东莞市 2021—2022 学年第一学期七校联考试题高三数学参考答案
一、单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D A B C B C C
1.因为 A B {1,2} .故选：C
2.由题知 z 1 i, z z 2i 1 i 1 i 2i 故选：D.
5 k 5 1
3. 2x x 展开式通项为T k 5 k k 5 k 1k k2 ，令5 k 3，解得： k 4，k 1 C5 2x x 1 2 C5 x 2
4 5 4
展开式的 x3的系数为 1 2 C45 10 .故选：A.
3 3
4.先排除甲 乙 丙以外的3人有A3种排法，将甲 乙 丙3人插入 4个空中有A4种排法，
3
由分步乘法计数原理可得：甲 乙 丙3人两两不相邻的排法有A3A
3
4 6 24 144种，故选：B.
= 2 = 4 8 2 5.因为圆柱轴截面外接圆的半径 即为圆柱外接球的半径，所以 球
3 = ,选 C
3 3
1+ 2 = 1+2
2 1 = 1 16. 由题意可知， = ，选 B
2 2 3
7.由题意可知，点 P在右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＝3|PF2|，所以|PF
c
1|＝3a，|PF2|＝a，因为 ＝ 3，
a
2 2 2
所以|F1F2|＝2c＝2 3a
9a ＋a －12a 1
，则在△PF1F2中，由余弦定理可得，cos∠F1PF2＝ ＝－ ，所以 sin∠
2·3a·a 3
F1PF 2 2 1 2 22＝ ，所以 S△ ＝ a 3a ＝4 2，解得 a＝2，所以实轴长为 2a＝4，故答案选 C．3 PF1F2 2 3
8.解：要使函数 f (x) k有三个解，则 y f (x)与 y k图象有三个交点，
x 0 f x lnx f x 1 lnx当 时， ，所以 2 ，可得 f x 在 0,e 上递增，在 e, 递减，所以 x 0x x
lnx 1 ln x
时， f x 有最大值 f e ，且0 x 1时， 0，
x e x
当 x , f (x) 0，;当 x 0, f (x) ;
当 x 0时， f (x) x 2 1单调递增，因此可得 f (x)图象如下
1
1
所以要使函数 g(x)有三个零点，则0 k ，故选 C．
e
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分.
题号 9 10 11 12
答案 AD ACD BC ABC
→
9.由题意可知，以 O为原点建立平面直角坐标系，则可得 O(0，0)，A(－1，4)，B(3，5)，C(4，1)，所以OA
→ → →
＝(－1，4)，OB＝(3，5)，OC＝(4，1)，AC＝(5，－3)，代入计算检验可知选项 B、C错误，选项 A、D
正确；故答案选 AD．
T 4 2 5 2 2 10. 由题意 A 2， ，∴ 2，又 2sin 2 3 12 3
2，
4
2k ,k π Z ，又 ，∴ ，
3 2 6
sin 2 f x x 0 ∴ ( ) 2sin(2 )． ，∴ ,0
是对称中心，A 正确；6 12 6 12
∵ 2 7 ，∴ x 不是对称轴，B错；
2 6 6 2
x 2x , f (x) , ， 时， ，∴ 在 上单调递增，C 正确； 3 6 6 2 2 3 6
2sin 2x 1 sin 2x 1 5 ， ， 2x 2k 或 2x 2k ,k Z，
6 6 2 6 6 6 6
23 4 8
即 x k 或 x k ， k Z ，又 x ，∴ x 0, , , ，和为 ，D 正确．故选：
3 12 12 3 3 3
ACD．
17 a ＋a 17 2a
11.由题意可知，在等差数列{an}中，因为 a ＝S ，所以 a ＝ ( 1 17)＝ ( 99 17 9 )＝17a9，则 a9＝0，故选
2 2
项 B 正确；因为公差 d≠0，所以 a8≠0，故选项 A错误；因为 a9＝0，所以 a1＋8d＝0，所以 a1＝－8d，
所以 S 16×1516＝16a1＋ d＝16(a 151＋ d)＝16×( 1－ )d＝－8d＝a1，所以选项 C 正确；因为 S10－S8＝a9＋a10
2 2 2
＝a10＝a1＋9d＝－8d＋9d＝d，且 d未知正负，所以选项 D错误；综上，答案选 BC．
12.由题可知，正方体的面对角线长度为 2，
对于 A：分别连接C1D、 BD、 B1D1、 AB1、 AD1，易得平面C1DB// 平面 AB1D1，DP 平面C1DB，
故对任意点 P，DP//平面 AB1D1，故正确；
2
对于 B：分别连接 PA、 PD1，无论点 P在哪个位置，三棱锥 P A1DD1的高均为 1，底面 A1DD1的面积
1 1 1 1
为 ，所以三棱锥 P A1DD1的体积为 1 ，故正确；2 3 2 6
对于 C：线段 DP在 C1BD中，当点 P为 BC1的中点时，DP最小，此时DP ^ BC1，在 Rt△BPD中，
2
DP BD2 PB2 2 2 2 6 6 ，故 DP的最小值为 ，故正确；
2 2 2
对于 D：点 P在平面 ADD1A1上的投影在线段 AD1上，设点 P的投影为点 Q，则 PDQ为 DP与平面
ADD1A
PQ
1所成的角， sin PDQ ， PQ 1，PD
6
而 PD 2 ，所以 DP与平面 ADD1A1所成角的正弦值的取值
2
2 6
范围是 , ，而2 3 sin
3 6
，
3 2 3
π
所以不存在点 P，使得 DP与平面 ADD1A1所成角的大小为 ，故错误.3
故选：ABC.
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 请把答案填在答题卡的相应位置上．
13. 3，6，9等(答案不唯一，3的正整数倍即可)； 14. 1 ； 15. 0, ； 16. 8
6
13. 由题意可知，E(X)＝n 1 n× ＝ ∈N*，则 n为 3的正整数倍，填 3即可．
3 3
14. 由题意可知， g(1) f (1) 2 3，则 f (1) 1，因为 f (x)是奇函数，所以 f ( 1) f (1) 1，
故 g( 1) f ( 1) 2 1 2 1 .
f (x) 0
1
15.f′(x)＝ 2 －sinx.由 ，解得 01 2 1
16.第一次操作去掉的线段长度为 ，第二次操作去掉的线段长度之和为 ，第三次操作去掉的线段长
3 3 3
2 2 1 n 1 n 1
度之和为 ， ...，第 n 2 1 2 1 1次操作去掉的线段长度之和为 ，由题意可知， ≥ ，则3 3 3 3 3 3 3 60
2
n
1 n lg 2
1 lg3
≥ ，则 ≥ lg 30 1 lg 3，所以 n lg 2 lg3 ≥ 1 lg3，即 n≤ ，
3 30 3 lg3 lg 2
又 lg 2 0.3010, lg3 0.4771，带入上式，可得 n 8，故最大值为 8.
3
四、解答题: 本大题共 6 小题，第 17 题 10 分，18、19、20、21、22 题各 12 分，共 70 分.
17. 解：（1）当 n 1时, 2S1 4, a1 2，……………………………………………………1 分
当 n 2时， 2Sn 1 (n 1)
2 3(n 1)，又 2S 2n n 3n …………………………2分
两式相减得 2an 2n 2，所以an n 1 ………………………………………………4分
故 an 的通项公式为 a *n n 1(n N ) ………………………………………………5分
1 1 1 1 1 1 1
（2）由（1）知 ( )……………………7 分
a2n 1a2n 1 2n(2n 2) 4 n(n 1) 4 n n 1
1 1 1 1 1 1 1
∴Tn [( )+( )+ +( )]………………………………………8 分4 1 2 2 3 n n 1
1 1
(1 ) ……………………………………………………………9分
4 n 1
n
…………………………………………………………………10 分
4n 4
1 a b c
18. 解：（1）因为 a sin B cosC c sin B cos A b，由正弦定理 得
2 sin A sin B sinC
sin Asin BcosC sinC sin Bcos A 1 1 sin B ， sin B 0 sin AcosC sinC cos A ，……2 分
2 2
sin A C 1 sin( B) ， …………………3 分
2
sin B 1 .又 a b，所以0 B ，可得 B . …………………6 分
2 2 6
2
（2）由（1）知 B ，若 A ，则 a b，C ， …………………7分
6 6 3
S = 1 absinC 1 a2 sin 2 ABC 4 3， a 4， a 4（舍）. …………………9 分2 2 3
又在 AMC中，由余弦定理得
AM 2 2 AC 2 MC 2 2AC MC cos
3
1 2
AM 2 AC 2 AC
2AC
1
AC cos 2
2 2 3
42 22 2 4 2 1
28， ………………………………11 分
2
所以 AM=2 7 . …………………………………12 分
4
19.解：（1）设该同学“罚球位上定位投中”为事件 A，“三步篮投中”为事件 B，“该同学罚球位上定位投篮
投中且三步篮投中 1次”为事件 C， ……………………………………1分
则 P A 3 ，P B 4 ， ……………………………………2分
4 5
P C 3 C1 4 1 4 6所以 2
；4 5 5 25
6
∴该同学罚球位上定位投篮投中且三步篮投中 1次的概率为 . …………………………………5分
25
（2）X的可能取值为 0，1，2，3，4， …………………………………6分
0 2
P X 0 3 1 C 0 4 4 1所以 2 1 ，
4 5 5 100
P X 1 1 3 4 4 8 2
C
1
2
1 ，
4 5 5 100 25
3 4 0 2 2P X 2 1 3 4 19 C0 1 1 C2 2 2 ，4 5 5 4 5 100
P X 3 3 C1 4 1 4 24 6 2 ，4 5 5 100 25
2
P X 4 3 C2 4 48 12 2 ， ……………………………………………10分4 5 100 25
所以 X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
1 2 19 6 12
P
100 25 100 25 25
…………………………………………11分
E X 0 1 1 8 2 19 3 24 48故 4 3.1 ，
100 100 100 100 100
则该同学得分的数学期望是 3.1分. ………………………………………………………………12分
20.解：(1)证明：由已知得四边形 ABCD是直角梯形，
由 AD＝CD＝ 2 ，BC＝ 2 2，可得 AB AC 2
故△ABC是等腰直角三角形，即
AB⊥AC， ………………………………………………………………2分
5
∵PA⊥平面 ABCD，AB 平面 ABCD，
∴PA⊥AB，又 PA∩AC＝A， ………………3分
∴AB⊥平面 PAC，
又 PC 平面 PAC，
∴AB⊥PC． ………………………………4分
(2)取 BC的中点 E，连接 AE，则 AE⊥BC，
建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0，0，0)，
C( 2 ， 2，0)，D(0， 2 ，0)，P(0，0，1)，B( 2 ，－ 2 ，0)，
→ →
PD＝(0， 2 ，－1)，AC＝( 2 ， 2，0)， …………………………………………5分
→ →
设PM＝tPD (0 t 1 )，
则点 M为 0, 2t,1 t ， ………………………………………………6分
→
所以AM＝ 0, 2t,1 t ，
设平面 MAC的法向量是 n＝(x，y，z) n AC 0 2x 2y 0，则 ，
，
n AM 0 2ty 1 t z 0
则可取 n 1, 1,
2t
……………………………………………………7分 1 t
又m 0,0,1 是平面 ACD的一个法向量， ……………………………………………………8分
2t
m ∴ n 1 tcos m,n cos 45 2 ，
m n 2
2 2t
2
1 t
解得 t 1 ，即点 M是线段 PD的中点．
2
此时平面 MAC的一个法向量可取 n 1, 1, 2 →，BM＝(－ 2 ， 2 2， 1 )， ………………10分2
设 BM与平面 MAC所成的角为θ，
n
BM
则 sin cos n,BM 2 6 ， …………………………11 分n BM 9
∴BM MAC 2 6与平面 所成角的正弦值为 . ………………………………12 分
9
6
21.解：（1）∵直线 x y 3 0与 x轴的交点为 3,0 ，∴ c 3． ……………………………1分
又∵ e c 3 ，∴ a 2， ………………………………2分
a 2
∴b2 a2 c2 1． ………………………………3分
x2
∴椭圆 E的标准方程为 y2 1． ………………………………4分
4
（2）由（1）可得 A 2,0 ， B 2,0 ．由题知过点 N 1,0 的斜率不为 0，故设直线的方程为 x my 1，
设C x1, y1 ，D x2 , y2 ． ………………………………5分
x my 1,
联立 x2 整理，得 4 m2 y2 2my 3 02 ， ………………………………6分
y 1, 4
△ 4m2 12 4 m2 0 y y 2m 3，∴ 1 2 2 ， y1y2 2 ． ………………………………8分4 m 4 m
y
设直线 AC 1的方程为 y x 2 ，直线 BD的方程为 y
y
2 x 2
x 2 x 2 ， ……………………9分1 2
y1 x2 2 y2 x1 2
联立两条直线方程，解得 x 2 y x 2 y x 2 ①，2 1 1 2
2my1y2 y1 y2 4y
将 x1 my1 1， x2 my2 1代入①，得 x 2
1
y y 2y ②，…………………………10分1 2 1
4 m 2 y1
将 y y
2m
y 3 4 m 1 2 2 ， 1y2 2 代入②，得 x 2． 4m ，4 m 4 m 2 2 y
4 m 1
∴直线 AC，BD的交点的横坐标为定值－4． …………………………………12分
1
22.解：（1）因为 f x a x 0 ， ……………………………………1 分
x
当 a 0时， f x 0，所以 f x 在 0, 上单调递增， ……………………………………2分
x 0, 1 当 a 0时，若 时， f x 0， f x 单调递增； ……………………………………3分
a
x 1若 ,
时， f x 0， f x 单调递减， ……………………………………4 分
a
综上： a 0时， f x 在 0, 上单调递增； a 0时， f x 在 0,
1 1
上单调递增，在 , 上单调
a a
递减；…5 分
7
（2）因为 ln x x k x 1 b在 0, 上恒成立，所以b ln x x k x 1 在 0, 上恒成立，……6 分
设 g x ln x x k x 1 ，所以 g x 1 1 k x 0 ，…………………………………………………7 分
x
当 k 1时， g x 0，所以 g x 在 0, 上单调递增，此时b g x 显然不恒成立；
当 k 1时，若 x 0,
1
时， g x 0， g x
1
单调递增；若 x , 时， g x 0， g x 单调递
k 1 k 1
减，
所以 g x g 1 ln
1 1
k 1 1
ln k 1 k 1max ， k 1 k 1 k 1 k 1
所以b ln k 1 k 1， …………………………………………………………………………9分
2k b 2 b ln k 1 k 1 ln2 2 1 k 1 2又因为 ，
k 1 k 1 k 1 k 1
h t 1 ln t 2 ln t 1令 t k 1 0， ，所以 h t 2 ，……………………………………………………10 分t t
当 t 0,
1
时， h t 0， h t 单调递减；当 t
1
, 时， h t 0， h t 单调递增；
e e
所以 h t h 1 e 1min ， e
2k b 2
所以 k 1 的最小值为 e 1. ……………………………………………………………………12 分
8东莞市 2021—2022 学年第一学期七校联考试题
高三数学
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡指定位置上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将答题卡交回.
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的. 请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．
1. 已知集合 A={1，2，3}， B x 0 x 2 ，则 A∩B=（ ）
A. {2，3} B. {0，1，2，3} C. {1，2} D. {1，2，3}
2. 已知 z 1 i，则 z z 2i （ ）
A. 2 i B. 2 i C. 2i D. 2i
5
3. 二项式 2x x 展开式中， x3的系数等于（ ）
A．10 B． 10 C．80 D． 80
4. 6 个人排队，其中甲 乙 丙3人两两不相邻的排法有（ ）
A．30种 B．144种 C．5种 D． 4种
5. 已知圆柱的底面半径为 1，母线长为 2，则该圆柱的外接球的体积为（ ）
64 2 20 5 8 2 5 5
A. B. C. D.
3 3 3 6
6. 若 tanα＝3，则1 cos 2 ( )
sin 2
A 1 B 1 C ± 1． ． ． D．2
2 3 3
7. 已知双曲线 C的离心率为 3，F1，F2 是 C的两个焦点，P为 C上一点，|PF1|＝3|PF2|，若△PF1F2 的面
积为 4 2，则双曲线 C的实轴长为( )
A．1 B．2 C．4 D．6
1
ln x
, x 08. 已知函数 f (x) x 若函数 g(x) f (x) k有三个零点，则( )
1 x
2 , x 0
A.1 k e B. 1 k 0 C.0 k 1 1 D. k 1
e e e
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分. 请把正确选项在答题卡中的相应位置
涂黑．
9. 如图所示，在 5×5的方格中，点 O，A，B，C均为小正方形的顶点，则下列结论正确的是( )
→ → → → → →
A．OB＝OA＋OC B．|OA|＝|OC| 1＝ |OB|
2
→ → → → → → →
C．AC＝OB－2OC D．OA·OB＝OC·OB
10. 已知函数 f x Asin x （其中 A 0 ， 0， ）的部
分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数 f x 的图象关于点 ,0
对称
12
B. 函数 f x 的图象关于 x 直线对称
2
C. 函数 f x 在区间 ， 上单调递增 3 6
y 1 y f x x 23 8 D. 与图象 的所有交点的横坐标之和为
12 12 3
11. 已知公差不为 0 的等差数列{an}的前 n项和为 Sn，若 a9＝S17，下列说法正确的是( )
A．a8＝0 B．a9＝0 C．a1＝S16 D．S8＞S10
12. 如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，P为线段 BC1上的动点，下列说法正确的是（ ）
A. 对任意点 P，DP// 平面 AB1D1
1
B. 三棱锥P A1DD1的体积为 6
C. 6线段 DP长度的最小值为
2
π
D. 存在点 P，使得 DP与平面 ADD1A1所成角的大小为 3
2
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 请把答案填在答题卡的相应位置上．
13. 若随机变量 X~B(n 1， )，且 E(X)∈N*，写出一个符合条件的 n＝ ．
3
14. 已知函数 g(x)=f(x)+2，若 f(x)是奇函数，且 g(1)=3，则 g 1 =_______.
15. 函数 f(x)＝1 1＋ 2 x＋cosx在 0, 上的单调递增区间是________. 2
16. 取一条长度为 1 的线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下的两段;再将剩下的两段分别三等分，各
去掉中间一段，留剩下的更短的四段； ；将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍
弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康
1
托尔三分集.若在第n次操作中去掉的线段长度之和不小于 ，则 n的最大值为________.60
( 参考数据： lg 2 0.3010, lg 3 0.4771 )
四、解答题: 本大题共 6 小题，第 17 题 10 分，18、19、20、21、22 题各 12 分，共 70 分. 解答应写出
文字说明、证明过程或演算步骤. 必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答
案无效．
17. （本小题满分 10 分）
已知数列{an}的前n项和 Sn满足 2Sn n2 3n,n N * .
（1）求{an}的通项公式；
1
（2）求数列 的前n项和Ta a n
.
2n 1 2n 1
18. （本小题满分 12 分）
1
在 ABC 中，角 A,B,C的对边分别为 a,b,c， a sin B cosC c sin B cos A b，且 a b.
2
（1）求角 B的值；
（2）若 A ，且 ABC 的面积为 4 3 ，求 BC边上的中线 AM 的长.6
19.（本小题满分 12 分）
3 4
某同学参加篮球投篮测试，罚球位上定位投中的概率为 ，三步篮投中的概率为 ，测试时罚球位上
4 5
投篮投中得 2 分，三步篮投中得 1 分，不中得 0 分，每次投篮的结果相互独立，该同学罚球位上定位投篮
1 次，三步上篮 2 次.
（1）求“该同学罚球位上定位投篮投中且三步篮投中 1 次”的概率；
（2）求该同学的总得分 X的分布列和数学期望.
3
20. （本小题满分 12 分）
如图，在四棱锥 P－ABCD中，PA⊥平面 ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且 AD＝CD＝ 2，BC＝2 2，
PA＝1．
(1)求证：AB⊥PC；
(2)在线段 PD上，是否存在一点 M，使得二面角 M－AC－D的大小为 45°，如果存在，求 BM与平面 MAC
所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．
21. （本小题满分 12 分）
x2 y2
设椭圆 E : 2 2 1 a b 0 ，椭圆的右焦点恰好是直线 x y 3 0与 x轴的交点．椭圆的离心率a b
3
为 ．
2
（1）求椭圆 E的标准方程；
（2）设椭圆 E的左、右顶点分别为 A，B，过定点 N 1,0 的直线与椭圆 E交于 C，D两点（与点 A，B
不重合），证明：直线 AC，BD的交点的横坐标为定值．
22.（本小题满分 12 分）
已知 f x ln x ax（ a R）
（1）讨论 f x 的单调性；
2k b 2
（2）当 a 1时，若 f (x) k x 1 b在 0, 上恒成立，证明： 的最小值为 e 1.
k 1
4
