【教案】人教A版 选择性必修二 5.3　5.3.2　第2课时　函数的最大(小)值

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5．3　导数在研究函数中的应用
5．3.2　函数的极值与最大(小)值
第2课时　函数的最大(小)值
学习指导 核心素养
1.理解函数最值的概念．2．会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次) 1.数学抽象：函数最值概念．2．数学运算：求函数最值．
一、自主学习 合作探究（10分钟）
（一）函数最值的定义
1．一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
2．对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值．
（二）求函数的最大值与最小值的步骤
函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
(1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；
(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
变式思考
函数的最值和极值有什么联系、区别？
提示：(1)函数的最大值、最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，函数的极大值、极小值是比较极值点附近的函数值得出的．
(2)函数的极值可以有多个，但函数在其定义域上的最大值、最小值最多各有一个．
(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的未必有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值．
即时检测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的最大值不一定是函数的极大值．(　　)
(2)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值一定在区间端点处取得．(　　)
(3)有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值.(　　)
(4)函数f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)在区间[a，b]上一定有最值，但不一定有极值．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2．函数y＝3x－4x3在区间[0，2]上的最大值是(　　)
A．1 B．2
C．0 D．－1
解析：选A.设f(x)＝3x－4x3，
所以f′(x)＝－12x2＋3＝3(2x＋1)(1－2x).
因为x∈[0，2]，所以当x＝时，f′(x)＝0.
又f(0)＝0，f＝1，f(2)＝－26，
所以函数y＝3x－4x3在区间[0，2]上的最大值是1.
3．(多选)如图所示，函数f(x)的导函数的图象是一条直线，则下列说法正确的是(　　)
A．函数f(x)有最大值
B．函数f(x)没有最大值
C．函数f(x)有最小值
D．函数f(x)没有最小值
解析：选BC.由导函数图象可知，函数只有一个极小值点，且函数在此处取得最小值，没有最大值．
4．(2021·湖北武汉二中高二月考)若函数f(x)＝a sin x＋sin 3x在x＝处有最值，则a＝________．
解析：因为f(x)在x＝处有最值，所以x＝是函数f(x) 的极值点．又f′(x)＝a cos x＋cos 3x，
所以f′＝a cos ＋cos π＝0，所以a＝2.
答案：2
二、精讲点拨 归纳提升（20分钟）
探究点1　求函数的最值
闭区间上的连续函数y＝f(x)是否一定有最值，最值是极值吗？
探究感悟：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，且函数的最值必在极值点或区间端点处取得，最值不一定是极值．
角度一　不含参数的最值问题
例 (1)函数f(x)＝在区间[2，4]上的最小值为(　　)
A．0 B．
C． D．
(2)函数f(x)＝ln (1＋x)－x2在[0，2]上的最大值为________，最小值为________．
【解析】　(1)f′(x)＝＝，
当x∈[2，4]时，f′(x)<0，
即函数f(x)在区间[2，4]上单调递减，故当x＝4时，
函数f(x)有最小值.
(2)f′(x)＝－x＝－.
令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝－2(舍去).
当0≤x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当1所以函数f(x)在x＝1处取得极大值f(1)＝ln 2－.
又因为f(0)＝0，f(2)＝ln 3－1>0，f(1)>f(2)，
所以函数f(x)在[0，2]上的最大值为ln 2－，最小值为0.
【答案】　(1)C　(2)ln 2－　0
角度二　含参数的最值问题
例 已知函数f(x)＝x3－ax2－a2x，求函数f(x)在[0，＋∞)上的最小值．
【解】　f′(x)＝3x2－2ax－a2＝(3x＋a)(x－a)，
令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝a.
①当a>0时，令f′(x)<0，解得0≤x0，解得x>a.所以f(x)在[0，a)上单调递减，在[a，＋∞)上单调递增．所以f(x)min＝f(a)＝－a3.
②当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)在[0，＋∞)上单调递增．
所以f(x)min＝f(0)＝0.
③当a<0时，令f′(x)<0，解得0≤x<－，令f′(x)>0，解得x>－.所以f(x)在上单调递减，
在上单调递增．
所以f(x)min＝f＝a3.
综上所述，当a>0时，f(x)的最小值为－a3；
当a＝0时，f(x)的最小值为0；
当a<0时，f(x)的最小值为a3.
拓展探究
当a>0时，求函数f(x)＝x3－ax2－a2x在[－a，2a]上的最值．
解：f′(x)＝(3x＋a)(x－a)(a>0)，
令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝a.当a>0时，－令f′(x)>0，解得x<－或x>a，令f′(x)<0，
解得－所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，在[a，2a]上单调递增．
因为f(－a)＝－a3，f＝a3，f(a)＝－a3，
f(2a)＝2a3.
所以f(x)max＝f(2a)＝2a3.
f(x)min＝f(－a)＝f(a)＝－a3.
归纳总结
求解含参函数的最大值和最小值的步骤
(1)求函数的导函数f′(x)；
(2)求方程f′(x)＝0的全部实根，同时，根据参数的范围，判断f′(x)＝0的根是否在区间[a，b]内；
(3)根据参数的取值范围，确定函数的极大值、极小值；
(4)将函数的极值与端点处的函数值进行比较，求出函数的最大值、最小值．　
即时检测
已知函数g(x)＝x ln x－a(x－1)，其中a>0，求g(x)在区间[1，e]上的最大值(其中e为自然对数的底数).
解：g(x)＝x ln x－a(x－1)，则g′(x)＝ln x＋1－a.
令g′(x)＝0，得x＝ea－1.
当ea－1≤1，即0所以g(x)的最大值为g(e)＝e＋a－ae.
当ea－1≥e，即a≥2时，
在区间[1，e]上，g′(x)≤0，g(x)单调递减，
所以g(x)的最大值为g(1)＝0.
当1即1解得1≤x令g′(x)>0，解得ea－1所以g(x)的最大值为g(e)和g(1)中的较大者．
令g(e)－g(1)＝a＋e－ae>0，解得a<.
所以当1综上所述，当0当a≥时，g(x)的最大值为g(1)＝0.
探究点2　函数最值的综合应用
角度一　由函数的最值求参数
例 (1)(2021·湖南省邵阳市模拟)已知函数f(x)＝aex－2x－2a，且a∈[1，2]，设函数f(x)在区间[0，ln 2]上的最小值为m，则m的取值范围是(　　)
A．[－2，－2ln 2]　　　　 B．
C．[－2ln 2，－1] D．
(2)(2021·天津市和平区模拟)已知函数f(x)＝3x2＋1，g(x)＝x3－9x.若函数f(x)＋g(x)在区间[k，2]上的最大值为28，则实数k的取值范围为________．
【解析】　(1)构造函数g(a)＝(ex－2)a－2x，a∈[1，2]，
当x＝ln 2时，g(a)＝－2ln 2.
当x∈[0，ln 2)时，ex－2<0，
即g(a)在[1，2]上单调递减，
所以g(a)min＝g(2)＝2(ex－2)－2x(x∈[0，ln 2)).
所以M＝g(a)min＝2(ex－2)－2x，x∈[0，ln 2].
设M(x)＝2(ex－2)－2x，x∈[0，ln 2]，
则M′(x)＝2ex－2.
因为x∈[0，ln 2]，所以M′(x)≥0，
则M(x)在[0，ln 2]上单调递增，
所以M(x)min＝M(0)＝－2，
M(x)max＝M(ln 2)＝－2ln 2，故m的取值范围是[－2，－2ln 2].
(2)f(x)＋g(x)＝x3＋3x2－9x＋1.
令F(x)＝f(x)＋g(x)，
则F′(x)＝3x2＋6x－9＝3(x＋3)(x－1)，
令F′(x)＝0，解得x1＝－3，x2＝1.
当x<－3或x>1时，F′(x)>0，F(x)单调递增；
当－3所以(－∞，－3)和(1，＋∞)为F(x)的单调递增区间，(－3，1)为F(x)的单调递减区间，
则F(－3)＝28为函数F(x)的极大值，
由于F(2)＝3，故若函数F(x)在区间[k，2]上的最大值为28，
则该区间包含极大值点x＝－3，
所以k≤－3，
即k的取值范围是(－∞，－3].
【答案】　(1)A　(2)(－∞，－3]
角度二　函数最值的实际应用
例 (2021·安徽六安一中高三月考)统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶过程中的耗油量y(单位：L/h)关于行驶速度x(单位：km/h)的解析式可以表示为y＝x3－x＋8(0(1)当汽车以40 km/h的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
【解】　(1)汽车以40 km/h的速度从甲地匀速行驶到乙地需 ＝2.5(h)，
要耗油×2.5＝17.5(L).
(2)当匀速行驶速度为x km/h时，汽车从甲地行驶到乙地需 h，设耗油h L，
依题意得h(x)＝＝－＋(0则h′(x)＝－＝(0令h′(x)＝0，得x＝80.
当x∈(0，80)时，h′(x)<0，h(x)单调递减；
当x∈(80，120]时，h′(x)>0，h(x)单调递增．
所以当x＝80时，h(x)取得极小值h(80)＝11.25.
因为h(x)在(0，120]上只有一个极小值，所以它也是最小值．
所以当汽车以80 km/h的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，为11.25 L．
归纳总结
(1)已知函数最值求参数的一般思路
利用单调性，将极值与端点处的函数值进行比较，确定函数的最值，若参数的变化影响函数的单调性，要对参数进行分类讨论．
(2)实际问题中的最值要注意函数的定义域；若函数在开区间内只有一个极值点，则该点对应函数值就是要求的最值．　
即时检测
1．(2021·安徽高二期末)某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种植量是8万斤，每种植一万斤藕，成本增加0.5万元．如果销售额函数是f(x)＝－x3＋ax2＋x(x是莲藕种植量，单位：万斤；销售额的单位：万元，a是常数)，若种植2万斤，利润是2.5万斤，则要使利润最大，每年需种植莲藕(　　)
A．8万斤 B．6万斤
C．3万斤 D．5万斤
解析：选B.设销售的利润为g(x)，由题意，得g(x)＝－x3＋ax2＋x－1－x，x∈(0，8]，即g(x)＝－x3＋ax2－1，当x＝2时，g(2)＝－1＋a－1＝，解得a＝2，故g(x)＝－x3＋x2－1，
g′(x)＝－x2＋x＝－x(x－6)，
当x∈(0，6)时， g′(x)>0，当x∈(6，8]时，g′(x)<0，
所以函数g(x)在(0，6)上单调递增，在(6，8]上单调递减，
所以当x＝6时，利润最大，故选B.
2．若函数f(x)＝3x－x3在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1，)　　　　 B．(－1，4)
C．(－1，2] D．(－1，2)
解析：选C.由f′(x)＝3－3x2＝0，得x＝±1.当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如表：
x (－∞，－1) －1 (－1，1) 1 (1，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) 单调递减 －2 单调递增 2 单调递减
由此得a2－12<－1又当x∈(1，＋∞)时，f(x)单调递减，
且当x＝2时，f(2)＝－2，所以a≤2.综上，－1三、定时训练 反馈补偿（10分钟）
1．下列结论正确的是(　　)
A．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值
B．若f(x)在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值
C．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极小值一定是在x＝a和x＝b处取得
D．若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值
解析：选D.函数f(x)在[a，b]上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而连续函数在[a，b]上一定存在最大值和最小值．
2．函数y＝x－sin x，x∈的最大值是(　　)
A．π－1 B．－1
C．π D．π＋1
解析：选C.y′＝1－cos x，当x∈时，y′>0，
则函数在区间上单调递增，
所以y的最大值为ymax＝π－sin π＝π.
3．函数f(x)＝(1－x)ex有(　　)
A．最大值1 B．最小值1
C．最大值e D．最小值e
解析：选A.f′(x)＝－ex＋(1－x)ex＝－xex，当x<0时，f′(x)>0，当x>0时，f′(x)<0，
所以f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)有最大值为f(0)＝1.故选A.
4．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高应为(　　)
A． cm B． cm
C． cm D． cm
解析：选B.设圆锥的高为h cm，00，V单调递增，当h∈时，V′<0，V单调递减．故当h＝ cm时，体积最大．
5．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2，2]上有最小值－37，则a的值为________，f(x)在[－2，2]上的最大值为________．
解析：f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2).
由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：
x －2 (－2，0) 0 (0，2) 2
f′(x) ＋ 0 － 0
f(x) －40＋a 单调递增 极大值a 单调递减 －8＋a
所以当x＝－2时，f(x)min＝－40＋a＝－37，解得a＝3.
所以当x＝0时，f(x)取得最大值3.
答案：3　3
四、作业
1.整理课堂笔记
2.完成课后练习
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