【教案】人教A版 选择性必修二 5.1　第1课时　变化率问题与导数的概念

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5．1　导数的概念及其意义
第1课时　变化率问题与导数的概念
学习指导 核心素养
1.了解瞬时速度的概念及意义．2．理解函数的平均变化率的意义，会求具体函数的平均变化率．3．理解导数的概念，会利用导数的定义求函数在某点处的导数． 1.数学抽象：变化率和函数在某点处的导数的概念．2．数学运算：求变化率和函数在某点处的导数．
一、自主学习 合作探究（10分钟）
1．物理中的平均速度和瞬时速度
平均速度 设物体运动的位移与时间的关系是s＝s(t)，从t0到t0＋Δt时间段内的平均速度＝＝.
瞬时速度 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．当Δt无限趋近于0时，平均速度＝＝将越来越趋近于物体在t0时刻的瞬时速度．
2.函数的平均变化率
对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx).这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．我们把比值，即＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率．
3．函数在某点处的导数
如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝_．
变式思考
1．平均速度能否准确反映物体的运动状态？
提示：平均速度可近似描述物体运动快慢状态，瞬时速度可以准确刻画物体运动状态．
2．函数平均变化率的几何意义是什么？
提示：函数在[x0，x0＋Δx]内的平均变化率的几何意义是割线的斜率．
即时检测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在平均变化率中，函数值的增量为正值．(　　)
(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．(　　)
(3)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx的正、负无关．(　　)
(4)在导数的定义中，Δx、Δy都不可能为零．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，Δy＝(　　)
A．f(x0＋Δx)　　　　 B．f(x0)＋Δx
C．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)
答案：D
3．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
解析：选B.＝＝＝－1.
4．已知f(x)＝2x＋1，则f′(1)＝________．
解析：f′(1)＝ ＝
＝ ＝2.
答案：2
二、精讲点拨 归纳提升（20分钟）
探究点1　求平均速度与瞬时速度
平均速度和瞬时速度有什么关系？
探究感悟：两者都刻画物体的运动状态，瞬时速度是平均速度的极限值．
例 已知质点M做直线运动，且位移随时间变化的函数为s＝2t2＋3(位移单位：cm，时间单位：s).
(1)当t＝2，Δt＝0.01时，求；
(2)当t＝2，Δt＝0.001时，求；
(3)求质点M在t＝2时的瞬时速度．
【解】　＝
＝＝8＋2Δt.
(1)当Δt＝0.01时，＝8＋2×0.01
＝8.02(cm/s).
(2)当Δt＝0.001时，＝8＋2×0.001
＝8.002(cm/s).
(3)瞬时速度v＝ ＝ (8＋2Δt)＝8(cm/s).
即质点M在t＝2时的瞬时速度为8 cm/s.
归纳总结
求运动物体瞬时速度的3个步骤
第一步：求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；
第二步：求平均速度＝；
第三步：求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于常数，即v＝s′(t0)＝ .　
即时检测
1．已知某质点的运动方程为s(t)＝t2＋3，则t从3到3.3，该质点运动的平均速度为(　　)
A．6.3　　　　　　　　　　 B．36.3
C．3.3 D．9.3
解析：选A.Δt＝3.3－3＝0.3，Δs＝s(3.3)－s(3)＝13.89－12＝1.89，所以平均速度＝＝＝6.3.
2.甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，则从0到t0这段时间内甲、乙两人的平均速度较大的是________．(填甲或乙)
解析：由图象可知s1(t0)＝s2(t0)，s1(0)＞s2(0)，则＜，所以在从0到t0这段时间内乙的平均速度大．
答案：乙
3．一物体的运动方程为s＝7t2－13t＋8且在t＝t0时的瞬时速度为1，则t0＝________．
解析：因为Δs＝7(t0＋Δt)2－13(t0＋Δt)＋8－7t＋13t0－8
＝14t0·Δt－13Δt＋7(Δt)2，所以 ＝ (14t0－13＋7Δt)＝14t0－13＝1，所以t0＝1.
答案：1
探究点2　求函数的平均变化率、瞬时变化率
平均变化率和瞬时变化率有什么联系？
探究感悟：两者都描述函数值变化的快慢，瞬时变化率是平均变化率的极限．
角度一　求函数在某一区间的平均变化率
例 (1)函数y＝从x＝1到x＝2的平均变化率为(　　)
A．－1 B．－
C．－2 D．2
(2)求函数y＝f(x)＝在区间[1，1＋Δx]内的平均变化率．
(1)【解析】　平均变化率为＝＝－.
【答案】　B
(2)【解】　因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝－1
＝＝
＝，
所以＝－ .
角度二　求函数在某一点处的瞬时变化率(导数)
例 (1)f(x)＝x2在x＝1处的导数为(　　)
A．2x B．2
C．2＋Δx D．1
(2)已知f(x)＝x3－x，则f′(2)＝________．
【解析】　(1) ＝
＝ ＝ (2＋Δx)＝2.
(2)因为Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝(2＋Δx)3－(2＋Δx)－(23－2)＝(Δx)3＋6(Δx)2＋11Δx，所以＝(Δx)2＋6Δx＋11，所以 ＝[(Δx)2＋6Δx＋11]＝11，即f′(2)＝11.
【答案】　(1)B　(2)11
角度三　根据导数定义求参数
例 已知f(x)＝，且f′(m)＝－，则m的值为(　　)
A．－4 B．2
C．－2 D．±2
【解析】　因为＝＝＝，所以f′(m)＝ ＝－，
所以－＝－，m2＝4，解得m＝±2.
【答案】　D
归纳总结
求函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤
简称：一差、二比、三极限．　
即时检测
1．(2021·安徽高二期末)在曲线y＝x2上取一点(1，1)及附近一点(1＋Δx，1＋Δy)，则＝(　　)
A．Δx＋＋2 B．Δx－－2
C．Δx＋2 D．2＋Δx－
解析：选C.因为y＝x2，所以＝＝Δx＋2.故选C.
2．设f(x)在x0处可导，则 ＝(　　)
A．2f′(x0) B．f′(x0)
C．3f′(x0) D．4f′(x0)
解析：选D.因为f(x)在x＝x0处可导，
由导数的定义可得，
＝4 ＝4f′(x0).故选D.
3．一质点的运动方程为S＝t2＋10，其中S的单位是m，t的单位是s，那么物体在4 s末的瞬时速度是(　　)
A．4 m/s B．6 m/s
C．8 m/s D．10 m/s
解析：选C. ＝ ＝ (8＋Δt)＝8，即物体在4秒末的瞬时速度是8 m/s.故选C.
三、定时训练 反馈补偿（10分钟）
1．函数y＝1在[2，2＋Δx]上的平均变化率是(　　)
A．0　　　　　　　　　　　 B．1
C．2 D．Δx
解析：选A.＝＝0.
2．已知一物体做直线运动，其运动方程为s(t)＝－t2＋2t，则t＝0时，其瞬时速度为(　　)
A．－2 B．－1
C．0 D．2
解析：选D.s′(0)＝
＝＝(2－Δt)＝2.
3．已知函数y＝x3－2，当x＝2时，＝________．
解析：因为Δy＝(2＋Δx)3－2－(23－2)
＝(Δx)3＋6(Δx)2＋12Δx，
所以＝(Δx)2＋6Δx＋12.
答案：(Δx)2＋6Δx＋12
4．求函数y＝x－在x＝1处的导数．
解：因为Δy＝(1＋Δx)－－(1－1)＝Δx＋，所以＝＝1＋.所以y′|x＝1＝ ＝ ＝2，即函数y＝x－在x＝1处的导数为2.
四、作业
1.整理课堂笔记
2.完成课后练习
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