCF＝∠CFP，
∴△PCF是等腰三角形；
（3）解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝45°，
∴∠BOE＝90°，即OE⊥AB，
设⊙O 的半径为r，则OF＝6﹣r，
在Rt△EOF中，∵OE2+OF2＝EF2，
∴r2+（6﹣r）2＝（2）2，
解得，r1＝4，r2＝2，
当r1＝4时，OF＝6﹣r＝2（符合题意），
当r2＝2时，OF＝6﹣r＝4（不合题意，舍去），
∴⊙O的半径r＝4．
16．（1）证明：连接OC，
∵AD是⊙O的切线，
∴∠OAD＝90°，
∴∠OAC+∠DAC＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠DAC＝∠ACD，
∴∠OCA+∠ACD＝90°，即∠OCD＝90°，
∴ED是⊙O的切线；
（2）解：连接BG，
∵OC＝6cm，EC＝8cm，
∴在Rt△CEO中，OE＝＝10cm．
∴AE＝OE+OA＝16cm．
∵AF⊥ED，
∴∠AFE＝∠OCE＝90°，∠E＝∠E．
∴Rt△AEF∽Rt△OEC，
∴＝，
∴AF＝＝＝9.6cm．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AGB＝90°，
∴BG∥EF，
∴＝，
∴AG＝＝＝7.2cm，
∴GF＝AF﹣AG＝9.6﹣7.2＝2.4cm．
17．解：（1）连接OD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
又∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠ACB＝∠ODB，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∵OD是⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝2，
∵＝cosC＝cos∠ABC＝，
即＝，
∴AB＝12＝AC，
∴AF＝AC﹣CF＝12﹣2＝10，
∵OD∥AC，
∴△GDO∽△GFA，
∴＝，
即＝，
解得BG＝3，
连接BE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，即AE⊥BE，
∵GF⊥AC
∴BE∥GF，
∴＝，
即＝，
解得AE＝8，
故AE＝8，BG＝3．
18．解：（1）如图1，连接OC，
∵直线CE与⊙O相切于点C，
∴OC⊥CE，
∵AD⊥CE，
∴∠ADC＝∠OCE＝90°
∴OC∥AD，
∴∠DAC＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠OAC，
∴∠DAC＝OAC，
∵CF⊥AB，
∴∠AFC＝90°＝∠ADC，
在△ADC和△AFC中，
，
∴△ADC≌△AFC（AAS），
∴AD＝AF
（2）连接OC，
∵OC∥AD，
∴∠ADG＝∠GOC，∠DAG＝∠GCO，
∴△OCG∽△DAG，
∴，
∵AB＝12，
∴OC＝6，
∴AD＝10，
∴AF＝10，
∴OF＝4，
在Rt△COF中，根据勾股定理，得
．
19．解：（1）如图，连接CD，
∵AC为为⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°，
∵E是BC的中点，
∴DE＝CE，
∴∠ECD＝EDC，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵∠OCD+∠ECD＝∠ACB＝90°，
∴∠ODC+∠EDC＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE为⊙O的切线；
（2）∵＝，
∴AG＝CG，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠AGC＝90°，
∴∠ACG＝∠CAG＝45°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACF＝90°，
∴CF＝AC＝4，
∴OF＝＝2，
∵∠EDF＝∠OCF，∠DFE＝∠OFC，
∴△DEF∽△COF，
∴，
∴，
∵DE＝CE，
∴DE＝，
∴BC＝2+2．
20．解：（1）直线PD是否为⊙O的切线．理由如下：
连接OD，如图1，
∵OD＝OB，
∴∠1＝∠OBD，
∵∠PDA＝∠PBD，
∴∠1＝∠PDA，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，即∠2+∠1＝90°，
∴∠PDA+∠2＝90°，即∠PDO＝90°，
∴OD⊥PD，
∴PD为⊙O的切线；
（2）如图2，连接OD，
∵ED和EB为⊙O的切线，
∴ED＝EB，
而∠BED＝60°，
∴△EDB为等边三角形，
∴∠EBD＝60°，
∴∠PBD＝30°，
∴∠PDA＝30°，
而∠ADB＝90°，
∴∠P＝30°，
在Rt△OAD中，OD＝PD＝×＝1，
OP＝2OD＝2，
∴PA＝PO﹣OA＝2﹣1＝1．