2021-2022学年鲁教版八年级数学上册《5.3三角形的中位线》同步测试题（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年鲁教版八年级数学上册《5.3三角形的中位线》同步测试题（Word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 402.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-17 21:50:46 | ||
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文档简介
2021-2022学年鲁教版八年级数学上册《5.3三角形的中位线》同步测试题（附答案）
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．如图，在等边△ABC中，D、E分别是边AB、BC的中点，DE＝2，则△ABC的周长为（ ）
A．9 B．12 C．16 D．18
2．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝5，点E，F分别是对角线AC，BD的中点，则EF的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2.5 D．3.5
3．已知点D、点E分别是△ABC的边AB、AC的中点，点G是EC的中点，连接DG并延长交BC延长线于点F．若△GCF的面积为a，则△ABC的面积为（ ）
A．5a B．6a C．7a D．8a
4．如图，在△ABC中，点D，E分别是AC、AB的中点，点F是BC延长线上一点，∠A＝35°，∠AED＝30°，则∠ACF的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．85°
5．如图，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，AB＝6，AC＝4，则四边形AEDF的周长为（ ）
A．40 B．30 C．20 D．10
6．在△ABC中，AB＝7，AC＝6，BC＝5，D、E分别是AB、AC的中点，则DE的长为（ ）
A．4 B．3.5 C．3 D．2.5
7．为了测量水池的宽AB，在水池外找一点P，点C，D分别为PA，PB的中点，测得CD＝8m，则水池的宽AB为（ ）
A．16m B．14m C．12m D．10m
8．如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点．连接DE，过点B作BF平分∠ABC，交DE于点F．若EF＝4，AD＝7，则BC的长为（ ）
A．22 B．20 C．18 D．16
9．如图，在△ABC中，点D，点E分别是AB，AC的中点，点F是DE上一点，且∠AFC＝90°，若BC＝14，AC＝10，则DF的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是各边的中点，若△ABC的面积为4cm2，则△DEF的面积是（ ）cm2．
A．0.5 B．1 C．2 D．4
11．如图，四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，若∠EPF＝130°，则∠PEF的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．50°
12．三角形的面积是60cm2，则它的三条中位线组成的三角形的面积是（ ）
A．25cm2 B．20cm2 C．15cm2 D．30cm2
二．填空题（共8小题，满分24分）
13．如图，已知在△ABC中，AB＝6．AC＝10，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE．若DE＝4，则△ABC的面积是 ．
14．如图，顺次连接△ABC三边的中点D，E，F得到的三角形面积为S1，顺次连接△CEF三边的中点M，G，H得到的三角形面积为S2，顺次连接△CGH三边的中点得到的三角形面积为S3．设△ABC的面积为S，则S1+S2+S3＝ ．
15．已知第一个三角形的周长为1，连接三边的中点构成第2个三角形，再连接第2个三角形三边中点构成第3个三角形，…，依此类推，第2022个三角形的周长是 ．
16．如图，已知E是AC的中点，C是BD的中点，那么＝ ．
17．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB＝6，BC＝10，MN＝1.5，则△ABC的周长是 ．
18．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝10，BC＝16，则EF的长是 ．
19．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是 ．
20．如图，已知E，F，G，H是四边形ABCD各边的中点，则S四边形EFGH：S四边形ABCD的值是 ．
三．解答题（共10小题，满分60分）
21．如图等边三角形ABC的边长为2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至F，使CF＝BC，连接CD和EF．
（1）求证：DE＝CF
（2）求EF的长．
22．如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．
（1）若四边形AEDF的周长为24，AB＝15，求AC的长；
（2）求证：EF垂直平分AD．
23．如图，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．当BD、AC满足什么条件时，四边形EFGH是正方形．
24．如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点．
（1）求证：四边形EGFH是菱形；
（2）若AB＝，则当∠ABC+∠DCB＝90°时，求四边形EGFH的面积．
25．如图，△ABC的中线BF、CE相交于点O，点H、G分别是BO、CO的中点，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论．
26．由四边形各边中点组成的四边形称为“中点四边形”．如图，在四边形ABCD中，已知E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA各边的中点．
（1）观察并猜想中点四边形EFGH的形状？并证明你的结论；
（2）在（1）的条件下，当对角线AC＝BD时，中点四边形EFGH的形状又是什么呢？请说明理由．
（3）直接写出：①菱形ABCD的中点四边形EFGH的形状是 ；
②对角线相等且互相垂直的四边形ABCD的中点四边形EFGH的形状是 ．
27．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．
（1）若AB＝6，CD＝8，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，求EF的长；
（2）若∠BDC﹣∠ABD＝90°，求证：AB2+CD2＝4EF2．
28．如图，在△ABC中，AB＜AC，点D、F分别为BC、AC的中点，E点在边AC上，连接DE，过点B作DE的垂线交AC于点G，垂足为点H，且△CDE与四边形ABDE的周长相等，设AC＝b，AB＝c．
（1）求线段CE的长度；
（2）求证：DF＝EF；
（3）若S△BDH＝S△EGH，求的值．
29．如图，已知AO是△ABC的∠A的平分线，BD⊥AO的延长线于D，E是BC的中点．
求证：DE＝（AB﹣AC）
30．在△ABC中，D、E分别是AB，AC的中点，作∠B的角平分线
（1）如图1，若∠B的平分线恰好经过点E，猜想△ABC是怎样的特殊三角形，并说明理由．
（2）如图2，若∠B的平分线交线段DE于点F，已知AB＝8，BC＝10，求EF的长度．
（3）若∠B的平分线交直线DE于点F，直接写出AB、BC、EF三者之间的数量关系．
参考答案
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．解：∵D、E分别是边AB、BC的中点，DE＝2，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，2DE＝AC＝4，
∵△ABC是等边三角形，
∴△ABC的周长＝3AC＝12，
故选：B．
2．解：∵取DC中点G，连结FG、EG，如图所示：
∵点E，F分别是对角线AC，BD的中点，
∴FG∥BC，EG∥AD，
∵AD∥BC，
∴EG∥BC，FG∥EG，
∴E、F、G三点共线，
∴FG是△BCD的中位线，
∴FG＝BC＝2.5，
∵AD∥BC，
∴EG∥AD，
∴EG是△ACD的中位线，
∴EG＝AD＝1，
∴EF＝FG﹣EG＝1.5．
故选：B．
3．解：连接CD．
∵点D、点E分别是△ABC的边AB，AC的中点，
∴DE∥BF，BC＝2DE，
∴∠EDG＝∠F，
∵∠DGE＝∠FGC，EG＝GC，
∴△DGE≌△FGC（AAS），
∴S△DGE＝S△GCF＝S△DGC＝a，DE＝CF，DG＝GF，
∴S△ADE＝S△DEC＝S△DCF＝2a，S△BDC＝2S△DCF＝4a，
∴S△ABC＝S△ADE+S△DEC+S△CBD＝8a，
故选：D．
4．解：∵D，E分别是AC、AB的中点，
∴DE为△ACB的中位线，
∴DE∥BC，
∴∠B＝∠AED＝30°，
∴∠ACF＝∠A+∠B＝35°+30°＝65°，
故选：B．
5．解：∵在△ABC中，E、D、F分别是AB、BC、CA的中点，
∴DE＝AF＝AC＝2，DF＝AE＝AB＝3，
∴四边形AEDF的周长是（2+3）×2＝10．
故选：D．
6．解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝2.5，
故选：D．
7．解：∵点C，D分别为PA，PB的中点，CD＝8m，
∴AB＝2CD＝2×8＝16（m），
故选：A．
8．解：∵D为边AB的中点，AD＝7，
∴BD＝AD＝7，
∵D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点．
∴DE∥BC，BC＝2DE，
∴∠DFB＝∠FBC，
∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF＝∠FBC，
∴∠DFB＝∠DBF，
∴DF＝DB＝7，
∴DE＝DF+EF＝11，
∴BC＝2DE＝22，
故选：A．
9．解：∵点D，点E分别是AB，AC的中点，BC＝14，
∴DE＝BC＝7，
在Rt△AFC中，∠AFC＝90°，点E是AC的中点，AC＝10，
∴FE＝AC＝5，
∴DF＝DE﹣FE＝7﹣5＝2，
故选：A．
10．解：∵点D、E、F分别是各边的中点，
∴EF＝AB，ED＝AC，DF＝BC，
∴＝＝＝，
∴＝（）2＝，
∵△ABC的面积为4cm2，
∴△DEF的面积是1cm2，
故选：B．
11．解：∵P、F分别是BD、CD的中点，
∴PF＝BC，
同理可得：PE＝AD，
∵AD＝BC，
∴PF＝PE，
∵∠EPF＝130°，
∴∠PEF＝∠PFE＝×（180°﹣130°）＝25°，
故选：A．
12．解：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC，即＝，
同理，＝，＝，
∴＝，
∴S△DEF＝×60＝15（cm2）．
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分24分）
13．解：∵D，E分别是AB，AC的中点，DE＝4，
∴BC＝2DE＝8，
∵AB2+BC2＝62+82＝100，AC2＝102＝100，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC为直角三角形，
∴S△ABC＝×AC×BC＝×6×8＝24，
故答案为：24．
14．解：∵D，E，F是△ABC三边的中点，
∴DF∥BC，DE∥AC，EF∥AB，
∴＝＝＝，
∵△ABC的面积为S，
∴S△ADF＝S△BDE＝S△CEF＝S，
∴S1＝S﹣S△ADF﹣S△BDE﹣S△CEF＝S﹣S﹣S﹣S＝S．
同理可得，S2＝S△CEF＝×S＝S，S3＝S△CGH＝××S＝S，
∴S1+S2+S3＝S+S+S＝S．
故答案为：S．
15．解：由三角形的中位线定理可知后一个三角形的周长等于上一个三角形的周长的一半，
∵第一个三角形的周长是1，
∴第2个三角形的周长＝，
第3个三角形的周长＝，
…，
第n个三角形的周长＝．
故答案为：．
16．解：取BF的中点G，连接CG，如图所示：
∵C是BD的中点，
∴CG是△BDF的中位线，
∴CG∥DF，CG＝DF，
∵E是AC的中点，
∴EF是△ACG的中位线，
∴EF＝CG，
∴EF＝DF，
即DF＝4EF，
∴ED＝3EF，
∴＝，
故答案为：．
17．解：延长线段BN交AC于E．
∵AN平分∠BAC，
∴∠BAN＝∠EAN，
∵BN⊥AN，
∴∠ANB＝∠ANE＝90°，
在△ABN和△AEN中，
，
∴△ABN≌△AEN（ASA），
∴AE＝AB＝6，BN＝NE，
又∵M是△ABC的边BC的中点，
∴CE＝2MN＝2×1.5＝3，
∴△ABC的周长是AB+BC+AC＝6+10+6+3＝25，
故答案为：25．
18．解：∵点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵BC＝16，
∴DE＝BC＝8．
∵∠AFB＝90°，D是AB的中点，AB＝10，
∴DF＝AB＝5，
∴EF＝DE﹣DF＝8﹣5＝3．
故答案为：3．
19．解：连接CM，
∵点D、E分别为CN，MN的中点，
∴DE＝CM，
当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，
由勾股定理得：AB＝＝＝5，
∵S△ABC＝＝，
∴CM＝，
∴DE＝＝，
故答案为：．
20．解：连接AC，BD．
因为G、F为CD、BC边中点，所以GF＝DB．
由于△CGF∽△CDB，所以
S△CGF＝S△CDB，
同理可得S△DHG＝S△CDA，S△HAE＝S△DAB，S△BEF＝S△CAB，于是
S△CGF+S△DHG+S△HAE+S△BEF＝（S△CDB+S△CDA+S△DAB+S△CAB）＝×2S四边形ABCD＝S四边形ABCD，
S四边形EFGH：S四边形ABCD＝1：2
三．解答题（共10小题，满分60分）
21．解：（1）证明：∵DE分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴，
又∵，
∴DE＝CF；
（2）∵△ABC是等边三角形，D是AB的中点，
∴，CD⊥AB，
在Rt△BDC中，BD2+CD2＝BC2，
即，
∴CD＝3，
又∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥CF，
∵DE＝CF，
∴四边形DCFE是平行四边形，
∴EF＝CD＝3．
22．（1）解：∵AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，
∴DE＝AE＝AB，DF＝AF＝AC，
∴AE+DE＝AB＝15，AF+DF＝AC，
∵四边形AEDF的周长为24，AB＝15，
∴AC＝24﹣15＝9；
（2）证明：∵DE＝AE，DF＝AF，
∴点E、F在线段AD的垂直平分线上，
∴EF垂直平分AD．
23．解：当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形EFGH是正方形．理由如下：
在△ABC中，E、F分别是边AB、BC中点，
所以EF∥AC，且EF＝AC，
同理有GH∥AC，且GH＝AC，
∴EF∥GH且EF＝GH，
故四边形EFGH是平行四边形．
EH∥BD且EH＝BD，
若AC＝BD，则有EH＝EF，
又因为四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是菱形，
∵AC⊥BD，
∴∠EHG＝90°，
即：当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形EFGH是正方形．
24．（1）证明：∵在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，
∴EG∥AB，EG＝AB，HF∥AB，HF＝AB，
∴EG∥HE，EG＝HE，
∴四边形EGFH是平行四边形．
又EH＝CD，AB＝CD，
∴EG＝EH，
∴平行四边形EGFH是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD中，G、F、H分别是BD、BC、AC的中点，
∴GF∥DC，HF∥AB．
∴∠GFB＝∠DCB，∠HFC＝∠ABC．
∴∠HFC+∠GFB＝∠ABC+∠DCB＝90°．
∴∠GFH＝90°．
∵AB＝，
∴EG＝AB＝．
∴四边形EGFH的面积＝（）2＝．
25．解：四边形EFGH的形状是平行四边形，
理由如下：
∵E、F分别是AD、BD中点，
∴EF∥AB，EF＝AB，
同理GH∥AB，GH＝AB，
∴EF＝GH，EF∥GH，
∴四边形EFGH是平行四边形．
26．解：（1）观察猜想：四边形EFGH是平行四边形．
证明：如图，连接AC、BD，
∵E、F、G、H是四边形ABCD各边中点，
∴EH＝FG＝BD，EH∥FG∥BD，
∴四边形EFGH是平行四边形；
（2）由（1）可知，同理可证EF＝HG＝AC，
∵AC＝BD，
∴EH＝EF，
∴EF＝FG＝GH＝EH，
∴四边形EFGH是菱形；
（3）①矩形；②正方形．
27．（1）解：如图，取BD的中点P，连接EP、FP．
∵E，F分别是AD、BC的中点，AB＝6，CD＝8，
∴PE∥AB，且PE＝AB＝3，PF∥CD且PF＝CD＝4．
又∵∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，
∴∠EPD＝∠ABD＝30°，∠DPF＝180°﹣∠BDC＝60°，
∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝90°，
在直角△EPF中，由勾股定理得到：EF＝＝＝5，
即EF＝5；
（2）证明：如图，取BD的中点P，连接EP、FP．
∵E，F分别是AD、BC的中点，
∴PE∥AB，且PE＝AB，PF∥CD且PF＝CD．
∴∠EPD＝∠ABD，∠BPF＝∠BDC，
∴∠DPF＝180°﹣∠BPF＝180°﹣∠BDC，
∵∠BDC﹣∠ABD＝90°，
∴∠BDC＝90°+∠ABD，
∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝∠ABD+180°﹣∠BDC＝∠ABD+180°﹣（90°+∠ABD）＝90°，
∴PE2+PF2＝（AB）2+（CD）2＝EF2，
∴AB2+CD2＝4EF2．
28．（1）解：∵点D为BC的中点，
∴BD＝CD，
∵△CDE与四边形ABDE的周长相等，
∴CD+DE+CE＝AB+BD+DE+AE，
∴CE＝AB+AE＝AB+（AC﹣EC），
∴2CE＝AC+AB＝b+c，
∴CE＝（b+c）；
（2）证明：∵点D、F分别为BC、AC的中点，
∴DF是△CAB的中位线，
∴DF＝AB＝c，AF＝AC＝b，
由（1）知：CE＝（b+c），
∴AE＝b﹣CE＝b﹣（b+c）＝（b﹣c），
∴EF＝AF﹣AE＝b﹣（b﹣c）＝c，
∴DF＝EF；
（3）解：连接BE、DG，如图所示：
∵S△BDH＝S△EGH，
∴S△BDG＝S△DEG，
∴BE∥DG，
∵DF是△CAB的中位线，
∴DF∥AB，＝，
∴FG＝AE＝×（b﹣c）＝（b﹣c），
过点A作AP⊥BG于P，
∵DF∥AB，
∴∠DFC＝∠BAC，
∵∠DFC＝∠DEF+∠EDF，EF＝DF，
∴∠DEF＝∠EDF，
∴∠BAP+∠PAC＝2∠DEF，
∵ED⊥BG，AP⊥BG，
∴DE∥AP，
∴∠PAC＝∠DEF，
∴∠BAP＝∠DEF＝∠PAC，
∵AP⊥BG，
∴AB＝AG＝c，
∴CG＝b﹣c，
∴CF＝b＝FG+CG＝（b﹣c）+（b﹣c），
∴3b＝5c，
∴＝．
29．证明：延长AC、BD交于点F，
∵在△ABD和△AFD中，
，
∴△ABD≌△AFD（ASA），
∴AB＝AF，BD＝DF，
又∵E是BC的中点，即ED是△BCF中位线，
∴DE＝CF＝（AB﹣AC）．
30．解：（1）∵D、E分别是AB，AC的中点，
∴DE＝BC，DE∥BC，
∴∠DEB＝∠EBC，
∵BE是∠B的角平分线，
∴∠DBE＝∠EBC，
∴∠DEB＝∠DBE，
∴DE＝DB＝AB，
∴AB＝BC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）由（1）得，DE＝BC＝5，DF＝AB＝4，
∴EF＝DE﹣DF＝1；
（3）当点F在线段DE上时，由（2）得，EF＝（BC﹣AB）；
当点F在线段DE的延长线上时，EF＝（AB﹣BC）．
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．如图，在等边△ABC中，D、E分别是边AB、BC的中点，DE＝2，则△ABC的周长为（ ）
A．9 B．12 C．16 D．18
2．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝5，点E，F分别是对角线AC，BD的中点，则EF的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2.5 D．3.5
3．已知点D、点E分别是△ABC的边AB、AC的中点，点G是EC的中点，连接DG并延长交BC延长线于点F．若△GCF的面积为a，则△ABC的面积为（ ）
A．5a B．6a C．7a D．8a
4．如图，在△ABC中，点D，E分别是AC、AB的中点，点F是BC延长线上一点，∠A＝35°，∠AED＝30°，则∠ACF的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．85°
5．如图，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，AB＝6，AC＝4，则四边形AEDF的周长为（ ）
A．40 B．30 C．20 D．10
6．在△ABC中，AB＝7，AC＝6，BC＝5，D、E分别是AB、AC的中点，则DE的长为（ ）
A．4 B．3.5 C．3 D．2.5
7．为了测量水池的宽AB，在水池外找一点P，点C，D分别为PA，PB的中点，测得CD＝8m，则水池的宽AB为（ ）
A．16m B．14m C．12m D．10m
8．如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点．连接DE，过点B作BF平分∠ABC，交DE于点F．若EF＝4，AD＝7，则BC的长为（ ）
A．22 B．20 C．18 D．16
9．如图，在△ABC中，点D，点E分别是AB，AC的中点，点F是DE上一点，且∠AFC＝90°，若BC＝14，AC＝10，则DF的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是各边的中点，若△ABC的面积为4cm2，则△DEF的面积是（ ）cm2．
A．0.5 B．1 C．2 D．4
11．如图，四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，若∠EPF＝130°，则∠PEF的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．50°
12．三角形的面积是60cm2，则它的三条中位线组成的三角形的面积是（ ）
A．25cm2 B．20cm2 C．15cm2 D．30cm2
二．填空题（共8小题，满分24分）
13．如图，已知在△ABC中，AB＝6．AC＝10，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE．若DE＝4，则△ABC的面积是 ．
14．如图，顺次连接△ABC三边的中点D，E，F得到的三角形面积为S1，顺次连接△CEF三边的中点M，G，H得到的三角形面积为S2，顺次连接△CGH三边的中点得到的三角形面积为S3．设△ABC的面积为S，则S1+S2+S3＝ ．
15．已知第一个三角形的周长为1，连接三边的中点构成第2个三角形，再连接第2个三角形三边中点构成第3个三角形，…，依此类推，第2022个三角形的周长是 ．
16．如图，已知E是AC的中点，C是BD的中点，那么＝ ．
17．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB＝6，BC＝10，MN＝1.5，则△ABC的周长是 ．
18．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝10，BC＝16，则EF的长是 ．
19．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是 ．
20．如图，已知E，F，G，H是四边形ABCD各边的中点，则S四边形EFGH：S四边形ABCD的值是 ．
三．解答题（共10小题，满分60分）
21．如图等边三角形ABC的边长为2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至F，使CF＝BC，连接CD和EF．
（1）求证：DE＝CF
（2）求EF的长．
22．如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．
（1）若四边形AEDF的周长为24，AB＝15，求AC的长；
（2）求证：EF垂直平分AD．
23．如图，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．当BD、AC满足什么条件时，四边形EFGH是正方形．
24．如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点．
（1）求证：四边形EGFH是菱形；
（2）若AB＝，则当∠ABC+∠DCB＝90°时，求四边形EGFH的面积．
25．如图，△ABC的中线BF、CE相交于点O，点H、G分别是BO、CO的中点，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论．
26．由四边形各边中点组成的四边形称为“中点四边形”．如图，在四边形ABCD中，已知E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA各边的中点．
（1）观察并猜想中点四边形EFGH的形状？并证明你的结论；
（2）在（1）的条件下，当对角线AC＝BD时，中点四边形EFGH的形状又是什么呢？请说明理由．
（3）直接写出：①菱形ABCD的中点四边形EFGH的形状是 ；
②对角线相等且互相垂直的四边形ABCD的中点四边形EFGH的形状是 ．
27．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．
（1）若AB＝6，CD＝8，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，求EF的长；
（2）若∠BDC﹣∠ABD＝90°，求证：AB2+CD2＝4EF2．
28．如图，在△ABC中，AB＜AC，点D、F分别为BC、AC的中点，E点在边AC上，连接DE，过点B作DE的垂线交AC于点G，垂足为点H，且△CDE与四边形ABDE的周长相等，设AC＝b，AB＝c．
（1）求线段CE的长度；
（2）求证：DF＝EF；
（3）若S△BDH＝S△EGH，求的值．
29．如图，已知AO是△ABC的∠A的平分线，BD⊥AO的延长线于D，E是BC的中点．
求证：DE＝（AB﹣AC）
30．在△ABC中，D、E分别是AB，AC的中点，作∠B的角平分线
（1）如图1，若∠B的平分线恰好经过点E，猜想△ABC是怎样的特殊三角形，并说明理由．
（2）如图2，若∠B的平分线交线段DE于点F，已知AB＝8，BC＝10，求EF的长度．
（3）若∠B的平分线交直线DE于点F，直接写出AB、BC、EF三者之间的数量关系．
参考答案
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．解：∵D、E分别是边AB、BC的中点，DE＝2，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，2DE＝AC＝4，
∵△ABC是等边三角形，
∴△ABC的周长＝3AC＝12，
故选：B．
2．解：∵取DC中点G，连结FG、EG，如图所示：
∵点E，F分别是对角线AC，BD的中点，
∴FG∥BC，EG∥AD，
∵AD∥BC，
∴EG∥BC，FG∥EG，
∴E、F、G三点共线，
∴FG是△BCD的中位线，
∴FG＝BC＝2.5，
∵AD∥BC，
∴EG∥AD，
∴EG是△ACD的中位线，
∴EG＝AD＝1，
∴EF＝FG﹣EG＝1.5．
故选：B．
3．解：连接CD．
∵点D、点E分别是△ABC的边AB，AC的中点，
∴DE∥BF，BC＝2DE，
∴∠EDG＝∠F，
∵∠DGE＝∠FGC，EG＝GC，
∴△DGE≌△FGC（AAS），
∴S△DGE＝S△GCF＝S△DGC＝a，DE＝CF，DG＝GF，
∴S△ADE＝S△DEC＝S△DCF＝2a，S△BDC＝2S△DCF＝4a，
∴S△ABC＝S△ADE+S△DEC+S△CBD＝8a，
故选：D．
4．解：∵D，E分别是AC、AB的中点，
∴DE为△ACB的中位线，
∴DE∥BC，
∴∠B＝∠AED＝30°，
∴∠ACF＝∠A+∠B＝35°+30°＝65°，
故选：B．
5．解：∵在△ABC中，E、D、F分别是AB、BC、CA的中点，
∴DE＝AF＝AC＝2，DF＝AE＝AB＝3，
∴四边形AEDF的周长是（2+3）×2＝10．
故选：D．
6．解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝2.5，
故选：D．
7．解：∵点C，D分别为PA，PB的中点，CD＝8m，
∴AB＝2CD＝2×8＝16（m），
故选：A．
8．解：∵D为边AB的中点，AD＝7，
∴BD＝AD＝7，
∵D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点．
∴DE∥BC，BC＝2DE，
∴∠DFB＝∠FBC，
∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF＝∠FBC，
∴∠DFB＝∠DBF，
∴DF＝DB＝7，
∴DE＝DF+EF＝11，
∴BC＝2DE＝22，
故选：A．
9．解：∵点D，点E分别是AB，AC的中点，BC＝14，
∴DE＝BC＝7，
在Rt△AFC中，∠AFC＝90°，点E是AC的中点，AC＝10，
∴FE＝AC＝5，
∴DF＝DE﹣FE＝7﹣5＝2，
故选：A．
10．解：∵点D、E、F分别是各边的中点，
∴EF＝AB，ED＝AC，DF＝BC，
∴＝＝＝，
∴＝（）2＝，
∵△ABC的面积为4cm2，
∴△DEF的面积是1cm2，
故选：B．
11．解：∵P、F分别是BD、CD的中点，
∴PF＝BC，
同理可得：PE＝AD，
∵AD＝BC，
∴PF＝PE，
∵∠EPF＝130°，
∴∠PEF＝∠PFE＝×（180°﹣130°）＝25°，
故选：A．
12．解：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC，即＝，
同理，＝，＝，
∴＝，
∴S△DEF＝×60＝15（cm2）．
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分24分）
13．解：∵D，E分别是AB，AC的中点，DE＝4，
∴BC＝2DE＝8，
∵AB2+BC2＝62+82＝100，AC2＝102＝100，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC为直角三角形，
∴S△ABC＝×AC×BC＝×6×8＝24，
故答案为：24．
14．解：∵D，E，F是△ABC三边的中点，
∴DF∥BC，DE∥AC，EF∥AB，
∴＝＝＝，
∵△ABC的面积为S，
∴S△ADF＝S△BDE＝S△CEF＝S，
∴S1＝S﹣S△ADF﹣S△BDE﹣S△CEF＝S﹣S﹣S﹣S＝S．
同理可得，S2＝S△CEF＝×S＝S，S3＝S△CGH＝××S＝S，
∴S1+S2+S3＝S+S+S＝S．
故答案为：S．
15．解：由三角形的中位线定理可知后一个三角形的周长等于上一个三角形的周长的一半，
∵第一个三角形的周长是1，
∴第2个三角形的周长＝，
第3个三角形的周长＝，
…，
第n个三角形的周长＝．
故答案为：．
16．解：取BF的中点G，连接CG，如图所示：
∵C是BD的中点，
∴CG是△BDF的中位线，
∴CG∥DF，CG＝DF，
∵E是AC的中点，
∴EF是△ACG的中位线，
∴EF＝CG，
∴EF＝DF，
即DF＝4EF，
∴ED＝3EF，
∴＝，
故答案为：．
17．解：延长线段BN交AC于E．
∵AN平分∠BAC，
∴∠BAN＝∠EAN，
∵BN⊥AN，
∴∠ANB＝∠ANE＝90°，
在△ABN和△AEN中，
，
∴△ABN≌△AEN（ASA），
∴AE＝AB＝6，BN＝NE，
又∵M是△ABC的边BC的中点，
∴CE＝2MN＝2×1.5＝3，
∴△ABC的周长是AB+BC+AC＝6+10+6+3＝25，
故答案为：25．
18．解：∵点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵BC＝16，
∴DE＝BC＝8．
∵∠AFB＝90°，D是AB的中点，AB＝10，
∴DF＝AB＝5，
∴EF＝DE﹣DF＝8﹣5＝3．
故答案为：3．
19．解：连接CM，
∵点D、E分别为CN，MN的中点，
∴DE＝CM，
当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，
由勾股定理得：AB＝＝＝5，
∵S△ABC＝＝，
∴CM＝，
∴DE＝＝，
故答案为：．
20．解：连接AC，BD．
因为G、F为CD、BC边中点，所以GF＝DB．
由于△CGF∽△CDB，所以
S△CGF＝S△CDB，
同理可得S△DHG＝S△CDA，S△HAE＝S△DAB，S△BEF＝S△CAB，于是
S△CGF+S△DHG+S△HAE+S△BEF＝（S△CDB+S△CDA+S△DAB+S△CAB）＝×2S四边形ABCD＝S四边形ABCD，
S四边形EFGH：S四边形ABCD＝1：2
三．解答题（共10小题，满分60分）
21．解：（1）证明：∵DE分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴，
又∵，
∴DE＝CF；
（2）∵△ABC是等边三角形，D是AB的中点，
∴，CD⊥AB，
在Rt△BDC中，BD2+CD2＝BC2，
即，
∴CD＝3，
又∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥CF，
∵DE＝CF，
∴四边形DCFE是平行四边形，
∴EF＝CD＝3．
22．（1）解：∵AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，
∴DE＝AE＝AB，DF＝AF＝AC，
∴AE+DE＝AB＝15，AF+DF＝AC，
∵四边形AEDF的周长为24，AB＝15，
∴AC＝24﹣15＝9；
（2）证明：∵DE＝AE，DF＝AF，
∴点E、F在线段AD的垂直平分线上，
∴EF垂直平分AD．
23．解：当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形EFGH是正方形．理由如下：
在△ABC中，E、F分别是边AB、BC中点，
所以EF∥AC，且EF＝AC，
同理有GH∥AC，且GH＝AC，
∴EF∥GH且EF＝GH，
故四边形EFGH是平行四边形．
EH∥BD且EH＝BD，
若AC＝BD，则有EH＝EF，
又因为四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是菱形，
∵AC⊥BD，
∴∠EHG＝90°，
即：当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形EFGH是正方形．
24．（1）证明：∵在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，
∴EG∥AB，EG＝AB，HF∥AB，HF＝AB，
∴EG∥HE，EG＝HE，
∴四边形EGFH是平行四边形．
又EH＝CD，AB＝CD，
∴EG＝EH，
∴平行四边形EGFH是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD中，G、F、H分别是BD、BC、AC的中点，
∴GF∥DC，HF∥AB．
∴∠GFB＝∠DCB，∠HFC＝∠ABC．
∴∠HFC+∠GFB＝∠ABC+∠DCB＝90°．
∴∠GFH＝90°．
∵AB＝，
∴EG＝AB＝．
∴四边形EGFH的面积＝（）2＝．
25．解：四边形EFGH的形状是平行四边形，
理由如下：
∵E、F分别是AD、BD中点，
∴EF∥AB，EF＝AB，
同理GH∥AB，GH＝AB，
∴EF＝GH，EF∥GH，
∴四边形EFGH是平行四边形．
26．解：（1）观察猜想：四边形EFGH是平行四边形．
证明：如图，连接AC、BD，
∵E、F、G、H是四边形ABCD各边中点，
∴EH＝FG＝BD，EH∥FG∥BD，
∴四边形EFGH是平行四边形；
（2）由（1）可知，同理可证EF＝HG＝AC，
∵AC＝BD，
∴EH＝EF，
∴EF＝FG＝GH＝EH，
∴四边形EFGH是菱形；
（3）①矩形；②正方形．
27．（1）解：如图，取BD的中点P，连接EP、FP．
∵E，F分别是AD、BC的中点，AB＝6，CD＝8，
∴PE∥AB，且PE＝AB＝3，PF∥CD且PF＝CD＝4．
又∵∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，
∴∠EPD＝∠ABD＝30°，∠DPF＝180°﹣∠BDC＝60°，
∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝90°，
在直角△EPF中，由勾股定理得到：EF＝＝＝5，
即EF＝5；
（2）证明：如图，取BD的中点P，连接EP、FP．
∵E，F分别是AD、BC的中点，
∴PE∥AB，且PE＝AB，PF∥CD且PF＝CD．
∴∠EPD＝∠ABD，∠BPF＝∠BDC，
∴∠DPF＝180°﹣∠BPF＝180°﹣∠BDC，
∵∠BDC﹣∠ABD＝90°，
∴∠BDC＝90°+∠ABD，
∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝∠ABD+180°﹣∠BDC＝∠ABD+180°﹣（90°+∠ABD）＝90°，
∴PE2+PF2＝（AB）2+（CD）2＝EF2，
∴AB2+CD2＝4EF2．
28．（1）解：∵点D为BC的中点，
∴BD＝CD，
∵△CDE与四边形ABDE的周长相等，
∴CD+DE+CE＝AB+BD+DE+AE，
∴CE＝AB+AE＝AB+（AC﹣EC），
∴2CE＝AC+AB＝b+c，
∴CE＝（b+c）；
（2）证明：∵点D、F分别为BC、AC的中点，
∴DF是△CAB的中位线，
∴DF＝AB＝c，AF＝AC＝b，
由（1）知：CE＝（b+c），
∴AE＝b﹣CE＝b﹣（b+c）＝（b﹣c），
∴EF＝AF﹣AE＝b﹣（b﹣c）＝c，
∴DF＝EF；
（3）解：连接BE、DG，如图所示：
∵S△BDH＝S△EGH，
∴S△BDG＝S△DEG，
∴BE∥DG，
∵DF是△CAB的中位线，
∴DF∥AB，＝，
∴FG＝AE＝×（b﹣c）＝（b﹣c），
过点A作AP⊥BG于P，
∵DF∥AB，
∴∠DFC＝∠BAC，
∵∠DFC＝∠DEF+∠EDF，EF＝DF，
∴∠DEF＝∠EDF，
∴∠BAP+∠PAC＝2∠DEF，
∵ED⊥BG，AP⊥BG，
∴DE∥AP，
∴∠PAC＝∠DEF，
∴∠BAP＝∠DEF＝∠PAC，
∵AP⊥BG，
∴AB＝AG＝c，
∴CG＝b﹣c，
∴CF＝b＝FG+CG＝（b﹣c）+（b﹣c），
∴3b＝5c，
∴＝．
29．证明：延长AC、BD交于点F，
∵在△ABD和△AFD中，
，
∴△ABD≌△AFD（ASA），
∴AB＝AF，BD＝DF，
又∵E是BC的中点，即ED是△BCF中位线，
∴DE＝CF＝（AB﹣AC）．
30．解：（1）∵D、E分别是AB，AC的中点，
∴DE＝BC，DE∥BC，
∴∠DEB＝∠EBC，
∵BE是∠B的角平分线，
∴∠DBE＝∠EBC，
∴∠DEB＝∠DBE，
∴DE＝DB＝AB，
∴AB＝BC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）由（1）得，DE＝BC＝5，DF＝AB＝4，
∴EF＝DE﹣DF＝1；
（3）当点F在线段DE上时，由（2）得，EF＝（BC﹣AB）；
当点F在线段DE的延长线上时，EF＝（AB﹣BC）．