东莞市 2021—2022 学年第一学期七校联考试题
高二数学
一、单选题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．直线 l : x y 3 0的倾斜角为（ ）
135 120 A. B. C. 60 D. 45
2．已知 a (1,1, 3)， b (x, y,1)，若 a b，则 x y＝（ ）
A．9 B．6 C．5 D．3
3．直线 kx y 1 3k ，当 k变动时，所有直线恒过定点坐标为（ ）
A． (0,0) B． (0,1) C． (3,1) D． (2,1)
4．如图，在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中，已知 AB a， AD b ，
AA1 c，则用向量 a， b ， c可表示向量 BD1 为（ ）
A. a b c B. a b c
C. a b c D. a b c
y 1 x2 y
2 x2
5.已知抛物线 的焦点与椭圆 1的一个焦点重合，则m （ ）
4 m 2
A．1 B．3 C．5 D．7
6.设直线 l与圆C1 : (x 2)
2 (y 5)2 36交于A、 B两点，若线段 AB的中点为M 1,1 ，则圆
C2 : x 3
2 y 4 2 1 上的点到直线 l的距离的最小值为（ ）
1 3 6 9
A． B． C． D．
5 5 5 5
7.在三棱锥 P ABC中， PA 平面 ABC， BAC 90 ，D，E， F 分别
是棱 AB， BC，CP的中点， AB AC， PA 2AB则直线 PA与
平面DEF所成角的正弦值为（ ）
2 5 5 3 2 3
A． B． C． D．
5 5 5 5
1
x2 y2
8.设双曲线 2 2 1(0 a b)
3
的半焦距为c，直线 l过 (a,0)，(0,b)两点．已知原点到直线 l的距离为 c，
a b 4
则双曲线的离心率为（ ）
1 3 2 3
A． B． C．2 D．
2 2 3
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0分．
9.已知向量 a 1,1,0 ，则与 a共线的向量 b （ ）
2 2 2 2
A． , ,0 B． 1, 1,0 C． , ,02 2 2 2 D． 0,1,0
10.已知点 A 1,m 与点 B(m2 ,1)关于直线 x y 4 0上的某点对称，则m的取值可以是（ ）
A．2 B．－2 C．－3 D．3
11.将正方形 ABCD沿对角线 BD折成直二面角 A BD C，则下列结论正确的是（ ）
A． AC BD B． ACD是等边三角形
C． AB与平面BCD所成的角为 90° D． AB与CD所成的角为 30°
5 1 x2 y2
12.我们通常称离心率为 的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆C : 2 2 1(a b 0)，A1，A2，2 a b
B1，B2为顶点，F1，F2为焦点，P为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有（ ）
A． F 21F2 A1F1 A2F2
B． F1B1A2 90
C． PF1 x轴，且 PO / /A2B1
D．四边形 A1B2A2B1的内切圆过焦点F1， F2
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，其中第 16 题第一空 2 分，第二空 3 分．把答案填在
答题卡中的横线上．
13.若方程 x2 y2 2x 2y k 0表示的曲线是圆，则实数 k的取值范围是___________.
14.如果点P ,P是抛物线 y21 2 2x上的点，它们的横坐标依次为 x1, x2， F 是抛物线的焦点，若 x1 x2 5，
则 | P1F | P2F ________．
2
15.已知平面 的一个法向量为n 1, 2,2 ，点 A 0,1,0 为 内一点，则点 P 1,0,1 到平面 的距离
为________．
16.瑞士著名数学家欧拉在 1765 年证明了定理：三角形的外心 重心 垂心位于同一条直线上，这条直线被
后人称为三角形的“欧拉线”.已知平面直角坐标系中 ABC各顶点的坐标分别为 A 0,0 ， B 8,0 ，
C 0,6 ，则 ABC的外心坐标为___________；其“欧拉线”的方程为___________.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.(10 分) 已知空间三点 A 2,0,2 ，B 1,1,2 ，C 3,0,4 ，设 a AB，b AC．
（1）求 cos a , b ；
（2）若 k a b与 k a b互相垂直，求 k．
18.(12 分) 在 ABC中，已知 A(0,1)，B(5, 2)，C(3,5) .
（1）求边 BC所在的直线方程；
（2）求 ABC的面积.
19.(12 分)已知圆C的圆心在直线 y x 1上，且圆C与 x轴相切，点 P( 5, 2)在圆C上，圆C半径小于 3．
（1）求圆C的方程；
（2）若过点 ( 2, 4)的直线 l 交圆C于 A， B两点，且 | AB | 2 3 ，求直线 l的方程．
3
20.(12 分) 如图，在四棱锥 P ABCD中，PA 平面 ABCD，AB BC，BC / /AD，AB BC 1，AD 2，
AP 3.
（1）证明：平面 PCD 平面 PAC；
（2）求平面 PCD与平面 PAB夹角的余弦值.
21.(12 分) 已知双曲线两个焦点分别是 F1 2,0 ,F2 2,0 ，点 P 2,1 在双曲线上.
（1）求双曲线的标准方程及其渐近线方程；
（2）过双曲线的右焦点 F2且倾斜角为60 的直线与双曲线交于 A， B两点，求 F1AB的周长.
22.(12 分) 已知动点M 到定点 F (1,0) 2的距离与到定直线 x 2的距离之比为定值 .
2
（1）求动点M 轨迹 L的方程；
1
（2）设 L的左 右焦点分别为 F1，F2，过点 F2作直线 l与轨迹 L交于 A，B两点，AF1 BF1 ，求 ABF2 1
的面积.
4东莞市 2021—2022 学年第一学期七校联考参考答案
高二数学
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A D C D B A B C ABC AC AB BD
8.【详解】因为直线 l过 (a,0) ， (0,b)
x y
两点．所以直线 l的方程为 1，即bx ay ab 0，
a b
ab 3 3 b c 2
所以原点到 l的距离d c①．又 c2 a2 b2 (0 a b ) ②，所以
4 ab c
2 ，即 4 3 2 ，a2 b2 4 a a
故 4 e2
2 3 2 3
1 3e2，解得 e 2或 e ．当 e 时， a2 = 3b2，与 a b矛盾，所以 e 2．故选：C
3 3
2
12.【详解】A :若 F1F2 A1F1 A2F2 ,则 (2c)
2 (a c)(a c) ，即 2c a c或2c c a（舍 )，
c 1 5 1
解得： ，所以 A 不正确；
a 3 2
2
B：若 F1B1A2 90 ，则由射影定理可得： OB1 = FO OA ，即b21 2 ca，
5 1
所以 c2 ac a2 0，即 e2 e 1 0， e (0,1) ，解得 e ；所以 B 正确；
2
2
C：若 PF1 x轴，所以 P(( c,
b )，又 PO / /A2B1，则 kPO kA2Ba 1
，
b2 c 2
所以 a b ，即b c，a 2c， e ，所以C不正确；
c a a 2
D：因为四边形为菱形，若命题正确则内切圆的圆心为原点，由圆的对称性可知，
圆心到直线 A2B2的距离等于 c，
x y ab
因为直线 A2B2的方程为： 1，即bx ay ab 0，所以原点到直线的距离 d a b a2 b2
，由题意知：
ab
c，又b22 2 a
2 c2 ，整理得：a2 (a2 c2 ) c2 (2a2 c2 )，e4 3e2 1 0，e2 (0,1) 3 5，解得 e2 ，
a b 2
e 3 5 5 1所以 ，所以D正确，故选:BD．
2 2
13. - ，2 14.6. 15.1. 16.外心为M (4,3) ， 3x 4y 0 .
16.【详解】由题设知： ABC是直角三角形，则垂心为直角顶点 A(0,0)，外心为斜边 BC的中点M (4,3) ，
∴“欧拉线”的方程为3x 4y 0 .故答案为：外心为M (4,3)， 3x 4y 0 .
17.解:（1）由题， a AB 1,1,0 ，b AC 1,0,2 ， …………………………………………2 分
cos a,b a b 1 10故 a b . …………………………………………5分 12 12 1 2 22 10
1
（2）若 k a b与 k a b互相垂直，则 (k a b) (k a b) 0 ， …………………………………6分
∴ 2 2 ， …………………………………………7分
k a b 0
即 2k 2 5 0， …………………………………………9分
10
解得 k . …………………………………………10 分
2
18.解:（1） B(5, 2)，C(3,5)，
y ( 2) x 5
边 BC所在的直线方程为 ，即 7x 2y 31 05 ( 2) 3 5 . ………………………………………5 分
1
（2）设 B到 AC的距离为 d，则 S ABC AC ·d ，2
| AC | (3 0) 2 (5 1) 2 5 ， …………………………………………7分
AC y 1 x 0方程为： 即： 4x 3y 3 0 …………………………………………9分
5 1 3 0
d | 5 4 3 ( 2) 3 | 29
2 2 5 . …………………………………………11 分4 ( 3)
S 1 29 29 ABC 5 . …………………………………………12 分2 5 2
19.解：（1）设圆心C(a,a 1)，半径 r | a 1|，
则圆 C的方程可设为 (x a)2 ( y a 1)2 (a 1)2， ……………………………2分
因为点 P( 5, 2) 在圆 C 上，
所以 (5 a)2 (a 3)2 (a 1)2，解得 a 3或 11． …………………………4分
因为圆C半径小于 3，经检验 a 11不符，舍去．
所以圆 C 的方程为 (x 3)2 (y 2)2 4． …………………………………………6分
（2）由（1）可知圆 C的半径 r = 2， | AB | 2 3 ，
| AB | 2
所以圆心到直线的距离 d r2 4 3 1． …………………………………………8 分
2
当 k不存在时，直线方程 x 2，符合题意； …………………………………………9分
当 k存在时，设直线方程为 y 4 k(x 2)，整理得 kx y 2k 4 0
d | 3k 2 2k 4 | 1 k 3所以圆心 C 到直线 l 的距离 ，即 ( 2)2 k 2 1 ，解得 k ，
1 k 2 4
所以 y
3
4 (x 2)，所以直线 l的方程为3x 4y 22 0 ． …………………………11 分
4
∴综上，直线方程为 x 2或3x 4y 22 0 ． …………………………………………12 分
20.解：（1）在梯形 ABCD中，过点C作CH AD于点H .
2
由已知可知CH AB 1， AH HD 1， AC AB 2 BC 2 2，CD CH 2 HD 2 2 .
所以 AC2 CD2 4 AD2 ，即 AC CD，① …………………………2 分
因为 AP 平面 ABCD，CD 平面 ABCD，
所以CD AP，② …………………………4分
由①②及 AC AP A，得CD 平面PAC .
又由CD 平面 PCD，所以平面 PCD 平面PAC . …………………………………………6 分
（2）因为 AB，AD，AP两两垂直，所以以A 为原点，以 AB，AD，AP所在的直线分别为 x， y，z轴
建立空间直角坐标系 A xyz，可得 A 0,0,0 ，B 1,0,0 ，C 1,1,0 ，D 0, 2,0 ， P 0,0,3 ，
PC 1,1, 3 ， PD 0,2, 3 . …………………………………………8分
设平面 PCD的法向量为 n x, y, z ，
n
PC x y 3z 0
则 ，取 y 3，则 z 2 ， x 3，
n PD 2y 3z 0
则 n 3,3,2 . …………………………10 分
平面 PAB的一个法向量为 AD 0, 2,0 ，……………………11 分
cos AD,n AD n 3 22所以 AD n 22 ，
3 22
所以平面 PCD与平面 PAB所成的锐二面角的余弦值为 .……………………………………12 分
22
21.解：（1）∵ F2 2,0 ,P 2,1 ，
2
∴ PF2 x
b
轴，则 PF2 1且c 2 ……………………………………2分a
又 c 2 a 2 b 2 ，即 a2 a 2 0 ，解得： a 1，
∴ b2 1
∴双曲线的标准方程为： x2 y2 1， ………………………5分
双曲线渐近线方程为 y x . …………………………6 分
（2）由（1）知，双曲线渐近线为 y x，倾斜角为 45
直线 AB过 F2且倾斜角为60 ，
∴A，B均在双曲线的右支上，则 BF1 BF2 2, AF1 AF2 2，
∴ AF1 BF1 4 AF2 BF2 4 AB ……………………………………8 分
设直线 AB方程为： y 3 x 2 ，代入双曲线方程得： 2x2 6 2x 7 0，
2
∴ AB 1 3 3 2 4 7 4 ， ……………………………………11 分2
3
∴ F1AB的周长为： AF1 BF1 AB 4 2 AB 12 . ……………………………………12 分
22.解：（1）设M (x, y) ， d 为点M 到定直线 x 2 的距离，根据题意得
MF 2 (x 1)2 y2 2
，即 ， ……………………………………2 分
d 2 x 2 2
x2
化简得 x2 2y2 2，即 y2 1
2
x2
∴ 动点M 轨迹 L的方程 y2 1 ……………………………………4 分
2
（2）由题意可得 F1( 1,0)， F2 (1,0) ，设直线 l的方程为 x my 1，
2
将直线 l x y2 1 m2 2 y2的方程代入 中，得 2my 1 0，
2
A x 2m 1设 1, y1 ， B x2 , y2 ，则 y1 y2 2 ， y1y2 2 . ………………………………7 分 m 2 m 2
所以 AF1 x1 1, y1 ， BF1 x2 1, y2 ，
所以 AF1 BF1 x1 1 x2 1 y1y2 ， x1 x2 x1x2 1 y1y2
2 2 2
m y1 y2 2 my1 1 my 1 1 y y 4 2m m 2m 12 1 2 2 m 2 m2 2 m2 ， 2 m2 2
7 m2
，
m2 2
7 m2 1
由 ，解得m22 4 ， ……………………………………10 分m 2 2
2 1
所以 y1 y2 ， y1y3 2
，
6
1
因此 S ABF F1 F2 y y
1
2 y y 2 101 2 1 2 2 1 2 4y1y2
. ………………………………12 分
3
4
