【教案】人教A版 选择性必修二 5.2　5.2.1　基本初等函数的导数

中小学教育资源及组卷应用平台
5．2　导数的运算
5．2.1　基本初等函数的导数
学习指导 核心素养
1.通过对六个简单的常用函数的求导，体会导数求解的一般方法以及特殊到一般的思想．2．掌握基本初等函数的导数公式． 1.数学运算：求简单函数的导数．2．直观想象：利用导数求曲线的切线．
一、自主学习 合作探究（10分钟）
1．几个常用函数的导数
原函数 导函数
f(x)＝c f′(x)＝0
f(x)＝x f′(x)＝1
f(x)＝x2 f′(x)＝2x
f(x)＝x3 f′(x)＝3x2
f(x)＝ f′(x)＝－
f(x)＝ f′(x)＝
2.基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝ax_ln_a
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝
f(x)＝ln x f′(x)＝
变式思考
1．常数函数y＝f(x)＝c的导数的几何意义是什么？
提示：常数函数y＝f(x)＝c的导数为0，其几何意义为函数y＝f(x)＝c的图象在任意点处的切线均垂直于y轴，斜率为0.
2．根据导数公式(ax)′＝ax ln a(a>0，且a≠1)，得到(22x)′＝22xln 2对吗？
提示：不对．应用基本初等函数的导数公式要把握函数的结构特征．y＝22x可化为y＝4x的形式再利用公式(4x)′＝4x·ln 4＝2·22x·ln 2.
即时检测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)因为(ln x)′＝，所以′＝ln x．(　　)
(2)若f′(x)＝sin x，则f(x)＝cos x．(　　)
(3)若f(x)＝，则f′(x)＝－.(　　)
(4)若f(x)＝5x，则f′(x)＝5xlog5e.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．下列结论正确的是(　　)
A．若y＝2，则y′＝2　　　 B．若y＝，则y′＝
C．若y＝x2，则y′＝x D．若y＝x，则y′＝1
答案：D
3．曲线y＝sin x在x＝0处的切线的倾斜角是(　　)
A．　　　　　　　　　 B．
C． D．
解析：选D.由题意知，y′＝cos x，所以y′|x＝0＝cos 0＝1.设此切线的倾斜角为α，则tan α＝1.因为α∈[0，π)，所以α＝.
4．已知f(x)＝2x，则f′＝________．
解析：因为f(x)＝2x，所以f′(x)＝2x ln 2，
所以f′＝f′(log2e)＝2log2eln 2＝eln 2.
答案：eln 2
二、精讲点拨 归纳提升（20分钟）
探究点1　利用导数公式求函数的导数
例 求下列函数的导数．
(1)y＝2 022；(2)y＝；
(3)y＝3x；(4)y＝log3x.
【解】　(1)因为y＝2 022，
所以y′＝0.
(2)因为y＝＝x，
所以y′＝－x－1＝－x.
(3)因为y＝3x，所以y′＝3x ln 3.
(4)因为y＝log3x，
所以y′＝.
归纳总结
用导数公式求函数导数的方法
(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用导数公式求解．
(2)对于不能直接利用导数公式的类型，关键是合理转化函数的关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式，如y＝可以写成y＝x－4，y＝可以写成y＝x等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误．　
即时检测
1．已知函数f(x)＝sin x，其导函数为f′(x)，则f′＝(　　)
A．－　　　　　　　 B．
C． D．－
解析：选C.因为f(x)＝sin x，所以f′(x)＝cos x，
所以f′＝cos ＝.
2．(2021·湖北十堰东风高级中学高二阶段检测)已知函数f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，若f′(1)＝1，则a＝(　　)
A．e B．
C． D．
解析：选A.因为f′(x)＝，f′(1)＝1，所以ln a＝1，所以a＝e.
3．已知函数f(x)＝若f′(a)＝12，则实数a的值为________．
解析：f′(x)＝
若f′(a)＝12，则或
解得a＝或a＝－2.
答案：或－2
探究点2　利用导数研究曲线的切线方程
应用导数公式求切线方程的关键点是什么？
探究感悟：确定切点，求切线的斜率(函数在切点处的导数).
例 已知曲线y＝ln x，点P(e，1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程．
【解】　因为y′＝，所以k＝y′|x＝e＝，
所以切线方程为y－1＝(x－e)，
即x－ey＝0.
拓展探究
求曲线y＝ln x的过点O(0，0)的切线方程．
解：由y＝ln x得y′＝，因为O(0，0)不在曲线y＝ln x 上，
所以设切点Q(x0，y0)，
则切线的斜率k＝.
又切线的斜率k＝＝，
所以＝，即x0＝e，
所以Q(e，1)，所以k＝，
所以切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0.
归纳总结
利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．
(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．　
即时检测
1．曲线y＝在点处的切线方程为(　　)
A．4x－4y＋2－1＝0
B．4x－4y＋1＝0
C．4x－4y＋2－＝0
D．4x＋4y－3＝0
解析：选B.由于y＝，所以y′＝，于是y′|x＝＝1，所以曲线在点处的切线的斜率等于1，切线方程为4x－4y＋1＝0.
2．设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂直，则点P处的切线方程为________．
解析：由y＝ex得y′＝ex，曲线在点(0，1)处的斜率k1＝e0＝1，设P(m，n)，y＝(x＞0)的导数为y′＝－(x＞0)，曲线y＝(x＞0)在点P处的切线斜率k2＝－(m＞0)，由题意知k1k2＝－1，所以k2＝－1，由此易得m＝1，n＝1，即点P的坐标为(1，1)，k2＝－1.所以点P处的切线方程为x＋y－2＝0.
答案：x＋y－2＝0
三、定时训练 反馈补偿（10分钟）
1．(多选)下列结论正确的是(　　)
A．若y＝ln 2，则y′＝
B．若y＝，则y′|x＝3＝－
C．若y＝2x，则y′＝2x ln 2
D．若y＝log2x，则y′＝
答案：BCD
2．已知f(x)＝x，则f′＝________．
解析：f′(x)＝x－，所以f′＝×＝.
答案：
3．已知f(x)＝ln x且f′(x0)＝ eq \f(1,x) ，则x0＝________．
解析：因为f(x)＝ln x(x>0)，
所以f′(x)＝，
所以f′(x0)＝＝ eq \f(1,x) ，
所以x0＝1.
答案：1
4．曲线y＝在点M(3，3)处的切线方程是____________．
解析：因为y′＝－，所以y′|x＝3＝－1，
所以在点(3，3)处的斜率为－1的切线方程为y－3＝－(x－3)，即x＋y－6＝0.
答案：x＋y－6＝0
四、作业
1.整理课堂笔记
2.完成课后练习
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)