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28.2解直角三角形（2）教案
课题 28.2解直角三角形（2） 单元 第28单元 学科 数学 年级 九年级（下）
学习目标 1.使学生掌握仰角、俯角的概念，并会正确运用这些概念和解直角三角形的知识解决一些实际问题．让学生体验方程思想和数形结合思想在解直角三角形中的用途．2.使学生感知本节课与现实生活的密切联系，进一步认识到将数学知识运用于实践的意义．
重点 将实际问题转化为解直角三角形问题．
难点 将实际问题中的数量关系如何转化为直角三角形中元素间的关系求解．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题1、直角三角形中除直角外五个元素之间具有什么关系？在实际生活中，解直角三角形有着广泛的应用，例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形．教师在黑板上作图．当我们测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角；在水平线下方的角叫做俯角． 思考自议学生可相互交流，教师巡视，听取学生的看法、见解，随时参与讨论. 帮助学生获取 正确认知.
讲授新课 提炼概念※注意：(1)仰角和俯角必须是视线与水平线所夹的角，而不是与铅垂线所夹的角；(2)仰角和俯角都是锐角．测量仰角、俯角有专门的工具，是测角仪．三、典例精讲 例1 2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接．“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面350 km的圆形轨道上运行，如图，当组合体运行到地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少？(地球半径约为6 400 km，π取3.142，结果取整数)分析：从组合体中能直接看到的地球表面最远点，是视线与地球相切时的切点．如图，本例可以抽象为以地球中心为圆心、地球半径为半径的⊙O的有关问题：其中点F是组合体的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从组合体中观测地球时的最远点，的长就是地球表面上P，Q两点间的距离．为计算的长需先求出∠POQ(即α)的度数．解：设∠POQ＝α，在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．∵cosα＝＝≈0.95.∴α≈18°，∴的长为×6 400≈2009.6(km)．由此可知，当组合体在P点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离P点约2009.6 km.例2 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m，这栋楼有多高？(结果精确到0.1)解：如图，α＝30°，β＝60°，AD＝120.∵tanα＝，tanβ＝，∴BD＝AD·tanα＝120×tan30°＝120×＝40，CD＝AD·tanβ＝120×tan60°＝120×＝120.∴BC＝BD＋CD＝40＋120＝160≈277.1(m)．因此，这栋楼高约为277.1 m.小组讨论:通过对上面例题的学习，你对方位角问题的解答有可感想？ 进而请你归纳利用解直角三角形的知识解决问题的一般过程． 先让学生独立思考，教师再根据学生的完全情况确定评讲方法. 能用所学知识解决问题，也可增强学生的学习兴趣.
课堂检测 四、巩固训练1．如图（2），在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=____________米.(答案：100)2．如图（3），两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为________米.（答案：20）3.直升飞机在跨江大桥AB的上方P点处，此时飞机离地面的高度PO=450米，且A、B、O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为α=30°，β=45°，求大桥的长AB .4. (1)小李去实验楼做实验, 两幢实验楼的高度AB=CD=20m，两楼间的距离BC=15m，已知太阳光与水平线的夹角为30°，求南楼的影子在北楼上有多高；(2) 小李想：若设计时要求北楼的采光，不受南楼的影响，请问楼间距BC长至少应为多少米
课堂小结 利用解直角三角形的知识解决问题的一般过程：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案．
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28.2解直角三角形（2） 学案
课题 28.2解直角三角形（2） 单元 第28单元 学科 数学 年级 九年级下册
学习目标 1.使学生掌握仰角、俯角的概念，并会正确运用这些概念和解直角三角形的知识解决一些实际问题．让学生体验方程思想和数形结合思想在解直角三角形中的用途．2.使学生感知本节课与现实生活的密切联系，进一步认识到将数学知识运用于实践的意义．
重点 将实际问题转化为解直角三角形问题．
难点 将实际问题中的数量关系如何转化为直角三角形中元素间的关系求解．
教学过程
导入新课 【引入思考】1、直角三角形中除直角外五个元素之间具有什么关系？
新知讲解 提炼概念 在实际生活中，解直角三角形有着广泛的应用，例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形．教师在黑板上作图．当我们测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角；在水平线下方的角叫做俯角．※注意：(1)仰角和俯角必须是视线与水平线所夹的角，而不是与铅垂线所夹的角；(2)仰角和俯角都是锐角．测量仰角、俯角有专门的工具，是测角仪． 典例精讲 例1 2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接．“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面350 km的圆形轨道上运行，如图，当组合体运行到地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少？(地球半径约为6 400 km，π取3.142，结果取整数)例2 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m，这栋楼有多高？(结果精确到0.1)
课堂练习 巩固训练1．如图（2），在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=____________米.2．如图（3），两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为________米.3.直升飞机在跨江大桥AB的上方P点处，此时飞机离地面的高度PO=450米，且A、B、O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为α=30°，β=45°，求大桥的长AB .4. (1)小李去实验楼做实验, 两幢实验楼的高度AB=CD=20m，两楼间的距离BC=15m，已知太阳光与水平线的夹角为30°，求南楼的影子在北楼上有多高；(2) 小李想：若设计时要求北楼的采光，不受南楼的影响，请问楼间距BC长至少应为多少米 答案引入思考※注意：(1)仰角和俯角必须是视线与水平线所夹的角，而不是与铅垂线所夹的角；(2)仰角和俯角都是锐角．测量仰角、俯角有专门的工具，是测角仪．提炼概念典例精讲 例1 分析：从组合体中能直接看到的地球表面最远点，是视线与地球相切时的切点．如图，本例可以抽象为以地球中心为圆心、地球半径为半径的⊙O的有关问题：其中点F是组合体的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从组合体中观测地球时的最远点，的长就是地球表面上P，Q两点间的距离．为计算的长需先求出∠POQ(即α)的度数．解：设∠POQ＝α，在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．∵cosα＝＝≈0.95.∴α≈18°，∴的长为×6 400≈2009.6(km)．由此可知，当组合体在P点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离P点约2009.6 km.例2 解：如图，α＝30°，β＝60°，AD＝120.∵tanα＝，tanβ＝，∴BD＝AD·tanα＝120×tan30°＝120×＝40，CD＝AD·tanβ＝120×tan60°＝120×＝120.∴BC＝BD＋CD＝40＋120＝160≈277.1(m)．因此，这栋楼高约为277.1 m.小组讨论:通过对上面例题的学习，你对方位角问题的解答有可感想？ 进而请你归纳利用解直角三角形的知识解决问题的一般过程．巩固训练答案：100203.4.（1）（2）
课堂小结 小kt 课利用解直角三角形的知识解决问题的一般过程：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案．堂
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人教版 九年级下
28.2解直角三角形（2）
新知导入
情境引入
（1）三边之间的关系
（2）两锐角之间的关系
（3）边角之间的关系
直角三角形中除直角外五个元素之间具有什么关系？
典例精讲
应用一：构造直角三角形解题
例1、2012年6月18日，“神州”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接.“神州”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行. 如图，当组合体运行到离地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少（地球半径约为6 400km，π取3.142，结果取整数）？
FQ是☉O的切线，∠FQO为直角.
最远点
O
F
P
Q
分析：（1）如何理解从组合体中能直接看到的地球表面的最远点？
答：是视线与地球相切时的切点．
（2）你能根据题意画出示意图吗？
答：如图，FQ切⊙O于点Q，FO交⊙O于点P．
答：不是，地球是圆的，最远点Q与P点的距离是 的长。
答：已知Rt△FOQ中的FO和OQ，求∠FOQ，并进而求⊙O中 的长．
（4）上述问题实质是已知什么？要求什么？
（3）如上图，最远点Q与P点的距离是线段PQ的长吗？为什么？
O
F
P
Q
解：设∠POQ= α，
∵FQ是☉O的切线，∴△FOQ是直角三角形.
的长为:
由此可知，当组合体在P点正上方时，从中观测地球表面的最远点距离P点约2051km.
如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线上方的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线下方的夹角叫做俯角.
例2、热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）？
D
A
B
C
β
α
仰角
水平线
俯角
分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，a=30°，β=60°.
Rt△ABD中，a =30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD的长度；类似地可以求出CD的长度，进而求出BC的长度，即求出这栋楼的高度.
应用二：测量物体的高度问题
D
A
B
C
β
α
解：如图，a = 30°,β= 60°， AD＝120．
答：这栋楼高约为277.1m.
归纳概念
45°
30°
200米
P
O
B
D
45°
30°
P
A
200米
C
B
O
45°
30°
450
60°
45°
200
200
45°
30°
β
α
A
B
O
P
A
B
O
P
30°
45°
450
直角三角形的应用中常见的几种图形
课堂练习
1．如图（2），在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=__ _______米.
2．如图（3），两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为________米.
100
3.直升飞机在跨江大桥AB的上方P点处，此时飞机离地面的高度PO=450米，且A、B、O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为α=30°，β=45°，求大桥的长AB .
β
α
P
A
B
O
450米
解：由题意得，
答：大桥的长AB为
F
E
A
30°
15m
4. (1)小李去实验楼做实验, 两幢实验楼的高度AB=CD=20m，两楼间的距离BC=15m，已知太阳光与水平线的夹角为30°，求南楼的影子在北楼上有多高；
北
A
B
D
C
20m
15m
E
F
南
解：过点E作EF∥BC，
∴∠AFE=90°，FE=BC=15m.
即南楼的影子在北楼上的高度为
∴
(2) 小李想：若设计时要求北楼的采光，不受南楼的影响，请问楼间距BC长至少应为多少米
A
B
20m
m
北
D
C
南
解：BC至少为：
课堂总结
2.利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
1.在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念(方位角;方向角等)
作业布置
教材课后配套作业题。
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