【教案】人教A版 选择性必修二 5.2　5.2.2　导数的四则运算法则

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5．2　导数的运算
5．2.2　导数的四则运算法则
学习指导 核心素养
1.类比代数和向量的四则运算法则，感受导数的四则运算法则，体会导数运算是导数工具性作用的基础．2．会用导数的四则运算法则求解相关问题． 数学运算：导数的运算．
一、自主学习 合作探究（10分钟）
导数的运算法则
设两个函数分别为f(x)和g(x)
两个函数的和的导数 [f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)
两个函数的差的导数 [f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)
两个函数的乘积的导数 [f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
两个函数的商的导数 ＝(g(x)≠0)
变式思考
导数的四则运算法则均对两个函数而言，能否将法则进行推广或变形？
提示：(1)导数的加(减)法法则推广：即[u(x)±v(x)±…±w(x)]′＝u′(x)±v′(x)±…±w′(x).
(2)函数乘积的求导法则特例：当g(x)＝c时，[cf(x)]′＝cf′(x)(c为常数)；[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)(a，b为常数).
(3)函数商的导数：≠，当f(x)＝1时，＝＝－.
即时检测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)′＝ex.(　　)
(2)函数f(x)＝xex的导数是f′(x)＝ex(x＋1).(　　)
(3)[sin (－x)]′＝－cos x．(　　)
答案：(1)√　(2)√　(3)√
2．(2021·广州市第十三中学期中)函数f(x)＝x＋的导数f′(x)＝(　　)
A.1－　　　　　　　　　 B．1－
C.1＋ D．1＋
解析：选A.f′(x)＝′＝x′＋′＝1－.
3．已知函数f(x)＝cos x＋ln x，则f′(1)＝(　　)
A.1－sin 1 B．1＋sin 1
C.sin 1－1 D．－sin 1
解析：选A.因为f(x)＝cos x＋ln x，所以f′(x)＝－sin x＋，所以f′(1)＝1－sin 1.
4．若f(x)＝，则f′(x)＝________．
解析：f′(x)＝＝.
答案：
二、精讲点拨 归纳提升（20分钟）
探究点1　利用导数运算法则求函数的导数
导数的四则运算法则有何作用？应用时要注意什么？
探究感悟：结合导数公式，利用导数的四则运算法则可以求函数的导数．应用时要分析函数结构特征，紧扣法则，必要时可先对函数进行适当的恒等变形．
例 求下列函数的导数．
(1)y＝2x2＋ln x＋cos x；
(2)y＝x3ex；
(3)y＝；
(4)y＝2x·log2x－.
【解】　(1)y′＝(2x2)′＋(ln x)′＋(cos x)′＝4x＋－sin x．
(2)y′＝(x3)′ex＋x3(ex)′＝(3x2＋x3)ex.
(3)y＝＝＝cos x－sin x，
所以y′＝(cos x－sin x)′＝－sin x－cos x．
(4)y＝2x·log2x－＝2x·log2x－1－，
所以y′＝(2x)′log2x＋2x(log2x)′－1′－′
＝2x ln 2·log2x＋2x·＋
＝2x ln x＋＋.
归纳总结
对函数求导的原则和技巧
(1)先化简再求导；
(2)三角函数化切为弦、根式化为分数指数幂、分式化为负指数幂、乘积可展开；
(3)注意运算法则的使用条件．　
即时检测
1．下列求导正确的是(　　)
A.′＝1＋　　 B．′＝
C.(x2cosx)′＝－2x sin x D．(x ln x)′＝ln x＋
解析：选A.对于A选项，′＝1＋，故A选项正确．对于B选项，′＝＝，故B选项错误．对于C选项，(x2cosx)′＝2x cos x－x2sin x，故C选项错误．对于D选项，(x ln x)′＝ln x＋1，故D选项错误．
2．(2021·黑龙江鹤岗市第一中学高二期末)已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________．
解析：因为f(x)＝x2＋2xf′(1)，所以f′(x)＝2x＋2f′(1).令x＝1，得f′(1)＝2×1＋2f′(1)，解得f′(1)＝－2，所以f′(x)＝2x－4，所以f′(0)＝2×0－4＝－4.
答案：－4
探究点2　导数运算法则的综合应用
角度一　求曲线的切线
例 (1)曲线y＝－在点M处的切线的斜率为(　　)
A.－ B．
C.－ D．
(2)已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0，则a＝__________，b＝____________．
【解析】　(1)y′＝
＝，故y′|x＝＝，
所以曲线在点M处的切线的斜率为.
(2)f′(x)＝－.
由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－，且过点(1，f(1))，
故即解得
【答案】　(1)B　(2)1　1
角度二　导数在实际生活中的应用
例 (2021·江西省临川一中高二期中考试)日常生活中的饮用水通常都是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知1 t水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为c(x)＝(80＜x＜100).那么净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是____________元/t.(　　)
A.－40 B．－10
C.10 D．40
【解析】　净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数，
因为c(x)＝(80＜x＜100).
所以c′(x)＝′＝，
又因为c′(90)＝＝40，
所以净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是40元/t，故选D.
【答案】　D
归纳总结
利用运算法则求导的应用策略
(1)准确求导是应用的关键；
(2)切线问题要分清已知点是否为切点，利用导数的实际意义可用来说明实际问题．　
即时检测
1．设曲线y＝a(x－1)ex在点(1，0)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则实数a＝________．
解析：令y＝f(x)，则曲线y＝a(x－1)ex在点(1，0)处的切线的斜率为f′(1)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，
所以f′(1)＝2.
因为f(x)＝a(x－1)ex，所以f′(x)＝aex＋a(x－1)ex＝axex，所以f′(1)＝ae＝2，故a＝.
答案：
2．原油是工业的血液，它通过处理可变为各种工业原料和燃料．要从原油中提取各种原料需要将原油进行冷却和加热，如果x h时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8).计算第6 h时，原油温度的瞬时变化率为________℃/h，其意义为__________________________________________________．
解析：f′(x)＝2x－7，则f′(6)＝2×6－7＝5.在第6 h附近时，原油温度大约以5 ℃/h的速度上升．
答案：5　在第6 h附近时，原油温度大约以5 ℃/h的速度上升
三、定时训练 反馈补偿（10分钟）
1．设y＝－2ex sin x，则y′＝(　　)
A.－2ex cos x　　　　　　 B．－2ex sin x
C.2ex sin x D．－2ex(sin x＋cos x)
解析：选D.y′＝－2(ex sin x＋ex cos x)＝－2ex(sin x＋cos x).
2．(2021·西安市长安区第一中学高二期末)一物体做直线运动，其位移s与时间t的关系是s＝t2＋2t，则物体在t＝2时的瞬时速度为(　　)
A.4 B．6
C.8 D．10
解析：选B.由s＝t2＋2t得s′＝2t＋2，
当t＝2时，s′＝6，即物体在t＝2时的瞬时速度为6.
3．若函数f(x)＝f′(－1)x2－2x＋3，则f′(－1)＝(　　)
A.－1 B．0
C.1 D．2
解析：选A.因为f(x)＝f′(－1)x2－2x＋3，所以f′(x)＝f′(－1)x－2.所以f′(－1)＝f′(－1)×(－1)－2，所以f′(－1)＝－1.
4．在曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线的方程为______________．
解析：因为y′＝3x2＋6x＋6＝3(x2＋2x＋2)
＝3(x＋1)2＋3≥3，所以当x＝－1时，斜率最小，此时斜率为3，切点坐标为(－1，－14)，所以切线方程为y＋14＝3(x＋1)，即3x－y－11＝0.
答案：3x－y－11＝0
5．设曲线y＝在点处的切线与直线x＋ay＋1＝0垂直，则a＝________．
解析：因为y′＝＝，
当x＝时，y′＝＝1.
又直线x＋ay＋1＝0的斜率是－，
所以－＝－1，即a＝1.
答案：1
四、作业
1.整理课堂笔记
2.完成课后练习
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