吉林省通化市辉南县第一高级中学2021-2022学年高二上学期第三次月考数学试卷（Word版，含解析）

辉南县第一高级中学2021-2022学年高二上学期第三次月考
数学试题
一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40.0分）
1. 已知直线，，
若，则实数的值为
A. B. C. 或 D. 或
2. 两平行直线与的距离为（ ）
A. B. C. D.
3. 若等差数列的前项的和，且，
则 ( )
A. B. C. D.
4. 若直线过圆的圆心，则的值为
A. B. C. D.
5. 在数列中，，且，则
A. B. C. D.
6. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，长轴长，焦距为，过点的直线交椭圆于，两点，则
的周长为
A. B. C. D.
7. 据有关文献记载：我国古代一座层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多为常数盏，底层的灯数是顶层的倍，则塔的底层共有灯( )
A. 盏 B. 盏 C. 盏 D. 盏
8. 平面直角坐标系中，为坐标原点，给定两点
，点满足：，其中，且 已知点的轨迹与双曲线交于两点，且以为直径的圆过原点，若双曲线的离心率不大于，则双曲线实轴长的取值范围为
A. B. C. D.
二、多项选择题（共4道题，每题5分，共20.0分，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分）
9. 下列结论错误的是
A. 过点，的直线的倾斜角为
B. 若直线与直线垂直，
则
C. 直线与直线之间的距离是
D. 已知，，点在轴上，则的最小值是
10. 已知等差数列的前项和为，，，则下列选项正确的是
A.
B.
C.
D. 当且仅当时，取得最大值
11. 已知公差为的等差数列中，前项和为，且，，则
A. B. C. D.
12. 在直三棱柱中，，，分别是的中点，在线段上，则下面说法中正确的有
A. 平面
B. 若是上的中点，则
C. 直线与平面所成角的正弦值为
D. 直线与直线所成角最小时，线段长为
三、填空题（共4道题，每题5分，共20.0分）
13. 已知等差数列中，，则______．
14. 双曲线的其中一条渐近线方程为，且焦点到渐近线的距离为，则双曲线的方程为 ．
15. 等差数列、的前项和分别为和，若，则________．
16. 如图，已知抛物线的焦点为，
直线过且依次交抛物线及
圆于点，，，
四点，则的最小值为 ．
四、解答题（共6道大题，共70分，17题10分，其他题12分）
17. 已知的三顶点是，，，直线平行于，交，分别于，，且、分别是、的中点．求：
直线边上的高所在直线的方程．
直线所在直线的方程．
18. 设等差数列的前项和为，已知，．
求数列的通项公式；
记，数列是否存在最大项？若存在，求出这个最大项；如不存在，请说明理由．
19. 已知抛物线：的焦点为，为上一点．
求的方程及的坐标；
设斜率为的直线与交于，两点，若，求的方程．
20. 已知等差数列前项和为，且
求数列的通项公式；
若，求证：数列是等差数列．
求数列的前项和．
21. 如图，边长为的等边所在的平面垂直于矩形所在的平面，，为的中点．
证明：；
求平面与平面的夹角的大小；
求点到平面的距离．
22. 欧几里得生活的时期人们就发现了椭圆有如下的光学性质：由椭圆一焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过另一焦点现有一椭圆，长轴长为，从一个焦点发出的一条光线经椭圆内壁上一点反射之后恰好与轴垂直，且．
求椭圆的标准方程；
已知为该椭圆的左顶点，若斜率为且不经过点的直线与椭圆交于，两点，记直线，的斜率分别为，且满足．
①证明：直线过定点；
②若，求的值．
辉南一中数学学科第三次月考答案
1.【答案】
【解答】
解：由题意得，
解得：或，
当时，直线的方程为：，直线的方程为：，两直线为同一条直线，两直线重合，故不符合题意，舍去；
当时，直线的方程为：，直线的方程为：，符合题意．
故．
故选B．

2.【答案】
【解答】
解：由直线取一点 ，
则两平行直线的距离等于到直线的距离．
故选B．

3.【答案】
【解答】
解：由题意可得，
，
，
故选：．
4.【答案】
【解答】
解：化圆为，
可得圆心坐标为，
因为圆心在直线上，
所以，
解得．
故选A．

5.【答案】
【解答】
解：，且，
，，
，

由上可知，数列是以为周期的周期数列，

故选A

6.【答案】
【解答】
解：由题意，椭圆的半长轴为，
所以的周长为，
故选：．

7.【答案】
【解答】
解：设塔的顶层的灯数为，塔的每层的灯数形成等差数列，公差．
由题意可得：，
，
联立解得：，．
塔的底层共有灯盏．
故选：．

8.【答案】
【解答】
解：设，，
．，，
即点的轨迹方程为，
由得，
由题意得 ，
设，则，
以为直径的圆过原点，即．．
即为定值，
由解得：，
故选D．

9.【答案】
【解答】
解：过点，的直线的斜率是，则倾斜角不为，故A错误
由直线与直线垂直，得解得，故B错误；
直线与直线之间的距离是，故C错误
点关于轴的对称点为，连接，交轴于点，
则，故D正确．
故选ABC．

10.【答案】
【解答】
解：设等差数列的公差为，
则，
解得，则A正确，B错误．
，则C正确．
，
当或时，取得最大值，则D错误．
故选AC．

11.【答案】
【解答】
解：因为在公差为的等差数列中，，
所以，解得：，
因为，所以，故故AB正确；
由，解得：，
故，故C错误；
，故D正确；
故选ABD．
12.【答案】
【解答】
解：直三棱柱中，，
以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图，
，，分别是，的中点，在线段上，
，，，，，，
设，，
对于，为平面的法向量，，则，又不在平面内，
平面，故A正确；
对于，当是上的中点时，，，，则，
与不垂直，故B错误；
对于，为平面的法向量，，设直线与平面所成角为，
则，故C正确；
对于，设，
则，，设直线与直线所成角为，
则，
当即时，
取最大值，此时直线与直线所成角最小，
，，故D正确．
故选ACD．

13.【答案】
【解析】解：因为是等差数列，，
所以．
故答案为：．
由等差数列的性质及前项和公式即可求解．
本题主要考查等差数列的性质及前项和公式，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】
【解答】
解：双曲线的一条渐近线方程为，
，
又焦点到渐近线的距离为，
，
双曲线方程为．
故答案为：．

15.【答案】
【解答】
解：因为等差数列、的前项和分别为和，
则，
所以，．
故答案为：．

16.【答案】
【解答】
解：，焦点，准线：，
由圆：，圆心，半径为．
由抛物线的定义得：，
又，
，
同理：，
当轴时，则，．
当的斜率存在且不为，
设：，代入抛物线方程，
得：，
，，
．
当且仅当，即，时取等号，
综上所述，的最小值为．
故答案为：．

17.【答案】解：，
与直线垂直的直线斜率为：，
直线边上的高所在直线的方程为：，
化为．
线段的中点，即．
，．
直线所在直线的方程为：，即．
18.【答案】解：设等差数列的公差为，由，得；
又，得，即，联立解得，，
所以．
由可知：当时，；当时，，
所以当时，，又，，，，，
所以当时，有最大项且最大项为．
19.【答案】解：因为为上一点，
所以，故，
所以的方程为， 的坐标为，即．
设直线的方程为，
由得，
设，，则 ， ，
所以
，
又因为，
所以
解得，或，
所以的方程为，或．
20.【答案】解：由题意，
解得
数列的通项公式为
由得，
，
，
数列是等差数列；
，
当时，，数列 的前项和，
当时，，数列 的前项和

，
．
21.【答案】证明：等边所在的平面垂直于矩形所在的平面，
以点为原点，分别以直线，为轴、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
依题意，可得，，，，
，，
，
即，；
解：设为平面的法向量，
则，即
取，得，
取，显然为平面的一个法向量，
，
结合图形可知，二面角的大小为；
解：设点到平面的距离为，
由可知与平面垂直，
则，
即点到平面的距离为．
22.【答案】【解答】
设椭圆的另一个焦点为，由题意知且，
所以，在直角三角形中，故，
所以，故椭圆的标准方程为
证明：设直线的方程为，
，，
由，得，
其判别式恒成立，
，
又，

化简得，解得
又直线不经过点，则，
故直线的方程为：，过定点．
由得

则，代入中的式化简得：
，又
，解得
故．