2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册1.5全称量词与存在量词 导学案

衡水市第二中学 高一数学学案
【知识要点】
全称量词与全称量词命题
（1）全称量词
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“”表示。
全称量词命题
定义
含有全称量词的命题，叫作全称量词命题。
符号表示
通常，将含有变量x的语句用p（x），q（x），r（x）…表示，变量x的取值范围用M表示。那么，全称量词命题“对M中任意一个x，p（x）成立”记为x∈M，p（x），读作“对任意x属于M，p（x）成立”
全称量词的真假判断
要判定全称量词命题“x∈M，p（x）”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p（x）成立。
要判定全称量词命题“x∈M，p（x）”是假命题，只需举出一个反例，即在集合M中找到一个元素，使得不成立
存在量词与存在量词命题
存在量词
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“”表示。
存在量词命题
定义
含有存在量词的命题，叫作存在量词命题。
符号表示
存在量词命题“存在M中的元素x，p（x）成立”记为x∈M，p（x），读作“存在M中的元素x，p（x）成立”
存在量词的真假判断
要判定存在量词命题“x∈M，p（x）”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p（x）成立即可
要判定存在量词命题“x∈M，p（x）”是假命题，需要对集合M中的任意一个元素x，证明p（x）都不成立
含有一个量词命题的否定
全称量词命题的否定
全称量词命题p:x∈M，p（x）
它的否定
存在量词命题的否定
存在量词命题p:x∈M，p（x）
它的否定
考向一　全称量词命题和存在量词命题的判断(数学抽象)
1.(多选题)下列语句是存在量词命题的是(　　)
A．所有无理数的平方都是有理数
B．有的无理数的平方不是有理数
C．对于任意n∈N，2n－1是奇数
D．存在n∈N，2n＋1是偶数
2．(多选题)下列语句是全称量词命题的是(　　)
A．梯形的对角线相等
B．存在一个四边形有外接圆
C．二次函数都与x轴相交
D．菱形的四条边都相等
3．用量词符号“ ”“ ”表述下列命题．
(1)所有实数x都能使x2＋x＋1＞0成立．
(2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解．
(3)一定有整数x，y，使得3x－2y＝10成立．
(4)所有的有理数x都能使x2＋x＋1是有理数．
考向二、全称量词命题存在量词命题及判真假
4.(多选题)(2021·南京高一检测)下列命题正确的是(　　)
A．存在x<0，x2－2x－3＝0
B．对一切实数x<0，都有|x|>x
C． x∈R，＝x
D．已知an＝2n，bm＝3m，对于任意n，m∈N*，an≠bm
5．指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假．
(1)有的集合中存在两个相同的元素．
(2) a，b∈R，(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3.
(3)存在一个x∈R，使＝0.
(4)对任意直角三角形的两个锐角A，B，都有sin A＝cos B.
考向三、含有一个量词的命题的否定
6..写出下列命题的否定
(1)所有的正比例函数都是一次函数
(2)每一个有理数都能写成分数形式
(3)有些矩形是正方形
(4)x∈R,x3-1=0.
7（1）已知命题P：n∈N*，n2＞n-1，则命题p的否定为
彐x∈N*,n2≤n-1 B.n∈N*,n2（2）命题“，”的否定是“___________”
8．已知命题，或，则为　　
A．，且 B．，或
C．，或 D．，且
9.写出下列命题的否定
(1)能被8整除的数，也能被4整除
(2)可以被5整除的数，末位是0
考向四、已知含有量词的命题的真假求参数
10若命题“彐x∈R，x2+2mx+m+2<0”为假命题，求m的取值范围
11.已知命题p： x∈R，ax2＋2x＋3>0，如果命题 p是真命题，求实数a的取值范围．
12．若“，”为假命题，则实数的最小值为___________.
13若命题“ x∈R，使得方程ax2＋2x－1＝0成立”是真命题，求实数a的取值范围．
学案 7 1.5全称量词与存在量词
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