(共33张PPT)
22.4 矩形
第2课时 矩形的判定
第22章 四边形
冀教版 八年级下
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1
2
3
4
AD＝BC(答案不唯一)
5
B
6
7
8
9
A
10
见习题
D
见习题
D
见习题
B
D
11
12
13
14
答案显示
A
见习题
B
15
见习题
B
16
17
见习题
见习题
1．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，能使四边形DBCE成为矩形的是( )
A．AB⊥BE B．CE⊥DE
C．AB＝BC D．BE⊥DC
B
2．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，要使它变为矩形，需要添加的条件为____________________．
(写出一种情况即可)
AD＝BC(答案不唯一)
3．【2020·河北秦皇岛卢龙县期末】王晓同学要证明命题“对角线相等的平行四边形是矩形”是正确的，先作出了如图①所示的平行四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证．
已知：如图①，在平行四边形ABCD中，____________.
求证：平行四边形ABCD是_________．
(1)在横线上填空，以补全已知和求证；
AC＝BD
矩形
(2)按王晓的想法(如图②)写出证明过程．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AD＝BC. 在△ADC和△BCD中，
∴△ADC≌△BCD，∴∠ADC＝∠BCD.
又∵AD∥CB，∴∠ADC＋∠BCD＝180°，
∴∠ADC＝∠BCD＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形．
4．【易错：对矩形的判定定理掌握不全面】下列说法中能判定四边形是矩形的是( )
A．有两个角为直角的四边形
B．对角线互相平分的四边形
C．对角线相等的四边形
D．四个角都相等的四边形
D
5．【2019·湖南怀化】已知：如图，在 ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．
(1)求证：△ABE≌△CDF；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，AB＝CD. ∵AE⊥BC，CF⊥AD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°. 在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(AAS)．
(2)求证：四边形AECF是矩形．
证明∵在 ABCD中，AD∥BC，
∴∠EAF＝∠AEB＝90°.
∵AE⊥BC，CF⊥AD，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°.
∴∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°.
∴四边形AECF是矩形．
6．在四边形ABCD中，AC，BD是两条对角线且AC＝BD.如果添加一个条件，即可推出四边形ABCD是矩形，那么这个条件是( )
A．AB＝BC B．AC与BD互相平分
C．AC⊥BD D．AB⊥BD
B
7．【2019 河北石家庄高邑县期末】在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4名同学拟定的方案，其中正确的是( )
A．测量对角线，看是否互相平分
B．测量两组对边，看是否分别相等
C．测量对角线，看是否相等
D．测量对角线的交点到四个顶点的距离，看是否都相等
D
8．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件可以是( )
A．AB＝CD
B．AD＝AC
C．AB＝BC
D．AC＝BD
D
9．【2019·山东临沂】如图，在平行四边形ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是( )
A
10．如图，为了检查矩形书架ABCD的侧边是否与上、下边都垂直，工人师傅在检测四边形ABCD是平行四边形的基础上用一根绳子比较其对角线AC，BD的长度，若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，其中的数学原理是①_____________________________；②_____________________．
对角线相等的平行四边形是矩形
矩形的四个角都是直角
11．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在CB的延长线上，且BE＝BC，DE＝DC，AB，DE相交于点O，连接AE，DB.求证：四边形AEBD是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，CD＝AB.
∵BC＝BE，∴AD＝BE.
又∵AD∥BE，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵DE＝DC，
∴AB＝ED，
∴四边形AEBD是矩形．
12．为了研究特殊四边形，李老师制作了这样一个教具(如图①)，用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C、B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，课上，李老师右手拿住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC(如图②)，观察所得到的四边形，下列判断正确的是( )
A．∠BCA＝45° B．AC＝BD
C．BD的长度变小 D．AC⊥BD
【答案】B
13．【2020·河北石家庄长安区期末】如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，AD的中点．若AC＝10，BD＝6，则四边形EFGH的面积为( )
A．15 B．20
C．30 D．60
A
14．【2019·河北石家庄新华区模拟】如图，在锐角三角形ABC中，点O是AC边上的一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角平分线于点F，连接AE，AF.下列结论正确的是( )
①OE＝OF；
②CE＝CF；
③若CE＝12，CF＝5，则OC的长为6；
④当AO＝CO时，四边形AECF是矩形．
A．①② B．①④
C．①③④ D．②③④
【答案】B
15．【2021·江苏连云港】如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形．
(1)求证：四边形ACED是平行四边形；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC.
∵点C是BE的中点，∴BC＝CE，∴AD＝CE.
又∵AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形．
(2)如果AB＝AE，求证：四边形ACED是矩形．
证明∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC.
∵AB＝AE，
∴DC＝AE.
由(1)知四边形ACED是平行四边形，
∴四边形ACED是矩形．
16．【中考·山东青岛】已知：如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD.
(1)求证：AB＝AF；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BF∥CD，AB＝CD. ∴∠AFC＝∠DCG.
∵GA＝GD，∠AGF＝∠DGC，∴△AGF≌△DGC(AAS)．
∴AF＝CD. ∴AB＝AF.
(2)若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．
解：四边形ACDF是矩形．
证明：∵AF＝CD，AF∥CD，
∴四边形ACDF是平行四边形．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD＝120°.
∴∠FAG＝60°.
∵AG＝AB＝AF，
∴△AGF是等边三角形．∴AG＝GF.
由(1)知△AGF≌△DGC，
∴FG＝CG.
∵AG＝GD，
∴AD＝CF.
∴四边形ACDF是矩形．
17．【中考·甘肃兰州】阅读下面材料：
在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图①，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？
小敏在思考问题时，有如下思路：连接AC.
结合小敏的思路作答：
(1)若只改变图①中四边形ABCD的形状(如图②)，则四边形EFGH还是平行四边形吗？请说明理由．
解：四边形EFGH还是平行四边形．理由如下：
连接AC. ∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴EF∥AC，EF＝ AC.
∵H，G分别是AD，CD的中点，∴HG∥AC, HG＝ AC.
∴EF∥HG，EF＝HG. ∴四边形EFGH是平行四边形．
(2)在(1)的条件下，若连接AC，BD.
当AC与BD满足什么关系时，四边形EFGH是矩形？直接写出结论．
【点拨】本题的实质是判断中点四边形的形状，而中点四边形的形状是由原四边形的对角线的关系来决定的．当原四边形的对角线互相垂直时，中点四边形是矩形．当原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形(下一节学)．注意：中点四边形的形状与原四边形的对角线是否互相平分无关．
解：当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形．(共29张PPT)
提分专项（八）
特殊平行四边形最值问题和动点问题
冀教版 八年级下
第22章 四边形
1
2
3
4
6
7
A
见习题
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5
2或3.5
C
见习题
8
见习题
9
见习题
1．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，BE＝1，P为AC上一动点，则PB＋PE的最小值是( )
A．3
B．4
C．5
D．6
C
2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，P为边BC上一动点(P不与B，C重合)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，连接EF，M为EF中点，则AM的取值范围是( )
【点拨】在Rt△ABC中，
∵∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，
∴BC＝ ＝13.
∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴∠PEA＝∠PFA＝∠EAF＝90°，
∴四边形AEPF是矩形．
∵M是EF的中点，
∴延长AM经过点P，
∴EF＝AP，
∴AM＝ EF＝ PA.
当PA⊥CB时，PA＝ ，
∴AM的最小值为 .
∵PA
【答案】A
3．如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，点E为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，则PB＋PE的最小值为________．
4．如图，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上任意一点(可与B点或C点重合)，分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B′、C′、D′，则BB′＋CC′＋DD′的最大值为________，最小值为________．
【点拨】在如图，连接AC、DP，S正方形ABCD＝1×1＝1，
由勾股定理得：
∵AB＝1，
∵△DPC和△APC的边CP上的高DC＝AB，
∴S正方形ABCD＝S△ABP＋S△ADP＋S△DPC＝ AP(BB′＋ DD′＋CC′)＝1，
∴BB′＋ DD′＋CC′＝ .
∵1≤AP≤ ，
∴ ≤BB′＋CC′＋DD′≤2.
【答案】
5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，BC＝18，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动，当运动时间为t秒时，
以点P，D，Q，E为顶点的四边形是
平行四边形，则t的值为__________．
2或3.5
6．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝10，点P在AD边上以每秒1个单位长度的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以每秒4个单位长度的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为t s，当t为何值时，以P，D, Q, B为顶点
的四边形是平行四边形？
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴PD∥BQ.
若以P，D，Q，B为顶点的四边形为平行四边形，则PD＝BQ.
设运动时间为t s.
当0CQ＝4t，BQ＝10－4t，
∴10－t＝10－4t，解得t＝0(舍去)；
当 BQ＝4t－10，
∴10－t＝4t－10，
解得t＝4；
当5BQ＝30－4t，
∴10－t＝30－4t，
解得t＝ ；
当 BQ＝4t－30，
∴10－t＝4t－30，
解得t＝8.
综上所述，当运动时间为4 s或 s或8 s时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形．
7.【2020·河北邢台高新区月考】如图，在矩形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝6 cm. 点P从点D出发向点A运动，运动到点A立即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C立即停止，点P，Q的速度都是1 cm/s，连接PQ，AQ，CP.设点P，Q运动的时间为t s.
(1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形？
解：由题意得，BQ＝DP＝t cm，
则AP＝CQ＝(6－t)cm.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AD∥BC，
∴当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，
∴t＝6－t，解得t＝3，
故当t＝3时，四边形ABQP为矩形．
(2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形？
解：由(1)易知，四边形AQCP为平行四边形，
∴当AQ＝CQ时，平行四边形AQCP为菱形，
即 ＝6－t时，平行四边形AQCP为菱形，
解得t＝ ，
故当t＝ 时，四边形AQCP为菱形．
(3)直接写出(2)中菱形AQCP的周长和面积，周长是________cm，面积是________cm2.
15
8．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，BC＝10，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧，点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动，在线段QC上取点E，
使得QE＝2，连接PE，设点P的运动
时间为t秒．
解：存在．
①当点Q，E在线段BC上时，
若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，
则AP＝BE，∴t＝10－2t＋2，解得t＝4.
(1)请问是否存在t的值，使以A，B, E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
②当点Q，E在线段CB的延长线上时，
若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，
则AP＝BE，
∴t＝2t－2－10，
解得t＝12.
∴当t＝4或t＝12时，以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形．
(2)若PE⊥BC，求BQ的长．
解：过A作AM⊥BC于M，设AC交PE于N，如图．
∵∠BAC＝90°，∠B＝45°，
∴∠C＝45°＝∠B，
∴AB＝AC，
∴BM＝CM，
∴AM＝ BC＝5.
∵AD∥BC，
∴∠PAN＝∠C＝45°.
∵PE⊥BC，
∴PE＝AM＝5，PE⊥AD，
∴△APN和△CEN是等腰直角三角形，
∴PN＝AP＝t，CE＝NE＝5－t.
∵CE＝CQ－QE＝2t－2，
∴5－t＝2t－2，
解得t＝ ，
∴BQ＝BC－CQ＝10－2× .
9．如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(10，0)，C(0，4)，点D是OA的中点，点P在边BC上以每秒1个单位长度的速度由点C向点B运动，设点P的运动时间为t秒．
(1)当t＝________时，CP＝OD；
5
(2)当△OPD为等腰三角形时，写出点P的坐标(请直接写出答案，不必写过程)．
解：点P的坐标为P1(3，4)，P2(2.5，4)，P3(2，4)，P4(8，4)．
(3)在线段PB上是否存在一点Q，使得四边形ODQP为菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：存在．当OD＝OP＝PQ＝5时，四边形ODQP为菱形．
在Rt△OPC中，由勾股定理得：
∴t＝3，
∴CQ＝CP＋PQ＝3＋5＝8.
又∵C(0，4)，
∴Q点的坐标为(8，4)．(共25张PPT)
提分专项（九）
与四边形有关的河北中考题型
冀教版 八年级下
第22章 四边形
1
2
3
4
6
7
56
A
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答案显示
5
A
A
C
8
14；21
9
6
C
B
10
B
答案显示
11
B
12
见习题
1．【中考·河北】已知：线段AB，BC，∠ABC＝90°，求作：矩形ABCD.以下是甲、乙两同学的作业：
甲：①以点C为圆心，AB长为半径画弧；
②以点A为圆心，BC长为半径画弧；
③两弧在BC上方交于点D，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求(如图①)．
乙：①连接AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M；
②连接BM并延长，在延长线上取一点D，使MD＝MB，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求(如图②)．
对于两人的作业，下列说法正确的是( )
A．两人都对 B．两人都不对
C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
A
2．【中考·河北】如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α＝________°.
56
3．【中考·河北】如图，将 ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为( )
A．66° B．104° C．114° D．124°
C
4．【中考·河北】如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝70°，将平行四边形折叠，使点D，C分别落在点F，E处(点F，E都在AB所在的直线上)，折痕为MN，则∠AMF等于( )
A．70° B．40°
C．30° D．20°
B
5．【中考 河北】如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则( )
A．甲、乙都可以
B．甲、乙都不可以
C．甲不可以、乙可以
D．甲可以、乙不可以
A
6．【中考·河北】如图，将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n≠( )
A．2 B．3 C．4 D．5
A
7．【中考·河北】已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF的边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转……在这样连续6次旋转的
过程中，点B，M间的距离可能是( )
A．1.4 B．1.1 C．0.8 D．0.5
C
8．【中考·河北】如图①，作∠BPC平分线的反向延长线PA，现要分别以∠APB，∠APC，∠BPC为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以∠BPC为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时∠BPC＝90°， 而 ＝45°是360°(多边形外角和)的 ，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图②所示．
图②中的图案外轮廓周长是____________；在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是____________．
【点拨】题图②中的图案外轮廓周长是8＋8－2＝14.
设∠BPC＝2x°，
则以∠BPC为内角的正多边形的边数为
以∠APB为内角的正多边形的边数为
∴图案外轮廓周长是
根据题意可知2x°的值只能为60°，90°，120°，144°，
∴当x＝30时，周长最大，此时图案定为会标，则会标的外轮廓周长是
【答案】 14；21
9．【中考·河北】用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图①；用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图②，若围成一圈后中间形成一个正多边形，则n的值为__________．
6
10．【2020·河北】如图，将△ABC绕边AC的中点O顺时针旋转180°.嘉淇发现，旋转后的△CDA与△ABC构成平行四边形，并推理如下：
点A，C分别转到了点C，A处，
而点B转到了点D处．
∵CB＝AD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵CB＝AD，”和“∴四边形……”之间作补充，下列正确的是( )
A．嘉淇推理严谨，不必补充
B．应补充：且AB＝CD
C．应补充：且AB∥CD
D．应补充：且OA＝OC
B
11．【中考·河北】求证：菱形的两条对角线互相垂直．
已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O.求证：AC⊥BD.
以下是排乱的证明过程：
①又BO＝DO，
②∴AO⊥BD，即AC⊥BD.
③∵四边形ABCD是菱形，
④∴AB＝AD.
证明步骤正确的顺序是( )
A．③→②→①→④ B．③→④→①→②
C．①→②→④→③ D．①→④→③→②
B
12．【中考·河北】如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△ADE，连接BD，CE交于点F.
(1)求证：△ABD≌△ACE；
证明：∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，
∴∠BAC＝∠DAE＝40°，∴∠BAD＝∠CAE＝100°. 又∵AB＝AC，∴AB＝AC＝AD＝AE.
在△ABD与△ACE中，
∴△ABD≌△ACE.
(2)求∠ACE的度数；
解：∵∠CAE＝100°，AC＝AE，
∴∠ACE＝ (180°－∠CAE)＝ ×(180°－100°)＝40°.
(3)求证：四边形ABFE是菱形．
证明：∵∠BAD＝∠CAE＝100°，
AB＝AC＝AD＝AE，
∴∠ABD＝∠ADB＝∠ACE＝∠AEC＝40°.
∵∠BAE＝∠BAD＋∠DAE＝140°，
∴∠BFE＝360°－∠BAE－∠ABD－∠AEC＝140°，
∴∠BAE＝∠BFE，
∴四边形ABFE是平行四边形．
又∵AB＝AE，
∴平行四边形ABFE是菱形．(共30张PPT)
22.7 多边形的内角和与外角和
第22章 四边形
冀教版 八年级下
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答案显示
1
2
3
4
D
5
D
6
7
8
9
A
10
C
D
C
C
D
B
D
11
12
13
14
答案显示
B
见习题
C
15
A
D
16
17
18
19
180°
B
见习题
B
20
见习题
1．一个正方形切去一个角后，剩余的图形有角( )
A．3个 B．4个
C．5个 D．3个或4个或5个
D
D
2．【河北保定第十七中学期末】过一个多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成 4 个三角形，则这个多边形的边数为( )
A．7 B．4 C．5 D．6
3．如图所示的足球中的一个黑色五边形的内角和是( )
A．180° B．360° C．540° D．720°
C
4．【2020·湖南怀化】若一个多边形的内角和为1 080°，则这个多边形的边数为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
C
5．若n边形每个内角都等于150°，则这个n边形是( )
A．九边形 B．十边形
C．十一边形 D．十二边形
D
6．【教材改编题】下列四个角度中，是多边形内角和的是( )
A．630° B．540°
C．450° D．270°
B
7．【2019·河北石家庄长安区期末】把一个n边形变为(n＋2)边形，内角和将( )
A．减少180° B．增加180°
C．减少360° D．增加360°
D
8．【2019·河北保定唐县期末】如果一个多边形的每一个外角都等于45°，那么这个多边形的边数为( )
A．3 B．4 C．5 D．8
D
9．某多边形内角和与外角和共为1 080°，则这个多边形的边数为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
A
10．【2019·河北沙河期末】如图，∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的三个外角，若∠A＋∠B＝230°，则∠1＋∠2＋∠3等于( )
A．140°
B．180°
C．230°
D．320°
C
11．一个多边形的各个内角都相等，其中一个外角等于与它相邻的内角的 ，求这个多边形的边数．
解：设这个多边形的一个内角为x，则一个外角为 x.
根据题意得x＋ x＝180°.
解得x＝108°， x＝72°.
360°÷72°＝5.
答：这个多边形的边数为5.
12．【易错：因混淆多边形的内角和与外角和而致错】一个多边形的边数由原来的3增加到n时(n>3，且n为正整数)，它的外角和( )
A．增加(n－2)×180° B．减小(n－2)×180°
C．增加(n－1)×180° D．没有改变
D
13．【教材改编题】一个n边形的内角和是它外角和的5倍，则n的值是( )
A．11 B．12 C．13 D．14
B
14．【2020·河北石家庄一模】如图，以正五边形ABCDE的对角线BE为边，作正方形BEFG，使点A落在正方形BEFG内，则∠ABG的度数为( )
A．18° B．36° C．54° D．72°
C
15．【2020·河北邯郸魏县期中】如图，小明从A点出发，沿直线前进10米后向左转36°，再沿直线前进10米，再向左转36°……照这样走下去，他第一次回到出发点A点时，一共走的路程是( )
A．100米 B．110米
C．120米 D．200米
A
16．如图，在七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线相交于O点．若∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝225°，则∠BOD的度数为( )
A．40° B．45° C．50° D．60°
B
17．【创新考法】一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3＝80°，则∠1＋∠2＝( )
A．35° B．70° C．90° D．120°
B
18．【2019·河北石家庄模拟】如图，含30°的直角三角板的直角边AC，BC分别经过正八边形的两个顶点，则图中∠1＋∠2＝________．
180°
19．【2019·河北邯郸永年区期末】(1)如图是一个多边形，请用一条直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足下列条件(画出图形，把截去的部分涂上阴影)：
①新多边形的内角和比原多边形的内角和增加180°；
②新多边形的内角和与原多边形的内角和相等；
③新多边形的内角和比原多边形的内角和减少180°.
解：(1)①如图①.
②如图②.
③如图③.
【点拨】 (1)题答案不唯一．
(2)将多边形截去一个角，使新多边形的内角和为2 520°，求原多边形的边数．
解：设新多边形的边数为n，
则(n－2)·180°＝2 520°，解得n＝16.
①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为15；
②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为16；
③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17.
故原多边形的边数为15，16或17.
20．【2019·河北秦皇岛海港区模拟】发现
如图①，在有一个“凹角∠A1A2A3”的n边形A1A2A3A4…An中(n为大于3的整数)，∠A1A2A3＝∠A1＋∠A3＋∠A4＋∠A5＋∠A6＋…＋∠An－(n－4)×180°.
验证
(1)如图②，在有一个“凹角∠ABC”的四边形ABCD中，求证：∠ABC＝∠A＋∠C＋∠D.
证明：如图①，延长AB交CD于E，
则∠ABC＝∠BEC＋∠C，∠BEC＝∠A＋∠D，
∴∠ABC＝∠A＋∠C＋∠D.
(2)如图③，在有一个“凹角∠ABC”的六边形ABCDEF中，求证：∠ABC＝∠A＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F－360°.
证明：如图②，延长AB交CD于G，则∠ABC＝∠BGC＋∠C.
∵∠BGC＝180°－∠BGD，∠BGD＝(5－2)×180°－(∠A＋∠D＋∠E＋∠F)，
∴∠ABC＝∠A＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F－360°.
延伸
(3)如图④，在有两个连续“凹角∠A1A2A3和∠A2A3A4”的n边形A1A2A3A4…An中(n为大于4的整数)，∠A1A2A3＋∠A2A3A4＝∠A1＋∠A4＋∠A5＋∠A6＋…＋∠An－(n－________)×180°.
【点拨】如图③，延长A2A3交A5A4于C，延长A3A2交A1An于B，则∠A1A2A3＋∠A2A3A4＝∠A1＋∠2＋∠A4＋∠4.
∵∠1＋∠3＝(n－2－2)×180°－(∠A5＋∠A6＋…＋∠An)＝(n－4)×180°－(∠A5＋∠A6＋…＋∠An)，
∴∠2＋∠4＝360°－(∠1＋∠3)＝360°
－[(n－4)×180°－(∠A5＋∠A6＋…＋∠An)]
＝(6－n)×180°
＋∠A5＋∠A6＋…＋∠An，
∴∠A1A2A3＋∠A2A3A4＝∠A1＋∠A4＋∠A5＋∠A6＋…＋∠An－(n－6)×180°.
【答案】6(共27张PPT)
22.1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形的性质1
第22章 四边形
冀教版 八年级下
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1
2
3
4
61°
5
B
6
7
8
9
C
B
10
B
D
D
A
D
D
11
12
13
C
14
15
55°
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16
22或26
见习题
C
见习题
17
见习题
1．如图，在 ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形有( )
A．12个
B．9个
C．7个
D．5个
B
61°
2．【2019·广西梧州】如图， ABCD中，∠ADC＝119°，BE⊥DC于点E，DF⊥BC于点F，BE与DF交于点H，则∠BHF＝________.
3．下面关于平行四边形的对称性的描述，错误的是( )
A．平行四边形一定是中心对称图形
B．平行四边形的对称中心只有一个
C．平行四边形的对称中心是两条对角线的交点
D．平行四边形既是轴对称图形也是中心对称图形
D
4．如图， ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝3，BC边上的高为2，则阴影部分的面积为( )
A．3 B．6 C．12 D．24
A
5．【2019·河北沧州期末】在 ABCD中，AD＝4 cm，AB＝3 cm，则 ABCD的周长为( )
A．8 cm B．10 cm
C．12 cm D．14 cm
D
6．【中考·贵州黔西南州】如图，在 ABCD中，已知AC＝4 cm，若△ACD的周长为13 cm，则 ABCD的周长为( )
A．26 cm B．24 cm
C．20 cm D．18 cm
D
C
7．【2019·河北唐山乐亭县期末】如图，将 ABCD的一边BC延长至点E，若∠A＝110°，则∠1等于( )
A．110°
B．35°
C．70°
D．55°
D
8．【2020·浙江温州】如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作 BCDE，则∠E的度数为( )
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
9．【2019·河北邯郸永年区期末】在 ABCD中，数据如图，则∠D的度数为( )
A．20° B．80° C．100° D．120°
B
10．【2021·贵州贵阳】如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB＝3，AD＝4，则EF的长是( )
A．1
B．2
C．2.5
D．3
B
11．【2020·山东临沂】如图，P是面积为S的 ABCD内任意一点，△PAD的面积为S1，△PBC的面积为S2，则( )
【点拨】过点P作EF⊥AD交AD于点E，交CB的延长线于点F，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，S＝BC·EF，
又∵EF＝PE＋PF，
【答案】C
12．【2020·河北承德二模】如图，已知平行四边形ABCD，CD＝3 cm，依下列步骤作图，并保留作图痕迹．
步骤1：以B为圆心，BE长为半径画弧①，分别交AB，BC于点E，F；
步骤2：以A为圆心，BE长为半径画
弧②，交AD于点G；
步骤3：以G为圆心，EF长为半径画弧③，弧②和弧③交于点H，过H作射线AH，交BC于点M.
则下列叙述不正确的是( )
A．∠AMC＝∠C B．AM＝CD
C．AM平分∠BAD D．△BEF≌△AGH
C
13．【易错：因忽视分类讨论而致错】在 ABCD中，∠A的平分线把BC边分成长度是3和5的两部分，则 ABCD的周长是________．
【点拨】如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝DC，AD＝BC，
∴∠DAE＝∠AEB.
∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE.
∵BC＝BE＋EC，∴①当BE＝3，EC＝5时，
ABCD的周长为2(AB＋BC)＝2×(3＋3＋5)＝22；
②当BE＝5，EC＝3时，
ABCD的周长为2(AB＋BC)＝2×(5＋5＋3)＝26.
该题是没有图形的题目，易因忽视分类讨论而致错．
【答案】 22或26
14．如图所示，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在点D1处，折痕为EF，若∠BAE＝55°，则∠D1AD的度数为________．
55°
15．【2020·河北邢台期末】如图，在平行四边形ABCD中，点F在AB的延长线上，且BF＝AB.连接FD，交BC于点E.
(1)求证：△DCE≌△FBE；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，AD＝BC，
∴∠CDE＝∠F. ∵BF＝AB，∴DC＝FB，
在△DCE和△FBE中，
∴△DCE≌△FBE(AAS)．
(2)若DF平分∠ADC，且EC＝6 cm，求四边形ABCD的周长．
解：∵△DCE≌△FBE，∴EC＝EB，
∵EC＝6 cm，∴BC＝2EC＝12 cm.
∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CED，∵DF平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，∴∠CED＝∠CDE，
∴DC＝EC＝6 cm，∴四边形ABCD的周长＝2(BC＋DC)＝2×(12＋6)＝36(cm)．
16．如图， ABCD中，点E是AB边的中点，延长DE交CB的延长线于点F.
(1)求证：△ADE≌△BFE；
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.
∴∠A＝∠ABF. ∵点E是AB边的中点，∴AE＝BE.
∴△ADE≌△BFE .
在△ADE和△BFE中，
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝CD . ∴∠CDF＝∠BEF.
∵DE⊥AB , ∴∠BEF＝90° .
∴∠CDF＝90°.
∵DE＝AB ，∴DE＝DC .
∴∠DEC＝∠DCE＝45°. ∴∠FEC＝135°.
(2)若DE⊥AB且DE＝AB，连接EC，求∠FEC的度数．
17．如图，在 ABCD中，DE⊥AB于点E, DF⊥CB于点F.
(1)若∠A＝70°，求∠EDF的大小；
解：在 ABCD中，因为∠A＝70°，
所以∠C＝70°，因为DE⊥AB，DF⊥CB，
所以∠AED＝∠CFD＝90°，
所以∠ADE＝∠FDC＝20°.
又因为∠ADC＝180°－∠A＝110°，
所以∠EDF＝∠ADC－40°＝70°.
(2)若 ABCD的周长为25 cm，DE＝2 cm，DF＝3 cm，求这个平行四边形的面积．
解：设AB＝x cm，
根据平行四边形面积公式得AB·DE＝BC·DF，
列出方程得2x＝3(12.5－x)，
解得x＝7.5.
所以 ABCD的面积为AB·DE＝7.5×2＝15(cm2)．(共29张PPT)
22.3 平三角形的中位线
第22章 四边形
冀教版 八年级下
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1
2
3
4
C
5
C
6
7
8
9
B
10
D
见习题
B
D
B
A
11
12
13
14
答案显示
见习题
B
见习题
15
见习题
1．如图，在△ABC中，AB＝8 cm，AC＝10 cm，点D，E分别是AB，AC上的点，且AD＝4 cm，CE＝5 cm，则是△ABC的中位线的是( )
A．线段CD
B．线段BE
C．线段DE
D．线段AE
C
C
2．【教材改编题】如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中点C，D，量得CD＝10 m，则A，B之间的距离是( )
A．5 m B．10 m
C．20 m D．40 m
3．△ABC中，AB＝7，BC＝6，AC＝5，点D、E、F分别是三边的中点，则△DEF的周长为( )
A．4.5 B．9 C．10 D．12
B
4．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠ EFP的度数是( )
A．50° B．40° C．30° D．20°
D
5．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是BC的中点．若OE＝3 cm，则AB的长为( )
A．3 cm B．6 cm C．9 cm D．12 cm
B
6．【2019· 河北保定阜平县期末】如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC＋BD＝24 cm，△OAB的周长是18 cm，则EF的长为( )
A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm
A
7．【2021·山东菏泽】如图，在Rt△ABC中，∠C＝30°，D，E分别为AC，BC的中点，DE＝2，过点B作BF∥AC，交DE的延长线于点F，则四边形ABFD的面积为________．
8．【2020·河北石家庄模拟】在证明定理“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，小明给出如下部分证明过程．
已知：在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．
求证：______________________．
证明：如图，延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF，
……
(1)在横线上写上求证内容；
(2)请根据添加的辅助线，写出完整的证明过程；
解：∵点E是AC的中点，∴AE＝CE.
又∵EF＝ED，∠AED＝∠CEF，
∴△ADE≌△CFE，∴AD＝CF，∠A＝∠ECF，
∴AD∥CF.
∵点D是AB的中点，∴AD＝BD，∴BD＝CF，
∴四边形BDFC是平行四边形，
∴DE∥BC，DF＝BC.
∵DE＝FE，
∴DE＝ BC.
(3)若CE＝3，DF＝8，求边AB的取值范围．
解：∵DF＝8，
∴BC＝8.
∵CE＝3，
∴AC＝6，
∴BC－AC＜AB＜BC＋AC，
即2＜AB＜14.
9．如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对于下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离．其中会随点P的移动而变化的是( )
A．① B．②
C．③ D．④
B
10．【易错：对三角形中位线理解不清】如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝8，AD＝6，点M，N分别为线段BC，AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为( )
A．8 B．7
C．6 D．5
【点拨】连接DN.
∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF是△MND的中位线， ∴EF＝ DN.
要求EF长度的最大值，即求DN长度的最大值．
∵点M，N分别为线段BC，AB上的动点，
∴当点N与点B重合时，DN的长度最大，
此时DN＝ ＝10，
∴EF长度的最大值为 ×10＝5.
【答案】D
11．【中考·江苏苏州】如图，在△ABC中，延长BC至D，使得CD＝ BC，过AC的中点E作EF∥CD(点F位于点E右侧)，且EF＝2CD，连接DF.若AB＝8，则DF的长为( )
B
12．【2020·湖南株洲】如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接BE，过点C作CF∥BE，交DE的延长线于点F，若EF＝3，则DE的长为________．
【点拨】∵D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝ BC.
∵CF∥BE，
∴四边形BCFE为平行四边形，
∴BC＝EF＝3，∴DE＝
【答案】
13．如图，△ABC中，E是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，若AB＝4，AC＝6，求DE的长度．
解：延长BD交AC于点H.
∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠HAD.
∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠ADH＝90 .
在△ADB和△ADH中，
∴△ADB≌△ADH.
∴AH＝AB＝4，BD＝DH，
∴HC＝AC－AH＝2.
∵BD＝DH，BE＝EC，
14．【2019·河北唐山路南区期末】如图，点O是△ABC内一点，连接OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接，得到四边形DEFG.
(1)求证：四边形DEFG是平行四边形；
证明：∵AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G，
∴DG∥BC，DG＝ BC，EF∥BC，EF＝ BC, ∴DG∥EF，DG＝EF,
∴四边形DEFG是平行四边形．
(2)如果∠BOC＝90°，∠OCB＝30°，OB＝2，求EF的长．
解：∵∠BOC＝90°，∠OCB＝30°，OB＝2，
∴在Rt△BOC中，CB＝2OB＝4.
15．在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，作∠ABC的平分线．
(1)如图①，若∠ABC的平分线恰好经过点E，猜想△ABC是怎样的特殊三角形，并说明理由．
解：△ABC是等腰三角形．理由如下：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE＝ BC，DE∥BC，∴∠DEB＝∠EBC.
∵BE是∠ABC的平分线，∴∠DBE＝∠EBC，
∴∠DEB＝∠DBE， ∴DE＝DB＝ AB，
∴AB＝BC，
∴△ABC是等腰三角形．
(2)如图②，若∠ABC的平分线交线段DE于点F，已知AB＝8，BC＝10，求EF的长度．
∴EF＝DE－DF＝1.
(3)若∠ABC的平分线交直线DE于点F，直接写出AB，BC，EF三者之间的数量关系．
解：当点F在线段DE上时，EF＝ (BC－AB)；当点F在线段DE延长线上时，EF＝ (AB－BC)．(共28张PPT)
22.2 平行四边形的判定
第2课时 平行四边形的判定2
第22章 四边形
冀教版 八年级下
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C
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见习题
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见习题
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见习题
见习题
见习题
1．【2019·河北唐山丰润区期中】下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A．AB＝CD，AD＝BC
B．AB∥CD，∠B＝∠D
C．AB∥CD，AD＝BC
D．AB∥CD，AB＝CD
C
D
2．下列图形中，一定可以拼成平行四边形的是( )
A．两个等腰三角形 B．两个直角三角形
C．两个锐角三角形 D．两个全等三角形
3．如图，AB＝CD＝EF，且△ACE≌△BDF，则图中平行四边形的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
C
4．如图，点D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是______________________________________．
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
5．【2019·河北唐山滦南期末】如图所示，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列判断正确的是( )
A．若AO＝OC，则四边形ABCD是平行四边形
B．若AC＝BD，则四边形ABCD是平行四边形
C．若AO＝BO，CO＝DO，则四边形ABCD是平行四边形
D．若AO＝OC，BO＝OD，则四边形ABCD是平行四边形
【答案】D
6．四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC，其中一定能判定四边形ABCD是平行四边形的条件共有( )
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
C
C
7．【2019·山东威海】如图，E是 ABCD的边AD延长线上一点，连接BE，CE，BD，BE交CD于点F.添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是( )
A．∠ABD＝∠DCE
B．DF＝CF
C．∠AEB＝∠BCD
D．∠AEC＝∠CBD
8．【易错：对平行四边形的判定方法掌握不牢致错】已知四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AB∥CD，②OA＝OC，③AD＝BC，④∠BAD＝∠BCD，任取两个条件，可得出四边形ABCD是平行四边形这一结论的情况有( )
A．5种 B．4种 C．3种 D．2种
D
9．已知四边形的四条边的长分别是m、n、p、q，且满足m2＋n2＋p2＋q2＝2mn＋2pq，则这个四边形是( )
A．平行四边形
B．对角线互相垂直的四边形
C．平行四边形或一条对角线被另一条对角线垂直平分的四边形
D．对角线相等的四边形
C
10．【2021·河北】如图①， ABCD中，AD> AB，∠ABC为锐角，要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图②中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是( )
A．甲、乙、丙 B．甲、乙
C．甲、丙 D．乙、丙
【答案】A
11．已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E是CD的中点，BE的延长线与AD的延长线相交于点F.
(1)求证：△BCE≌△FDE；
证明：∵点E是CD的中点，∴DE＝CE.
又∵AD∥BC，点F在AD的延长线上，
∴∠DFE＝∠CBE，∠FDE＝∠BCE.
在△BCE与△FDE中，
∴△BCE≌△FDE(AAS)．
(2)连接BD，CF，判断四边形BCFD的形状，并证明你的结论．
解：四边形BCFD是平行四边形．证明：∵△BCE≌△FDE，
∴FE＝BE.
∵DE＝CE，
∴四边形BCFD是平行四边形．
12．如图，以△ABC的各边向同侧作等边三角形，即等边三角形ABD、等边三角形BCF、等边三角形ACE.求证：四边形AEFD是平行四边形．
证明：∵△ABD和△BCF都是等边三角形，
∴∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠ABF＝60°，BD＝BA，BF＝BC. ∴∠DBF＝∠ABC.
在△DBF与△ABC中，
∴△DBF≌△ABC(SAS)，
∴AC＝DF.
∵△ACE是等边三角形，
∴AC＝AE，∴AE＝DF.
同理可得EF＝AD，
∴四边形AEFD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．
13．在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图(如图①)的启发，编写了下面这道题，请你来解一解：如图②，将平行四边形ABCD的四边DA，AB，BC，CD分别延长至E，F，G，H，使得AE＝CG，BF＝DH，连接EF，
FG，GH，HE.求证：
四边形EFGH为平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠BCD＝∠BAD.
∵∠HCG＝180°－∠BCD，∠EAF＝180°－∠BAD，
∴∠HCG＝∠EAF. ∵BF＝DH，∴AF＝CH，
又∵AE＝CG， ∴△FAE≌△HCG(SAS)，
∴EF＝GH. 同理可得EH＝GF，
∴四边形EFGH为平行四边形．
14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点E，点E是BD的中点，延长CD到点F，使DF＝CD，连接AF.
(1)求证：AE＝CE；
证明：∵点E是BD的中点，∴BE＝DE.
∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBE.
在△ADE和△CBE中，
∴△ADE≌△CBE(ASA)，
∴AE＝CE.
(2)求证：四边形ABDF是平行四边形；
证明：∵AE＝CE，BE＝DE，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∵点F在CD的延长线上，∴AB∥DF.
∵DF＝CD，∴DF＝AB，
∴四边形ABDF是平行四边形．
(3)若AB＝2，AF＝4，∠F＝30°，则四边形ABCF的面积为________．
【点拨】如图，过C作CH⊥BD于H，过D作DQ⊥AF于Q.
∵四边形ABCD和四边形ABDF是平行四边形，
AB＝2，AF＝4，
∴DF＝AB＝2，CD＝AB＝2，
BD＝AF＝4，BD∥AF.
∴∠BDC＝∠F＝30°，
∴DQ＝ DF＝ ×2＝1，CH＝ DC＝ ×2＝1，
∴四边形ABCF的面积＝S BDFA＋S△BDC＝AF×DQ＋×BD×CH＝4×1＋ ×4×1＝6.
【答案】6(共33张PPT)
22.5 菱形
第1课时 菱形及其性质
第22章 四边形
冀教版 八年级下
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见习题
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见习题
1．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是( )
A．AB＝CD
B．AD＝BC
C．AC＝BD
D．AB＝BC
D
2．【2019·河北保定二中期中】菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )
A．对边相等
B．对角相等
C．对角线互相平分
D．对角线互相垂直
D
3．【2020·湖北荆门】如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为( )
A．20 B．30
C．40 D．50
C
4．【2019·河北】如图，菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1等于( )
A．30° B．25° C．20° D．15°
D
5．【2019·天津】如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是(2，0)，(0，1)，点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于( )
C
6．【2019·内蒙古呼和浩特】已知菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为2，则该菱形较长的一条对角线的长为( )
C
7．【2019·江苏苏州】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4，BD＝16，将△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A′B′O′.当点A′与点C重合时，点A与点B′之间的距离为( )
A．6 B．8
C．10 D．12
C
8．【易错：因忽略点E的位置需要分类讨论而致错】如图，四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，点E在AC上，若OE＝2 ，则CE的长为________．
【点拨】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝6，AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC.
∵∠BAD＝60°， ∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝6. ∴OB＝ BD＝3，
∴OC＝OA＝ ＝3 .
∵点E在AC上，OE＝2 ，
∴当点E在点O左边时，CE＝OC＋OE＝5 ；
当点E在点O右边时，CE＝OC－OE＝ .
∴CE的长为5 或 .
该题E点的位置不确定，易没有分类讨论而漏解．
【答案】
9．如图，在菱形ABCD中，AC和BD相交于点O，过点O的线段EF与一组对边AB，CD分别相交于点E，F.
(1)求证：AE＝CF；
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO，AB∥CD，∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO. 在△OAE和△OCF中，∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，AO＝CO，
∴△OAE≌△OCF，∴AE＝CF.
(2)若AB＝2，点E是AB的中点，求EF的长．
解：∵E是AB的中点，
∴BE＝AE＝CF. ∵BE∥CF，
∴四边形BEFC是平行四边形．
∴EF＝BC.
∵AB＝2，四边形ABCD是菱形，
∴EF＝BC＝AB＝2.
10．【教材改编题】菱形的两条对角线长分别为6和8，则菱形的面积是( )
A．10 B．20 C．24 D．48
C
11．菱形ABCD的边长为13 cm，其中对角线BD长10 cm，则菱形ABCD的面积为( )
A．60 cm2 B．120 cm2
C．130 cm2 D．240 cm2
B
12．【2020·河北石家庄裕华区模拟】如图，有一块菱形纸片ABCD，沿高DE剪下后拼成一个矩形，矩形的相邻两边DC和DE的长分别是5，3，则EB的长是( )
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
B
13．【2020·河北唐山遵化二模】如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，∠ABC＝70°，E是线段AO上一点，则∠BEC的度数可能是( )
A．100° B．70° C．50° D．20°
B
14．【教材改编题】如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边的中点，则MP＋PN的最小值是( )
B
15．【创新考法】如图，在菱形ABCD中，菱形的边长为5，对角线AC的长为8，延长AB至点E，BF平分∠CBE，点G是BF上任意一点，则△ACG的面积为( )
【点拨】连接BD交AC于点O. ∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ACB＝ ∠BCD，AB＝5，
OA＝ AC＝4，AB∥CD，AC⊥BD，
∴∠BCD＝∠CBE，
OB＝ ＝3，
∴△ABC的面积＝ ×AC×OB＝ ×8×3＝12.
∵BF平分∠CBE，
∴∠CBF＝ ∠CBE，
∴∠ACB＝∠CBF，
∴AC∥BF，
∴△ACG的面积＝△ABC的面积＝12.
故选C.
【答案】C
16．如图，菱形ABCD中，AC与BD相交于点O.将菱形沿EF折叠，使点C与点O重合．若AC＝8，BD＝6，则图中阴影部分的面积为____________．
18
17．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝ AC，连接CE，OE，连接AE交OD于点F.
(1)求证：OE＝CD；
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OC＝ AC，AC⊥BD.
∵DE＝ AC，
∴DE＝OC.
∵DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形．
又AC⊥BD，
∴∠DOC＝90°，
∴平行四边形OCED是矩形，
∴OE＝CD.
(2)若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，求AE的长．
解：在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．∴AC＝AB＝2，OA＝1.
∴在矩形OCED中，
CE＝OD ＝
在Rt△ACE中，
AE＝
18．【中考·江西】在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边三角形APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化．
(1)如图①，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是________，CE与AD的位置关系是________．
BP＝CE
CE⊥AD
(2)当点E在菱形ABCD外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由(选择图②、图③中的一种情况予以证明或说理)．
【点拨】选择一种情况证明即可．
解：结论仍然成立．
证明：选题图②，如图①，连接AC交BD于点O，设CE交AD于点H.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∠ABD＝∠CBD.
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∠ABD＝∠CBD＝30°.
∴AB＝AC，∠BAC＝60°.
∵△APE是等边三角形，
∴AP＝AE，∠PAE＝60°. ∴∠BAP＝∠CAE.
∴△BAP≌△CAE(SAS)．
∴BP＝CE，∠ABP＝∠ACE＝30°.
易知∠CAH＝60°，∴∠CAH＋∠ACH＝90°.
∴∠AHC＝90°，即CE⊥AD.
选题图③，如图②，
连接AC交BD于点O，设CE交AD于点H.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∠ABD＝∠CBD.
又∵∠ABC＝60°，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，△ABC是等边三角形．
∴AB＝AC，∠BAC＝60°.
∵△APE是等边三角形，
∴AP＝AE，∠PAE＝60°.
∴∠BAP＝∠CAE.
∴△BAP≌△CAE(SAS)．
∴BP＝CE，∠ABP＝∠ACE＝30°.
易知∠CAH＝60°，
∴∠CAH＋∠ACH＝90°.
∴∠AHC＝90°，即CE⊥AD.(共29张PPT)
22.5 菱形
第2课时 菱形的判定
第22章 四边形
冀教版 八年级下
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D
见习题
15
见习题
A
1．如图，点E，F，G，H分别是任意四边形ABCD中AD，BD，BC，CA的中点，当四边形EFGH是菱形时，四边形ABCD的边至少满足条件( )
A．AB＝AD
B．AB＝BC
C．AB＝CD
D．BC＝CD
C
2．【2019·河北廊坊模拟】如图，在△ABC中，点D是边BC上的点(与B，C两点不重合)，过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是( )
A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形
B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形
C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形
D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形
D
3．【中考·贵州遵义】如图，将 ABCD沿AE翻折，使点B恰好落在AD上的点F处，则下列结论不一定成立的是( )
A．AF＝EF
B．AB＝EF
C．AE＝AF
D．AF＝BE
C
·
·
·
4．【中考·浙江舟山】用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是( )
C
·
·
5．【易错：对菱形的判定条件掌握不清致错】下列条件能判定四边形是菱形的是( )
A．对角线相等的四边形
B．对角线互相垂直的四边形
C．对角线互相垂直平分的四边形
D．对角线相等且互相垂直的四边形
C
6．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是( )
A．AB＝BC
B．AC，BD互相平分
C．AC＝BD
D．AB∥CD
B
7．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，DE＝DF.在下列条件中，使四边形BECF是菱形的是( )
A．EB⊥EC
B．AB⊥AC
C．AB＝AC
D．BF∥CE
C
8．【2019·广西贺州】如图，在矩形ABCD中，E，F分别是BC，AD边上的点，且AE＝CF.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝90°，AB＝CD. 在Rt△ABE和Rt△CDF中，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF(HL)．
(2)当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形吗？请说明理由．
解：当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形．理由如下：
∵△ABE≌△CDF，∴BE＝DF.
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，BC＝AD，
∴CE＝AF. ∴四边形AECF是平行四边形．
又∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形．
9．如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，OA＝OC，OB＝OD.添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是( )
A．AC⊥BD
B．AB＝BC
C．AC＝BD
D．∠BAC＝∠DAC
C
10．【2020·河北唐山玉田县—模】如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处，易证四边形AECF是平行四边形．若四边形AECF是菱形，则∠BAE＝( )
A．30° B．40°
C．45° D．50°
A
11．【中考·山东泰安】如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝PC，其中正确结论的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
D
12．【2020·新华区校级二模】如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，小红按如下步骤作图：
①分别以A、C为圆心，以大于 AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M，N；
②连接MN，分别交AB，AC于点D，O；
③过C作CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD.
则四边形ADCE的周长为( )
A．10 B．20 C．12 D．24
A
13．【教材改编题】如图，两张矩形纸条交叉叠放在一起，重叠部分为四边形ABCD.若两张矩形纸条的长均为8，宽均为2，则四边形ABCD的周长的最大值为________．
17
14．【2019·河北模拟】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，点O是AC的中点，过点O的直线l与AC重合，将直线l绕点O逆时针旋转，交斜边AB于点D，过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α.
(1)试说明△EOC≌△DOA；
解：∵O是AC的中点，∴AO＝CO.
∵EC∥AB，∴∠ECO＝∠OAD.
在△EOC与△DOA中，
∴△EOC≌△DOA(ASA)．
(2)当α＝90°时，请判断四边形EDBC的形状，并给出证明．
解：四边形EDBC是菱形．
证明：∵α＝90°，∠ACB＝90°，∴α＝∠ACB，
∴BC∥ED.
又∵EC∥AB，∴四边形EDBC是平行四边形 ，
∴EC＝DB.
由(1)知△EOC≌△DOA，
∴EC＝AD.
∴DB＝AD.
∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，
∴∠A＝180°－∠ACB－∠B＝30°.
∴BC＝ ＝BD.
∴四边形EDBC是菱形．
15．【中考·山东泰安】如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG＝AF，AG平分∠CAB，连接GE，GD.
(1)求证：△ECG≌△GHD；
证明：∵AF＝FG，∴∠FAG＝∠FGA.
∵AG平分∠CAB，∴∠CAG＝∠FAG.
∴∠CAG＝∠FGA. ∴AC∥FG.
∵DE⊥AC，∴FG⊥DE.
∵FG⊥BC，∴DE∥BC，
∴AC⊥BC，∠CGE＝∠GED，
∴∠C＝∠DHG＝90°.
由F是AD的中点，FG∥AE，
易得H是ED的中点．
∴FG是线段ED的垂直平分线．
∴GE＝GD，∠GDE＝∠GED.
∴∠CGE＝∠GDE.
∴△ECG≌△GHD(AAS)．
(2)小亮同学经过探究发现：AD＝AC＋EC，请你帮助小亮同学证明这一结论；
证明：如图，过点G作GP⊥AB于点P.
易得GC＝GP，
又∵AG＝AG，
∴Rt△CAG≌Rt△PAG(HL)．
∴AC＝AP.
由(1)得EG＝DG，
∴Rt△ECG≌Rt△DPG(HL)．
∴EC＝PD.
∴AD＝AP＋PD＝AC＋EC.
(3)若∠B＝30°，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由．
解：四边形AEGF是菱形．
理由：∵∠B＝30°，∴∠ADE＝30°.
∴AE＝ AD＝AF.
∵AF＝FG，∴AE＝FG.
由(1)得AE∥FG，
∴四边形AEGF是平行四边形．
又∵FG＝AF，
∴四边形AEGF是菱形．(共30张PPT)
22.6 正方形
第22章 四边形
冀教版 八年级下
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B
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A
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A
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0.25
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B
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C
C
A
15
见习题
A
16
见习题
1．矩形、菱形、正方形的对角线都具有的性质是( )
A．对角线互相平分
B．对角线相等
C．对角线互相垂直
D．对角线互相垂直平分
A
2．如图，正方形ABCD的边长为3，点P为对角线AC上任意一点，PE⊥BC，PQ⊥AB，垂足分别是E，Q，则PE＋PQ的值是( )
B
3．如图，正方形ABCD的边长为5，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB，EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J，则图中阴影部分的面积等于( )
B
4．如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC等于( )
A．45° B．55° C．60° D．75°
C
5．【2019·河北邯郸大名县期末】如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝CF.连接AE，BF，AE与BF交于点G.下列结论错误的是( )
A．AE＝BF
B．∠DAE＝∠BFC
C．∠AEB＋∠BFC＝90°
D．AE⊥BF
C
6．如图，正方形ABCD和正方形EFGH的边长都等于1，点E恰好是AC，BD的交点，则两个正方形的重叠部分(阴影部分)的面积是__________．
0.25
7．如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上的一点，连接AE，以AE为一边，在AE的上方作正方形AEFG，连接DG.求证：AB＝CE＋DG.
证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG均是正方形，
∴AB＝AD，AE＝AG，
∠BAD＝∠EAG＝90°，
∴∠BAE＝∠DAG，
∴△ABE≌△ADG(SAS)．
∴BE＝DG.
∴AB＝BC＝CE＋EB＝CE＋DG，
即AB＝CE＋DG.
8．【易错：因正方形判定混淆而出错】下列说法正确的是( )
A．有一个角是直角的平行四边形是正方形
B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．有一组邻边相等的菱形是正方形
D．各边都相等的四边形是正方形
B
9．【2019·河北沙河期末】已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列能判定它是正方形的条件是( )
A．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD
B．AB＝BC＝CD＝DA
C．AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD
D．AB＝BC，CD⊥DA
A
10．已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的有________．(填序号)
①当AB＝BC时，它是矩形
②AC⊥BD时，它是菱形
③当∠ABC＝90°时，它是菱形
④当AC＝BD时，它是正方形
②
11．如图，将一张矩形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．若要剪出一个正方形，则裁剪线与折痕的夹角为( )
A．22.5° B．30° C．45° D．60°
C
12．如图，在正方形ABCD中，AB＝9，点E在CD边上，且DE＝2CE，点P是对角线AC上的一个动点，则PE＋PD的最小值是( )
【点拨】如图，连接BE，设BE与AC交于点P′，连接P′D.
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与D关于AC对称，
∴P′D＝P′B，
∴P′D＋ P′E＝P′B＋P′E＝BE最小．
即P为AC与BE的交点时，PD＋PE最小，为BE的长度．
∵Rt△CBE中，∠BCE＝90°，
【答案】A
13．【2021·广西玉林】如图，一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：
a．两组对边分别相等 b．一组对边平行且相等
c．一组邻边相等 d．一个角是直角
顺次添加的条件：①a→c→d；②b→d→c；③a→b→c.
则正确的是( )
A．仅① B．仅②
C．①② D．②③
C
14．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，连接AF，H是AF的中点，那么CH的长是( )
【点拨】连接AC，CF，如图．∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，
∴∠ACD＝45°，∠FCG＝45°，
∴∠ACF＝45°＋45°＝90°. 在Rt△ACF中，
∵H是AF的中点，
故选A.
【答案】A
15．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N.
(1)求证：∠ADB＝∠CDB；
证明：∵对角线BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD.
在△ABD和△CBD中，
∴△ABD≌△CBD，
∴∠ADB＝∠CDB.
(2)判断当∠ADC为何值时，四边形MPND是正方形，并说明理由．
解：当∠ADC＝90°时，四边形MPND是正方形．
理由如下：∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD＝∠PND＝90°.
∵∠ADC＝90°，
∴四边形MPND是矩形．
∵∠ADB＝∠CDB，
∴∠ADB＝45°.
∵∠PMD＝90°，
∴∠MPD＝∠PDM＝45°，
∴PM＝MD，
∴矩形MPND是正方形．
16．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝4 ，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.
(1)求证：矩形DEFG是正方形；
证明：如图，过点E作EM⊥BC于点M，过E作EN⊥CD于点N.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，
且NE＝NC，
∴四边形EMCN为正方形．
∴EM＝EN.
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠DEN＋∠NEF＝∠MEF＋∠NEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF. 在△DEN和△FEM中，
∴△DEN≌△FEM， ∴ED＝EF，
∴矩形DEFG为正方形．
(2)探究：CE＋CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
解：CE＋CG的值为定值，理由如下：
∵矩形DEFG为正方形，
∴DE＝DG，∠EDC＋∠CDG＝90°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADE＋∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG.
在△ADE和△CDG中，
∴△ADE≌△CDG， ∴AE＝CG，(共30张PPT)
22.4 矩形
第1课时 矩形及其性质
第22章 四边形
冀教版 八年级下
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1
2
3
4
A
5
D
6
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B
10
D
B
C
A
D
45
C
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14
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B
45°
B
15
C
C
16
17
18
19
见习题
A
见习题
D
1．【2019·河北邢台沙河期末】如图，矩形是轴对称图形，对称轴可以是( )
A．l1 B．l2 C．l3 D．l4
D
A
2．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB＝2，BC＝3，则图中阴影部分的面积为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
3．如图，现有一张矩形纸片(即矩形ABCD)，若沿虚线剪去∠C，则∠1＋∠2的度数为( )
A．180° B．240° C．270° D．330°
C
4．如图所示，在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°，若矩形ABCD的周长为30 cm，则AB的长为( )
A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．7.5 cm
A
5．【2020·河北唐山二模】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，E为AB的中点，点F，G分别在CD，AD上，△EFG为等腰直角三角形，则四边形BCFE的面积为( )
D
6．【2021·广西贺州】如图，在矩形ABCD中，E，F分别为BC，DA的中点，以CD为斜边作Rt△GCD，GD＝GC，连接GE，GF.若BC＝2GC，则∠EGF＝ ________．
45
7．【2019·湖北十堰】矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是( )
A．对边相等
B．对角相等
C．对角线相等
D．对角线互相平分
C
8．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为( )
A．18 B．20
C．22 D．24
B
9．【中考·甘肃兰州】如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝4，则OC等于( )
A．5 B．4 C．3.5 D．3
【点拨】由矩形的性质得出AC＝BD，OC＝ AC，∠BAD＝90°，
由含30°角的直角三角形的性质得出BD＝2AB＝8，
所以OC＝ AC＝ BD＝4.
【答案】B
10．【中考·湖南益阳】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的是( )
A．∠ABC＝90° B．AC＝BD
C．OA＝OB D．OA＝AD
D
11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC＝2∠CAD，则∠AOB＝________．
45°
12．如图，四边形ABCD，AEFC都是矩形，而且点B在EF上，这两个矩形的面积分别是S1，S2，则S1，S2的关系是( )
A．S1>S2 B．S1C．S1＝S2 D．3S1＝2S2
C
13．【2020·河北唐山路北区一模】如图，矩形ABCD中，AB＝12，BC＝13，以B为圆心，BA为半径画弧，交BC于点E，以D为圆心，DA为半径画弧，交BC于点F，则EF的长为( )
【点拨】连接DF.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝BE＝12，DA＝BC＝DF＝13，∠C＝90°，∴CF＝ ＝5.
∵EC＝BC－BE＝13－12＝1，
∴EF＝CF－CE＝4. 故选B.
【答案】B
14．如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，连接ED，若ED＝5，EC＝3，则矩形的周长为( )
A．20
B．22
C．24
D．26
B
15．【创新考法】如图，在矩形OABC中，点B的坐标是(2，5)，则A，C两点间的距离是( )
C
16．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点(不与点A，B重合)，作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是( )
A．1.2 B．1.5
C．2.4 D．2.5
【点拨】连接MP，如图所示．
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形CEMF是矩形．
∵点P是EF的中点，
∴M，P，C三点共线，
易得CP＝ CM.
当CM⊥AB时，CM最小，
则CP最小，
∵△ABC的面积＝ AB×CM＝ AC×BC，
∴CM＝ ＝2.4，
∴CP＝ CM＝1.2， 故选A.
【答案】A
17．【2020·河北模拟】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，过对角线的交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是( )
【点拨】连接CE，如图所示．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，CD＝AB＝4，
AD＝BC＝6，OA＝OC. ∵EF⊥AC，∴AE＝CE.
设DE＝x，则CE＝AE＝6－x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得x2＋42＝(6－x)2，
【答案】D
18．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠CAB＝∠ACD.
由折叠的性质可得∠EAB＝∠EAC，
∠ACF＝∠FCD.
又∵∠CAB＝∠ACD，
∴∠EAC＝∠ACF，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
(2)若AB＝6，AC＝10，求BE的长．
解：∵AB＝6，AC＝10，∠B＝90°，
∴由勾股定理得BC＝8，
由图形折叠可得AM＝AB＝6，∴MC＝10－6＝4.
设BE＝x，则ME＝x，EC＝8－x，
由折叠知∠AME＝∠B＝90°，∴∠CME＝90°.
在Rt△CEM中，由勾股定理得(8－x)2＝x2＋42，
解得x＝3，∴BE＝3.
19．矩形OABC的位置如图所示，点B的坐标为(8，4)，点P从点C出发向点O移动，速度为每秒1个单位长度；点Q同时从点O出发向点A移动，速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t(0≤t≤4)．
(1)点P的坐标为________，
点Q的坐标为________．
(用含t的代数式表示)
(0，4－t)
(2t，0)
(2)在点P、Q移动过程中，四边形OPBQ的面积是否变化？如不变，请说明理由．
解：四边形OPBQ的面积不变．理由如下：
∵S四边形OPBQ＝S矩形OABC－S△PCB－S△ABQ＝32－×8·t－ ×4·(8－2t)＝32－4t－16＋4t＝16.
∴四边形OPBQ的面积不变．(共31张PPT)
第二十二章
综合复习训练
冀教版 八年级下
第22章 四边形
1
2
3
4
6
7
B
A
见习题
D
C
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答案显示
5
D
C
8
见习题
9
见习题
10
D
11
12
A
A
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13
见习题
14
B
答案显示
15
144°
16
B
17
D
18
75°
1．【2020·河北保定雄县期末】如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且两条对角线的和为36 cm，AB的长为5 cm，则△OCD的周长为( )
A．41 cm
B．12 cm
C．23 cm
D．31 cm
C
2．如图，在 ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝6，BC＝10，则EF长为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
B
3．【2020·广西玉林】已知：点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，如图所示．
求证：DE∥BC，且DE＝ BC.
证明：延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF，
又AE＝EC，则四边形ADCF是平行四边形．
接着以下是排序错误的证明过程：
①∴DF BC；
②∴CF AD，即CF BD；
③∴四边形DBCF是平行四边形；
④∴DE∥BC，且DE＝BC.
则正确的证明顺序应是( )
A．②→③→①→④ B．②→①→③→④
C．①→③→④→② D．①→③→②→④
A
4．【2020·重庆】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，AC平分∠DAE.
(1)若∠AOE＝50°，求∠ACB的度数；
解：∵AE⊥BD，∴∠AEO＝90°.
∵∠AOE＝50°，∴∠EAO＝40°.
∵CA平分∠DAE，∴∠DAC＝∠EAO＝40°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ACB＝∠DAC＝40°.
(2)求证：AE＝CF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC.
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°.
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AEO≌△CFO，∴AE＝CF.
5．【2020·河北石家庄新华区一模】如图，在直角坐标系中，菱形OACB的顶点O在原点，点C的坐标为(4，0)，点B的纵坐标是－1，则菱形OACB的边长为( )
D
6．【2020·河北唐山迁西县期末】如图，四边形OABC是矩形，A(2，1)，B(0，5)，点C在第二象限，则点C的坐标是( )
A．(－1，3)
B．(－1，2)
C．(－2，3)
D．(－2，4)
D
7．如图，正方形ABCD的面积为144，菱形BCEF的面积为108，则S阴影＝( )
C
8．如图，点E是正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，EF与BC相交于点G，且△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF＝90°，连接CE，CF.
(1)求证：△ABF≌△CBE；
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠ABC＝90°∴∠ABF＋∠FBC＝90°. ∵△FBE是等腰直角三角形，∠EBF＝90°，∴BF＝BE，∠CBE＋∠FBC＝90°，
∴∠ABF＝∠CBE. 在△ABF和△CBE中，
∴△ABF≌△CBE.
(2)判断CE与EF的位置关系，并说明理由．
解：CE与EF的位置关系是互相垂直．
理由：由(1)知，△ABF≌△CBE，则∠FAB＝∠ECB.
∵∠AGB＝∠GCF＋∠GFC，∠AGB＋∠FAB＝90°，
∴∠GCF＋∠GFC＋∠FAB＝90°，
∴∠GCF＋∠GFC＋∠ECB＝90°，
∴∠FEC＝90°，即CE与EF的位置关系是互相垂直．
9．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF.
(1)OE________AE(填<、＝、>)；
＝
(2)求证：四边形OEFG是矩形；
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD.
∵E是AD的中点，∴OE是△ABD的中位线．
∴OE∥FG.
∵OG∥EF，∴四边形OEFG是平行四边形．
∵EF⊥AB，∴∠EFG＝90°，
∴平行四边形OEFG是矩形．
(3)若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，∴∠AOD＝90°.
∵E是AD的中点， ∴OE＝AE＝ AD＝5.
由(2)知，四边形OEFG是矩形，
∴FG＝OE＝5. ∵AE＝5，EF＝4，
10．【2020·河北邢台一模】如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，则下列说法正确的是( )
A．AE＝BD
B．BD＝DE
C．∠DEC＋∠B＝180°
D．∠BDE＋∠B＝180°
D
11．【2019·内蒙古赤峰】如图，菱形ABCD的周长为20，对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，则OE的长是( )
A．2.5 B．3 C．4 D．5
A
12．如图，△A1B1C1中，A1B1＝4，A1C1＝5，B1C1＝7.点A2、B2、C2分别是边B1C1、 A1C1、 A1B1的中点；点A3、 B3、 C3分别是边B2C2、 A2C2、 A2B2的中点……以此类推，则第2 022个三角形的周长是( )
A
13．【中考·山东菏泽】如图，点O是△ABC内一点，连接OB，OC，并将AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G依次连接，得到四边形DEFG.
(1)求证：四边形DEFG是平行四边形；
证明：∵D，G分别是AB，AC的中点，∴DG∥BC，DG＝ BC.
∵E，F分别是OB，OC的中点，
∴EF∥BC，EF＝ BC.
∴DG∥EF，DG＝EF.
∴四边形DEFG是平行四边形．
(2)若M为EF的中点，OM＝3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．
解：∵∠OBC和∠OCB互余，
∴∠OBC＋∠OCB＝90°.
∴∠BOC＝90°.
∵M为EF的中点，OM＝3，
∴EF＝2OM＝6.∴DG＝EF＝6.
14．【2020·江苏扬州】如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转45°后又沿直线前进10米到达点C，再向左转45°后沿直线前进10米到达点D…照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为( )
A．100米 B．80米
C．60米 D．40米
B
15．【2020·陕西】如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是________．
144°
16．下列选项中的四边形只有一个为平行四边形，根据图中所给的边长和角度，判断是平行四边形的是( )
B
17．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P是斜边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，EF与AP相交于点O，则OF的最小值是( )
A．4.8 B．3.6
C．2.4 D．1.2
【点拨】根据矩形的性质可以得出，EF、AP互相平分，且EF＝AP，再根据垂线段最短的性质就可以得出AP⊥BC时，AP的值最小即OF的值最小．
【答案】D
18．在正方形ABCD内作等边三角形ADE，则∠AEB的度数是________．
【点拨】如图，
∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°，AB＝AD.
∵△AED是等边三角形，
∴∠EAD＝60°，AD＝AE＝AB，
∴∠BAE＝90°－60°＝30°，
75°(共26张PPT)
22.1 平行四边形的性质
第2课时 平行四边形的性质2
第22章 四边形
冀教版 八年级下
提示：点击 进入习题
答案显示
1
2
3
4
C
5
C
6
7
8
9
C
B
10
24
C
C
C
6
②
11
12
13
D
14
15
答案显示
16
A
见习题
C
见习题
17
见习题
1．【2019·河北武安期末】如图，在 ABCD中，AB⊥AC，AC和BD相交于点O，若AB＝4，AC＝6，则BD的长是( )
A．8 B．9
C．10 D．11
C
C
2．【2019·广西柳州】如图，在 ABCD中，全等三角形共有( )
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
3．【中考·广西南宁】如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是( )
A．2 cm＜OA＜5 cm
B．2 cm＜OA＜8 cm
C．1 cm＜OA＜4 cm
D．3 cm＜OA＜8 cm
C
4．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O与AD，BC分别相交于点E，F.若AB＝4，BC＝5，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为( )
A．16
B．14
C．12
D．10
C
5．【教材改编题】 如图， ABCD的周长为20，对角线AC与BD交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长多2，则AB＝________．
6
6．如图，在 ABCD中(AB≠BC)，直线EF经过其对角线的交点O，且分别交AD，BC于点M，N，交BA，DC的延长线于点E，F.给出下列结论：①AO＝BO；②OE＝OF；③△EAO≌△CNO.其中一定正确的是_____(填序号)．
②
C
7．在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若△AOB的面积为3，则 ABCD的面积为( )
A．6 B．9
C．12 D．18
C
8．如图，某广场上有一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD，那么下列说法中错误的是( )
A．红花、绿花种植面积一定相等
B．紫花、橙花种植面积一定相等
C．红花、蓝花种植面积一定相等
D．蓝花、黄花种植面积一定相等
9． ABCD的对角线AC的长为10 cm，∠CAB＝30°，AB的长为6 cm，则 ABCD的面积为( )
A．60 cm2 B．30 cm2
C．20 cm2 D．16 cm2
【点拨】易知S ABCD＝2S△ABC，在△ABC中，过点B作BE⊥AC于点E，
由∠CAB＝30°可得BE＝ AB＝3 cm，则可求出S△ABC，进而可求得S ABCD.
【答案】B
10．如图所示， ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点M，N，若△CON的面积为2，△DOM的面积为4，则 ABCD的面积为________．
24
11．【易错：因考虑不全面而致错】如图，AB∥CD，AD∥BC，AC与BD相交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别是E，F，则图中共有全等三角形( )
A．5对
B．6对
C．7对
D．8对
C
12．如图，在周长为26 cm的 ABCD中，AB≠AD，AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为( )
A．4 cm
B．6 cm
C．8 cm
D．13 cm
D
13．如图，平行四边形ABCD的周长是52 cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC的中点，△AOD的周长比△AOB的周长多6 cm，则AE的长度为( )
A．8 cm
B．5 cm
C．4 cm
D．3 cm
【答案】 A
【点拨】∵ ABCD的周长为52 cm，∴AB＋AD＝26 cm.
∵△AOD的周长比△AOB的周长多6 cm，平行四边形的对角线互相平分，
∴(OA＋OD＋AD)－(OA＋OB＋AB)＝AD－AB＝6 cm，
∴AB＝10 cm，AD＝16 cm. ∴BC＝AD＝16 cm.
∵AC⊥AB，E是BC中点，∴AE＝ BC＝8 cm.故选A.
14．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，∠BAE＝45°，AE＝2 cm，AC＋BD＝12 cm，则△COD的周长是____________．
15．如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB＝ ，AC＝2，BD＝4，求AE的长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
AC＝2，BD＝4，
∴AO＝ AC＝1，BO＝ BD＝2. ∵AB＝ ，
∴AB2＋AO2＝BO2，
∴∠BAC＝90°.
16．【中考·湖北武汉】如图，已知点A(－4，2)，B(－1，－2)， ABCD的对角线交于坐标原点O.
(1)请直接写出点C，D的坐标；
(2)写出从线段AB到线段CD的变换过程；
解：点C的坐标为(4，－2)，点D的坐标为(1，2)．
解：线段AB绕点O旋转180°得到线段CD.(答案不唯一)
(3)直接写出 ABCD的面积．
【点拨】在(3)题中，设AD，BC与y轴分别交于点E，F，如图所示．∵A(－4，2)，B(－1，－2)，
∴EO＝FO＝2， ∴EF＝4.
∵B(－1，－2)，C(4，－2)，
∴BC＝ ＝5.
∴S ABCD＝BC·EF＝5×4＝20.
解：S ABCD＝20.
17．如图①， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O与AD，BC分别相交于点F，E.
(1)求证：OE＝OF；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AD∥BC，∴∠OAF＝∠OCE.
在△OAF和△OCE中，
∴△OAF≌△OCE(ASA)， ∴OE＝OF.
(2)如图②，若将EF向两方延长，与BA边的延长线交于点E，与DC边的延长线交于点F，其他条件不变，(1)中的结论是否成立？请说明理由．
解：成立．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∴∠E＝∠F. 在△OAE和△OCF中，
∴△OAE≌△OCF(AAS)，
∴OE＝OF.(共28张PPT)
22.2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定1
第22章 四边形
冀教版 八年级下
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4
A
5
B
6
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9
C
C
10
C
D
3
B
B
B
11
12
13
B
14
15
答案显示
16
见习题
见习题
C
见习题
17
见习题
5
1．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形还需要条件( )
A．AB＝DC
B．∠D＝∠B
C．AB＝AD
D．∠1＝∠2
B
A
2．下面给出的四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是( )
A．3∶4∶3∶4 B．3∶3∶4∶4
C．2∶3∶4∶5 D．3∶4∶4∶3
3．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC，BD相交于点O.若AC＝6，则线段AO的长度等于________．
3
4．四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，需要补充的一个条件是( )
A．AD＝BC
B．AB＝CD
C．∠DAB＝∠ABC
D．∠ABC＝∠BCD
B
5．【2019·河北张家口蔚县期末】点A、B、C、D在同一平面内，从AB∥CD，AB＝CD，AD∥BC这三个条件中任选两个能使四边形ABCD是平行四边形的选法有( )
A．1种 B．2种
C．3种 D．以上都不对
B
6．如图，在 ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接DE，EF，BF，则图中平行四边形共有( )
A．2个
B．4个
C．6个
D．8个
B
C
7．下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A．∠A＝∠C，∠B＝∠D
B．AB∥CD，AB＝CD
C．AB＝CD，AD∥BC
D．AB∥CD，AD∥BC
D
8．如图，a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，点E，G为垂足，则下列说法中错误的是( )
A．AB＝CD
B．CE＝FG
C．A，B两点之间的距离就是线段AB的长
D．直线a，b之间的距离就是线段CD的长
9．如图，直线AB∥CD，P是AB上的动点，当点P的位置变化时，三角形PCD的面积将( )
A．变大
B．变小
C．不变
D．无法确定
C
10．【易错：因考虑问题不全面而出错】顺次连接平面上A，B，C，D四点得到一个四边形，从①AB∥CD，②BC＝AD，③∠A＝∠C，④∠B＝∠D四个条件中任取两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有( )
A．5种 B．4种
C．3种 D．1种
C
11．小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是( )
A．①②
B．①④
C．②③
D．②④
C
12．如图，AB∥DC，ED∥BC，AE∥BD，那么图中和△ABD面积相等的三角形(不包括△ABD)有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
B
13．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是A(－2，5)，B(－3，－1)，C(1，－1)，在平面直角坐标系内找一点D，使得以点A，B，C，D为顶点构成的四边形是平行四边形，
那么点D的坐标是
_________________________．
(－6，5)或(2，5)或(0，－7)
14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12 cm，BC＝15 cm，点P自点A向D以1 cm/s的速度运动，到D点即停止，点Q自点C向B以2 cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t s．当t＝________时，四边形APQB是平行四边形．
5
15．如图，在 ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF，连接BE，BF，DE，DF.求证：
(1)△ABE≌△CDF；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SAS)．
(2)四边形DEBF为平行四边形．
证明由(1)得△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF，∠AEB＝∠CFD，
∴∠BEF＝∠DFE，
∴BE∥DF，
∴四边形DEBF为平行四边形．
16．【中考·黑龙江大庆】如图，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BF＝BE.
(1)求证：四边形BDEF为平行四边形；
证明：∵△ABC是等腰三角形，
∴∠ABC＝∠C. ∵EG∥BC，DE∥AC，
∴∠AEG＝∠ABC＝∠C，四边形CDEG是平行四边形． ∴∠DEG＝∠C.
∵BE＝BF， ∴∠BEF＝∠BFE＝∠AEG.
∴∠BFE＝∠DEG. ∴BF∥DE.
又∵FE∥BD， ∴四边形BDEF为平行四边形．
(2)当∠C＝45°，BD＝2时，求D，F两点间的距离．
解：∵∠C＝45°，DE∥AC，
∴∠BDE＝∠ABC＝∠C＝45°.
由(1)知∠BEF＝∠BFE＝∠C，
∴∠BEF＝∠BFE＝45°，
∴△BDE，△BEF都是等腰直角三角形．
∵BD＝2，
∴BF＝BE＝ .
作FM⊥DB交DB的延长线于M，连接DF，如图所示．易得△BFM是等腰直角三角形，
∴FM＝BM＝1. ∴DM＝3.
在Rt△DFM中，
由勾股定理得DF＝
即D，F两点间的距离为 .
17．【2020·河北邢台模拟】已知在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，以AD，AE为腰作等腰三角形ADE，且∠ADE＝∠ABC，连接CE，过E作EM∥BC交CA的延长线于M，连接BM.
(1)求证：△BAD≌△CAE；
证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠BAC＝180°－2∠ABC.
∵△ADE是以AD，AE为腰的等腰三角形，
∴AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED.
∴∠DAE＝180°－2∠ADE.
∵∠ADE＝∠ABC，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC－∠CAD＝∠DAE－∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE.
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE(SAS)．
(2)若∠ABC＝30°，求∠MEC的度数；
解：∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE＝30°，
∵∠ACB＝∠ABC＝30°，
∴∠ECB＝∠ACB＋∠ACE＝60°.
∵EM∥BC，∴∠MEC＋∠ECB＝180°，
∴∠MEC＝180°－60°＝120°.
(3)求证：四边形MBDE是平行四边形．
证明：∵△BAD≌△CAE，
∴DB＝CE，∠ABD＝∠ACE.
由(2)易知∠ACB＝∠ACE.
∵EM∥BC，∴∠EMC＝∠ACB，
∴∠ACE＝∠EMC，∴ME＝EC，
∴DB＝ME. 又∵EM∥BD，
∴四边形MBDE是平行四边形．