【教案】人教A版 选择性必修二 5.1 第2课时 导数的几何意义
文档属性
| 名称 | 【教案】人教A版 选择性必修二 5.1 第2课时 导数的几何意义 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 383.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-17 09:48:55 | ||
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文档简介
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5．1 导数的概念及其意义
第2课时 导数的几何意义
学习指导 核心素养
1.理解导数的几何意义并会求曲线在某点处的切线方程．2．理解导函数的定义，会用定义法求简单函数的导函数． 1.直观想象：导数的几何意义，曲线的切线．2．数学运算：导数的计算．
一、自主学习 合作探究（10分钟）
1．导数的几何意义
(1)切线的定义
如图，在曲线y＝f(x)上任取一点P(x，f(x))，如果当点P(x，f(x)) 沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0(x0，f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y＝f(x)在点P0处的切线．
(2)导数的几何意义
记Δx＝x－x0，当点P沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0时，即当Δx→0时，k无限趋近于函数y＝f(x)在x＝x0处的导数．因此，函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k0＝ ＝f′(x0)．这就是导数的几何意义．
2．导函数的概念
从求函数y＝f(x)在x＝x0处导数的过程可以看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数).y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝_．
变式思考
1．曲线的切线是否一定和曲线只有一个交点？
提示：曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以有无穷多个．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．
2．f′(x0)和f′(x)有何关系？
提示：f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，是一个数值，f′(x)是一个函数；f′(x0)可看作函数f′(x)在x＝x0处的函数值．
即时检测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数在一点处的导数f′(x0)是一个常数．( )
(2)函数f(x)＝0没有导数．( )
(3)“直线l与曲线C相切”是“直线l与曲线C有一个交点”的必要不充分条件．( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
2．如图，
直线l是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线，则f′(4)＝( )
A． B．3
C．4 D．5
解析：选A.根据导数的几何意义知f′(4)是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线的斜率k，注意到k＝＝，所以f′(4)＝.
3．已知y＝，则y′＝________．
解析：因为Δy＝－，所以＝，
所以 ＝ ＝ ＝ ＝，即y′＝ .
答案：
4．曲线y＝－2x2＋x在点(1，－1)处的切线方程为____________．
解析：因为切线的斜率k＝ ＝
＝ (－3－2Δx)＝－3，
所以切线方程为y＋1＝－3(x－1)，即3x＋y－2＝0.
答案：3x＋y－2＝0
二、精讲点拨 归纳提升（20分钟）
探究点1 求切线方程
什么是“以直代曲”思想？
探究感悟：用曲线上某点处的切线近似代替这一点附近的曲线，这就是“以直代曲”思想．
角度一 曲线在某点处的切线方程
例 已知曲线C：y＝f(x)＝x3＋x.
(1)求曲线C在点(1，2)处切线的方程；
(2)设曲线C上任意一点处切线的倾斜角为α，求α的取值范围．
【解】 因为＝＝3x2＋3x·Δx＋1＋(Δx)2，
所以f′(x)＝ ＝[3x2＋3x·Δx＋1＋(Δx)2]＝3x2＋1.
(1)曲线C在点(1，2)处切线的斜率为k＝f′(1)＝3×12＋1＝4.
所以曲线C在点(1，2)处的切线方程为
y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0.
(2)曲线C在任意一点处切线的斜率为k＝f′(x)＝tan α，
所以tan α＝3x2＋1≥1.
又α∈[0，π)，
所以α∈.
归纳总结
求曲线在某点处的切线方程的步骤
角度二 曲线过某点的切线方程
例 (2021·湖北武汉高二检测)已知曲线y＝f(x)＝2x2－7，求曲线过点P(3，9)的切线方程．
【解】 设所求切线与曲线y＝2x2－7相切于点A(x0，y0).由题意，得f′(x0)＝
＝ eq \f(2（x0＋Δx）2－7－（2x－7）,Δx)
＝(4x0＋2Δx)＝4x0.
故所求切线方程为y－y0＝4x0(x－x0).
将点P(3，9)的坐标及y0＝2x－7代入上式，得9－(2x－7)＝4x0(3－x0)，解得x0＝2或x0＝4，
所以切点为(2，1)或(4，25).
从而所求切线方程为y－1＝8(x－2)或y－25＝16(x－4)，即y＝8x－15或y＝16x－39.
归纳总结
求曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线方程的步骤
(1)设切点为A(xA，f(xA))，求切线的斜率k＝f′(xA)，写出切线方程(含参数).
(2)把点P(x0，y0)的坐标代入切线方程，建立关于xA的方程，解得xA的值，进而求出切线方程．
即使检测
1．(2021·重庆江津中学高二段考)设f(x)存在导函数且满足 ＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为( )
A．－1 B．－2
C．1 D．2
解析：选A.因为f(x)为可导函数，且满足 ＝－1，即f′(1)＝－1，所以y＝f(x) 在点(1，f(1))处的切线的斜率为f′(1)＝－1.
2．曲线y＝x2＋1在点P(2，5)处的切线与y轴交点的纵坐标是________．
解析：因为y′|x＝2＝
＝＝(4＋Δx)＝4，
所以k＝y′|x＝2＝4.
所以曲线y＝x2＋1在点P(2，5)处的切线方程为
y－5＝4(x－2)，即y＝4x－3.
所以切线与y轴交点的纵坐标是－3.
答案：－3
3．求抛物线f(x)＝x2过点的切线方程．
解：由于点不在抛物线上，所以可设切点为(x0，x).
因为f′(x0)＝
＝ eq \f(（x0＋Δx）2－x,Δx) ＝ (2x0＋Δx)＝2x0，
所以该切线的斜率为2x0.
又因为此切线过点和点(x0，x)，
所以 eq \f(x－6,x0－\f(5,2)) ＝2x0，
即x－5x0＋6＝0，解得x0＝2或x0＝3.
因此切点为(2，4)或(3，9)，
所以切线方程分别为y－4＝4(x－2)或y－9＝6(x－3)，即4x－y－4＝0或6x－y－9＝0.
探究点2 求切点坐标
例 过曲线y＝x2上某点P的切线满足下列条件，分别求出P点．
(1)平行于直线y＝4x－5；
(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；
(3)与x轴成135°的倾斜角．
【解】 f′(x)＝
＝ ＝2x，
设P(x0，y0)是满足条件的点．
(1)因为切线与直线y＝4x－5平行，
所以2x0＝4，所以x0＝2，y0＝4，
即P(2，4)是满足条件的点．
(2)因为切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，
所以2x0·＝－1，
解得x0＝－，y0＝，
即P是满足条件的点．
(3)因为切线与x轴成135°的倾斜角，
所以其斜率为－1，即2x0＝－1，
解得x0＝－，y0＝，
即P是满足条件的点．
归纳总结
求满足某条件的曲线的切点坐标的步骤
(1)先设切点坐标(x0，y0).
(2)求导函数f′(x).
(3)求切线的斜率f′(x0).
(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0.
(5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0，得切点坐标．
即时检测
1．已知曲线y＝的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A.因为y′＝＝x＝，
所以x＝1，所以切点的横坐标为1.
2．已知曲线f(x)＝x2＋6在点P处的切线平行于直线4x－y－3＝0，则点P的坐标为________．
解析：设切点P的坐标为(x0，y0).
f′(x)＝
＝
＝(2x＋Δx)＝2x.
所以曲线f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率为2x0.
因为切线与直线4x－y－3＝0平行，
所以2x0＝4，x0＝2，y0＝x＋6＝10，
即切点坐标为(2，10).
答案：(2，10)
探究点3 利用图象理解导数的几何意义
[问题探究]
导数值的大小和曲线的升降有什么关系？
探究感悟：根据“以直代曲”思想，导数绝对值的大小反映了曲线上升或下降的快慢．
例 (1)已知函数f(x)的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是( )
A.0＜f′(2)＜f′(3)＜f(3)－f(2)
B．0＜f′(2)＜f(3)－f(2)＜f′(3)
C．0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2)
D．0＜f(3)－f(2)＜f′(2)＜f′(3)
(2)(2021·甘肃会宁一中高二期末)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是( )
【解析】 (1)kAB＝＝f(3)－f(2)，
f′(2)为函数f(x)的图象在点B(2，f(2))处的切线的斜率，
f′(3)为函数f(x)的图象在点A(3，f(3))处的切线的斜率，
根据图象可知0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2).
(2)由y＝f(x)图象结合“以直代曲”可知函数f(x)从左到右依次上升、下降、上升、下降，对应f′(x)的符号是正、负、正、负，对照各选项，选A.
【答案】 (1)C (2)A
归纳总结
导数与函数图象升降的关系
若函数y＝f(x)在x＝x0处的导数存在且f′(x0)＞0(即切线的斜率大于零)，则函数y＝f(x)在x＝x0附近的图象是上升的；若f′(x0)＜0(即切线的斜率小于零)，则函数y＝f(x)在x＝x0附近的图象是下降的．导数绝对值的大小反映了曲线上升或下降的快慢．
即时检测
若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是( )
解析：选A.依题意，y＝f′(x)在[a，b]上是增函数，则在函数f(x)的图象上，各点的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项的图象，只有A满足．
三、定时训练 反馈补偿（10分钟）
1．曲线f(x)＝在点(3，3)处的切线的倾斜角等于( )
A．45° B．60°
C．135° D．120°
解析：选C.f′(x)＝ ＝9 ＝－9＝－，所以f′(3)＝－1.又切线的倾斜角的范围为[0°，180°)，所以所求倾斜角为135°.
2．(多选)下面说法不正确的是( )
A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线
B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在
C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在
D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0) 有可能存在
解析：选ABD.根据导数的几何意义及切线的定义知，曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故A，B，D错误．
3．抛物线y＝ax2在点Q(2，1)处的切线方程为x－y－1＝0，则a的值为________．
解析： ＝4a＝1，
所以a＝.
答案：
4．已知函数f(x)＝x3＋，则曲线y＝f(x)过点P(2，4)的切线方程为________________．
解析：f′(x)＝
＝ ＝x2，设切点为M(x0，f(x0))，则曲线的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).因为点P在切线上，所以4－f(x0)＝f′(x0)(2－x0)，即4－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x＋\f(4,3))) ＝x(2－x0)，整理可得x－3x＋4＝0，即(x＋1)－3(x－1)＝0，即(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，所以有两条切线，其方程分别是y－f(－1)＝f′(－1)(x＋1)，即x－y＋2＝0；y－f(2)＝f′(2)(x－2)，即4x－y－4＝0.
综上，过点P(2，4)的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.
答案：x－y＋2＝0或4x－y－4＝0
四、作业
1.整理课堂笔记
2.完成课后练习
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5．1 导数的概念及其意义
第2课时 导数的几何意义
学习指导 核心素养
1.理解导数的几何意义并会求曲线在某点处的切线方程．2．理解导函数的定义，会用定义法求简单函数的导函数． 1.直观想象：导数的几何意义，曲线的切线．2．数学运算：导数的计算．
一、自主学习 合作探究（10分钟）
1．导数的几何意义
(1)切线的定义
如图，在曲线y＝f(x)上任取一点P(x，f(x))，如果当点P(x，f(x)) 沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0(x0，f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y＝f(x)在点P0处的切线．
(2)导数的几何意义
记Δx＝x－x0，当点P沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0时，即当Δx→0时，k无限趋近于函数y＝f(x)在x＝x0处的导数．因此，函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k0＝ ＝f′(x0)．这就是导数的几何意义．
2．导函数的概念
从求函数y＝f(x)在x＝x0处导数的过程可以看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数).y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝_．
变式思考
1．曲线的切线是否一定和曲线只有一个交点？
提示：曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以有无穷多个．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．
2．f′(x0)和f′(x)有何关系？
提示：f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，是一个数值，f′(x)是一个函数；f′(x0)可看作函数f′(x)在x＝x0处的函数值．
即时检测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数在一点处的导数f′(x0)是一个常数．( )
(2)函数f(x)＝0没有导数．( )
(3)“直线l与曲线C相切”是“直线l与曲线C有一个交点”的必要不充分条件．( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
2．如图，
直线l是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线，则f′(4)＝( )
A． B．3
C．4 D．5
解析：选A.根据导数的几何意义知f′(4)是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线的斜率k，注意到k＝＝，所以f′(4)＝.
3．已知y＝，则y′＝________．
解析：因为Δy＝－，所以＝，
所以 ＝ ＝ ＝ ＝，即y′＝ .
答案：
4．曲线y＝－2x2＋x在点(1，－1)处的切线方程为____________．
解析：因为切线的斜率k＝ ＝
＝ (－3－2Δx)＝－3，
所以切线方程为y＋1＝－3(x－1)，即3x＋y－2＝0.
答案：3x＋y－2＝0
二、精讲点拨 归纳提升（20分钟）
探究点1 求切线方程
什么是“以直代曲”思想？
探究感悟：用曲线上某点处的切线近似代替这一点附近的曲线，这就是“以直代曲”思想．
角度一 曲线在某点处的切线方程
例 已知曲线C：y＝f(x)＝x3＋x.
(1)求曲线C在点(1，2)处切线的方程；
(2)设曲线C上任意一点处切线的倾斜角为α，求α的取值范围．
【解】 因为＝＝3x2＋3x·Δx＋1＋(Δx)2，
所以f′(x)＝ ＝[3x2＋3x·Δx＋1＋(Δx)2]＝3x2＋1.
(1)曲线C在点(1，2)处切线的斜率为k＝f′(1)＝3×12＋1＝4.
所以曲线C在点(1，2)处的切线方程为
y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0.
(2)曲线C在任意一点处切线的斜率为k＝f′(x)＝tan α，
所以tan α＝3x2＋1≥1.
又α∈[0，π)，
所以α∈.
归纳总结
求曲线在某点处的切线方程的步骤
角度二 曲线过某点的切线方程
例 (2021·湖北武汉高二检测)已知曲线y＝f(x)＝2x2－7，求曲线过点P(3，9)的切线方程．
【解】 设所求切线与曲线y＝2x2－7相切于点A(x0，y0).由题意，得f′(x0)＝
＝ eq \f(2（x0＋Δx）2－7－（2x－7）,Δx)
＝(4x0＋2Δx)＝4x0.
故所求切线方程为y－y0＝4x0(x－x0).
将点P(3，9)的坐标及y0＝2x－7代入上式，得9－(2x－7)＝4x0(3－x0)，解得x0＝2或x0＝4，
所以切点为(2，1)或(4，25).
从而所求切线方程为y－1＝8(x－2)或y－25＝16(x－4)，即y＝8x－15或y＝16x－39.
归纳总结
求曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线方程的步骤
(1)设切点为A(xA，f(xA))，求切线的斜率k＝f′(xA)，写出切线方程(含参数).
(2)把点P(x0，y0)的坐标代入切线方程，建立关于xA的方程，解得xA的值，进而求出切线方程．
即使检测
1．(2021·重庆江津中学高二段考)设f(x)存在导函数且满足 ＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为( )
A．－1 B．－2
C．1 D．2
解析：选A.因为f(x)为可导函数，且满足 ＝－1，即f′(1)＝－1，所以y＝f(x) 在点(1，f(1))处的切线的斜率为f′(1)＝－1.
2．曲线y＝x2＋1在点P(2，5)处的切线与y轴交点的纵坐标是________．
解析：因为y′|x＝2＝
＝＝(4＋Δx)＝4，
所以k＝y′|x＝2＝4.
所以曲线y＝x2＋1在点P(2，5)处的切线方程为
y－5＝4(x－2)，即y＝4x－3.
所以切线与y轴交点的纵坐标是－3.
答案：－3
3．求抛物线f(x)＝x2过点的切线方程．
解：由于点不在抛物线上，所以可设切点为(x0，x).
因为f′(x0)＝
＝ eq \f(（x0＋Δx）2－x,Δx) ＝ (2x0＋Δx)＝2x0，
所以该切线的斜率为2x0.
又因为此切线过点和点(x0，x)，
所以 eq \f(x－6,x0－\f(5,2)) ＝2x0，
即x－5x0＋6＝0，解得x0＝2或x0＝3.
因此切点为(2，4)或(3，9)，
所以切线方程分别为y－4＝4(x－2)或y－9＝6(x－3)，即4x－y－4＝0或6x－y－9＝0.
探究点2 求切点坐标
例 过曲线y＝x2上某点P的切线满足下列条件，分别求出P点．
(1)平行于直线y＝4x－5；
(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；
(3)与x轴成135°的倾斜角．
【解】 f′(x)＝
＝ ＝2x，
设P(x0，y0)是满足条件的点．
(1)因为切线与直线y＝4x－5平行，
所以2x0＝4，所以x0＝2，y0＝4，
即P(2，4)是满足条件的点．
(2)因为切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，
所以2x0·＝－1，
解得x0＝－，y0＝，
即P是满足条件的点．
(3)因为切线与x轴成135°的倾斜角，
所以其斜率为－1，即2x0＝－1，
解得x0＝－，y0＝，
即P是满足条件的点．
归纳总结
求满足某条件的曲线的切点坐标的步骤
(1)先设切点坐标(x0，y0).
(2)求导函数f′(x).
(3)求切线的斜率f′(x0).
(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0.
(5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0，得切点坐标．
即时检测
1．已知曲线y＝的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A.因为y′＝＝x＝，
所以x＝1，所以切点的横坐标为1.
2．已知曲线f(x)＝x2＋6在点P处的切线平行于直线4x－y－3＝0，则点P的坐标为________．
解析：设切点P的坐标为(x0，y0).
f′(x)＝
＝
＝(2x＋Δx)＝2x.
所以曲线f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率为2x0.
因为切线与直线4x－y－3＝0平行，
所以2x0＝4，x0＝2，y0＝x＋6＝10，
即切点坐标为(2，10).
答案：(2，10)
探究点3 利用图象理解导数的几何意义
[问题探究]
导数值的大小和曲线的升降有什么关系？
探究感悟：根据“以直代曲”思想，导数绝对值的大小反映了曲线上升或下降的快慢．
例 (1)已知函数f(x)的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是( )
A.0＜f′(2)＜f′(3)＜f(3)－f(2)
B．0＜f′(2)＜f(3)－f(2)＜f′(3)
C．0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2)
D．0＜f(3)－f(2)＜f′(2)＜f′(3)
(2)(2021·甘肃会宁一中高二期末)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是( )
【解析】 (1)kAB＝＝f(3)－f(2)，
f′(2)为函数f(x)的图象在点B(2，f(2))处的切线的斜率，
f′(3)为函数f(x)的图象在点A(3，f(3))处的切线的斜率，
根据图象可知0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2).
(2)由y＝f(x)图象结合“以直代曲”可知函数f(x)从左到右依次上升、下降、上升、下降，对应f′(x)的符号是正、负、正、负，对照各选项，选A.
【答案】 (1)C (2)A
归纳总结
导数与函数图象升降的关系
若函数y＝f(x)在x＝x0处的导数存在且f′(x0)＞0(即切线的斜率大于零)，则函数y＝f(x)在x＝x0附近的图象是上升的；若f′(x0)＜0(即切线的斜率小于零)，则函数y＝f(x)在x＝x0附近的图象是下降的．导数绝对值的大小反映了曲线上升或下降的快慢．
即时检测
若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是( )
解析：选A.依题意，y＝f′(x)在[a，b]上是增函数，则在函数f(x)的图象上，各点的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项的图象，只有A满足．
三、定时训练 反馈补偿（10分钟）
1．曲线f(x)＝在点(3，3)处的切线的倾斜角等于( )
A．45° B．60°
C．135° D．120°
解析：选C.f′(x)＝ ＝9 ＝－9＝－，所以f′(3)＝－1.又切线的倾斜角的范围为[0°，180°)，所以所求倾斜角为135°.
2．(多选)下面说法不正确的是( )
A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线
B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在
C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在
D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0) 有可能存在
解析：选ABD.根据导数的几何意义及切线的定义知，曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故A，B，D错误．
3．抛物线y＝ax2在点Q(2，1)处的切线方程为x－y－1＝0，则a的值为________．
解析： ＝4a＝1，
所以a＝.
答案：
4．已知函数f(x)＝x3＋，则曲线y＝f(x)过点P(2，4)的切线方程为________________．
解析：f′(x)＝
＝ ＝x2，设切点为M(x0，f(x0))，则曲线的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).因为点P在切线上，所以4－f(x0)＝f′(x0)(2－x0)，即4－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x＋\f(4,3))) ＝x(2－x0)，整理可得x－3x＋4＝0，即(x＋1)－3(x－1)＝0，即(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，所以有两条切线，其方程分别是y－f(－1)＝f′(－1)(x＋1)，即x－y＋2＝0；y－f(2)＝f′(2)(x－2)，即4x－y－4＝0.
综上，过点P(2，4)的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.
答案：x－y＋2＝0或4x－y－4＝0
四、作业
1.整理课堂笔记
2.完成课后练习
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