【教案】人教A版 选择性必修二 5.3　5.3.1　函数的单调性

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5．3　导数在研究函数中的应用
5．3.1　函数的单调性
学习指导 核心素养
1.通过数形结合感受导数与函数单调性的关系．2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．3．能利用导数求不超过三次的多项式函数的单调区间． 1.直观想象：导数符号和函数单调性的关系．2．数学运算、逻辑推理：研究函数的单调性．
一、自主学习 合作探究（10分钟）
1．函数的单调性与其导数的正负之间的关系
定义在区间(a，b)上的函数y＝f(x)：
f′(x)的正负 f(x)的单调性
f′(x)>0 单调递增
f′(x)<0 单调递减
2.利用导数判断函数的单调性
一般情况下，我们可以通过如下步骤判断函数y＝f(x)的单调性：
3．函数值变化快慢与导数的关系
一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：
导数的绝对值 函数值变化 函数的图象
越大 快 比较“陡峭”(向上或向下)
越小 慢 比较“平缓”(向上或向下)
变式思考
1．如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么函数f(x)有什么特性？
提示：f(x)是常数函数．
2．在某个区间内f′(x)>0是函数f(x)在此区间内单调递增的什么条件？
提示：充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，而f′(x)＝3x2≥0.
即时检测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)<0，则函数f(x)在定义域上单调递减．(　　)
(2)函数f(x)在某区间上单调递增，则一定有f′(x)>0.(　　)
(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值越大．(　　)
(4)函数y＝x3＋x的单调递增区间为(－∞，＋∞).(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A．y＝sin x　　　　　　 B．y＝xex
C．y＝x3－x D．y＝ln x－x
答案：B
3．(2021·河南开封高二期末)函数y＝＋3ln x的单调递增区间是(　　)
A．(0，1) B．
C．(1，＋∞) D．
解析：选D.函数y＝＋3ln x的定义域为(0，＋∞)，
y′＝－＋＝.
令y′＝>0，解得x>，
所以函数的单调递增区间是.
4．函数f(x)＝cos x＋x的单调递增区间是________．
解析：因为f′(x)＝－sin x＋>0，
所以f(x)在R上为增函数．
答案：(－∞，＋∞)
二、精讲点拨 归纳提升（20分钟）
探究点1　导数与函数图象的关系
如何从导数的几何意义理解函数的单调性与导数正负的关系？
探究感悟：如果f′(x)>0，即切线的斜率为正，则切线的倾斜角为锐角，曲线呈上升趋势，即函数单调递增．
如果f′(x)<0，即切线的斜率为负，则切线的倾斜角为钝角，曲线呈下降趋势，即函数单调递减．
例 已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是(　　)
【解析】　从f′(x)的图象可以看出，在区间内，导函数单调递增，在区间内，导函数单调递减，即函数f(x)的图象在内越来越陡，在内越来越平缓，由此可知，只有选项D符合．
【答案】　D
归纳总结
(1)函数的单调性与其导函数的正负之间的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)>0，则y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，则y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．
(2)函数图象变化得越快，f′(x)的绝对值越大，不是f′(x) 的值越大．　
即时检测
设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为(　　)
解析：选D.由函数的图象可知：当x<0时，函数单调递增，导数始终为正；当x>0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.
探究点2　利用导数研究函数的单调性
若函数f(x)在定义域内f′(x)>0恒成立，可否判定f(x) 是增函数？
探究感悟：不能判定．研究函数单调性要注意函数的“间断点”，如f(x)＝－，定义域为{x|x≠0}，f′(x)>0恒成立，而f(x)在整个定义域上并不是增函数．
角度一　不含参数的函数的单调性
例 (1)函数f(x)＝x3－3x的单调递减区间为(　　)
A．(－∞，1)　　　　　　　 B．(1，＋∞)
C．(－1，1) D．(－∞，＋∞)
(2)(2021·宁夏石嘴山市第三中学高三月考)若曲线f(x)＝在点(1，f(1))处的切线过点(－1，0)，则函数f(x)的单调递减区间为(　　)
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)，(－1，0)
C．(－∞，－1)∪(－1，0) D．(－∞，－1)，(－1，0)
【解析】　(1)对f(x)求导得f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，令f′(x)<0，即3(x＋1)(x－1)<0，解得－1(2)因为f(x)＝，所以f′(x)＝＝，
所以切线的斜率k＝f′(1)＝，
又曲线f(x)＝在点(1，f(1))处的切线过点(－1，0)，所以k＝＝，
所以＝，解得a＝1，
所以f(x)＝＝，f′(x)＝，
由f′(x)<0得x<0且x≠－1，
所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(－1，0).
【答案】　(1)C　(2)D
角度二　含参数的函数的单调性
例 讨论函数f(x) ＝ax2＋x－(a＋1)ln x(a≥0)的单调性．
【解】　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝ax＋1－＝.
(1)当a＝0时，f′(x)＝ .
由f′(x)＞0，得x＞1，由f′(x)＜0，得0＜x＜1.
所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
(2)当a＞0时，f′(x)＝.
因为a＞0，所以－＜0 .
由f′(x)＞0，得x＞1，由f′(x)＜0，得0＜x＜1.
所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增
综合上述，当a≥0时，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
归纳总结
(1)如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开．
(2)讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参数不等式的解集问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但要始终注意定义域对函数单调性的影响以及分类讨论的标准．　
即时检测
1．函数f(x)＝(x2＋2x)ex(x∈R)的单调递减区间为________．
解析：由f′(x)＝(x2＋4x＋2)ex<0，
即x2＋4x＋2<0，解得－2－所以f(x)＝(x2＋2x)ex的单调递减区间为(－2－，－2＋).
答案：(－2－，－2＋)
2．设函数f(x)＝ex－ax－2，求f(x)的单调区间．
解：f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.
若a≤0，则f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．
若a>0，则当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；
当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.
所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．
综上所述，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间；
当a>0时，f(x)的单调递减区间为(－∞，ln a)，
单调递增区间为(ln a，＋∞).
探究点3　已知函数的单调性求参数
“函数y＝f(x)的单调递减区间为(a，b)”与“函数y＝f(x) 在(a，b)上单调递减”是否相同？
探究感悟：不相同．前者(a，b)为不等式f′(x)≤0的解集；后者(a，b)为不等式f′(x)≤0的解集的子集．
例 (1)(2021·安徽省滁州市重点中学期中)若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间[1，4]上单调递减，在区间[6，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，5] B．[5，7]
C．[7，＋∞) D．(－∞，5]∪[7，＋∞)
(2)(2021·内蒙古高二期末)若函数f(x)＝－x2＋5x－－3ln (x－1)在[t，t＋1]上不是单调函数，则实数t的取值范围是________．
【解析】　(1)方法一：f′(x)＝x2－ax＋a－1，
依题意，得f′(x)≤0在[1，4]上恒成立，
且f′(x)≥0在[6，＋∞)上恒成立，
由f′(x)＝0得x＝1或x＝a－1，
故4≤a－1≤6，即5≤a≤7.
故所求实数a的取值范围为[5，7].
方法二：由f′(x)≤0，得x2－ax＋a－1≤0.
所以a≥＝x＋1.
因为x∈(1，4)，
所以x＋1∈(2，5)，且a≥x＋1恒成立，
所以a≥5.
由f′(x)≥0，得x2－ax＋a－1≥0.
因为x∈(6，＋∞)，
所以x－1>5，
所以a≤＝x＋1.
因为x＋1∈(7，＋∞)，
且a≤x＋1恒成立，所以a≤7.
综上，实数a的取值范围是5≤a≤7.
(2)由题意得f′(x)＝－x＋5－
＝(x>1).
令>0，
得24.
所以函数的单调递增区间为(2，4)，单调递减区间为(1，2)，(4，＋∞).
因为函数f(x)＝－x2＋5x－－3ln (x－1)在[t，t＋1]上不是单调函数，
所以或
解得t∈(1，2)或(3，4).
所以实数t的取值范围为(1，2)或(3，4).
【答案】　(1)B　(2)(1，2)或(3，4)
归纳总结
已知函数单调性求参数的两种方法
(1)分离参数法
f(x)在(a，b)上单调递增(减)等价于f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a，b)上恒成立，将参数分离后可转化为求其函数的值域问题，注意验证等号是否成立．
(2)子集法
若能较容易地求出函数的单调区间，则可利用子区间来解决．若f(x)在(a，b)上单调递增(减)，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．　
即时检测
已知函数f(x)＝2x2－ln x，若f(x)在区间(2m，m＋1)上单调递增，则m的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．[0，1)
解析：选A.因为f(x)＝2x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝4x－，
由f′(x)>0，得4x－>0，
解得x>，
所以f(x)的单调递增区间为.
由于f(x)在区间(2m，m＋1)上单调递增，
则(2m，m＋1) ，
所以
解得≤m<1.
因此，实数m的取值范围是.
三、定时训练 反馈补偿（10分钟）
1．(多选)函数f(x)＝(x－3)ex在下列区间上单调递增的是(　　)
A．(－∞，2) B．(0，3)
C．(3，4) D．(2，＋∞)
解析：选CD.因为f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，
由f′(x)>0得(x－2)ex>0，
所以x>2.
所以f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，CD符合．
2．函数y＝x2－ln x的单调递减区间为(　　)
A．(－1，1] B．(0，1]
C．[1，＋∞) D．(0，＋∞)
解析：选B.由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，
又由y′＝x－≤0，
解得0所以函数的单调递减区间为(0，1].
3．若函数y＝x3＋x2＋mx＋2是R上的单调函数，则m的范围是(　　)
A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：选D.函数y＝x3＋x2＋mx＋2是R上的单调函数，
即y′＝x2＋2x＋m≥0或y′＝x2＋2x＋m≤0(舍)在R上恒成立．
所以Δ＝4－4m≤0，
解得m≥1，故选D.
4．若f(x)＝－x2＋b ln (x＋2)在(－1，＋∞)上单调递减，则b的取值范围是________．
解析：因为f(x)在(－1，＋∞)上单调递减，
所以f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立．
因为f′(x)＝－x＋，
所以－x＋≤0
在(－1，＋∞)上恒成立，
即b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立．
设g(x)＝x(x＋2)＝(x＋1)2－1，
则当x>－1时，g(x)>－1，
所以b≤－1.
答案：(－∞，－1]
四、作业
1.整理课堂笔记
2.完成课后练习
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