2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.3抛物线定义与性质同步练习(word含答案解析
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.3抛物线定义与性质同步练习(word含答案解析 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 492.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-16 16:06:30 | ||
图片预览
文档简介
人教A版（2019）选择性必修一圆锥曲线的方程抛物线定义与性质
一、单选题
1．抛物线的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
2．若抛物线的焦点坐标为，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且，则弦AB的中点到y轴的距离为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
3．已知抛物线（）的焦点为F，过点F且倾斜角为30°的直线交抛物线于A，B两点，若，则焦点F的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，M为抛物线C上一点，N(2，2)，则的最小值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．4
5．已知，是以为焦点的抛物线上的两点，且满足，则弦的中点到准线的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．设抛物线 ()的焦点为,准线为,过焦点的直线分别交抛物线于两点,分别过作的垂线,垂足为.若,且三角形的面积为,则的值为
A． B． C． D．
二、多选题
7．过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，为线段的中点，则
A．以线段为直径的圆与直线轴相离
B．以线段为直径的圆与轴相切
C．当时，
D．的最小值为
8．设抛物线，为其焦点，为抛物线上一点，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的准线方程是
B．当轴时，取最小值
C．若，则的最小值为
D．以线段为直径的圆与轴相切
三、填空题
9.抛物线上一点到焦点的距离为3，则___________.
10.．若点是抛物线的焦点，点在抛物线上，且，则__________.
11．直线l过抛物线的焦点交抛物线于A，B两个点，则____________.
12．抛物线的焦点为F，其准线与双曲线相交于A，B两点，若为等边三角形，则p＝________，抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为______．
四、解答题
13．在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线相交于A，B两点，O为坐标原点．
（1）如果直线过抛物线的焦点且斜率为1，求的值；
（2）如果，证明：直线必过一定点，并求出该定点．
14．已知抛物线经过点，其焦点为，过焦点的直线与抛物线交于两点，定点．
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线的斜率为，求的面积；
（3）设点在抛物线上，试问直线上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．D 2．A
3．B
法一：（）的方程的标准形式为，则，所以直线AB的方程为，与（）联立，消去x，得．设，，则，由，解得，所以焦点F的坐标为．
法二：设直线AB的倾斜角为，则，得，所以焦点F的坐标为．
故选：B.
4．A
5．A
抛物线的准线l：，焦点，
依题意，直线AB经过焦点F且不垂直于y轴，设直线AB方程为：，
由消去x并整理得：，设点，则，
因，则有，即，与联立解得：，
于是得，弦AB中点的横坐标为，则有，
所以弦AB中点到准线l的距离为.
6．C
过点B作交直线AC于点M，交轴于点N，
设点， 由得 ，
即……①， 又因为, 所以,
所以，
所以……②， 由①②可解得，
在中，， ，
所以，所以,
解得或（舍去），
7．CD
对于A选项，的焦点，准线方程为，
设、、在准线上的射影为、、，
由，，
，
可知以线段为直径的圆与准线相切，与直线轴相交，故A错；
对于B选项，设直线的方程为，设点、，
联立，得，由韦达定理得，，
则，则，
所以，以为直径的圆的半径为，
设，则，则线段的中点到轴的距离为，
则.
当时，；当时，.
所以，以线段为直径的圆不一定与轴相切，故B错；
对于C选项，，，，，
则，，则，
所以，，故C正确；
对于D选项，由B选项知，，当且仅当时，取最小值.
故D正确.
8．ACD
A：抛物线的准线为x＝－＝－1，故A正确；
B：设，则，则，当时取得最小值，此时在原点，故B错误；
C：作图分析：
A在抛物线外部，故当P、A、F三点共线时|PF|取最小值，故C正确；
D：根据题意，可得抛物线的焦点为，
设的中点为，可得，
由抛物线的定义，得，
，即点到轴的距离等于以为直径的圆的半径，
因此，以PF为直径的圆与轴相切，故D正确﹒
故选:ACD
9. 10．8
11．1
抛物线的焦点,
直线l过抛物线的焦点交抛物线于A，B两个点。
所以设直线l的方程为：.
由，得 所以.
，
根据抛物线的定义可得:,
所以
12．6
抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
代入双曲线方程，解得，
因为为等边三角形，
所以，即，即，解得．
抛物线的焦点坐标为(,双曲线的渐近线方程为,
抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为,
13．（1）
由题意，得抛物线的焦点为，由已知条件可得直线方程为，
设，，
联立，得，故，因此．
（2）证明：设l：，代入抛物线，消去x得，
设，，则，，
故
，
因此，解得，故直线l过定点．
14．（1）解：因为抛物线经过点，
所以，即，所以抛物线的方程为；
（2）解：由（1）可知，，所以直线的方程为,
联立方程组，可得，设，
所以，所以，
点到直线的距离为：，所以的面积为；
（3）解：由题意，设，
又四边形是平行四边形，则，
所以，所以，即，
将点代入抛物线方程，可得，即，
解得或，所以或，经检验，符合四边形是平行四边形.
所以直线上是否存在点，使得四边形是平行四边形，此时或.答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．抛物线的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
2．若抛物线的焦点坐标为，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且，则弦AB的中点到y轴的距离为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
3．已知抛物线（）的焦点为F，过点F且倾斜角为30°的直线交抛物线于A，B两点，若，则焦点F的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，M为抛物线C上一点，N(2，2)，则的最小值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．4
5．已知，是以为焦点的抛物线上的两点，且满足，则弦的中点到准线的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．设抛物线 ()的焦点为,准线为,过焦点的直线分别交抛物线于两点,分别过作的垂线,垂足为.若,且三角形的面积为,则的值为
A． B． C． D．
二、多选题
7．过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，为线段的中点，则
A．以线段为直径的圆与直线轴相离
B．以线段为直径的圆与轴相切
C．当时，
D．的最小值为
8．设抛物线，为其焦点，为抛物线上一点，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的准线方程是
B．当轴时，取最小值
C．若，则的最小值为
D．以线段为直径的圆与轴相切
三、填空题
9.抛物线上一点到焦点的距离为3，则___________.
10.．若点是抛物线的焦点，点在抛物线上，且，则__________.
11．直线l过抛物线的焦点交抛物线于A，B两个点，则____________.
12．抛物线的焦点为F，其准线与双曲线相交于A，B两点，若为等边三角形，则p＝________，抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为______．
四、解答题
13．在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线相交于A，B两点，O为坐标原点．
（1）如果直线过抛物线的焦点且斜率为1，求的值；
（2）如果，证明：直线必过一定点，并求出该定点．
14．已知抛物线经过点，其焦点为，过焦点的直线与抛物线交于两点，定点．
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线的斜率为，求的面积；
（3）设点在抛物线上，试问直线上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．D 2．A
3．B
法一：（）的方程的标准形式为，则，所以直线AB的方程为，与（）联立，消去x，得．设，，则，由，解得，所以焦点F的坐标为．
法二：设直线AB的倾斜角为，则，得，所以焦点F的坐标为．
故选：B.
4．A
5．A
抛物线的准线l：，焦点，
依题意，直线AB经过焦点F且不垂直于y轴，设直线AB方程为：，
由消去x并整理得：，设点，则，
因，则有，即，与联立解得：，
于是得，弦AB中点的横坐标为，则有，
所以弦AB中点到准线l的距离为.
6．C
过点B作交直线AC于点M，交轴于点N，
设点， 由得 ，
即……①， 又因为, 所以,
所以，
所以……②， 由①②可解得，
在中，， ，
所以，所以,
解得或（舍去），
7．CD
对于A选项，的焦点，准线方程为，
设、、在准线上的射影为、、，
由，，
，
可知以线段为直径的圆与准线相切，与直线轴相交，故A错；
对于B选项，设直线的方程为，设点、，
联立，得，由韦达定理得，，
则，则，
所以，以为直径的圆的半径为，
设，则，则线段的中点到轴的距离为，
则.
当时，；当时，.
所以，以线段为直径的圆不一定与轴相切，故B错；
对于C选项，，，，，
则，，则，
所以，，故C正确；
对于D选项，由B选项知，，当且仅当时，取最小值.
故D正确.
8．ACD
A：抛物线的准线为x＝－＝－1，故A正确；
B：设，则，则，当时取得最小值，此时在原点，故B错误；
C：作图分析：
A在抛物线外部，故当P、A、F三点共线时|PF|取最小值，故C正确；
D：根据题意，可得抛物线的焦点为，
设的中点为，可得，
由抛物线的定义，得，
，即点到轴的距离等于以为直径的圆的半径，
因此，以PF为直径的圆与轴相切，故D正确﹒
故选:ACD
9. 10．8
11．1
抛物线的焦点,
直线l过抛物线的焦点交抛物线于A，B两个点。
所以设直线l的方程为：.
由，得 所以.
，
根据抛物线的定义可得:,
所以
12．6
抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
代入双曲线方程，解得，
因为为等边三角形，
所以，即，即，解得．
抛物线的焦点坐标为(,双曲线的渐近线方程为,
抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为,
13．（1）
由题意，得抛物线的焦点为，由已知条件可得直线方程为，
设，，
联立，得，故，因此．
（2）证明：设l：，代入抛物线，消去x得，
设，，则，，
故
，
因此，解得，故直线l过定点．
14．（1）解：因为抛物线经过点，
所以，即，所以抛物线的方程为；
（2）解：由（1）可知，，所以直线的方程为,
联立方程组，可得，设，
所以，所以，
点到直线的距离为：，所以的面积为；
（3）解：由题意，设，
又四边形是平行四边形，则，
所以，所以，即，
将点代入抛物线方程，可得，即，
解得或，所以或，经检验，符合四边形是平行四边形.
所以直线上是否存在点，使得四边形是平行四边形，此时或.答案第1页，共2页
答案第1页，共2页