【教案】人教A版 选择性必修二 5.2　5.2.3　简单复合函数的导数

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5．2　导数的运算
5．2.3　简单复合函数的导数
学习指导 核心素养
1.能够利用导数的运算法则推导出简单复合函数f(ax＋b)的导数，并能利用它求其他复合函数的导数．2．会用复合函数的导数求解相关问题． 1.数学抽象：复合函数的概念．2．数学运算：求复合函数的导数．
一、自主学习 合作探究（10分钟）
1．复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
2．复合函数的求导法则
一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
变式思考
1．可否通过四则运算法则求函数y＝ln (x－2)的导数？
提示：y＝ln (x－2)不是由基本初等函数通过四则运算得到的，所以不可以通过四则运算法则求导．
2．思考函数y＝cos 的结构并求导．
提示：y＝cos 由函数y＝cos u，u＝2x＋复合而成，y′x＝y′u·u′x＝－sin u·2＝－2sin .
即时检测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝2x＋5＋ln x，y＝ln (2x＋5)和y＝sin (x＋2)都是复合函数．(　　)
(2)函数y＝ln (3x＋1)是函数y＝ln u，u＝3x＋1的复合函数．(　　)
(3)函数f(x)＝sin 2x的导数为f′(x)＝cos 2x.(　　)
(4)函数f(x)＝e2x－1的导数为f′(x)＝2e2x－1.(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2．已知f(x)＝sinnx，则f′(x)＝(　　)
A．n sinn－1x　　　　　　　 B．n cosn－1x
C.cosnx D．n sinn－1x·cosx
解析：选D.由于f(x)＝sinnx，由函数y＝tn，t＝sinx复合而成，所以y′x＝y′t·t′x＝ntn－1·cos x＝n sinn－1x·cosx.
3．已知f(x)＝(3x＋5)3，则f′(x)＝________．
答案：9(3x＋5)2
4．已知f(x)＝ln (2x＋5)，则f′(1)＝____________．
解析：因为f′(x)＝·(2x＋5)′＝，
所以f′(1)＝＝.
答案：
二、精讲点拨 归纳提升（20分钟）
探究点1　求复合函数的导数
复合函数求导中最关键的步骤是什么？
探究感悟：最关键的步骤是分析复合函数的结构特征，正确选定中间变量分解复合函数，说明函数关系y＝f(u)，u＝g(x).
例 求下列函数的导数．
(1)y＝ecos x＋1；(2)y＝log2(2x＋1)；
(3)y＝2sin ；(4)y＝ .
【解】　(1)设y＝eu，u＝cos x＋1，
则y′x＝y′u·u′x＝eu·(－sin x)＝－ecos x＋1·sin x.
(2)设y＝log2u，u＝2x＋1，
则y′x＝y′u·u′x＝＝.
(3)设y＝2sin u，u＝3x－，
则y′x＝y′u·u′x＝2cos u×3＝6cos .
(4)设y＝u－，u＝1－2x，则y′x＝y′u·u′x＝(u－)′·(1－2x)′＝－u－×(－2)＝(1－2x) －.
归纳总结
(1)求复合函数导数的步骤
(2)求复合函数导数的注意点：
①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁．　
即时检测
求下列函数的导数：
(1)y＝5log2(1－x)；
(2)y＝sin .
解：(1)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，
所以y′x＝y′u·u′x＝5(log2u)′·(1－x)′
＝＝.
(2)设y＝sin u，u＝3x＋，
则y′x＝(sin u)′′＝cos u·3＝3cos .
探究点2　复合函数求导的应用
角度一　与导数运算法则的综合应用
例 求下列函数的导数：
(1)y＝；
(2)y＝x；
(3)y＝x cos sin .
【解】　(1)因为(ln 3x)′＝×(3x)′＝，
所以y′＝
＝＝.
(2)y′＝(x)′＝x′＋x()′
＝＋＝.
(3)因为y＝x cos sin
＝x(－sin 2x)cos 2x＝－x sin 4x，
所以y′＝′＝－sin 4x－cos 4x·4
＝－sin 4x－2x cos 4x.
角度二　与切线有关的综合问题
例 曲线y＝ex－1－2sin 在点(1，－1)处的切线方程为(　　)
A．x－y＝0　　　　　　　　
B．ex－y－e＋1＝0
C．ex－y－e－1＝0
D．x－y－2＝0
【解析】　因为y＝ex－1－2sin ，
所以y′＝ex－1－πcos ，当x＝1时，y′＝1，
所以曲线y＝ex－1－2sin 在点(1，－1)处的切线的斜率k＝1，所以所求切线方程为y＋1＝x－1，即x－y－2＝0.故选D.
【答案】　D
角度三　利用导数解决实际问题
例 (多选)(2021·泰州市高三上学期月考)某港口在一天24 h 内潮水的高度S(单位：m)随时间t(单位：h，0≤t≤24)的变化近似满足关系式S(t)＝3sin ，则下列说法正确的有(　　)
A．S(t)在[0，2]上的平均变化率为 m/h
B．相邻两次潮水高度最高的时间间距为24 h
C．当t＝6时，潮水的高度会达到一天中最低
D．18时潮水起落的速度为 m/h
【解析】　由题意，对于选项A，S(0)＝3sin ＝，S(2)＝3sin ＝0，所以S(t)在[0，2]上的平均变化率为＝＝－ m/h，故A选项错误；对于选项B，相邻两次潮水高度最高的时间间距为一个周期，而T＝＝24 h，故B选项正确；对于选项C，当t＝6时，S(6)＝3sin ＝－≠－3，所以潮水的高度会达到一天中最低为错误说法，即C选项错误；对于选项D，S′(t)＝3cos ·＝cos ，所以S′(18)＝cos ＝，则选项D正确．
【答案】　BD
归纳总结
复合函数求导的应用
利用导数的四则运算法则和复合函数求导法则可以快捷方便地求出一些复杂函数的导数，为导数的应用打下基础．　
归纳总结
1．曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是(　　)
A． B．2
C．3 D．0
解析：选A.设曲线y＝ln (2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行．
因为y′＝，所以y′|x＝x0＝＝2，
解得x0＝1，
所以y0＝ln (2－1)＝0，
即切点坐标为(1，0).
所以切点(1，0)到直线2x－y＋3＝0的距离为d＝＝，
即曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是.
2．(2021·四川省师大附中高三期中)若曲线f(x)＝ax－ln (x＋1) 在点(0，0)的切线方程是y＝2x，则实数a＝________．
解析：因为y＝ax－ln (x＋1)，所以y′＝a－，
因为y＝ax－ln (x＋1)在(0，0)处的切线方程为y＝2x，
所以a－＝2，解得a＝3.
答案：3
3．某个弹簧振子在振动过程中的位移y(单位：mm)与时间t(单位：s)之间的关系式为y＝18sin .求函数y在t＝3 s时的导数，并解释它的实际意义．
解：函数y＝18sin 可以看作函数y＝18sin u和u＝t－的复合函数，根据复合函数的求导法则，有
y′t＝y′u· u′t＝(18sin u)′·′
＝18cos u×＝12πcos .
当t＝3时，y′t＝12πcos ＝0.
它表示当t＝3 s时，弹簧振子振动的瞬时速度为 0 mm/s.
三、定时训练 反馈补偿（10分钟）
1．(多选)函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是(　　)
A．y＝un，u＝x2－1　　　　 B．y＝(u－1)n，u＝x2
C．y＝tn，t＝(x2－1)n D．t＝x2－1，y＝tn
答案：AD
2．若f(x)＝ex ln 2x，则f′(x)＝(　　)
A．ex ln 2x＋ B．ex ln 2x－
C．ex ln 2x＋ D．2ex·
答案：C
3．已知函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x，则f′＝(　　)
A．－2 B．2
C． D．－
解析：选A.由题意知，f′(x)＝2cos 2x－2sin 2x，
所以f′＝2cos π－2sin π＝－2.
4．已知f(x)＝ln (3x－1)，则f′(1)＝__________ .
解析：因为f′(x)＝·(3x－1)′＝，所以f′(1)＝.
答案：
5．设曲线y＝eax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝__________．
解析：由题意知y′|x＝0＝aeax|x＝0＝a＝2.
答案：2
四、作业
1.整理课堂笔记
2.完成课后练习
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