湘教版初中数学八年级上学期期末复习专题4 可化为一元一次方程的分式方程
一、单选题
1．（2021八上·玉屏期中）某煤厂原计划x天生产120吨煤，由于采用新的技术，每天增加生产3吨，因此提前2天完成任务，列出方程为 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：∵原计划x天生产120吨煤
∴原计划每天生产 吨，采用新技术，提前2天完成，
∴实际每天生产的吨数为：
根据题意得
故答案为：D．
【分析】由原计划x天生产120吨煤，可得原计划每天生产 吨，实际每天生产的吨数为 ，根据“ 采用新的技术，每天增加生产3吨 ”列出分式方程即可.
2．（2021八上·沂源期中）某工地调来144人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，怎样调配劳动力才使挖出来的土能及时运走且不窝工（停工等待）？为解决此问题，可设派 人挖土，其他人运土，下列所列方程：① ；② ；③ ；④ ．正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：x人挖土，则（144﹣x）运土，3人挖出的土1人恰好能全部运走，那么使挖出来的土能及时运走且不窝工，说明挖土的人的数量与运土人的数量之比＝3：1．
①②④都是这个等量关系的变形符合题意．
③运土的人数应是 ，方程应为x 144，
故答案为：C．
【分析】设x人挖土，则（144﹣x）运土，根据等量关系式：，可得方程；设x人挖土，则人运土，根据等量关系式：总人数-挖土的人数=运土的人数，可得，从而可判断①②④正确；由可变形为x 144，得出③不正确，进而得出答案。
3．（2021八上·沂源期中）某人往返于 ， 两地，去时先步行2公里再乘汽车10公里；回来时骑自行车，来去所用时间恰好一样，已知汽车每小时比步行多走16公里，汽车比骑自行车每小时多走8公里，若步行速度为x公里/小时，则可列出方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：步行所用时间为： ，乘汽车所用时间为： ，骑自行车所用时间为： ．
所列方程为： ．
故答案为：C．
【分析】设步行所用时间为： ，则乘汽车所用时间为： ，骑自行车所用时间为： ，根据“去时先步行2公里再乘汽车10公里；回来时骑自行车，来去所用时间恰好一样”可列出方程。
4．（2021八上·芝罘期中）关于 的方程 会产生增根，则 的值为（ ）
A．0 B．-4 C．0或-4 D．-4或6
【答案】D
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：方程两边都乘 ，得
∵最简公分母为 ，
∴原方程增根为 ，
∴把 代入整式方程，得 ，
把 代入整式方程，得 ，
综上，可知 或6，
故答案为：D．
【分析】将分式方去分母化为整式方程，再将x=-2代入整式方程求出m的值即可。
5．（2021八上·芝罘期中）小华早上从家出发到离家5千米的国际会展中心参观，实际每小时比原计划多走1千米，结果比原计划早到了15分钟，设小华原计划每小时行x千米，可列方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设小华原计划每小时行x千米，
依题意得： ，
故答案为：B．
【分析】设小华原计划每小时行x千米，根据“结果比原计划早到了15分钟”列出方程即可。
6．（2021八上·龙口期中）某船在静水中航行的速度是x千米/时，水流的速度是y千米/时，该船从甲地顺流去乙地a小时到达，则该船从乙地返回甲地需要的时间为（ ）
A． 小时 B． 小时
C． 小时 D． 小时
【答案】A
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：从甲地到乙地的距离=a（x-y），则船从乙地到甲地所需时间为 ．
故答案为：A．
【分析】先利用“ 从甲地顺流去乙地a小时到达 ”求出两地之间的路程，再利用路程除以从乙到甲的速度即可求出时间。
7．（2021八上·肥城期中）方程 的解是（ ）
A．x=2 B．x=1 C．x=0 D．无实数解
【答案】D
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】去分母，方程两边都乘以 得，﹣1+x=﹣（x﹣1），解这个方程得：x=1，检验：当x=1时，x﹣1=0，所以x=1不是原方程的解，所以原方程无解．
故答案为：D．
【分析】先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1并检验即可。
8．（2021八上·迁安期中）某单位向一所希望小学赠送1080件文具，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，已知每个B型包装箱比A型包装箱多装15件文具，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用12个．设B型包装箱每个可以装x件文具，根据题意列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：根据题意，得：
故答案为：A．
【分析】根据“单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用12个”即可列出方程。
9．（2021八上·正定期中）如果关于x的分式方程 有增根，则m的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．﹣2
【答案】D
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】方程两边都乘以(x﹣2)得：2＝(x﹣2)﹣m，
∵分式方程有增根，
∴x﹣2＝0，即x＝2，
将x＝2代入2＝(x﹣2)﹣m，得：m＝﹣2，
故答案为：D．
【分析】先将分式方程化为整式方程，再将x=2代入整式方程即可求出m的值。
10．（2021八上·泰安期中）供电局的电力维修工要到30千米远的郊区进行电力抢修，技术工人小王骑摩托车先走15分钟后，抢修车装载着所需材料才出发，结果他们同时到达。已知抢修车的速度是摩托车的1.5倍，若设摩托车的速度为x千米/小时，则根据题意可得方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解： 设摩托车的速度为x千米/小时，则抢修车的速度为1.5x千米/小时，
根据题意得：.
故答案为：D.
【分析】 设摩托车的速度为x千米/小时，得出抢修车的速度为1.5x千米/小时，根据摩托车所用的时间比抢修车所用的时间多小时，列出方程即可得出答案.
二、填空题
11．（2021八上·玉屏期中）用换元法解方程 时，设 ，则原方程可化为
【答案】
【知识点】换元法解分式方程
【解析】【解答】解：∵设 ，
∴ ，可转化为： ，
即 ．
故答案为： ．
【分析】直接利用已知将原式用y替换即可.
12．（2021八上·招远期中）分式方程
有解，则字母a的取值范围 ．
【答案】a≠5且a≠0a≠0且a≠5
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解：对于分式方程： ，
左右同乘 去分母得： ，
整理得： ，
∵原分式方程有解，则 ，
∴ ，
此时， ，
∵原分式方程 和4，且 ，
∴ ，
解得： ，且符合上述分式不等式，
故答案为： 且 ．
【分析】先解出关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“关于x的分式方程有解”，即可得到且。
13．（2021八上·泰安期中）若关于x的方程 有增根，则a= ．
【答案】1
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：方程两边同乘（x-2），
得：a=x-1-3（x-2），
解得x=，
∵分式方程的增根为x=2，
∴=2，
∴a=1.
【分析】先求出分式方程的解，再根据分式方程的增根为2，得出=2，即可得出a的值.
14．（2021八下·南岸期末）若关于x的分式方程 有增根，则m的值为 .
【答案】4
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：
方程两边乘（x-2）得：2x=m+x-2，
∴x=m-2，
∵方程有增根，
∴x-2=0，
∴m-2=2，
∴m=4，
故答案为：4.
【分析】将分式方程化为整式方程，解方程将x用含m的代数式表示，由于方程有增根，则可得出m-2=2，再解关于m的一元一次方程即可.
15．（2021八下·江都期末）若关于x的分式方程 ＝ +5的解为正数，则m的取值范围为 .
【答案】m＞-10且m≠-6
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解： ＝ +5，
3x＝-m+5（x-2），
3x＝-m+5x-10，
3x-5x＝-m-10，
-2x＝-m-10，
x＝ ，
∵x-2≠0，
∴x≠2，
∴ ≠2，
∴m≠-6.
∵方程的解为正数，
∴ ＞0，
∴m＞-10.
∴m的取值范围为：m＞-10且m≠-6.
故答案为：m＞-10且m≠-6.
【分析】先求出分式方程的解，由于方程的解为正数，可得x＞0且x≠2，据此建立关于m的不等式组，求出范围即可.
16．（2021八下·安徽期末）方程 的解是 ．
【答案】x＝3
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：方程的两边同乘（x+2）（x﹣2），得
（x﹣2）+4＝（x+2）（x﹣2），
x2﹣x﹣6＝0，
（x﹣3）（x+2）＝0，
解得x＝3或x＝﹣2，
经检验x＝﹣2是原方程的增根，
∴原方程的解为：x＝3，
故答案为：x＝3．
【分析】先求出（x﹣3）（x+2）＝0，再求出x＝3或x＝﹣2，最后计算求解即可。
三、计算题
17．（2021八上·泰安期中）解分式方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解： ，
方程两边同时乘以（x+1）（x﹣1）得，
x（x+1）+2x＝（x﹣1）+（x+1）（x﹣1），
整理得，x2+3x＝x﹣1+x2﹣1，
解得x＝﹣1，
经检验，x＝﹣1是方程的增根，
∴原方程无解
（2）解：原方程化为： ＝2+ ，
方程两边都乘以2（x﹣3），得2（x﹣2）＝4（x﹣3）+1，
解得：x＝3.5，
检验：当x＝3.5时，2（x﹣3）≠0，所以x＝3.5是原方程的解，
即原方程的解是x＝3.5
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）方程两边同乘（x+1）（x﹣1），得出整式方程，解方程求出x的值，再进行检验，即可得出答案；
（2）方程两边同乘 2（x﹣3） ，得出整式方程，解方程求出x的值，再进行检验，即可得出答案.
四、解答题
18．（2021八上·芝罘期中）若关于x的方程 的解为非负数，则实数m的取值范围．
【答案】由 可得： ，
∵关于x的方程 的解为非负数，
∴ ，且 ，
解得： 且 ；
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【分析】先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1求出分式方程的解，再根据“方程解为非负数”列出不等式 ，且 ，求解即可。
19．（2021八上·肥城期中）为了治理污水，需要铺设一段全长为3000米的污水排放管道，铺设1200米后，为了尽可能减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工作量比原计划增加 ，结果共用了27天完成了这一任务，求原计划每天铺设管道多少米？
【答案】设原计划每天铺设管道x米，根据题意，得：
，
解得： ，
经检验， 是所列分式方程在解，
答：原计划每天铺设管道100米.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设原计划每天铺设管道x米，根据“结果共用了27天完成了这一任务”，列出方程求解即可。
20．（2021八上·肥城期中）解分式方程
【答案】解：原方程可化为 ，
即 ，
移项，得： ，
通分，得： ，
去分母得： ，
去括号，得： ，
移项，合并同类项，得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1并检验即可。
五、综合题
21．（2021八上·潍坊期中）某地对一段长达2400米的河堤进行加固，在加固800米后，采用新的加固模式，每天的工作效率比原来提高25%，用26天完成了全部加固任务．
（1）原来每天加固河堤多少米？
（2）若承包商原来每天支付工人工资为1500元，提高工作效率后每天支付给工人的工资增加了20%，完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？
【答案】（1）解：设原来每天加固河堤 米，则采用新的加固模式后每天加固 米．
根据题意得： ，
解这个方程得：
经检验可知， 是原分式方程的根，并符合题意；
答：原来每天加固河堤80米；
（2） （米）
所以，承包商支付给工人的工资为： （元）．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1） 设原来每天加固河堤 米，则采用新的加固模式后每天加固 米．根据题意 列出方程，解之并检验即可；
（2）根据题意列式计算即可。
22．（2021八上·沂源期中）（探索发现）
先观察下面给出的等式，探究其隐含的规律，然后回答问题： ； ； ；
（1）若 为正整数，直接写出结果： ．
（2）（拓展延伸）
根据上面探索的规律，解决下面的问题：
解关于 的分式方程： ．
【答案】（1）
（2）变形得
，
，
，
，
解得： ，经检验， 是原方程的根．
【知识点】解分式方程；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）
【分析】（1）根据观察可得：，利用此规律将数据化简，再计算即可；
（2）利用（1）中的规律将分式方程化简为，再利用分式方程的解法求解即可。
23．（2021八上·铜仁月考）解方程
① 的解是 0；
② 的解是 1；
③ 的解是 ；
④ 的解是 ；
（1）请完成上面的填空；
（2）根据你发现的规律直接写出第⑤个方程和它的解；
（3）请你用一个含正整数n的式子表述上述规律，并写出它的解.
【答案】（1）③2
④3
（2）解：⑤方程为 ，方程的解为 ；
（3）解：含正整数n的式子表示为 ，方程的解为 .
【知识点】分式方程的解及检验；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）③方程两边都乘以（x+1）得，3=6-x-1，
解得x=2，
经检验x=2是原分式方程的解；
故答案为：2；
④方程两边都乘以（x+1）得，4=8-x-1，
解得x=3，
经检验x=3是原分式方程的解；
故答案为：3；
【分析】（1）方程两边同乘以（x+1）把分式方程化为整式方程，然后求解并检验即可；
（2）观察①②③④方程的解，找出规律，写出第⑤个方程和它的解即可；
（3）利用（2）发现的规律写出结论即可.
1 / 1湘教版初中数学八年级上学期期末复习专题4 可化为一元一次方程的分式方程
一、单选题
1．（2021八上·玉屏期中）某煤厂原计划x天生产120吨煤，由于采用新的技术，每天增加生产3吨，因此提前2天完成任务，列出方程为 （ ）
A． B．
C． D．
2．（2021八上·沂源期中）某工地调来144人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，怎样调配劳动力才使挖出来的土能及时运走且不窝工（停工等待）？为解决此问题，可设派 人挖土，其他人运土，下列所列方程：① ；② ；③ ；④ ．正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2021八上·沂源期中）某人往返于 ， 两地，去时先步行2公里再乘汽车10公里；回来时骑自行车，来去所用时间恰好一样，已知汽车每小时比步行多走16公里，汽车比骑自行车每小时多走8公里，若步行速度为x公里/小时，则可列出方程（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021八上·芝罘期中）关于 的方程 会产生增根，则 的值为（ ）
A．0 B．-4 C．0或-4 D．-4或6
5．（2021八上·芝罘期中）小华早上从家出发到离家5千米的国际会展中心参观，实际每小时比原计划多走1千米，结果比原计划早到了15分钟，设小华原计划每小时行x千米，可列方程（ ）
A． B． C． D．
6．（2021八上·龙口期中）某船在静水中航行的速度是x千米/时，水流的速度是y千米/时，该船从甲地顺流去乙地a小时到达，则该船从乙地返回甲地需要的时间为（ ）
A． 小时 B． 小时
C． 小时 D． 小时
7．（2021八上·肥城期中）方程 的解是（ ）
A．x=2 B．x=1 C．x=0 D．无实数解
8．（2021八上·迁安期中）某单位向一所希望小学赠送1080件文具，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，已知每个B型包装箱比A型包装箱多装15件文具，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用12个．设B型包装箱每个可以装x件文具，根据题意列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2021八上·正定期中）如果关于x的分式方程 有增根，则m的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．﹣2
10．（2021八上·泰安期中）供电局的电力维修工要到30千米远的郊区进行电力抢修，技术工人小王骑摩托车先走15分钟后，抢修车装载着所需材料才出发，结果他们同时到达。已知抢修车的速度是摩托车的1.5倍，若设摩托车的速度为x千米/小时，则根据题意可得方程（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2021八上·玉屏期中）用换元法解方程 时，设 ，则原方程可化为
12．（2021八上·招远期中）分式方程
有解，则字母a的取值范围 ．
13．（2021八上·泰安期中）若关于x的方程 有增根，则a= ．
14．（2021八下·南岸期末）若关于x的分式方程 有增根，则m的值为 .
15．（2021八下·江都期末）若关于x的分式方程 ＝ +5的解为正数，则m的取值范围为 .
16．（2021八下·安徽期末）方程 的解是 ．
三、计算题
17．（2021八上·泰安期中）解分式方程：
（1）
（2）
四、解答题
18．（2021八上·芝罘期中）若关于x的方程 的解为非负数，则实数m的取值范围．
19．（2021八上·肥城期中）为了治理污水，需要铺设一段全长为3000米的污水排放管道，铺设1200米后，为了尽可能减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工作量比原计划增加 ，结果共用了27天完成了这一任务，求原计划每天铺设管道多少米？
20．（2021八上·肥城期中）解分式方程
五、综合题
21．（2021八上·潍坊期中）某地对一段长达2400米的河堤进行加固，在加固800米后，采用新的加固模式，每天的工作效率比原来提高25%，用26天完成了全部加固任务．
（1）原来每天加固河堤多少米？
（2）若承包商原来每天支付工人工资为1500元，提高工作效率后每天支付给工人的工资增加了20%，完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？
22．（2021八上·沂源期中）（探索发现）
先观察下面给出的等式，探究其隐含的规律，然后回答问题： ； ； ；
（1）若 为正整数，直接写出结果： ．
（2）（拓展延伸）
根据上面探索的规律，解决下面的问题：
解关于 的分式方程： ．
23．（2021八上·铜仁月考）解方程
① 的解是 0；
② 的解是 1；
③ 的解是 ；
④ 的解是 ；
（1）请完成上面的填空；
（2）根据你发现的规律直接写出第⑤个方程和它的解；
（3）请你用一个含正整数n的式子表述上述规律，并写出它的解.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：∵原计划x天生产120吨煤
∴原计划每天生产 吨，采用新技术，提前2天完成，
∴实际每天生产的吨数为：
根据题意得
故答案为：D．
【分析】由原计划x天生产120吨煤，可得原计划每天生产 吨，实际每天生产的吨数为 ，根据“ 采用新的技术，每天增加生产3吨 ”列出分式方程即可.
2．【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：x人挖土，则（144﹣x）运土，3人挖出的土1人恰好能全部运走，那么使挖出来的土能及时运走且不窝工，说明挖土的人的数量与运土人的数量之比＝3：1．
①②④都是这个等量关系的变形符合题意．
③运土的人数应是 ，方程应为x 144，
故答案为：C．
【分析】设x人挖土，则（144﹣x）运土，根据等量关系式：，可得方程；设x人挖土，则人运土，根据等量关系式：总人数-挖土的人数=运土的人数，可得，从而可判断①②④正确；由可变形为x 144，得出③不正确，进而得出答案。
3．【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：步行所用时间为： ，乘汽车所用时间为： ，骑自行车所用时间为： ．
所列方程为： ．
故答案为：C．
【分析】设步行所用时间为： ，则乘汽车所用时间为： ，骑自行车所用时间为： ，根据“去时先步行2公里再乘汽车10公里；回来时骑自行车，来去所用时间恰好一样”可列出方程。
4．【答案】D
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：方程两边都乘 ，得
∵最简公分母为 ，
∴原方程增根为 ，
∴把 代入整式方程，得 ，
把 代入整式方程，得 ，
综上，可知 或6，
故答案为：D．
【分析】将分式方去分母化为整式方程，再将x=-2代入整式方程求出m的值即可。
5．【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设小华原计划每小时行x千米，
依题意得： ，
故答案为：B．
【分析】设小华原计划每小时行x千米，根据“结果比原计划早到了15分钟”列出方程即可。
6．【答案】A
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：从甲地到乙地的距离=a（x-y），则船从乙地到甲地所需时间为 ．
故答案为：A．
【分析】先利用“ 从甲地顺流去乙地a小时到达 ”求出两地之间的路程，再利用路程除以从乙到甲的速度即可求出时间。
7．【答案】D
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】去分母，方程两边都乘以 得，﹣1+x=﹣（x﹣1），解这个方程得：x=1，检验：当x=1时，x﹣1=0，所以x=1不是原方程的解，所以原方程无解．
故答案为：D．
【分析】先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1并检验即可。
8．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：根据题意，得：
故答案为：A．
【分析】根据“单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用12个”即可列出方程。
9．【答案】D
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】方程两边都乘以(x﹣2)得：2＝(x﹣2)﹣m，
∵分式方程有增根，
∴x﹣2＝0，即x＝2，
将x＝2代入2＝(x﹣2)﹣m，得：m＝﹣2，
故答案为：D．
【分析】先将分式方程化为整式方程，再将x=2代入整式方程即可求出m的值。
10．【答案】D
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解： 设摩托车的速度为x千米/小时，则抢修车的速度为1.5x千米/小时，
根据题意得：.
故答案为：D.
【分析】 设摩托车的速度为x千米/小时，得出抢修车的速度为1.5x千米/小时，根据摩托车所用的时间比抢修车所用的时间多小时，列出方程即可得出答案.
11．【答案】
【知识点】换元法解分式方程
【解析】【解答】解：∵设 ，
∴ ，可转化为： ，
即 ．
故答案为： ．
【分析】直接利用已知将原式用y替换即可.
12．【答案】a≠5且a≠0a≠0且a≠5
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解：对于分式方程： ，
左右同乘 去分母得： ，
整理得： ，
∵原分式方程有解，则 ，
∴ ，
此时， ，
∵原分式方程 和4，且 ，
∴ ，
解得： ，且符合上述分式不等式，
故答案为： 且 ．
【分析】先解出关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“关于x的分式方程有解”，即可得到且。
13．【答案】1
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：方程两边同乘（x-2），
得：a=x-1-3（x-2），
解得x=，
∵分式方程的增根为x=2，
∴=2，
∴a=1.
【分析】先求出分式方程的解，再根据分式方程的增根为2，得出=2，即可得出a的值.
14．【答案】4
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：
方程两边乘（x-2）得：2x=m+x-2，
∴x=m-2，
∵方程有增根，
∴x-2=0，
∴m-2=2，
∴m=4，
故答案为：4.
【分析】将分式方程化为整式方程，解方程将x用含m的代数式表示，由于方程有增根，则可得出m-2=2，再解关于m的一元一次方程即可.
15．【答案】m＞-10且m≠-6
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解： ＝ +5，
3x＝-m+5（x-2），
3x＝-m+5x-10，
3x-5x＝-m-10，
-2x＝-m-10，
x＝ ，
∵x-2≠0，
∴x≠2，
∴ ≠2，
∴m≠-6.
∵方程的解为正数，
∴ ＞0，
∴m＞-10.
∴m的取值范围为：m＞-10且m≠-6.
故答案为：m＞-10且m≠-6.
【分析】先求出分式方程的解，由于方程的解为正数，可得x＞0且x≠2，据此建立关于m的不等式组，求出范围即可.
16．【答案】x＝3
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：方程的两边同乘（x+2）（x﹣2），得
（x﹣2）+4＝（x+2）（x﹣2），
x2﹣x﹣6＝0，
（x﹣3）（x+2）＝0，
解得x＝3或x＝﹣2，
经检验x＝﹣2是原方程的增根，
∴原方程的解为：x＝3，
故答案为：x＝3．
【分析】先求出（x﹣3）（x+2）＝0，再求出x＝3或x＝﹣2，最后计算求解即可。
17．【答案】（1）解： ，
方程两边同时乘以（x+1）（x﹣1）得，
x（x+1）+2x＝（x﹣1）+（x+1）（x﹣1），
整理得，x2+3x＝x﹣1+x2﹣1，
解得x＝﹣1，
经检验，x＝﹣1是方程的增根，
∴原方程无解
（2）解：原方程化为： ＝2+ ，
方程两边都乘以2（x﹣3），得2（x﹣2）＝4（x﹣3）+1，
解得：x＝3.5，
检验：当x＝3.5时，2（x﹣3）≠0，所以x＝3.5是原方程的解，
即原方程的解是x＝3.5
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）方程两边同乘（x+1）（x﹣1），得出整式方程，解方程求出x的值，再进行检验，即可得出答案；
（2）方程两边同乘 2（x﹣3） ，得出整式方程，解方程求出x的值，再进行检验，即可得出答案.
18．【答案】由 可得： ，
∵关于x的方程 的解为非负数，
∴ ，且 ，
解得： 且 ；
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【分析】先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1求出分式方程的解，再根据“方程解为非负数”列出不等式 ，且 ，求解即可。
19．【答案】设原计划每天铺设管道x米，根据题意，得：
，
解得： ，
经检验， 是所列分式方程在解，
答：原计划每天铺设管道100米.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设原计划每天铺设管道x米，根据“结果共用了27天完成了这一任务”，列出方程求解即可。
20．【答案】解：原方程可化为 ，
即 ，
移项，得： ，
通分，得： ，
去分母得： ，
去括号，得： ，
移项，合并同类项，得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1并检验即可。
21．【答案】（1）解：设原来每天加固河堤 米，则采用新的加固模式后每天加固 米．
根据题意得： ，
解这个方程得：
经检验可知， 是原分式方程的根，并符合题意；
答：原来每天加固河堤80米；
（2） （米）
所以，承包商支付给工人的工资为： （元）．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1） 设原来每天加固河堤 米，则采用新的加固模式后每天加固 米．根据题意 列出方程，解之并检验即可；
（2）根据题意列式计算即可。
22．【答案】（1）
（2）变形得
，
，
，
，
解得： ，经检验， 是原方程的根．
【知识点】解分式方程；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）
【分析】（1）根据观察可得：，利用此规律将数据化简，再计算即可；
（2）利用（1）中的规律将分式方程化简为，再利用分式方程的解法求解即可。
23．【答案】（1）③2
④3
（2）解：⑤方程为 ，方程的解为 ；
（3）解：含正整数n的式子表示为 ，方程的解为 .
【知识点】分式方程的解及检验；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）③方程两边都乘以（x+1）得，3=6-x-1，
解得x=2，
经检验x=2是原分式方程的解；
故答案为：2；
④方程两边都乘以（x+1）得，4=8-x-1，
解得x=3，
经检验x=3是原分式方程的解；
故答案为：3；
【分析】（1）方程两边同乘以（x+1）把分式方程化为整式方程，然后求解并检验即可；
（2）观察①②③④方程的解，找出规律，写出第⑤个方程和它的解即可；
（3）利用（2）发现的规律写出结论即可.
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