2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.2.1等差数列的概念讲义

4.2.1等差数列的概念
知识点1 等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差等于 ，
那么这个数列就叫做 ，这个 叫做等差数列的公差，公差通常用字母 表示
知识点2 等差中项
在由三个数a，A，b组成的等差数列中，A叫做a与b的 ．
这三个数满足关系式 .
知识点3 等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么
通项公式 an＝ .
递推公式 .
知识点4 等差数列通项公式的推广
等差数列{an}中，若公差为d，则an＝am＋(n－m)d，当n≠m时，d＝___________
知识点5 等差数列的性质
在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋ ＝ap＋aq.
特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.
考法一 等差数列的概念
【例1】判断下列数列是不是等差数列？
(1)9,7,5,3，…，－2n＋11，…；
(2)－1,11,23,35，…，12n－13，…；
(3)1,2,1,2，…；
(4)1,2,4,6,8,10，…；
(5)a，a，a，a，a，….
【变式】数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列(　　)
A．是公差为2的等差数列 B．是公差为5的等差数列
C．是首项为5的等差数列 D．是公差为n的等差数列
考法二: 等差数列及其通项公式
【例1】2000是等差数列4，6，8，…的（ ）
A．第998项 B．第999项 C．第1001项 D．第1000项
【例2】若数列满足，则数列（ ）
A．是公差为1的等差数列 B．是公差为的等差数列
C．是公差为的等差数列 D．不是等差数列
【例3】已知数列中，，，则等于（ ）
A．-12 B．12 C．-16 D．16
【例4】在数列中，，，则的值为（ ）
A．52 B．51 C．50 D．49
【变式1】已知等差数列{}，，则公差d的值是（ ）
A．4 B．-6 C．8 D．-10
【变式2】数列{}的前4项依次是20，11，2，-7，{}的一个通项公式是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】若数列满足，，则当时，的值是（ ）
A．679 B．680 C．681 D．690
【变式4】已知数列中，且，则（ ）
A． B． C．1 D．2
考法三 等差中项
【例1】已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（ ）
A．8 B．6 C． D．3
【例2】与的等差中项是（ ）
A． B．
C． D．
【例3】在等差数列中，已知，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【变式1】在等差数列的中，若，则等于（ ）
A．25 B．11 C．10 D．9
【变式2】在数列中，，且，，
（1）求的通项公式
考法四 等差数列的判定
【例】已知数列{an}的通项公式为an＝4－2n，求证：数列{an}是等差数列；
总结：判断数列{an}是否为等差数列，主要是利用等差数列的定义，即验证其通项是否满足an＋1－an＝d(n∈N*)．具体步骤为
(1)确定数列{an}的通项公式；
(2)由an表示an＋1，即将an中的n替换为n＋1得an＋1；
(3)作差：an＋1－an，并判断其结果是否为常数；
(4)总结：若an＋1－an是常数(即一个与n无关的数)，则数列{an}是等差数列，否则数列{an}不是等差数列．
【变式】在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1－，bn＝，其中n∈N*.求证：数列{bn}是等差数列．
考法五: 等差数列的性质
【例1】在等差数列{an}中，a3＋a5＝10，则a1＋a7等于（ ）
A．5 B．8 C．10 D．14
【例2】在等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝58，a2＋a5＋a8＝44，则a3＋a6＋a9的值为（ ）
A．30 B．27 C．24 D．21
【变式1】在中，角，，成等差数列，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式2】已知等差数列{ }，若，则__________________.
【变式3】在等差数列{an}中，若a2＋a3＋a4＋a5＝34，且a2·a5＝52．求数列{an}的通项公式an．
考法六 等差数列的实际应用
【例】某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？
【变式】在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值．如果1 km高度的气温是8.5℃，5 km高度的气温是－17.5℃，求2 km，4 km,8 km高度的气温．
【课后作业】
1．已知等差数列的公差为()，且，若，则为（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
2．已知为等差数列，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至 小寒 大寒 立春 雨水 惊蛰 春分 清明 谷雨 立夏 小满 芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为9.5尺，立夏当日日影长为2.5尺，则春分当日日影长为（ ）
A．4.5尺 B．5尺 C．5.5尺 D．6尺
4．等差数列中，，则的值是（ ）
A．20 B．22 C．24 D．8
5．等差数列中，若，则（ ）
A．3 B．9 C．6 D．12
6．在等差数列中，，则的值为（ ）
A．6 B．12
C．24 D．48
7．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，全书收集了246个数学问题，其中一个问题为“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升.问中间二节欲均容各多少？”其中“欲均容”的意思是：使容量变化均匀，即由下往上均匀变细.该问题中由上往下数的第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为（ ）
A．升 B．升 C．升 D．升
8．已知等差数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
9．下列选项中，为“数列是等差数列”的一个充分不必要条件的是（ ）
A． B．
C．数列的通项公式为 D．
10．已知数列满足，且.若，则正整数（ ）
A．24 B．23 C．22 D．21
11．已知正项等差数列满足，，则___________.
12．已知数列满足：，，则__________．
13．数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？"现将1到1000共1000个整数中同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则数列中共有__________项．
14.已知数列的公差是正数，且，.求它的通项公式；
15．数列{an}的通项公式为an＝﹣2n+5.证明：{an}是等差数列.
16．正项数列{an}中，a1＝1，an＋1－＝an＋.
(1)数列{}是否为等差数列？说明理由；
(2)求an.
4.2.1等差数列的概念参考答案
考法一 等差数列的概念
【例1】解　由等差数列的定义得(1)，(2)，(5)为等差数列，(3)，(4)不是等差数列．
【变式】答案　A 解析　∵an＋1－an＝2(n＋1)＋5－(2n＋5)＝2，∴{an}是公差为2的等差数列．
考法二: 等差数列及其通项公式
【例1】【答案】B 数列4，6，8，…的通项公式为，.则2n＋2＝2 000.解得n＝999.
【例2】【答案】B 由，得，即，所以数列是公差为的等差数列．
【例3】【答案】A 解：数列中，，，即，所以数列为等差数列，公差为，所以，所以．
【例4】【答案】A 由题意，数列满足，即，
又由，所以数列为 首项为2，公差为的等差数列，所以.
【变式1】【答案】A 在等差数列{}中，公差
【变式2】【答案】B 由已知可看出数列{}为等差数列，首项为20，公差为-9，
由等差数列的通项公式可得.
【变式3】【答案】C
∵，，∴是以19为首项，为公差的等差数列，
则．则，解得．
【变式4】【答案】A由，得，则数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以，则．故选：A.
考法三 等差中项
【例1】【答案】D∵，，∴，∴，∴和的等差中项是．
【例2】【答案】B 解：设2与8的等差中项是，则，解得．
【例3】【答案】D 由得，所以，所以.
【变式1】【答案】D 因为，，
【变式2】【答案】（1）；
（1）因为，所以，所以数列为等差数列，
设首项为，公差为，则，解得，
所以；
考法四 等差数列的判定
【例】(1)∵an＝4－2n，∴an＋1＝4－2(n＋1)＝2－2n.
∴an＋1－an＝(2－2n)－(4－2n)＝－2.∴{an}是等差数列．
【变式】[证明]　∵bn＋1－bn＝－＝－＝－＝2(n∈N*)，
且b1＝＝2，∴数列{bn}是以2为首项，2为公差的等差数列．
考法五: 等差数列的性质
【例1】【答案】C a1＋a7＝a3＋a5＝10.
【例2】【答案】A 设b1＝a1＋a4＋a7＝58，b2＝a2＋a5＋a8＝44，b3＝a3＋a6＋a9.
因为{an}是等差数列，所以b1，b2，b3也是等差数列，得b1＋b3＝2b2，
所以b3＝2b2－b1＝2×44－58＝30，即a3＋a6＋a9＝30.
【变式1】【答案】C 因为角，，成等差数列，所以，所以，，
所以．
【变式2】【答案】7
∵，∴，
.
【变式3】【答案】an＝3n－2或an＝－3n＋19．
详解：∵数列{an}是等差数列，∴a2＋a3＋a4＋a5＝2(a2＋a5)＝34，
∴或，∴an＝3n－2或an＝－3n＋19．
考法六 等差数列的实际应用
【例】解　根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元．
所以，可以建立一个等差数列{an}来计算车费．
令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14 km处时，n＝11，
此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．
即需要支付车费23.2元．
【变式】解　用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1＝8.5，a5＝－17.5，
由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，解得d＝－6.5，∴an＝15－6.5n.
∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37，即2 km,4 km,8 km高度的气温分别为2℃，－11℃，－37℃.
【课后作业】
1．【答案】B 由等差数列性质a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，
∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8.
2．【答案】B
依题意，解得，所以.
3．【答案】D
设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，则立春当日日影长为，立夏当日日影长为，所以春分当日日影长为.
4．【答案】C 因为a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，所以a8＝24，所以2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.
5．【答案】B解：因为，所以.
6．【答案】D在等差数列中，，
所以，所以，
7．【答案】A
解：设自上而下依次设各节竹子的容积分别为升，升，…，升，则数列，，…，为等差数列.
依题意有，又因为，，
故.
8．【答案】C 根据等差数列的性质，得，
因为，所以，所以，
9．【答案】C
对于A：数列是等差数列，∴A选项为“数列是等差数列”的一个充要条件，故A错误；
对于B：易知B选项为“数列是等差数列”的一个既不充分也不必要条件，故B错误；
对于C：∵，∴，∴，
∴数列是等差数列，反之若为等差数列，则，此时不一定为2，所以必要性不成立，
∴C选项为“数列是等差数列”的一个充分不必要条件，故C正确；
对于D：若数列是等差数列，则，∴成立，
反之当，，，时，满足，
但不是等差数列，∴D选项为“数列是等差数列”的一个必要不充分条件，故D错误．
10．【答案】B 解：由，得，所以数列为首项，公差的等差数列，所以.
由，得，.令得，所以，，所以，
11．【答案】9
设等差数列的公差为，而是正项数列，则，
因，则，整理得，而，
解得，，则有，所以.
12．【答案】 ∵，∴ 又∵，
∴数列为首项为1，公差为1的等差数列， ∴，即,∴,
13．答案】67
被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，记为，则，令，解得，所以该数列的项数共有67项．
14.【答案】
设等差数列的首项，公差为.则解得或（舍去），
.
15．【答案】证明见解析.
证明：由an＝﹣2n+5，得an+1＝﹣2（n+1）+5，
则an+1﹣an＝﹣2（n+1）+5﹣（﹣2n+5）＝﹣2，为常数.
∴数列{an}是公差为﹣2的等差数列.即证.
16．解　(1)∵an＋1－＝an＋，∴an＋1－an＝＋，
∴(＋)·(－)＝＋，
∵{an}是正项数列，∴＋≠0，∴－＝1，
∴{}是等差数列，公差为1.
(2)由(1)知{}是等差数列，且d＝1，
∴＝＋(n－1)×d＝1＋(n－1)×1＝n，
∴an＝n2.