2021-2022学年北师大版九年级数学下册 3.2圆的对称性 解答题专题提升训练（word版含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3-2圆的对称性》解答题专题提升训练（附答案）
1．如图，AB是⊙O的弦，点C、D是的三等分点，半径OC、OD分别与弦AB交于点E、F，连接OA、OB、AC、BD．
（1）求证：AE＝BF；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中所有的全等三角形．
2．如图，点A、B、C、D在⊙O上，AB＝CD．求证：AC＝BD．
3．如图，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，分别交BC、AD于E、F两点，交BA的延长线于点G．
（1）求证：＝；
（2）若为140°，求∠EGB的度数．
4．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于F．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若CD＝6，AC＝8，求BE、CF的长．
5．如图，已知∠APC＝30°，的度数为30°，求和∠AEC的度数．
6．已知：如图，A点是半圆上一个三等分点，B点是的中点，P是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP+BP的最小值为多少？
7．如图，，C、D分别是半径OA、OB的中点，连接PC、PD交弦AB于E、F两点．
求证：（1）PC＝PD；（2）PE＝PF．
8．用三种方法证明：如图，已知在⊙O中，半径OA⊥OB，C是OB延长线上一点，AC交⊙O于D，求证：弧AD的度数是∠C的2倍．
9．如图所示，AB，CD是⊙O的两条直径，弦BE＝BD，则与是否相等？为什么？
10．如图，在⊙O中半径OA⊥OB，C，D是的两个三等分点，弦AB分别交OC，OD于E，F点．求证：AE＝BF＝CD．（提示：连接AC，BD，先证：AC＝CD＝BD）
11．如图，在⊙O中弦AB⊥CD于点E，过E作AC的垂线交BD于点Q，P为垂足，求证Q为BD的中点．
12．如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，D是弧AC中点，OD交弦AC于E，连接BE，若AC＝8，DE＝2，求
（1）求半圆的半径长；
（2）BE的长度．
13．已知如图所示，P为直径AB上一点，EF，CD为过点P的两条弦，且∠DPB＝∠EPB；
（1）求证：；
（2）求证：CE＝DF．
14．如图，已知CE是⊙O的直径，弦AB与CD交点P，且AC＝CP，点B关于CE的对称点是点F，点G是上的一点，连接AD，GD，若＝＝．
（1）求证：＝；
（2）若AC＝2，DP＝3，求弦GD的长．
15．如图，在⊙O中，弦AD、BC相交于点E，连接OE，已知＝．
（1）求证：BE＝DE；
（2）如果⊙O的半径为5，AD⊥CB，DE＝1，求AE的长．
16．如图，弦AB＝CD，AB与CD相交于点E，求证：（1）＝；（2）AE＝DE．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆分别交AC，BC边于点D，E，连接BD，
（1）求证：点E是的中点；
（2）当BC＝12，且AD：CD＝1：2时，求⊙O的半径．
18．如图所示，M、N分别是⊙O的弦AB、CD的中点，AB＝CD．求证：∠AMN＝∠CNM．
19．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，AB∥OC．
（1）求证：AC平分∠OAB．
（2）过点O作OE⊥AB于点E，交AC于点P．若AB＝2，∠AOE＝30°，求OE的长．
20．小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究．
（1）更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在⊙O中，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥AB于点E，则AE＝BE．请证明此结论；
（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，PA，PB组成⊙O的一条折弦．C是劣弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE＝PE+PB．可以通过延长DB、AP相交于点F，再连接AD证明结论成立．请写出证明过程；
（3）如图3，PA．PB组成⊙O的一条折弦，若C是优弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE，PE与PB之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明．
参考答案
1．证明：（1）∵点C、D是的三等分点，
∴∠AOC＝∠BOD，
∵OA、OB是⊙O的半径，
∴OA＝OB，
∴∠OAE＝∠OBF，
∴△OAE≌△OBF，
∴AE＝BF；
（2）图中所有的全等三角形为：△OAE≌△OBF，△OAC≌△OBD，△AEC≌△BFD，△OAF≌△OBE．
2．证明：∵AB＝CD，
∴，
∴，即，
∴AC＝BD．
3．（1）证明：连接AE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAF＝∠AEB，∠GAF＝∠B，
∵AE＝AB，
∴∠B＝∠AEB，
∴∠EAF＝∠GAF，
∴＝；
（2）∵GB为⊙A的直径，
∴为180°，
∵为140°，
∴为40°，
∴∠BAE＝40°
∵∠EGB＝∠BAE，
∴∠EGB＝20°．
4．（1）证明：延长CE交⊙O于点P，
∵CE⊥AB，
∴＝，
∴∠BCP＝∠BDC，
∵C是的中点，
∴CD＝CB，
∴∠BDC＝∠CBD，
∴∠CBD＝∠BCP，
∴CF＝BF；
（2）∵CD＝6，AC＝8，
∴AB＝10，
∴BE＝＝3.6，
∴CE＝＝4.8，设CF＝x，则FE＝4.8﹣x，BF＝x，
∴（4.8﹣x）2+3.62＝x2，
∴x＝．
5．解：连接AC，
∵＝30°，
∴∠1＝∠2＝＝15°，
∵∠APC＝30°，∠ADC是△APD的外角，
∴∠ADC＝∠1+∠APC＝15°+30°＝45°，
∴＝2∠ADC＝90°；
∵∠AEC是△CDE的外角，
∴∠AEC＝∠ADC+∠2＝45°+15°＝60°．
故答案为：90°，60°．
6．解：作A关于MN的对称点A′，根据圆的对称性，则A′必在圆上，
连接BA′交MN于P，连接PA，则PA+PB最小，此时PA+PB＝PA′+PB＝A′B，
连接OA、OA′、OB，
∵，
∴∠AON＝∠A′ON＝60°．
∵，
∴∠BON＝∠AON＝30°．
∴∠A′OB＝90°．
∴A′B＝＝．
即AP+BP的最小值是．
7．证明：（1）连接PO，
∵＝，
∴∠POC＝∠POD．
∵C、D分别是半径OA、OB的中点，
∴OC＝OD．
∵PO＝PO，
∴△PCO≌△PDO．
∴PC＝PD．
（2）∵△PCO≌△PDO，
∴∠PCO＝∠PDO．
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B．
∴∠AEC＝∠BFD．
∴∠PEF＝∠PFE．
∴PE＝PF．
8．证明：
证法一：延长AO交圆与点M，连接DM，
∵AM是圆的直径，
∵∠ADM＝90°则△OAC与△ADM都是直角三角形，且∠A是公共角，
∴∠M＝∠C，而∠AOD＝2∠M．
∴∠AOD＝2∠C．
∵∠AOD的度数就等于弧AD的度数，
∴弧AD的度数是∠C的2倍．
证法二：连接OD，
在直角△AOC中，∠C＝90°﹣∠A，
在△OAD中，∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO．
∴∠AOD＝180﹣2∠A．
∴∠AOD＝2∠C．
∵∠AOD的度数就等于弧AD的度数，
∴弧AD的度数是∠C的2倍．
证法三：延长AO交圆于点N，连接CN，交圆于点M，连接OM、OD，
∵AN⊥OC，OA＝ON，
∴AC＝CN．
∴∠A＝∠N，∠ACN＝2∠ACO．
∴∠ACN＝180﹣∠A﹣∠N＝180﹣2∠A．
∵△OAD中OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO＝∠N．
∴∠AOD＝∠ACN＝2∠ACO．
又∵∠AOD的度数就等于弧AD的度数，
弧AD的度数是∠ACO的2倍．
9．解：与相等，理由为：
∵AB，CD为圆的直径，
∴∠AOC＝∠BOD，
∴＝，
∵BE＝BD，
∴＝，
则＝．
10．解：连接AC、BD，
∵C，D是的三等分点，
∴AC＝CD＝BD，∠AOC＝∠COD，OA＝OC＝OD，
在△ACO与△DCO中，
∵
∴△ACO≌△DCO（SAS），
∴∠ACO＝∠OCD．
∵∠OEF＝∠OAE+∠AOE＝45°+30°＝75°，∠OCD＝＝75°，
∴∠OEF＝∠OCD，
∴CD∥AB，
∴∠AEC＝∠OCD，
∴∠ACO＝∠AEC，
∴AC＝AE，
同理，BF＝BD．
又∵AC＝CD＝BD，
∴AE＝BF＝CD．
11．证明：∵AB⊥CD于点E，过E作AC的垂线交BD于点Q，
∴三角形ACE、三角形PCE、三角形APE、三角形BED都是直角三角形．
∴∠DEQ＝∠CEP（对顶角相等）．
∠CEP＝∠A（同角的余角相等）．
又∵∠A＝∠D（同弧所对的圆周角相等），
∴∠DEQ＝∠D，∴EQ＝QD（等角对等边）．
又∵∠QEB＝∠B（等角的余角相等），
∴EQ＝QB．
∴EQ＝QD＝QB，即Q为BD的中点．
12．解：（1）设圆的半径为r，
∵D是弧AC中点，
∴OD⊥AC，AE＝AC＝4，
在Rt△AOE中，OA2＝OE2+AE2，即r2＝（r﹣2）2+42，
解得，r＝5，即圆的半径长为5；
（2）连接BC，
∵AO＝OB，AE＝EC，
∴BC＝2OE＝6，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BE＝＝2．
13．证明：（1）作ON⊥EF，OM⊥CD，
∵∠DPB＝∠EPB；
∴ON＝OM，
∴CD＝EF，
∴＝，﹣＝﹣，
即．
（2）证明：∵
∴CE＝DF．
14．（1）证明：∵点B关于CE的对称点是点F，
∴EC⊥BF，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∴＝．
（2）连接BC、BE、BD，作CH⊥AB于H．
∵CA＝CP，
∴∠CAP＝∠CPA，∠CPA＝∠BPD，
∵∠CAP＝∠BDP，
∴∠BPD＝∠BDP，
∴BP＝BD，
∵＝，
∴∠ABD＝∠CDB，
∴PB＝PD，
∴PB＝PD＝BD，
∴△PDB是等边三角形，
∴∠BDP＝∠BPD＝∠APC＝60°，
∴△ACP是等边三角形，
∵AC＝2，PD＝3，CH⊥AP，
∴AH＝PH＝2，BH＝PB+PH＝3，CH＝，
∴BC＝＝，
∵∠CEB＝∠CDB＝60°，EC是直径，
∴∠CBE＝90°，
∴BE＝BC tan30°＝，
∵EC⊥BF，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∴＝，
∴DG＝BE＝．
15．解：（1）∵＝，
∴AB＝CD，
在△ABE与△CDE中，，
∴△ABE≌△CDE，
∴BE＝DE；
（2）过O作OF⊥AD与F，OG⊥BC于G，连接OA，OC，
根据垂径定理得：AF＝FD，BG＝OG，
∵AD＝BC，
∴AF＝CG，
在Rt△AOF与Rt△OCG中，
，
∴Rt△AOF≌Rt△OCG（HL），
∴OF＝OG，
∵AD⊥CB，
∴四边形OFEG是正方形，
∴OF＝EF，
设OF＝EF＝x，
则AF＝FD＝x+1，
∴OF2+AF2＝OA2，
即：x2+（x+1）2＝52，
解得：x＝3，x＝﹣4（舍去），
∴AF＝4，
∴AE＝7．
16．证明（1）∵弦AB＝CD，
∴＝，
∴﹣＝﹣，
即＝；
（2）∵＝，
∴∠A＝∠D，
∴AE＝DE．
17．（1）证明：连接AE，DE
∵AB是直径，
∴AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BE＝EC，
∵∠CDB＝90°，DE是斜边BC的中线，
∴DE＝EB，
∴，
即点E是的中点；
（2）设AD＝x，则CD＝2x，
∴AB＝AC＝3x，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD2＝（3x）2﹣x2＝8x2，
在Rt△CDB中，
（2x）2+8x2＝122，
∴，
∴，
即⊙O的半径是3．
18．证明：连接OM、ON，
∵O为圆心，M、N分别为弦AB、CD的中点，
∴OM⊥AB，ON⊥CD．
∵AB＝CD，
∴OM＝ON．
∴∠OMN＝∠ONM．
∵∠AMN＝90°﹣∠OMN，
∵∠CNM＝90°﹣∠ONM，
∴∠AMN＝∠CNM．
19．（1）证明：∵AB∥OC，
∴∠C＝∠BAC．
∵OA＝OC，
∴∠C＝∠OAC．
∴∠BAC＝∠OAC．
即AC平分∠OAB．
（2）解：∵OE⊥AB，
∴AE＝BE＝AB＝1．
又∵∠AOE＝30°，∠PEA＝90°，
∴∠OAE＝60°．
∴OE＝AB cos60°＝2×＝．
20．证明：（1）如图1，连接AD，BD，
∵C是劣弧AB的中点，
∴∠CDA＝∠CDB，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝∠DEB＝90°，
∴∠A+∠ADE＝90°，∠B+∠CDB＝90°，
∴∠A＝∠B，
∴△ADB为等腰三角形，
∵CD⊥AB，
∴AE＝BE；
（2）如图2，延长DB、AP相交于点F，再连接AD，
∵ADBP是圆内接四边形，
∴∠PBF＝∠PAD，
∵C是劣弧AB的中点，
∴∠CDA＝∠CDF，
∵CD⊥PA，
∴△AFD为等腰三角形，
∴∠F＝∠A，AE＝EF，
∴∠PBF＝∠F，
∴PB＝PF，
∴AE＝PE+PB
（3）AE＝PE﹣PB．
连接AD，BD，AB，DB、AP相交于点F，
∵弧AC＝弧BC，
∴∠ADC＝∠BDC，
∵CD⊥AP，
∴∠DEA＝∠DEF，∠ADE＝∠FDE，
∵DE＝DE，
∴△DAE≌△DFE，
∴AD＝DF，AE＝EF，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴∠DFA＝∠PFB，∠PBD＝∠DAP，
∴∠PFB＝∠PBF，
∴PF＝PB，
∴AE＝PE﹣PB．