2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.7切线长定理 解答题专题提升训练(word版含答案)
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.7切线长定理 解答题专题提升训练(word版含答案) |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 416.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-17 19:21:55 | ||
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文档简介
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3-7切线长定理》解答题专题提升训练（附答案）
1．已知PA、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D．
（1）若PA＝6，求△PCD的周长．
（2）若∠P＝50°求∠DOC．
2．已知：AB为⊙O的直径，∠BAD＝∠B＝90°，DE与⊙O相切于E，⊙O的半径为，AD＝2．
①求BC的长；
②延长AE交BC的延长线于G点，求EG的长．
3．如图，P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，C是上的任意一点，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E．
（1）若PA＝4，求△PED的周长；
（2）若∠P＝40°，求∠AFB的度数．
4．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，AC为弦，BC为⊙O的直径，若∠P＝60°，PB＝2cm．
（1）求证：△PAB是等边三角形；
（2）求AC的长．
5．如图，AB为⊙O直径，PA、PC分别与⊙O相切于点A、C，PQ⊥PA，PQ交OC的延长线于点Q．
（1）求证：OQ＝PQ；
（2）连BC并延长交PQ于点D，PA＝AB，且CQ＝6，求BD的长．
6．如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，BO＝6，CO＝8．
（1）判断△OBC的形状，并证明你的结论；
（2）求BC的长；
（3）求⊙O的半径OF的长．
7．如图，边长为1的正方形ABCD的边AB是⊙O的直径，CF是⊙O的切线，E为切点，F点在AD上，BE是⊙O的弦，求△CDF的面积．
8．如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝60°．
（1）求∠BAC的度数；
（2）当OA＝2时，求AB的长．
9．如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，PO的延长线交⊙O于点C，连接BC，OA．
（1）求证：∠POA＝2∠PCB；
（2）若OA＝3，PA＝4，求tan∠PCB的值．
10．如图，圆O是边长为6的正方形ABCD的内切圆，EF切圆O于P点，交AB、BC于点E，F，求△BEF的周长．
11．如图，已知直径与等边三角形ABC的高相等的圆与AB和BC边相切于点D和E，与AC边相交于点F和G，求∠DEF的度数．
12．已知：PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E三点，PA＝6．求：
（1）△PCD的周长；
（2）若∠P＝50°，求∠COD的度数．
13．如图所示，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，连接PO，交⊙O于点D，交AB于点C，根据以上条件，请写出三个你认为正确的结论，并对其中的一个结论给予证明．
14．已知四边形ABCD外切于⊙O，四边形ABCD的面积为24，周长24，求⊙O的半径．
15．如图，已知：射线PO与⊙O交于A、B两点，PC、PD分别切⊙O于点C、D．
（1）请写出两个不同类型的正确结论；
（2）若CD＝12，tan∠CPO＝，求PO的长．
16．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点．
（1）求证：AO2＝AE AD；
（2）若AO＝4cm，AD＝5cm，求⊙O的面积．
17．如图，⊙O的直径AB＝18，AC和BD是它的两条切线，CD与⊙O相切于E，且与AC、BD相交于点C、D，设
AC＝x，BD＝y，试求xy的值．
18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E；
（1）求证：BE＝CE；
（2）若以O、D、E、C为顶点的四边形是正方形，⊙O的半径为r，求△ABC的面积；
（3）若EC＝4，BD＝，求⊙O的半径OC的长．
19．已知：以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，过点D作⊙O的切线交BC边于点E．
（1）如图，求证：EB＝EC＝ED；
（2）试问在线段DC上是否存在点F，满足BC2＝4DF DC？若存在，作出点F，并予以证明；若不存在，请说明理由．
20．如图1，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，C为上的一点，∠COA＝∠P．
（1）求证：BC∥OA；
（2）如图2，若BC＝10，OA＝13，求PA的长．
参考答案
1．解：（1）连接OE，
∵PA、PB与圆O相切，
∴PA＝PB＝6，
同理可得：AC＝CE，BD＝DE，
△PCD的周长＝PC+PD+CD＝PC+PD+CE+DE＝PA+PB＝12；
（2）∵PA PB与圆O相切，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°∠P＝50°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，
在Rt△AOC和Rt△EOC中，
，
∴Rt△AOC≌Rt△EOC（HL），
∴∠AOC＝∠COE，
同理：∠DOE＝∠BOD，
∴∠COD＝∠AOB＝65°．
2．解：①过点D作DF⊥BC于点F，
∵AB为⊙O的直径，∠BAD＝∠B＝90°，
∴四边形ABFD是矩形，AD与BC是⊙O的切线，
∴DF＝AB＝2，BF＝AD＝2，
∵DE与⊙O相切，
∴DE＝AD＝2，CE＝BC，
设BC＝x，
则CF＝BC﹣BF＝x﹣2，DC＝DE+CE＝2+x，
在Rt△DCF中，DC2＝CF2+DF2，
即（2+x）2＝（x﹣2）2+（2）2，
解得：x＝，
即BC＝；
②∵AB为⊙O的直径，∠BAD＝∠B＝90°，
∴AD∥BC，
∴△ADE∽△GCE，
∴AD：CG＝DE：CE，AE：EG＝AD：CG，
∵AD＝DE＝2，
∴CG＝CE＝BC＝，
∴BG＝BC+CG＝5，
∴AE：EG＝4：5，
在Rt△ABG中，AG＝＝3，
∴EG＝AG＝．
3．解：（1）∵DA，DC都是圆O的切线，
∴DC＝DA，
同理EC＝EB，
∵P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B
∴PA＝PB，
∴三角形PDE的周长＝PD+PE+DE＝PD+DC+PE+BE＝PA+PB＝2PA＝8，
即三角形PDE的周长是8；
（2）连接AB，
∵PA＝PB，
∴∠PAB＝∠PBA，
∵∠P＝40°，
∴∠PAB＝∠PBA＝（180﹣40）＝70°，
∵BF⊥PB，BF为圆直径
∴∠ABF＝∠PBF＝90°﹣70°＝20°
∴∠AFB＝90°﹣20°＝70°．
答：（1）若PA＝4，△PED的周长为8；
（2）若∠P＝40°，∠AFB的度数为70°．
4．解：（1）∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，
∴PA＝PB，且∠P＝60°，
∴△PAB是等边三角形；
（2）∵△PAB是等边三角形；
∴PB＝AB＝2cm，∠PBA＝60°，
∵BC是直径，PB是⊙O切线，
∴∠CAB＝90°，∠PBC＝90°，
∴∠ABC＝30°，
∴tan∠ABC＝＝，
∴AC＝2×＝cm．
5．（1）证明：连接OP．
∵PA、PC分别与⊙O相切于点A，C，
∴PA＝PC，OA⊥PA，
∵OA＝OC，OP＝OP，
∴△OPA≌△OPC（SSS），
∴∠AOP＝∠POC，
∵QP⊥PA，
∴QP∥BA，
∴∠QPO＝∠AOP，
∴∠QOP＝∠QPO，
∴OQ＝PQ．
（2）设OA＝r．
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵OB∥QD，
∴∠QDC＝∠B，
∵∠OCB＝∠QCD，
∴∠QCD＝∠QDC，
∴QC＝QD＝6，∵QO＝QP，
∴OC＝DP＝r，
∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠OCP＝∠PCQ＝90°，
在Rt△PCQ中，∵PQ2＝PC2+QC2，
∴（6+r）2＝62+（2r）2，
r＝4或0（舍弃），
∴OP＝＝4，
∵OB＝PD，OB∥PD，
∴四边形OBDP是平行四边形，
∴BD＝OP＝4．
6．（1）答：△OBC是直角三角形．
证明：∵AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，
∴∠OBE＝∠OBF＝∠EBF，∠OCG＝∠OCF＝∠GCF，
∵AB∥CD，
∴∠EBF+∠GCF＝180°，
∴∠OBF+∠OCF＝90°，
∴∠BOC＝90°，
∴△OBC是直角三角形；
（2）解：∵在Rt△BOC中，BO＝6，CO＝8，
∴BC＝＝10；
（3）解：∵AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，
∴OF⊥BC，
∴OF＝＝＝4.8．
7．解：设AF＝x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝90°，
∴DA⊥AB，
∴AD是圆的切线，
∵CF是⊙O的切线，E为切点，
∴EF＝AF＝x，
∴FD＝1﹣x，
∵CB⊥AB，
∴CB 为⊙O 的切线，
∴CB＝CE，
∴CF＝CE+EF＝CB+EF＝1+x．
∴在Rt△CDF中由勾股定理得到：CF2＝CD2+DF2，
即（1+x）2＝1+（1﹣x）2，
解得x＝，
∴DF＝1﹣x＝，
∴S△CDF＝×1×＝．
8．解：（1）∵PA，PB是⊙O的切线，
∴AP＝BP，
∵∠P＝60°，
∴∠PAB＝60°，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠PAC＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°．
（2）连接OP，则在Rt△AOP中，OA＝2，∠APO＝30°，
∴OP＝4，
由勾股定理得：，
∵AP＝BP，∠APB＝60°，
∴△APB是等边三角形，
∴．
9．证明：（1）连接OB，
∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
∴PA＝PB，∠OBP＝∠OAP＝90°，
在Rt△POA和Rt△POB中，
∵，
∴Rt△POA≌Rt△POB（HL），
∴∠POA＝∠POB，
∵∠POB＝2∠PCB，
∴∠POA＝2∠PCB；
（2）过B作BE⊥PC于E，
∵PB＝PA＝4，OB＝OA＝3，
∴PO＝5，
∴PO BE＝OB PB，
∴BE＝，
由勾股定理得：OE＝＝，
∴CE＝OC+OE＝3+＝，
在Rt△OBE中，tan∠PCB＝＝＝．
10．解：设⊙O切AB于M，切BC于N，连接OM、ON，
则∠OMB＝∠ONB＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，
∵ON＝OM，
∴四边形MBNO是正方形，
∵圆O是边长为6的正方形ABCD的内切圆，
∴BM＝BN＝OM＝ON＝AB＝×6＝3，
由切线长定理得：EM＝EP，PF＝FN，
∴△BEF的周长为BF+EF+BE
＝BF+PF+PE+BE
＝BF+FN+EM+BE
＝BN+BM
＝3+3
＝6．
11．解：过点E作BC的垂线与圆交于点H，与AC交于点O．
连接AH和DH，作AM⊥BC，垂足为M．
∵E为切点，∴EH必过圆心，即EH是直径，
∴DH⊥DE，
∵D、E是切点，∴BD＝BE，
∵∠B＝60°，∴△DBE是正三角形，
∴∠BDE＝∠BAC＝60°，
∴DE∥AC，DH⊥AC，
由已知得，AM＝EH，又AM∥EH，∴四边形AMEH是矩形，
∴AH⊥HE，即AH是切线，
∴AD＝AH，AC垂直平分DH，AC必过圆心，
∴AC与EH的交点O是圆心，
∴OE＝OF，
∵∠COE＝90°﹣∠C＝30°，∴∠OEF＝75°，
∵∠DEO＝∠EOC＝30°，
∴∠DEF＝30°+75°＝105°
法二：过点E作BC的垂线与圆交于点H，与AC交于点O．
∵BC为切线
∴O为圆心，OE⊥BC．
∵OE＝OF
∴∠OFE＝∠OEF．
∴∠OEF＝∠C+∠FEC，∠FEC＝∠OEF﹣∠C
又∵∠OEC＝90°，
∴∠OEF+∠FEC＝90°
即2∠OEF﹣∠C＝90°．
∵∠C＝60°，
∴∠OEF＝75°，∠CEF＝15°．
又∵AC∥DE，∠C＝60°，
∴∠DEC＝120°．
∵∠CEF＝15°，
∴∠DEF＝105°
12．解：（1）∵PA、PB切⊙O于A、B，CD切⊙O于E，
∴PA＝PB＝6，ED＝BD，CE＝AC；
∴△PCD的周长＝PD+DE+PC+CE＝2PA＝12；
（2）连接OE，如图所示：
由切线的性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，
∴∠OAC＝∠OEC＝∠OED＝∠OBD＝90°，
∴∠AOB+∠P＝180°，
∴∠AOB＝180°﹣∠P＝130°，
由切线长定理得：∠AOC＝∠EOC，∠EOD＝∠BOD，
∴∠COD＝∠AOB＝×130°＝65°．
13．解：如图所示，结论：①∠3＝∠4；或∠7＝∠8；或∠1＝∠5；或∠2＝∠6；
②OP⊥AB；③AC＝BC．
证明②：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°．
在Rt△OAP与Rt△OBP中，
∵，
∴△OAP≌△OBP（HL），
∴PA＝PB，∠3＝∠4，
∴OP⊥AB．
14．解：设四边形ABCD是⊙O的外切四边形，切点分别为：F，G，M，E，
连接FO，AO，OG，CO，OM，DO，OE，
四边形ABCD的面积为：
S四边形ABCD＝×EO×AD+OM×DC+GO×BC+FO×AB
＝EO（AD+AB+BC+DC）
＝EO×24
＝24，
解得：EO＝2．
故r＝2．
15．解：（1）不同类型的正确结论有：
①PC＝PD，②∠CPO＝∠DPA，③CD⊥BA，④∠CEP＝90°，⑤PC2＝PA PB；
（2）连接OC
∵PC、PD分别切⊙O于点C、D
∴PC＝PD，∠CPO＝∠DPA
∴CD⊥AB
∵CD＝12
∴DE＝CE＝CD＝6．
∵tan∠CPO＝，
∴在Rt△EPC中，PE＝12
∴由勾股定理得CP＝6
∵PC切⊙O于点C
∴∠OCP＝90°
在Rt△OPC中，
∵tan∠CPO＝，
∴
∴OC＝3，
∴OP＝＝15．
16．（1）证明：根据切线长定理可知：
∵∠OAE+∠ODA＝（∠BAD+∠ADC）＝90°，
∴∠AOD＝90°，
∵∠OAE＝∠OAE，∠AOD＝∠AEO＝90°，
∴△AOE∽△ADO，
∴＝，
即AO2＝AE AD；
（2）解：在Rt△AOD中，
OD＝＝3（cm），
∵S△AOD＝×AD×EO＝×AO×OD
即5×EO＝4×3，
∴EO＝（cm），
∵OE是⊙O的半径，
∴S圆O＝πr2＝π（cm2）．
17．解：连接OC，OD．
∵AB＝18，∴OA＝OB＝9，
∵AC和BD是它的两条切线，
∴OA⊥AC，OB⊥BD，
∴AC∥BD，
∴∠ACD+∠BDE＝180°，
∴∠OCD+∠ODC＝90°，
∵AC＝x，BD＝y，
∴OC＝，OD＝，
∵CD是圆O的切线，
∴CE＝AC＝x，DE＝BD＝y，
∴OC2+OD2＝CD2，
即x2+81+y2+81＝（x+y）2，
整理得2xy＝162，
∴xy＝81．
18．（1）证明：连接CD，由AC是直径知CD⊥AB；
DE、CE都是切线，所以DE＝CE，∠EDC＝∠ECD；
又∠B+∠ECD＝90°，∠BDE+∠EDC＝90°；
所以∠B＝∠BDE，所以BE＝DE，从而BE＝CE；
（2）解：连接OD，
当以O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时，DE＝EC＝OC＝OD＝r；
从而BE＝r，即△ABC是一个等腰直角三角形；
AC＝AB＝2r，S△ABC＝2r2；
（3）解：若EC＝4，BD＝4，则BC＝8；
在Rt△BDC中，cos∠CBD＝＝；所以∠CBD＝30°；
在Rt△ABC中，＝tan30°，即AC＝BCtan30°＝8×＝，OC＝＝；
另解：设OC＝r，AD＝x；由EC＝4，BD＝4得BC＝8，DC＝4；
则：，解得；即OC＝．
19．（1）证明：连接BD．
由于ED、EB是⊙O的切线，由切线长定理，得
ED＝EB，∠DEO＝∠BEO，
∴OE垂直平分BD．
又∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BD．
∴AD∥OE．
即OE∥AC．
又O为AB的中点，
∴OE为△ABC的中位线，
∴BE＝EC，
∴EB＝EC＝ED．（4分）
（2）解：在△DEC中，由于ED＝EC，
∴∠C＝∠CDE，
∴∠DEC＝180°﹣2∠C．
①当∠DEC＞∠C时，有180°﹣2∠C＞∠C，即0°＜∠C＜60°时，在线段DC上存在点F
满足条件．
在∠DEC内，以ED为一边，作∠DEF，使∠DEF＝∠C，且EF交DC于点F，则点F即为所求．
这是因为：
在△DCE和△DEF中，
∠CDE＝∠EDF，∠C＝∠DEF，
∴△DEF∽△DCE．
∴DE2＝DF DC．
即（BC）2＝DF DC
∴BC2＝4DF DC．（6分）
②当∠DEC＝∠C时，△DEC为等边三角形，即∠DEC＝∠C＝60°，
此时，C点即为满足条件的F点，于是，DF＝DC＝DE，仍有BC2＝4DE2＝4DF DC．（7分）
③当∠DEC＜∠C时，即180°﹣2∠C＜∠C，60°＜∠C＜90°；所作的∠DEF＞∠DEC，此时点
F在DC的延长线上，故线段DC上不存在满足条件的点F．（8分）
20．（1）证明：如图1，连接OB，延长AO交⊙O于点D，
∵PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，
∴∠OBP＝∠OAP＝90°，
∴∠P+∠AOB＝180°，
∵∠AOB+∠BOD＝180°，
∴∠BOD＝∠P，
∵∠COA＝∠P，
∴∠COA＝∠BOD，
∵OB＝OC，
∴∠BCO＝∠CBO，
∵∠COB+2∠BCO＝180°，∠COB+2∠COA＝180°，
∴∠COA＝∠BCO，
∴BC∥OA；
（2）解：如图2，延长BC交PA于点E，过点O作OF⊥BC于F，
∴BF＝CF＝BC＝5，
∵OC＝OA＝13，
由勾股定理得：AE＝OF＝＝12，
∵PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，
∴PA＝PB，
设PA＝x，则PB＝x，PE＝x﹣12，
∵BC∥OA，OA⊥PA，
∴BE⊥PA，
∴∠PEB＝90°，
∴PB2＝PE2+BE2，
∴x2＝（x﹣12）2+（13+5）2，
解得：x＝，
∴PA＝．
1．已知PA、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D．
（1）若PA＝6，求△PCD的周长．
（2）若∠P＝50°求∠DOC．
2．已知：AB为⊙O的直径，∠BAD＝∠B＝90°，DE与⊙O相切于E，⊙O的半径为，AD＝2．
①求BC的长；
②延长AE交BC的延长线于G点，求EG的长．
3．如图，P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，C是上的任意一点，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E．
（1）若PA＝4，求△PED的周长；
（2）若∠P＝40°，求∠AFB的度数．
4．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，AC为弦，BC为⊙O的直径，若∠P＝60°，PB＝2cm．
（1）求证：△PAB是等边三角形；
（2）求AC的长．
5．如图，AB为⊙O直径，PA、PC分别与⊙O相切于点A、C，PQ⊥PA，PQ交OC的延长线于点Q．
（1）求证：OQ＝PQ；
（2）连BC并延长交PQ于点D，PA＝AB，且CQ＝6，求BD的长．
6．如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，BO＝6，CO＝8．
（1）判断△OBC的形状，并证明你的结论；
（2）求BC的长；
（3）求⊙O的半径OF的长．
7．如图，边长为1的正方形ABCD的边AB是⊙O的直径，CF是⊙O的切线，E为切点，F点在AD上，BE是⊙O的弦，求△CDF的面积．
8．如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝60°．
（1）求∠BAC的度数；
（2）当OA＝2时，求AB的长．
9．如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，PO的延长线交⊙O于点C，连接BC，OA．
（1）求证：∠POA＝2∠PCB；
（2）若OA＝3，PA＝4，求tan∠PCB的值．
10．如图，圆O是边长为6的正方形ABCD的内切圆，EF切圆O于P点，交AB、BC于点E，F，求△BEF的周长．
11．如图，已知直径与等边三角形ABC的高相等的圆与AB和BC边相切于点D和E，与AC边相交于点F和G，求∠DEF的度数．
12．已知：PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E三点，PA＝6．求：
（1）△PCD的周长；
（2）若∠P＝50°，求∠COD的度数．
13．如图所示，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，连接PO，交⊙O于点D，交AB于点C，根据以上条件，请写出三个你认为正确的结论，并对其中的一个结论给予证明．
14．已知四边形ABCD外切于⊙O，四边形ABCD的面积为24，周长24，求⊙O的半径．
15．如图，已知：射线PO与⊙O交于A、B两点，PC、PD分别切⊙O于点C、D．
（1）请写出两个不同类型的正确结论；
（2）若CD＝12，tan∠CPO＝，求PO的长．
16．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点．
（1）求证：AO2＝AE AD；
（2）若AO＝4cm，AD＝5cm，求⊙O的面积．
17．如图，⊙O的直径AB＝18，AC和BD是它的两条切线，CD与⊙O相切于E，且与AC、BD相交于点C、D，设
AC＝x，BD＝y，试求xy的值．
18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E；
（1）求证：BE＝CE；
（2）若以O、D、E、C为顶点的四边形是正方形，⊙O的半径为r，求△ABC的面积；
（3）若EC＝4，BD＝，求⊙O的半径OC的长．
19．已知：以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，过点D作⊙O的切线交BC边于点E．
（1）如图，求证：EB＝EC＝ED；
（2）试问在线段DC上是否存在点F，满足BC2＝4DF DC？若存在，作出点F，并予以证明；若不存在，请说明理由．
20．如图1，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，C为上的一点，∠COA＝∠P．
（1）求证：BC∥OA；
（2）如图2，若BC＝10，OA＝13，求PA的长．
参考答案
1．解：（1）连接OE，
∵PA、PB与圆O相切，
∴PA＝PB＝6，
同理可得：AC＝CE，BD＝DE，
△PCD的周长＝PC+PD+CD＝PC+PD+CE+DE＝PA+PB＝12；
（2）∵PA PB与圆O相切，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°∠P＝50°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，
在Rt△AOC和Rt△EOC中，
，
∴Rt△AOC≌Rt△EOC（HL），
∴∠AOC＝∠COE，
同理：∠DOE＝∠BOD，
∴∠COD＝∠AOB＝65°．
2．解：①过点D作DF⊥BC于点F，
∵AB为⊙O的直径，∠BAD＝∠B＝90°，
∴四边形ABFD是矩形，AD与BC是⊙O的切线，
∴DF＝AB＝2，BF＝AD＝2，
∵DE与⊙O相切，
∴DE＝AD＝2，CE＝BC，
设BC＝x，
则CF＝BC﹣BF＝x﹣2，DC＝DE+CE＝2+x，
在Rt△DCF中，DC2＝CF2+DF2，
即（2+x）2＝（x﹣2）2+（2）2，
解得：x＝，
即BC＝；
②∵AB为⊙O的直径，∠BAD＝∠B＝90°，
∴AD∥BC，
∴△ADE∽△GCE，
∴AD：CG＝DE：CE，AE：EG＝AD：CG，
∵AD＝DE＝2，
∴CG＝CE＝BC＝，
∴BG＝BC+CG＝5，
∴AE：EG＝4：5，
在Rt△ABG中，AG＝＝3，
∴EG＝AG＝．
3．解：（1）∵DA，DC都是圆O的切线，
∴DC＝DA，
同理EC＝EB，
∵P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B
∴PA＝PB，
∴三角形PDE的周长＝PD+PE+DE＝PD+DC+PE+BE＝PA+PB＝2PA＝8，
即三角形PDE的周长是8；
（2）连接AB，
∵PA＝PB，
∴∠PAB＝∠PBA，
∵∠P＝40°，
∴∠PAB＝∠PBA＝（180﹣40）＝70°，
∵BF⊥PB，BF为圆直径
∴∠ABF＝∠PBF＝90°﹣70°＝20°
∴∠AFB＝90°﹣20°＝70°．
答：（1）若PA＝4，△PED的周长为8；
（2）若∠P＝40°，∠AFB的度数为70°．
4．解：（1）∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，
∴PA＝PB，且∠P＝60°，
∴△PAB是等边三角形；
（2）∵△PAB是等边三角形；
∴PB＝AB＝2cm，∠PBA＝60°，
∵BC是直径，PB是⊙O切线，
∴∠CAB＝90°，∠PBC＝90°，
∴∠ABC＝30°，
∴tan∠ABC＝＝，
∴AC＝2×＝cm．
5．（1）证明：连接OP．
∵PA、PC分别与⊙O相切于点A，C，
∴PA＝PC，OA⊥PA，
∵OA＝OC，OP＝OP，
∴△OPA≌△OPC（SSS），
∴∠AOP＝∠POC，
∵QP⊥PA，
∴QP∥BA，
∴∠QPO＝∠AOP，
∴∠QOP＝∠QPO，
∴OQ＝PQ．
（2）设OA＝r．
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵OB∥QD，
∴∠QDC＝∠B，
∵∠OCB＝∠QCD，
∴∠QCD＝∠QDC，
∴QC＝QD＝6，∵QO＝QP，
∴OC＝DP＝r，
∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠OCP＝∠PCQ＝90°，
在Rt△PCQ中，∵PQ2＝PC2+QC2，
∴（6+r）2＝62+（2r）2，
r＝4或0（舍弃），
∴OP＝＝4，
∵OB＝PD，OB∥PD，
∴四边形OBDP是平行四边形，
∴BD＝OP＝4．
6．（1）答：△OBC是直角三角形．
证明：∵AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，
∴∠OBE＝∠OBF＝∠EBF，∠OCG＝∠OCF＝∠GCF，
∵AB∥CD，
∴∠EBF+∠GCF＝180°，
∴∠OBF+∠OCF＝90°，
∴∠BOC＝90°，
∴△OBC是直角三角形；
（2）解：∵在Rt△BOC中，BO＝6，CO＝8，
∴BC＝＝10；
（3）解：∵AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，
∴OF⊥BC，
∴OF＝＝＝4.8．
7．解：设AF＝x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝90°，
∴DA⊥AB，
∴AD是圆的切线，
∵CF是⊙O的切线，E为切点，
∴EF＝AF＝x，
∴FD＝1﹣x，
∵CB⊥AB，
∴CB 为⊙O 的切线，
∴CB＝CE，
∴CF＝CE+EF＝CB+EF＝1+x．
∴在Rt△CDF中由勾股定理得到：CF2＝CD2+DF2，
即（1+x）2＝1+（1﹣x）2，
解得x＝，
∴DF＝1﹣x＝，
∴S△CDF＝×1×＝．
8．解：（1）∵PA，PB是⊙O的切线，
∴AP＝BP，
∵∠P＝60°，
∴∠PAB＝60°，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠PAC＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°．
（2）连接OP，则在Rt△AOP中，OA＝2，∠APO＝30°，
∴OP＝4，
由勾股定理得：，
∵AP＝BP，∠APB＝60°，
∴△APB是等边三角形，
∴．
9．证明：（1）连接OB，
∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
∴PA＝PB，∠OBP＝∠OAP＝90°，
在Rt△POA和Rt△POB中，
∵，
∴Rt△POA≌Rt△POB（HL），
∴∠POA＝∠POB，
∵∠POB＝2∠PCB，
∴∠POA＝2∠PCB；
（2）过B作BE⊥PC于E，
∵PB＝PA＝4，OB＝OA＝3，
∴PO＝5，
∴PO BE＝OB PB，
∴BE＝，
由勾股定理得：OE＝＝，
∴CE＝OC+OE＝3+＝，
在Rt△OBE中，tan∠PCB＝＝＝．
10．解：设⊙O切AB于M，切BC于N，连接OM、ON，
则∠OMB＝∠ONB＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，
∵ON＝OM，
∴四边形MBNO是正方形，
∵圆O是边长为6的正方形ABCD的内切圆，
∴BM＝BN＝OM＝ON＝AB＝×6＝3，
由切线长定理得：EM＝EP，PF＝FN，
∴△BEF的周长为BF+EF+BE
＝BF+PF+PE+BE
＝BF+FN+EM+BE
＝BN+BM
＝3+3
＝6．
11．解：过点E作BC的垂线与圆交于点H，与AC交于点O．
连接AH和DH，作AM⊥BC，垂足为M．
∵E为切点，∴EH必过圆心，即EH是直径，
∴DH⊥DE，
∵D、E是切点，∴BD＝BE，
∵∠B＝60°，∴△DBE是正三角形，
∴∠BDE＝∠BAC＝60°，
∴DE∥AC，DH⊥AC，
由已知得，AM＝EH，又AM∥EH，∴四边形AMEH是矩形，
∴AH⊥HE，即AH是切线，
∴AD＝AH，AC垂直平分DH，AC必过圆心，
∴AC与EH的交点O是圆心，
∴OE＝OF，
∵∠COE＝90°﹣∠C＝30°，∴∠OEF＝75°，
∵∠DEO＝∠EOC＝30°，
∴∠DEF＝30°+75°＝105°
法二：过点E作BC的垂线与圆交于点H，与AC交于点O．
∵BC为切线
∴O为圆心，OE⊥BC．
∵OE＝OF
∴∠OFE＝∠OEF．
∴∠OEF＝∠C+∠FEC，∠FEC＝∠OEF﹣∠C
又∵∠OEC＝90°，
∴∠OEF+∠FEC＝90°
即2∠OEF﹣∠C＝90°．
∵∠C＝60°，
∴∠OEF＝75°，∠CEF＝15°．
又∵AC∥DE，∠C＝60°，
∴∠DEC＝120°．
∵∠CEF＝15°，
∴∠DEF＝105°
12．解：（1）∵PA、PB切⊙O于A、B，CD切⊙O于E，
∴PA＝PB＝6，ED＝BD，CE＝AC；
∴△PCD的周长＝PD+DE+PC+CE＝2PA＝12；
（2）连接OE，如图所示：
由切线的性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，
∴∠OAC＝∠OEC＝∠OED＝∠OBD＝90°，
∴∠AOB+∠P＝180°，
∴∠AOB＝180°﹣∠P＝130°，
由切线长定理得：∠AOC＝∠EOC，∠EOD＝∠BOD，
∴∠COD＝∠AOB＝×130°＝65°．
13．解：如图所示，结论：①∠3＝∠4；或∠7＝∠8；或∠1＝∠5；或∠2＝∠6；
②OP⊥AB；③AC＝BC．
证明②：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°．
在Rt△OAP与Rt△OBP中，
∵，
∴△OAP≌△OBP（HL），
∴PA＝PB，∠3＝∠4，
∴OP⊥AB．
14．解：设四边形ABCD是⊙O的外切四边形，切点分别为：F，G，M，E，
连接FO，AO，OG，CO，OM，DO，OE，
四边形ABCD的面积为：
S四边形ABCD＝×EO×AD+OM×DC+GO×BC+FO×AB
＝EO（AD+AB+BC+DC）
＝EO×24
＝24，
解得：EO＝2．
故r＝2．
15．解：（1）不同类型的正确结论有：
①PC＝PD，②∠CPO＝∠DPA，③CD⊥BA，④∠CEP＝90°，⑤PC2＝PA PB；
（2）连接OC
∵PC、PD分别切⊙O于点C、D
∴PC＝PD，∠CPO＝∠DPA
∴CD⊥AB
∵CD＝12
∴DE＝CE＝CD＝6．
∵tan∠CPO＝，
∴在Rt△EPC中，PE＝12
∴由勾股定理得CP＝6
∵PC切⊙O于点C
∴∠OCP＝90°
在Rt△OPC中，
∵tan∠CPO＝，
∴
∴OC＝3，
∴OP＝＝15．
16．（1）证明：根据切线长定理可知：
∵∠OAE+∠ODA＝（∠BAD+∠ADC）＝90°，
∴∠AOD＝90°，
∵∠OAE＝∠OAE，∠AOD＝∠AEO＝90°，
∴△AOE∽△ADO，
∴＝，
即AO2＝AE AD；
（2）解：在Rt△AOD中，
OD＝＝3（cm），
∵S△AOD＝×AD×EO＝×AO×OD
即5×EO＝4×3，
∴EO＝（cm），
∵OE是⊙O的半径，
∴S圆O＝πr2＝π（cm2）．
17．解：连接OC，OD．
∵AB＝18，∴OA＝OB＝9，
∵AC和BD是它的两条切线，
∴OA⊥AC，OB⊥BD，
∴AC∥BD，
∴∠ACD+∠BDE＝180°，
∴∠OCD+∠ODC＝90°，
∵AC＝x，BD＝y，
∴OC＝，OD＝，
∵CD是圆O的切线，
∴CE＝AC＝x，DE＝BD＝y，
∴OC2+OD2＝CD2，
即x2+81+y2+81＝（x+y）2，
整理得2xy＝162，
∴xy＝81．
18．（1）证明：连接CD，由AC是直径知CD⊥AB；
DE、CE都是切线，所以DE＝CE，∠EDC＝∠ECD；
又∠B+∠ECD＝90°，∠BDE+∠EDC＝90°；
所以∠B＝∠BDE，所以BE＝DE，从而BE＝CE；
（2）解：连接OD，
当以O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时，DE＝EC＝OC＝OD＝r；
从而BE＝r，即△ABC是一个等腰直角三角形；
AC＝AB＝2r，S△ABC＝2r2；
（3）解：若EC＝4，BD＝4，则BC＝8；
在Rt△BDC中，cos∠CBD＝＝；所以∠CBD＝30°；
在Rt△ABC中，＝tan30°，即AC＝BCtan30°＝8×＝，OC＝＝；
另解：设OC＝r，AD＝x；由EC＝4，BD＝4得BC＝8，DC＝4；
则：，解得；即OC＝．
19．（1）证明：连接BD．
由于ED、EB是⊙O的切线，由切线长定理，得
ED＝EB，∠DEO＝∠BEO，
∴OE垂直平分BD．
又∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BD．
∴AD∥OE．
即OE∥AC．
又O为AB的中点，
∴OE为△ABC的中位线，
∴BE＝EC，
∴EB＝EC＝ED．（4分）
（2）解：在△DEC中，由于ED＝EC，
∴∠C＝∠CDE，
∴∠DEC＝180°﹣2∠C．
①当∠DEC＞∠C时，有180°﹣2∠C＞∠C，即0°＜∠C＜60°时，在线段DC上存在点F
满足条件．
在∠DEC内，以ED为一边，作∠DEF，使∠DEF＝∠C，且EF交DC于点F，则点F即为所求．
这是因为：
在△DCE和△DEF中，
∠CDE＝∠EDF，∠C＝∠DEF，
∴△DEF∽△DCE．
∴DE2＝DF DC．
即（BC）2＝DF DC
∴BC2＝4DF DC．（6分）
②当∠DEC＝∠C时，△DEC为等边三角形，即∠DEC＝∠C＝60°，
此时，C点即为满足条件的F点，于是，DF＝DC＝DE，仍有BC2＝4DE2＝4DF DC．（7分）
③当∠DEC＜∠C时，即180°﹣2∠C＜∠C，60°＜∠C＜90°；所作的∠DEF＞∠DEC，此时点
F在DC的延长线上，故线段DC上不存在满足条件的点F．（8分）
20．（1）证明：如图1，连接OB，延长AO交⊙O于点D，
∵PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，
∴∠OBP＝∠OAP＝90°，
∴∠P+∠AOB＝180°，
∵∠AOB+∠BOD＝180°，
∴∠BOD＝∠P，
∵∠COA＝∠P，
∴∠COA＝∠BOD，
∵OB＝OC，
∴∠BCO＝∠CBO，
∵∠COB+2∠BCO＝180°，∠COB+2∠COA＝180°，
∴∠COA＝∠BCO，
∴BC∥OA；
（2）解：如图2，延长BC交PA于点E，过点O作OF⊥BC于F，
∴BF＝CF＝BC＝5，
∵OC＝OA＝13，
由勾股定理得：AE＝OF＝＝12，
∵PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，
∴PA＝PB，
设PA＝x，则PB＝x，PE＝x﹣12，
∵BC∥OA，OA⊥PA，
∴BE⊥PA，
∴∠PEB＝90°，
∴PB2＝PE2+BE2，
∴x2＝（x﹣12）2+（13+5）2，
解得：x＝，
∴PA＝．