【教案】人教A版 选择性必修二 5.3　5.3.2　第1课时　函数的极值

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5．3　导数在研究函数中的应用
5．3.2　函数的极值与最大(小)值
第1课时　函数的极值
学习指导 核心素养
1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观地理解函数的极值与导数的关系．2．掌握函数极值的判定及求法．3．掌握函数在某一点取得极值的条件． 1.数学抽象：函数极值的概念．2．数学运算：函数极值的求解．
一、自主学习 合作探究（10分钟）
1．极小值点与极小值
(1)特征：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0．
(2)符号：在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.
(3)结论：a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
2．极大值点与极大值
(1)特征：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0．
(2)符号：在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.
(3)结论：b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
3．极值的定义
(1)极小值点、极大值点统称为极值点．
(2)极小值和极大值统称为极值．
变式思考
怎样理解极值的概念？极值是不是最值？
提示：(1)极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值，与它附近点的函数值比较它是最大值或最小值，但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值．
(2)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个．在某一点处的极小值可能大于另一点处的极大值．
即时检测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的极大值一定大于其极小值．(　　)
(2)导数为0的点一定是极值点．(　　)
(3)函数y＝f(x)一定有极大值和极小值．(　　)
(4)若一个函数在给定的区间内存在极值，则极值点一定在区间的内部．(　　)
(5)函数的极值点是自变量的值，极值是函数值．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√
2．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为(　　)
A．1　　　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
答案：A
3．若函数f(x)＝的极大值点与极大值分别为a，b，则(　　)
A．aC．b解析：选C.因为f′(x)＝＝，
令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝2，
令f′(x)>0，解得0令f′(x)<0，解得x<0或x>2，
所以f(x)在(0，2)上单调递增，在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递减，所以x＝2为极大值点，且f(2)＝，
所以a＝2，b＝，ab＝，所以b4．函数y＝1＋3x－x3的极大值点为________，极小值点为________．
解析：y′＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)，令y′＝0，解得x1＝－1，x2＝1.当x<－1时，y′<0，函数单调递减，当－10，函数单调递增，当x>1时，y′<0，函数单调递减，所以当x＝－1时，函数有极小值．当x＝1时，函数有极大值．
答案：1　－1
二、精讲点拨 归纳提升（20分钟）
探究点1　求函数的极值(点)
函数的极值点满足什么条件？
探究感悟：(1)极值点处导数为0.
(2)极值点两侧导数异号．
角度一　不含参数的函数的极值
例 (1)设函数f(x)＝xex，则(　　)
A．x＝1为f(x)的极大值点
B．x＝1为f(x)的极小值点
C．x＝－1为f(x)的极大值点
D．x＝－1为f(x)的极小值点
(2)f(x)＝的极小值为________．
【解析】　(1)因为f(x)＝xex，
所以f′(x)＝ex＋xex＝ex(1＋x).
令f′(x)＝0，解得x＝－1.
当x<－1时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，
当x>－1时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．
所以当x＝－1时，函数f(x)取得极小值．
(2)f′(x)＝
＝.
令f′(x)＝0，解得x＝－2或x＝1.
令f′(x)<0，解得x<－2或x>1；
令f′(x)>0，解得－2所以f(x)在(－∞，－2)，(1，＋∞)上单调递减，
在(－2，1)上单调递增，
所以f(x)极小值＝f(－2)＝－.
【答案】　(1)D　(2)－
角度二　含参数的函数的极值
例 已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，当a∈R且a≠时，求函数的极值．
【解】　f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex.
令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2.
由a≠知，－2a≠a－2.
分两种情况讨论：
(1)若a>，则－2a当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：
x (－∞，－2a) －2a (－2a，a－2) a－2 (a－2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)上单调递增，
在(－2a，a－2)上单调递减．
所以函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f(－2a)，
且f(－2a)＝3ae－2a；
函数f(x)在x＝a－2处取得极小值f(a－2)，
且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.
(2)若a<，则－2a>a－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，a－2) a－2 (a－2，－2a) －2a (－2a，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)上单调递增，在(a－2，－2a)上单调递减．
所以函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2；函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.
归纳总结
函数极值和极值点的求解步骤
(1)确定函数的定义域．
(2)求方程f′(x)＝0的根．
(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．
(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况．
[注意]　解析式中含参数的函数，要就参数对f′(x)零点及零点两侧f′(x)的符号是否有影响进行分类讨论．　
即时检测
1．设函数f(x)＝＋ln x，则(　　)
A．x＝为f(x)的极大值点
B．x＝为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点
D．x＝2为f(x)的极小值点
解析：选D.函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，由f′(x)＝－＋＝＝0可得x＝2.
当0当x>2时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
故x＝2为f(x)的极小值点．
2．已知函数f(x)＝x＋＋1，a∈R，求此函数的极值．
解：函数的定义域为{x|x≠0}，f′(x)＝1－＝.
当a≤0时，显然f′(x)>0，这时函数f(x)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上均单调递增，此时函数无极值．
当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝±.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－) － (－，0) (0，) (，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － － 0 ＋
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 单调递减 极小值 单调递增
由上表可知，当x＝－时，函数取得极大值f(－)＝－2＋1.当x＝时，函数取得极小值f()＝2＋1.综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，函数f(x)在x＝－处取得极大值－2＋1，在x＝处取得极小值2＋1.
探究点2　函数极值的综合应用
从函数的角度来看，极值点附近函数变化趋势是什么？图象有何特点？
探究感悟：极大值点的函数值比附近点对应的函数值大，图象由“上升”变“下降”，该点处导数值为0，两侧的导数符号左正右负．(极小值点类似)
角度一　已知函数极值求参数
例 (1)若函数f(x)＝ax－ln x在x＝处取得极值，则实数a的值为(　　)
A．　　　　　　　　 B．
C．2 D．
(2)设a∈R，若函数y＝x＋a ln x在区间上有极值点，则a的取值范围为(　　)
A．
B．
C．∪(e，＋∞)
D．(－∞，－e)∪(－，＋∞)
(3)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＝________，b＝________．
【解析】　(1)f′(x)＝a－，
所以f′＝0，
即a－＝0，解得a＝，经验证符合题意．
(2)因为函数y＝f(x)＝x＋a ln x在区间上有极值点，所以f′(x)＝0在区间上有零点．
f′(x)＝1＋＝(x>0).
所以f′·f′(e)<0，
所以(e＋a)<0，
解得－e所以a的取值范围为.
(3)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
依题意得
即
解得或
但由于当a＝－3，b＝3时，
f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，
故f(x)在R上单调递增，不可能在x＝1处取得极值，
所以不符合题意，应舍去．
而当a＝4，b＝－11时，经检验知符合题意，
故a，b的值分别为4，－11.
【答案】　(1)A　(2)B　(3)4　－11
角度二　利用函数极值求解函数零点问题
例 已知函数f(x)＝x3－3ax－1(a≠0).若函数f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．
【解】　因为f(x)在x＝－1处取得极值且f′(x)＝3x2－3a，
所以f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，所以a＝1.
所以f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3.
由f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝1.
当x<－1时，f′(x)>0；
当－1当x>1时，f′(x)>0.
所以由f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.
作出f(x)的大致图象及直线y＝m如图所示，
因为直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合图象可知，m的取值范围是(－3，1).
拓展探究
若本例“三个不同的交点”改为“两个不同的交点”结果如何？改为“一个交点”呢？
解：由例题解析可知，当m＝－3或m＝1时，直线y＝m与y＝f(x)的图象有两个不同的交点；
当m<－3或m>1时，直线y＝m与y＝f(x)的图象只有一个交点．
归纳总结
(1)已知函数极值求参数的要点
①利用f′(x)＝0求解参数；
②验证是否满足两侧的导数值异号．
(2)解决函数零点问题的策略
根据函数的极值情况，画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数．　
即时检测
1．(2021·遵义市高三上学期第一次联考)若函数f(x)＝x3－ax2＋x－5无极值点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1，1)
B．[－1，1]
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
解析：选B.因为f(x)＝x3－ax2＋x－5，
所以f′(x)＝x2－2ax＋1，
由函数f(x)＝x3－ax2＋x－5无极值点知，f′(x)＝0至多1个实数根，所以Δ＝(－2a)2－4≤0，
解得－1≤a≤1，实数a的取值范围是[－1，1]，故选B.
2．已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝________．
解析：设f(x)＝x3－3x＋c，则f′(x)＝3x2－3，
令f′(x)＝0，得x＝±1，易知f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减．
若f(1)＝1－3＋c＝0，可得c＝2；
若f(－1)＝－1＋3＋c＝0，可得c＝－2.
答案：－2或2
三、定时训练 反馈补偿（10分钟）
1．(多选)已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则下列说法正确的是(　　)
A．函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增
B．函数f(x)在区间(－1，1)上单调递增
C．函数f(x)在x＝－处取得极大值
D．函数f(x)在x＝1处取得极小值
解析：选AD.选项A，由图象知，当x∈(1，＋∞)时，xf′(x)>0，故f′(x)>0，
所以f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，A正确．
选项B，当x∈(－1，0)时，xf′(x)>0，故f′(x)<0；
当x∈(0，1)时，xf′(x)<0，故f′(x)<0，
故f(x)在(－1，0)，(0，1)上单调递减，B不正确．
选项C，由B知f(x)在(－1，0)上单调递减，
所以x＝－不是极值点，C不正确．
选项D，由AB知D是正确的，故选AD.
2．(2021·山东临沂高二联考)函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e)上的极大值为(　　)
A．－e B．1－e
C．－1 D．0
解析：选C.f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－1，
由f′(x)＝0得x＝1.当x∈(0，1)时，f′(x)>0；当x∈(1，e)时，f′(x)<0.所以f(x)在x＝1处取得极大值f(1)＝ln 1－1＝0－1＝－1.
3．若函数f(x)＝x2ex－a恰有三个零点，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．
C．(0，4e2) D．(0，＋∞)
解析：选B.令g(x)＝x2ex，则g′(x)＝2xex＋x2ex＝xex(2＋x).令g′(x)＝0，得x＝0或x＝－2，所以g(x)在(－2，0)上单调递减，在(－∞，－2)，(0，＋∞)上单调递增，所以g(x)极大值＝g(－2)＝，g(x)极小值＝g(0)＝0.
又f(x)＝x2ex－a恰有三个零点，所以04．已知关于x的函数f(x)＝－x3＋bx2＋cx＋bc，如果函数f(x)在x＝1处取得极值－，则b＝________，c＝________．
解析：f′(x)＝－x2＋2bx＋c，
由
解得或
若b＝1，c＝－1，
则f′(x)＝－x2＋2x－1＝－(x－1)2≤0，
此时f(x)没有极值，故舍去；若b＝－1，c＝3，
则f′(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1)，
当－30，f(x)单调递增，
当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
所以当x＝1时，f(x)有极大值－.
故b＝－1，c＝3即为所求．
答案：－1　3
四、作业
1.整理课堂笔记
2.完成课后练习
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