湘教版初中数学八年级上学期期末复习专题1 分式
一、单选题
1．（2021八上·芝罘期中）若分式 的值是零，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021八上·芝罘期中）对于非负整数x，使得 是一个正整数，则符合条件x的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．（2021八上·芝罘期中）若把x，y的值同时扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021八上·芝罘期中）下列等式从左到右的变形正确的是（ ）
A． B． =
C． = D．
5．（2021八上·龙口期中）下列分式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021八上·龙口期中）如果把分式 中的x，y都扩大2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大2倍 B．不变 C．缩小2倍 D．扩大4倍
7．（2021八上·肥城期中）将分式 中的x、y的值同时扩大3倍，则分式的值（ ）
A．扩大3倍 B．缩小到原来的
C．保持不变 D．扩大9倍
8．（2021八上·铁西期中）要使分式 有意义，实数a必须满足（ ）
A．a＝2 B．a＝﹣2
C．a≠2 D．a≠2且a≠﹣2
9．（2021八上·卢龙期中）分式 的值为0，则x的值为（ ）
A．4 B．-4 C． D．任意实数
10．（2021八上·迁安期中）若分式 的值为零，则x的值为（ ）
A．-1 B．2 C．-2 D．2或-26．
二、填空题
11．（2021八上·潍坊期中）下列分式①②③④⑤ 中，最简分式有 （填正确答案的序号）．
12．（2021八上·杨浦期中）已知x＝a是关于x的一元二次方程x2+3x﹣2＝0的根，则﹣ ＝ ．
13．（2021八上·杨浦期中）如果 有意义，那么实数x的取值范围是 ．
14．（2021八上·松江期中）函数 的定义域为 ．
15．（2021八上·芝罘期中）若分式 的值为负数，则x的取值范围是 ．
16．（2021八上·泰安期中）将分式 的分子和分母中各项系数都化为整数，且分式的值不变，那么变形后的分式是 。
三、解答题
17．（2021八下·铁西期末）先化简，再求值：（ ﹣a﹣1）÷ ，其中a＝﹣2．
18．（2020八上·莱州期中） 为何值时，分式 的值为正数？
19．（2020八下·江苏月考）若 ，求 的值.
四、综合题
20．（2020八上·南昌期末）从三个整式；① ，② ，③ 中，任意选择两个分别作为一个分式的分子和分母．
（1）一共能得到 个不同的分式；
（2）这些分式化简后结果为整式的分式有哪些？并写出化简结果．
21．（2020八上·昌平期末）阅读理解
材料1：小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题，在这个计算的过程中，先计算分子中有几个分母求出整数部分，再把剩余的部分写成一个真分数，例如： ．
类似的，我们可以将下列的分式写成一个整数与一个新分式的和．
例如： ．
．
材料2：为了研究字母x和分式 值的变化关系，小明制作了表格，并得到数据如下：
x 0 1 2 3 4
无意义 1 0.5 0.25
请根据上述材料完成下列问题：
（1）把下面的分式写成一个整数与一个新分式的和的形式：
； ；
（2）当 时，随着x的增大，分式 的值 （增大或减小）；
（3）当 时，随着x的增大，分式 的值无限趋近一个数，请写出这个数，并说明理由．
22．（2020八上·唐山期末）（提示：我们知道，如果 ，那么 ．）
已知 ．如果将分式 的分子、分母都加上同一个不为 的数后，所得分式的值比 是增大了还是减小了？请按照以下要求尝试做探究．
（1）当所加的这个数为 时，请通过计算说明；
（2）当所加的这个数为 时，直接说出结果；
（3）当所加的这个数为 时，直接说出结果．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：根据题意得： ，
解得： ．
故答案为：C．
【分析】根据分式的值为0的条件可得，求出x的值即可。
2．【答案】B
【知识点】分式的值
【解析】【解答】 ，
，
，
，
为非负整数， 是一个正整数，
的值只能为6，
即符合条件 的个数有1个，
故答案为：B．
【分析】将x+3看作一个整体，把代数式中的分子运用完全平方公式进行变形，再根据正整数的特性即可得出答案。
3．【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A、x、y扩大2倍后变为： ，分式的值保持不变；
B、x、y扩大2倍后变为： ，分式的值发生变化；
C、x、y扩大2倍后变为： ，分式的值发生变化；
D、x、y扩大2倍后变为： ，分式的值发生变化；
故答案为：A．
【分析】利用分式的基本性质逐项判断即可。
4．【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A、当y=0时， 不成立，故不符合题意；
B、 = ，故不符合题意；
C、 = ，故不符合题意；
D、 ，故符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用分式的基本性质逐项判断即可。
5．【答案】A
【知识点】最简分式
【解析】【解答】解：A、 的分子分母中不含有公因式，故此选项符合题意；
B、 ，故此选项不符合题意；
C、 ，故此选项不符合题意；
D、 ，故此选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据最简分式的定义逐项判断即可。
6．【答案】B
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：
，
即分式的值不变，
故答案为：B．
【分析】利用分式的基本性质将数据代入计算即可。
7．【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】∵ 中的x、y的值同时扩大3倍，
∴ ，
所以分式的值扩大3倍.
故答案为：A.
【分析】利用分式的基本性质求解即可。
8．【答案】C
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】 有意义，
．
故答案为：C．
【分析】根据分式有意义的条件列出不等式求解即可。
9．【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】若分式 的值为0，则|x|-4=0且x+4≠0．
得x1=4，x2=-4．
当x=-4时，分母为0，不合题意，舍去．
故x的值为4．
故答案为：A．
【分析】根据分式为零的条件，列出关于X的不等式组，求出X的值即可。
10．【答案】C
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：根据题意，得：
x2-4=0且x-2≠0，
解得：x=-2；
故答案为：C．
【分析】根据分式的值为0的性质可得x2-4=0且x-2≠0，求出x的值即可。
11．【答案】①③
【知识点】最简分式
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
∴②④⑤不是最简分式，
①③不能再化简，是最简分式．
故答案为：①③．
【分析】根据最简分式的的定义逐项判断即可。
12．【答案】-6
【知识点】分式的值；一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵x＝a是关于x的一元二次方程x2+3x﹣2＝0的根，
∴把 代入已知方程，则
，
∴ ．
故答案为：-6．
【分析】把 代入已知方程求得，然后代入化简即可.
13．【答案】
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得： 且 ，解得
故答案为
【分析】由于已知二次根式含有分母，即保证被开方数为非负数，还要保证分母不为0，据此解答即可.
14．【答案】
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得到： ，
解得 ，
故答案为： ．
【分析】利用二次根式及分式有意义的条件列出不等式求解即可。
15．【答案】x＜1且x≠-1
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：∵分式 的值为负数，
∴x-1＜0，x+1≠0
∴x＜1且x≠-1
故答案为：x＜1且x≠-1．
【分析】根据分式的值为负数可得x-1＜0，x+1≠0即可求出x的取值范围。
16．【答案】
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：根据分式的基本性质得：.
【分析】根据分式的基本性质，分式的分子和分母同乘以10，再进行计算，即可得出答案.
17．【答案】解：原式= ；
把a＝﹣2代入得：原式= ．
【知识点】分式的基本性质
【解析】【分析】根据分式的基本性质化简求值，代入a的值即可。
18．【答案】解：分母
分母不为0，则：
要使分式的值为正数，
则
解得： 且 .
【知识点】分式的基本性质
【解析】【分析】变成分母不为0，分子大于0，即可得出x的范围。
19．【答案】解：∵
∴a＋b＝5ab，
∴
＝
＝
＝
＝ .
【知识点】分式的约分；等式的性质
【解析】【分析】根据等式的基本性质将已知等式变形，然后利用整体代入法和分式的基本性质约分即可求出分式的值.
20．【答案】（1）6
（2）解：当取①② 时
∴结果为 或
当取①③时
∴结果为 或
当取②③时
∴结果为 或
∴化简结果为整式的分为为： 和
∴化简的结果为： ，
【知识点】分式的定义；分式的约分
【解析】【解答】解：（1） ， ，
∵要从① ，② ，③ 任选两个分别作为分子和分母
∴一共有①② ，①③ ，②③三种取法
又∵一种取法里面的两个整式可以作分子也可以作分母
∴一种取法里面有两种分式
∴一共有6个分式；
【分析】（1）将三个整式分解因式，再列举出所有的分式即可得出答案；
（2）根据（1）的计算结果即可得出答案。
21．【答案】（1）；
（2）减小
（3）解：2
理由如下：
，
随着x的值的增大， 的值逐渐减小并趋于0，
∴随着x的值的增大， 的值无限趋近于2.
【知识点】分式的值；分式的基本性质；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵ ，
故答案为 ；
（2）∵ ，且由材料2可得： x>0时， 随x的增大而减小，
∴当 x>0 时，随着x的增大，分式 的值减小；
【分析】（1）利用分式的基本性质计算求解即可；
（2）根据 ， x>0时， 随x的增大而减小，求解即可；
（3）根据 ， 求解即可。
22．【答案】（1）解：由题意得：
，
，
，
，
∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
，即所得分式的值比原来增大了；
（2）解：
同理可得 ，
∴ ，即所得分式的值比原来增大了；
（3）解：
∵ ， ， ，
∴
∴ ，即所得分式的值比原来增大了．
【知识点】分式的基本性质；定义新运算
【解析】【分析】（1）先求出 ，通分化简，然后根据 ， 判断即可；（2）先求出 ，通分化简，然后根据 ， 判断即可；（3）先求出 ，通分化简，然后根据 ， ， 判断即可．
1 / 1湘教版初中数学八年级上学期期末复习专题1 分式
一、单选题
1．（2021八上·芝罘期中）若分式 的值是零，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：根据题意得： ，
解得： ．
故答案为：C．
【分析】根据分式的值为0的条件可得，求出x的值即可。
2．（2021八上·芝罘期中）对于非负整数x，使得 是一个正整数，则符合条件x的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【知识点】分式的值
【解析】【解答】 ，
，
，
，
为非负整数， 是一个正整数，
的值只能为6，
即符合条件 的个数有1个，
故答案为：B．
【分析】将x+3看作一个整体，把代数式中的分子运用完全平方公式进行变形，再根据正整数的特性即可得出答案。
3．（2021八上·芝罘期中）若把x，y的值同时扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A、x、y扩大2倍后变为： ，分式的值保持不变；
B、x、y扩大2倍后变为： ，分式的值发生变化；
C、x、y扩大2倍后变为： ，分式的值发生变化；
D、x、y扩大2倍后变为： ，分式的值发生变化；
故答案为：A．
【分析】利用分式的基本性质逐项判断即可。
4．（2021八上·芝罘期中）下列等式从左到右的变形正确的是（ ）
A． B． =
C． = D．
【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A、当y=0时， 不成立，故不符合题意；
B、 = ，故不符合题意；
C、 = ，故不符合题意；
D、 ，故符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用分式的基本性质逐项判断即可。
5．（2021八上·龙口期中）下列分式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简分式
【解析】【解答】解：A、 的分子分母中不含有公因式，故此选项符合题意；
B、 ，故此选项不符合题意；
C、 ，故此选项不符合题意；
D、 ，故此选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据最简分式的定义逐项判断即可。
6．（2021八上·龙口期中）如果把分式 中的x，y都扩大2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大2倍 B．不变 C．缩小2倍 D．扩大4倍
【答案】B
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：
，
即分式的值不变，
故答案为：B．
【分析】利用分式的基本性质将数据代入计算即可。
7．（2021八上·肥城期中）将分式 中的x、y的值同时扩大3倍，则分式的值（ ）
A．扩大3倍 B．缩小到原来的
C．保持不变 D．扩大9倍
【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】∵ 中的x、y的值同时扩大3倍，
∴ ，
所以分式的值扩大3倍.
故答案为：A.
【分析】利用分式的基本性质求解即可。
8．（2021八上·铁西期中）要使分式 有意义，实数a必须满足（ ）
A．a＝2 B．a＝﹣2
C．a≠2 D．a≠2且a≠﹣2
【答案】C
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】 有意义，
．
故答案为：C．
【分析】根据分式有意义的条件列出不等式求解即可。
9．（2021八上·卢龙期中）分式 的值为0，则x的值为（ ）
A．4 B．-4 C． D．任意实数
【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】若分式 的值为0，则|x|-4=0且x+4≠0．
得x1=4，x2=-4．
当x=-4时，分母为0，不合题意，舍去．
故x的值为4．
故答案为：A．
【分析】根据分式为零的条件，列出关于X的不等式组，求出X的值即可。
10．（2021八上·迁安期中）若分式 的值为零，则x的值为（ ）
A．-1 B．2 C．-2 D．2或-26．
【答案】C
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：根据题意，得：
x2-4=0且x-2≠0，
解得：x=-2；
故答案为：C．
【分析】根据分式的值为0的性质可得x2-4=0且x-2≠0，求出x的值即可。
二、填空题
11．（2021八上·潍坊期中）下列分式①②③④⑤ 中，最简分式有 （填正确答案的序号）．
【答案】①③
【知识点】最简分式
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
∴②④⑤不是最简分式，
①③不能再化简，是最简分式．
故答案为：①③．
【分析】根据最简分式的的定义逐项判断即可。
12．（2021八上·杨浦期中）已知x＝a是关于x的一元二次方程x2+3x﹣2＝0的根，则﹣ ＝ ．
【答案】-6
【知识点】分式的值；一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵x＝a是关于x的一元二次方程x2+3x﹣2＝0的根，
∴把 代入已知方程，则
，
∴ ．
故答案为：-6．
【分析】把 代入已知方程求得，然后代入化简即可.
13．（2021八上·杨浦期中）如果 有意义，那么实数x的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得： 且 ，解得
故答案为
【分析】由于已知二次根式含有分母，即保证被开方数为非负数，还要保证分母不为0，据此解答即可.
14．（2021八上·松江期中）函数 的定义域为 ．
【答案】
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得到： ，
解得 ，
故答案为： ．
【分析】利用二次根式及分式有意义的条件列出不等式求解即可。
15．（2021八上·芝罘期中）若分式 的值为负数，则x的取值范围是 ．
【答案】x＜1且x≠-1
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：∵分式 的值为负数，
∴x-1＜0，x+1≠0
∴x＜1且x≠-1
故答案为：x＜1且x≠-1．
【分析】根据分式的值为负数可得x-1＜0，x+1≠0即可求出x的取值范围。
16．（2021八上·泰安期中）将分式 的分子和分母中各项系数都化为整数，且分式的值不变，那么变形后的分式是 。
【答案】
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：根据分式的基本性质得：.
【分析】根据分式的基本性质，分式的分子和分母同乘以10，再进行计算，即可得出答案.
三、解答题
17．（2021八下·铁西期末）先化简，再求值：（ ﹣a﹣1）÷ ，其中a＝﹣2．
【答案】解：原式= ；
把a＝﹣2代入得：原式= ．
【知识点】分式的基本性质
【解析】【分析】根据分式的基本性质化简求值，代入a的值即可。
18．（2020八上·莱州期中） 为何值时，分式 的值为正数？
【答案】解：分母
分母不为0，则：
要使分式的值为正数，
则
解得： 且 .
【知识点】分式的基本性质
【解析】【分析】变成分母不为0，分子大于0，即可得出x的范围。
19．（2020八下·江苏月考）若 ，求 的值.
【答案】解：∵
∴a＋b＝5ab，
∴
＝
＝
＝
＝ .
【知识点】分式的约分；等式的性质
【解析】【分析】根据等式的基本性质将已知等式变形，然后利用整体代入法和分式的基本性质约分即可求出分式的值.
四、综合题
20．（2020八上·南昌期末）从三个整式；① ，② ，③ 中，任意选择两个分别作为一个分式的分子和分母．
（1）一共能得到 个不同的分式；
（2）这些分式化简后结果为整式的分式有哪些？并写出化简结果．
【答案】（1）6
（2）解：当取①② 时
∴结果为 或
当取①③时
∴结果为 或
当取②③时
∴结果为 或
∴化简结果为整式的分为为： 和
∴化简的结果为： ，
【知识点】分式的定义；分式的约分
【解析】【解答】解：（1） ， ，
∵要从① ，② ，③ 任选两个分别作为分子和分母
∴一共有①② ，①③ ，②③三种取法
又∵一种取法里面的两个整式可以作分子也可以作分母
∴一种取法里面有两种分式
∴一共有6个分式；
【分析】（1）将三个整式分解因式，再列举出所有的分式即可得出答案；
（2）根据（1）的计算结果即可得出答案。
21．（2020八上·昌平期末）阅读理解
材料1：小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题，在这个计算的过程中，先计算分子中有几个分母求出整数部分，再把剩余的部分写成一个真分数，例如： ．
类似的，我们可以将下列的分式写成一个整数与一个新分式的和．
例如： ．
．
材料2：为了研究字母x和分式 值的变化关系，小明制作了表格，并得到数据如下：
x 0 1 2 3 4
无意义 1 0.5 0.25
请根据上述材料完成下列问题：
（1）把下面的分式写成一个整数与一个新分式的和的形式：
； ；
（2）当 时，随着x的增大，分式 的值 （增大或减小）；
（3）当 时，随着x的增大，分式 的值无限趋近一个数，请写出这个数，并说明理由．
【答案】（1）；
（2）减小
（3）解：2
理由如下：
，
随着x的值的增大， 的值逐渐减小并趋于0，
∴随着x的值的增大， 的值无限趋近于2.
【知识点】分式的值；分式的基本性质；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵ ，
故答案为 ；
（2）∵ ，且由材料2可得： x>0时， 随x的增大而减小，
∴当 x>0 时，随着x的增大，分式 的值减小；
【分析】（1）利用分式的基本性质计算求解即可；
（2）根据 ， x>0时， 随x的增大而减小，求解即可；
（3）根据 ， 求解即可。
22．（2020八上·唐山期末）（提示：我们知道，如果 ，那么 ．）
已知 ．如果将分式 的分子、分母都加上同一个不为 的数后，所得分式的值比 是增大了还是减小了？请按照以下要求尝试做探究．
（1）当所加的这个数为 时，请通过计算说明；
（2）当所加的这个数为 时，直接说出结果；
（3）当所加的这个数为 时，直接说出结果．
【答案】（1）解：由题意得：
，
，
，
，
∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
，即所得分式的值比原来增大了；
（2）解：
同理可得 ，
∴ ，即所得分式的值比原来增大了；
（3）解：
∵ ， ， ，
∴
∴ ，即所得分式的值比原来增大了．
【知识点】分式的基本性质；定义新运算
【解析】【分析】（1）先求出 ，通分化简，然后根据 ， 判断即可；（2）先求出 ，通分化简，然后根据 ， 判断即可；（3）先求出 ，通分化简，然后根据 ， ， 判断即可．
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