2021-2022学年鲁教版（五四制）八年级数学上册5.3三角形的中位线同步练习题（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年鲁教版（五四制）八年级数学上册5.3三角形的中位线同步练习题（Word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 391.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-18 20:34:21 | ||
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文档简介
2021-2022学年鲁教版八年级数学上册《5.3三角形的中位线》同步练习题（附答案）
1．如图，在△ABC中，CE是中线，CD是角平分线，AF⊥CD交CD延长线于点F，AC＝7，BC＝4，则EF的长为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
2．如图，Rt△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠BAC＝90°，D，E分别为AB，AC的中点，P为DE上一点，且满足∠EAP＝∠ABP，则PE＝（ ）
A．1 B． C． D．2
3．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、BC的中点，若△BDE的周长是6，则△ABC的周长是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
4．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，CF平分∠ACB，交DE于点F，若AC＝4，则EF的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为点E，F是BC的中点，若BD＝16，则EF的长为（ ）
A．32 B．16 C．8 D．4
6．如图，△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC＝6，则DF的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图，点P是△ABC内一点，AP⊥BP，BP＝12，CP＝15，点D，E，F，G分别是AP，BP，BC，AC的中点，若四边形DEFG的周长为28，则AP长为（ ）
A．13 B．9 C．5 D．4
8．如图，四边形ABCD中．AC⊥BC，AD∥BC，BD为∠ABC的平分线，BC＝3，AC＝4．E，F分别是BD，AC的中点，则EF的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
9．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，如果△ADE的周长是6，则△ABC的周长是（ ）
A．24 B．14 C．12 D．6
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，E，F分别是AC，BC上两点，AE＝16，BF＝12，点P，Q，D分别是AF，BE，AB的中点，则PQ的长为（ ）
A．10 B．8 C．2 D．20
11．在△ABC中，点M为BC的中点，AD平分∠BAC，且BD⊥AD于点D，延长BD交AC于点N若AB＝4，DM＝1，则AC的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
12．如图，在四边形ABCD中．AD＝BC．E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，若∠DAC＝36°，∠ACB＝84°，则∠FEG等于（ ）
A．20° B．24° C．26° D．15°
13．如图，点D、E、F分别为△ABC各边中点，下列说法正确的是（ ）
A．DE＝DF B．EF＝AB
C．S△ABD＝S△ACD D．AD平分∠BAC
14．如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD，点E，点F分别是AC，BD的中点，EF＝3.5，则AC的长为 ．
15．如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，点F是DE上一点，连接AF，CF，且AF⊥CF，若AC＝6，EF＝1，则AB＝ ．
16．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝8，AD＝6，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为 ．
17．如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝12，D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE＝2.5，那么△ACD的面积是 ．
18．直角△ABC中，∠BAC＝90°，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，已知DF＝3，则AE＝ ．
19．如图，四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝35°，则∠PFE的度数是 ．
20．如图，△ABC中，∠A＝60°，AC＞AB＞2，点D，E分别在边AB，AC上，且BD＝CE＝2，连接DE，点M是DE的中点，点N是BC的中点，线段MN的长为 ．
21．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝10，D，E分别是AC和BC上的点，且CE＝2，CD＝4，连接BD，AE．G、H分别是AE和BD的中点，连接GH，则线段GH的长为 ．
22．如图，在△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD，AB＝12，AC＝22，则MD的长为 ．
23．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4），点B（2，0），连接AB、点M，N分别是OA，AB的中点，点P是射线MN上一动点．若△ABP是直角三角形，则点P的坐标是 ．
24．如图，∠MAN＝90°，点C在边AM上，AC＝4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E．当△A′EF为直角三角形时，AB的长为 ．
25．如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为斜边作Rt△ADC，使∠ADC＝90°，∠CAD＝∠CAB＝26°，E、F分别是BC、AC的中点，则∠EDF等于 °．
26．如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB＝10，AC＝6，求DF的长．
27．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，E、F分别是AC、CD的中点，AC＝8，AD＝6，∠BEF＝90°，求BF的长．
28．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝84°，点D是AC的中点，DE∥BC．求∠EDB的度数．
29．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．
（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF＝（AC﹣AB）；
（2）如图2，请直接写出线段AB、AC、EF的数量关系．
参考答案
1．解：延长AF、BC交于点G，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF，
在△ACF和△GCF中，
，
∴△ACF≌△GCF（ASA），
∴CG＝AC＝7，AF＝FG，
∴BG＝CG﹣CB＝3，
∵AE＝EB，AF＝FG，
∴EF＝BG＝1.5，
故选：A．
2．解：在Rt△ABC中，AB＝8，AC＝6，
由勾股定理得：BC＝＝＝10，
∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE＝BC＝5，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAP+∠EAP＝90°，
∵∠EAP＝∠ABP，
∴∠BAP+∠ABP＝90°，
∴∠APB＝90°，
∵D为AB的中点，
∴PD＝AB＝4，
∴PE＝DE﹣DP＝1，
故选：A．
3．解：∵△BDE的周长是6，
∴BD+BE+DE＝6，
∵D、E分别是边AB、BC的中点，
∴AB＝2BD，BC＝2BE，AC＝2DE，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝2（BD+BE+DE）＝2×6＝12，
故选：C．
4．解：∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE∥BC，AE＝EC，
∴∠BCF＝∠EFC，
∵CF平分∠ACB，
∴∠BCF＝∠ECF，
∴∠ECF＝∠EFC，
∴EF＝EC＝AC＝2，
故选：B．
5．解：∵在△ACD中，∵AD＝AC，AE⊥CD，
∴E为CD的中点，
又∵F是CB的中点，
∴EF为△BCD的中位线，
∴EF∥BD，EF＝BD，
∵BD＝16，
∴EF＝8，
故选：C．
6．解：∵D，E分别是BC，AC的中点，
∴DE∥AB，
∴∠BFD＝∠ABF，
∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF＝∠ABF，
∴∠BFD＝∠DBF，
∴DF＝DB＝BC＝3，
故选：A．
7．解：∵点D，E，F，G分别是AP，BP，BC，AC的中点，
∴DG＝EF＝PC＝15＝，DE＝FG＝AB，
∵四边形DEFG的周长为28，
∴DE＝FG＝×（28﹣﹣）＝，
∴AB＝13，
∵AP⊥BP，BP＝12，
∴AP＝＝＝5，
故选：C．
8．解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵BC＝3，AC＝4，
∴AB＝5，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD＝5，
连接BF并延长交AD于G，
∵AD∥BC，
∴∠GAC＝∠BCA，
∵F是AC的中点，
∴AF＝CF，
∵∠AFG＝∠CFB，
∴△AFG≌△CFB（AAS），
∴BF＝FG，AG＝BC＝3，
∴DG＝5﹣3＝2，
∵E是BD的中点，
∴EF＝DG＝1．
故选：A．
9．解：∵D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，
∴DE是△ABC的中位线，AD＝AB，AE＝AC，
∴DE＝BC，
∵△ADE的周长＝6，
∴AD+AE+DE＝6，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝2（AD+AE+DE）＝12，
故选：C．
10．解：∵∠C＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵点P，D分别是AF，AB的中点，
∴PD＝BF＝6，PD∥BC，
∴∠PDA＝∠CBA，
同理，QD＝AE＝8，∠QDB＝∠CAB，
∴∠PDA+∠QDB＝90°，即∠PDQ＝90°，
∴PQ＝＝10，
故选：A．
11．解：在△ADB和△ADN中，
，
∴△ADB≌△ADN（ASA）
∴BD＝DN，AN＝AB＝4，
∵BM＝MC，BD＝DN，
∴NC＝2DM＝2，
∴AC＝AN+NC＝6，
故选：B．
12．解：∵AD＝BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，
∴GF是△ACD的中位线，GE是△ACB的中位线，
∴GFAD，GEBC．
又∵AD＝BC，
∴GF＝GE，∠FGC＝∠DAC＝36°，∠AGE＝∠ACB＝84°，
∴∠EFG＝∠FEG，
∵∠FGE＝∠FGC+∠EGC＝36°+（180°﹣84°）＝132°，
∴∠EFG＝（180°﹣∠FGE）＝24°．
故选：B．
13．解：A、∵点D、E、F分别为△ABC各边中点，
∴DE＝AC，DF＝AB，
∵AC≠AB，
∴DE≠DF，故该选项错误；
B、由A选项的思路可知，B选项错误、
C、∵S△ABD＝BD h，S△ACD＝CD h，BD＝CD，
∴S△ABD＝S△ACD，故该选项正确；
D、∵BD＝CD，AB≠AC，
∴AD不平分∠BAC，
故选：C．
14．解：连接AF，
∵AB＝AD，点F是BD的中点，
∴AF⊥BD，
在Rt△AFC中，点E是AC的中点，EF＝3.5，
∴AC＝2EF＝7，
故答案为：7．
15．解：在Rt△AFC中，点D是AC的中点，AC＝6，
∴DF＝AC＝×6＝3，
∵EF＝1，
∴DE＝DF+EF＝3+1＝4，
∵点D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB＝2DE＝2×4＝8，
故答案为：8．
16．解：连接DN，
∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF是△MND的中位线，
∴EF＝DN，
当点N与点B重合时，DN最大，此时DN＝＝10，
∴EF长度的最大值为5，
故答案为：5．
17．解：∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AC＝2DE＝5，
∵AC2+BC2＝52+122＝169，AB2＝169，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴△ABC的面积＝×5×12＝30，
∵D是AB的中点，
∴△ACD的面积＝△ABC的面积×＝15．
故答案为：15．
18．解：如图，∵在直角△ABC中，∠BAC＝90°，D、F分别为AB、AC的中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF＝BC．
又∵点E是直角△ABC斜边BC的中点，
∴AE＝BC，
∵DF＝3，
∴DF＝AE．
故填：3．
19．解：∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，
∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PF＝BC，PE＝AD，
∵AD＝BC，
∴PF＝PE，
故△EPF是等腰三角形．
∵∠PEF＝35°，
∴∠PEF＝∠PFE＝35°，
故答案为：35°．
20．解：如图，作CH∥AB，连接DN，延长DN交CH于H，连接EH，作CJ⊥EH于J．
∵BD∥CH，
∴∠B＝∠NCH，
∵BN＝CN，∠DNB＝∠KNC，
∵△DNB≌△HNC（ASA），
∴BD＝CH，DN＝NH，
∵BD＝EC＝2，
∴EC＝CH＝2，
∵∠A+∠ACH＝180°，∠A＝60°，
∴∠ECH＝120°，
∵CJ⊥EH，
∴EJ＝JH＝EC cos30°＝，
∴EH＝2EJ＝2，
∵DM＝ME，DN＝NH，
∴MN＝EH＝．
故答案为．
21．解：过A作AP∥BC，过B作BP∥AC，AP，BP交于P，
∴四边形ACBP是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，
∴四边形ACBP是矩形，
∴PB＝AC＝10，AP＝BC＝6，∠APB＝90°，
连接CH并延长交PB于M，连接CG并延长交AP于N，
∴∠BMH＝∠HCD，
∵H是BD的中点，
∴BH＝DH，
∵∠BHM＝∠DHC，
∴△CDH≌△MBH（AAS），
∴BM＝CD＝4，CH＝HM，
同理，AN＝CE＝2，CG＝GN，
∴PM＝6，PN＝4，
∴MN＝＝2，
∴HG＝MN＝，
方法二：求AB的中点，连接FG，FH，
∵G是AE的中点，
∴，
，
∵∠C＝90°，
∴∠GFH＝90°，
∴GH＝＝＝；
故答案为：．
22．解：延长BD交AC于N，
∵AD是∠BAC的平分线，BD⊥AD，
∴BD＝DN，AN＝AB＝12，
∵BM＝CM，BD＝DN，AC＝22，
∴DM＝NC＝（AC﹣AN）＝5，
则MD的长为5．
23．解：∵点A（0，4），点B（2，0），
∴AB＝2 ，
∵点M，N分别是OA，OB的中点，
∴MN∥AB，MN＝OB＝1，OM＝2，
∴点P的纵坐标为2，
∵△ABP是直角三角形，
∴∠APB＝90°或∠ABP＝90°，
①如图，当∠APB＝90°时，则PN＝AB＝，
∴PM＝1+，
∴P（1+，2），
②如图，当∠ABP＝90°时，过点P作PC⊥x轴于C，则四边形MOCP是矩形，
过P作PC⊥x轴于C，则△ABO∽△BPC，
∴＝＝1，
∴BP＝AB＝2 ，
∴PC＝OB＝2，
∴BC＝4，
∴PM＝OC＝2+4＝6，
∴P（6，2），
综上可得点P的坐标为（1+，2）或（6，2）．
故答案为：（1+，2）或（6，2）．
24．解：当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：
①当∠A'EF＝90°时，如图1，
∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，
∴A'C＝AC＝4，∠ACB＝∠A'CB，
∵点D，E分别为AC，BC的中点，
∴D、E是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∴∠CDE＝∠MAN＝90°，
∴∠CDE＝∠A'EF，
∴AC∥A'E，
∴∠ACB＝∠A'EC，
∴∠A'CB＝∠A'EC，
∴A'C＝A'E＝4，
Rt△A'CB中，∵E是斜边BC的中点，
∴BC＝2A'E＝8，
由勾股定理得：AB2＝BC2﹣AC2，
∴AB＝＝4；
②当∠A'FE＝90°时，如图2，
∵∠ADF＝∠A＝∠DFB＝90°，
∴∠ABF＝90°，
∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，
∴∠ABC＝∠CBA'＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝AC＝4；
综上所述，AB的长为4或4；
故答案为：4或4；
25．解：∵E、F分别是BC、AC的中点，∠CAD＝∠CAB＝26°，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝AB，∠EFC＝∠CAB＝26°．
∵AB＝AC，△ACD是直角三角形，点E是斜边AC的中点，
∴DF＝AF＝CF，
∴DF＝EF，∠CAD＝∠ADF＝26°．
∵∠DFC是△AFD的外角，
∴∠DFC＝26°+26°＝52°，
∴∠EFD＝∠EFC+∠DFC＝26°+52°＝78°，
∴∠EDF＝＝51°．
故答案为：51．
26．解：延长CF交AB于点G，
∵AE平分∠BAC，
∴∠GAF＝∠CAF，
∴AF垂直平分CG，
∴AC＝AG，
GF＝CF，
又∵点D是BC中点，
∴DF是△CBG的中位线，
∴DF＝BG＝（AB﹣AG）＝（AB﹣AC）＝2．
27．解：∵E、F分别是AC、CD的中点，
∴EF＝AD，
∵AD＝6，
∴EF＝3．
∵∠ABC＝90°，E是CA的中点，
∴BE＝AC＝4，
∵∠BEF＝90°，
∴BF＝＝＝5．
28．解：∵AB＝BC，点D是AC的中点，
∴∠DBC＝∠ABC＝42°．
又∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC＝42°．
29．（1）证明：如图1中，
∵AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，
∴△ABD是等腰三角形，
∴BE＝DE，
∵BF＝FC，
∴EF＝DC＝＝（AC﹣AB）．
（2）结论：EF＝（AB﹣AC），
理由：如图2中，延长AC交BE的延长线于P．
∵AE⊥BP，
∴∠AEP＝∠AEB＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠PAE+∠APE＝90°，
∵∠BAE＝∠PAE，
∴∠ABE＝∠APE，
∴AB＝AP，
∵AE⊥BP，
∴E为BP的中点，
∴BE＝PE，
∵点F为BC的中点，
∴BF＝FC，
∴EF＝PC＝（AP﹣AC）＝（AB﹣AC）．
1．如图，在△ABC中，CE是中线，CD是角平分线，AF⊥CD交CD延长线于点F，AC＝7，BC＝4，则EF的长为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
2．如图，Rt△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠BAC＝90°，D，E分别为AB，AC的中点，P为DE上一点，且满足∠EAP＝∠ABP，则PE＝（ ）
A．1 B． C． D．2
3．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、BC的中点，若△BDE的周长是6，则△ABC的周长是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
4．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，CF平分∠ACB，交DE于点F，若AC＝4，则EF的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为点E，F是BC的中点，若BD＝16，则EF的长为（ ）
A．32 B．16 C．8 D．4
6．如图，△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC＝6，则DF的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图，点P是△ABC内一点，AP⊥BP，BP＝12，CP＝15，点D，E，F，G分别是AP，BP，BC，AC的中点，若四边形DEFG的周长为28，则AP长为（ ）
A．13 B．9 C．5 D．4
8．如图，四边形ABCD中．AC⊥BC，AD∥BC，BD为∠ABC的平分线，BC＝3，AC＝4．E，F分别是BD，AC的中点，则EF的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
9．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，如果△ADE的周长是6，则△ABC的周长是（ ）
A．24 B．14 C．12 D．6
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，E，F分别是AC，BC上两点，AE＝16，BF＝12，点P，Q，D分别是AF，BE，AB的中点，则PQ的长为（ ）
A．10 B．8 C．2 D．20
11．在△ABC中，点M为BC的中点，AD平分∠BAC，且BD⊥AD于点D，延长BD交AC于点N若AB＝4，DM＝1，则AC的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
12．如图，在四边形ABCD中．AD＝BC．E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，若∠DAC＝36°，∠ACB＝84°，则∠FEG等于（ ）
A．20° B．24° C．26° D．15°
13．如图，点D、E、F分别为△ABC各边中点，下列说法正确的是（ ）
A．DE＝DF B．EF＝AB
C．S△ABD＝S△ACD D．AD平分∠BAC
14．如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD，点E，点F分别是AC，BD的中点，EF＝3.5，则AC的长为 ．
15．如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，点F是DE上一点，连接AF，CF，且AF⊥CF，若AC＝6，EF＝1，则AB＝ ．
16．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝8，AD＝6，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为 ．
17．如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝12，D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE＝2.5，那么△ACD的面积是 ．
18．直角△ABC中，∠BAC＝90°，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，已知DF＝3，则AE＝ ．
19．如图，四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝35°，则∠PFE的度数是 ．
20．如图，△ABC中，∠A＝60°，AC＞AB＞2，点D，E分别在边AB，AC上，且BD＝CE＝2，连接DE，点M是DE的中点，点N是BC的中点，线段MN的长为 ．
21．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝10，D，E分别是AC和BC上的点，且CE＝2，CD＝4，连接BD，AE．G、H分别是AE和BD的中点，连接GH，则线段GH的长为 ．
22．如图，在△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD，AB＝12，AC＝22，则MD的长为 ．
23．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4），点B（2，0），连接AB、点M，N分别是OA，AB的中点，点P是射线MN上一动点．若△ABP是直角三角形，则点P的坐标是 ．
24．如图，∠MAN＝90°，点C在边AM上，AC＝4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E．当△A′EF为直角三角形时，AB的长为 ．
25．如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为斜边作Rt△ADC，使∠ADC＝90°，∠CAD＝∠CAB＝26°，E、F分别是BC、AC的中点，则∠EDF等于 °．
26．如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB＝10，AC＝6，求DF的长．
27．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，E、F分别是AC、CD的中点，AC＝8，AD＝6，∠BEF＝90°，求BF的长．
28．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝84°，点D是AC的中点，DE∥BC．求∠EDB的度数．
29．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．
（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF＝（AC﹣AB）；
（2）如图2，请直接写出线段AB、AC、EF的数量关系．
参考答案
1．解：延长AF、BC交于点G，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF，
在△ACF和△GCF中，
，
∴△ACF≌△GCF（ASA），
∴CG＝AC＝7，AF＝FG，
∴BG＝CG﹣CB＝3，
∵AE＝EB，AF＝FG，
∴EF＝BG＝1.5，
故选：A．
2．解：在Rt△ABC中，AB＝8，AC＝6，
由勾股定理得：BC＝＝＝10，
∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE＝BC＝5，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAP+∠EAP＝90°，
∵∠EAP＝∠ABP，
∴∠BAP+∠ABP＝90°，
∴∠APB＝90°，
∵D为AB的中点，
∴PD＝AB＝4，
∴PE＝DE﹣DP＝1，
故选：A．
3．解：∵△BDE的周长是6，
∴BD+BE+DE＝6，
∵D、E分别是边AB、BC的中点，
∴AB＝2BD，BC＝2BE，AC＝2DE，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝2（BD+BE+DE）＝2×6＝12，
故选：C．
4．解：∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE∥BC，AE＝EC，
∴∠BCF＝∠EFC，
∵CF平分∠ACB，
∴∠BCF＝∠ECF，
∴∠ECF＝∠EFC，
∴EF＝EC＝AC＝2，
故选：B．
5．解：∵在△ACD中，∵AD＝AC，AE⊥CD，
∴E为CD的中点，
又∵F是CB的中点，
∴EF为△BCD的中位线，
∴EF∥BD，EF＝BD，
∵BD＝16，
∴EF＝8，
故选：C．
6．解：∵D，E分别是BC，AC的中点，
∴DE∥AB，
∴∠BFD＝∠ABF，
∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF＝∠ABF，
∴∠BFD＝∠DBF，
∴DF＝DB＝BC＝3，
故选：A．
7．解：∵点D，E，F，G分别是AP，BP，BC，AC的中点，
∴DG＝EF＝PC＝15＝，DE＝FG＝AB，
∵四边形DEFG的周长为28，
∴DE＝FG＝×（28﹣﹣）＝，
∴AB＝13，
∵AP⊥BP，BP＝12，
∴AP＝＝＝5，
故选：C．
8．解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵BC＝3，AC＝4，
∴AB＝5，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD＝5，
连接BF并延长交AD于G，
∵AD∥BC，
∴∠GAC＝∠BCA，
∵F是AC的中点，
∴AF＝CF，
∵∠AFG＝∠CFB，
∴△AFG≌△CFB（AAS），
∴BF＝FG，AG＝BC＝3，
∴DG＝5﹣3＝2，
∵E是BD的中点，
∴EF＝DG＝1．
故选：A．
9．解：∵D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，
∴DE是△ABC的中位线，AD＝AB，AE＝AC，
∴DE＝BC，
∵△ADE的周长＝6，
∴AD+AE+DE＝6，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝2（AD+AE+DE）＝12，
故选：C．
10．解：∵∠C＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵点P，D分别是AF，AB的中点，
∴PD＝BF＝6，PD∥BC，
∴∠PDA＝∠CBA，
同理，QD＝AE＝8，∠QDB＝∠CAB，
∴∠PDA+∠QDB＝90°，即∠PDQ＝90°，
∴PQ＝＝10，
故选：A．
11．解：在△ADB和△ADN中，
，
∴△ADB≌△ADN（ASA）
∴BD＝DN，AN＝AB＝4，
∵BM＝MC，BD＝DN，
∴NC＝2DM＝2，
∴AC＝AN+NC＝6，
故选：B．
12．解：∵AD＝BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，
∴GF是△ACD的中位线，GE是△ACB的中位线，
∴GFAD，GEBC．
又∵AD＝BC，
∴GF＝GE，∠FGC＝∠DAC＝36°，∠AGE＝∠ACB＝84°，
∴∠EFG＝∠FEG，
∵∠FGE＝∠FGC+∠EGC＝36°+（180°﹣84°）＝132°，
∴∠EFG＝（180°﹣∠FGE）＝24°．
故选：B．
13．解：A、∵点D、E、F分别为△ABC各边中点，
∴DE＝AC，DF＝AB，
∵AC≠AB，
∴DE≠DF，故该选项错误；
B、由A选项的思路可知，B选项错误、
C、∵S△ABD＝BD h，S△ACD＝CD h，BD＝CD，
∴S△ABD＝S△ACD，故该选项正确；
D、∵BD＝CD，AB≠AC，
∴AD不平分∠BAC，
故选：C．
14．解：连接AF，
∵AB＝AD，点F是BD的中点，
∴AF⊥BD，
在Rt△AFC中，点E是AC的中点，EF＝3.5，
∴AC＝2EF＝7，
故答案为：7．
15．解：在Rt△AFC中，点D是AC的中点，AC＝6，
∴DF＝AC＝×6＝3，
∵EF＝1，
∴DE＝DF+EF＝3+1＝4，
∵点D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB＝2DE＝2×4＝8，
故答案为：8．
16．解：连接DN，
∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF是△MND的中位线，
∴EF＝DN，
当点N与点B重合时，DN最大，此时DN＝＝10，
∴EF长度的最大值为5，
故答案为：5．
17．解：∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AC＝2DE＝5，
∵AC2+BC2＝52+122＝169，AB2＝169，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴△ABC的面积＝×5×12＝30，
∵D是AB的中点，
∴△ACD的面积＝△ABC的面积×＝15．
故答案为：15．
18．解：如图，∵在直角△ABC中，∠BAC＝90°，D、F分别为AB、AC的中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF＝BC．
又∵点E是直角△ABC斜边BC的中点，
∴AE＝BC，
∵DF＝3，
∴DF＝AE．
故填：3．
19．解：∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，
∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PF＝BC，PE＝AD，
∵AD＝BC，
∴PF＝PE，
故△EPF是等腰三角形．
∵∠PEF＝35°，
∴∠PEF＝∠PFE＝35°，
故答案为：35°．
20．解：如图，作CH∥AB，连接DN，延长DN交CH于H，连接EH，作CJ⊥EH于J．
∵BD∥CH，
∴∠B＝∠NCH，
∵BN＝CN，∠DNB＝∠KNC，
∵△DNB≌△HNC（ASA），
∴BD＝CH，DN＝NH，
∵BD＝EC＝2，
∴EC＝CH＝2，
∵∠A+∠ACH＝180°，∠A＝60°，
∴∠ECH＝120°，
∵CJ⊥EH，
∴EJ＝JH＝EC cos30°＝，
∴EH＝2EJ＝2，
∵DM＝ME，DN＝NH，
∴MN＝EH＝．
故答案为．
21．解：过A作AP∥BC，过B作BP∥AC，AP，BP交于P，
∴四边形ACBP是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，
∴四边形ACBP是矩形，
∴PB＝AC＝10，AP＝BC＝6，∠APB＝90°，
连接CH并延长交PB于M，连接CG并延长交AP于N，
∴∠BMH＝∠HCD，
∵H是BD的中点，
∴BH＝DH，
∵∠BHM＝∠DHC，
∴△CDH≌△MBH（AAS），
∴BM＝CD＝4，CH＝HM，
同理，AN＝CE＝2，CG＝GN，
∴PM＝6，PN＝4，
∴MN＝＝2，
∴HG＝MN＝，
方法二：求AB的中点，连接FG，FH，
∵G是AE的中点，
∴，
，
∵∠C＝90°，
∴∠GFH＝90°，
∴GH＝＝＝；
故答案为：．
22．解：延长BD交AC于N，
∵AD是∠BAC的平分线，BD⊥AD，
∴BD＝DN，AN＝AB＝12，
∵BM＝CM，BD＝DN，AC＝22，
∴DM＝NC＝（AC﹣AN）＝5，
则MD的长为5．
23．解：∵点A（0，4），点B（2，0），
∴AB＝2 ，
∵点M，N分别是OA，OB的中点，
∴MN∥AB，MN＝OB＝1，OM＝2，
∴点P的纵坐标为2，
∵△ABP是直角三角形，
∴∠APB＝90°或∠ABP＝90°，
①如图，当∠APB＝90°时，则PN＝AB＝，
∴PM＝1+，
∴P（1+，2），
②如图，当∠ABP＝90°时，过点P作PC⊥x轴于C，则四边形MOCP是矩形，
过P作PC⊥x轴于C，则△ABO∽△BPC，
∴＝＝1，
∴BP＝AB＝2 ，
∴PC＝OB＝2，
∴BC＝4，
∴PM＝OC＝2+4＝6，
∴P（6，2），
综上可得点P的坐标为（1+，2）或（6，2）．
故答案为：（1+，2）或（6，2）．
24．解：当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：
①当∠A'EF＝90°时，如图1，
∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，
∴A'C＝AC＝4，∠ACB＝∠A'CB，
∵点D，E分别为AC，BC的中点，
∴D、E是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∴∠CDE＝∠MAN＝90°，
∴∠CDE＝∠A'EF，
∴AC∥A'E，
∴∠ACB＝∠A'EC，
∴∠A'CB＝∠A'EC，
∴A'C＝A'E＝4，
Rt△A'CB中，∵E是斜边BC的中点，
∴BC＝2A'E＝8，
由勾股定理得：AB2＝BC2﹣AC2，
∴AB＝＝4；
②当∠A'FE＝90°时，如图2，
∵∠ADF＝∠A＝∠DFB＝90°，
∴∠ABF＝90°，
∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，
∴∠ABC＝∠CBA'＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝AC＝4；
综上所述，AB的长为4或4；
故答案为：4或4；
25．解：∵E、F分别是BC、AC的中点，∠CAD＝∠CAB＝26°，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝AB，∠EFC＝∠CAB＝26°．
∵AB＝AC，△ACD是直角三角形，点E是斜边AC的中点，
∴DF＝AF＝CF，
∴DF＝EF，∠CAD＝∠ADF＝26°．
∵∠DFC是△AFD的外角，
∴∠DFC＝26°+26°＝52°，
∴∠EFD＝∠EFC+∠DFC＝26°+52°＝78°，
∴∠EDF＝＝51°．
故答案为：51．
26．解：延长CF交AB于点G，
∵AE平分∠BAC，
∴∠GAF＝∠CAF，
∴AF垂直平分CG，
∴AC＝AG，
GF＝CF，
又∵点D是BC中点，
∴DF是△CBG的中位线，
∴DF＝BG＝（AB﹣AG）＝（AB﹣AC）＝2．
27．解：∵E、F分别是AC、CD的中点，
∴EF＝AD，
∵AD＝6，
∴EF＝3．
∵∠ABC＝90°，E是CA的中点，
∴BE＝AC＝4，
∵∠BEF＝90°，
∴BF＝＝＝5．
28．解：∵AB＝BC，点D是AC的中点，
∴∠DBC＝∠ABC＝42°．
又∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC＝42°．
29．（1）证明：如图1中，
∵AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，
∴△ABD是等腰三角形，
∴BE＝DE，
∵BF＝FC，
∴EF＝DC＝＝（AC﹣AB）．
（2）结论：EF＝（AB﹣AC），
理由：如图2中，延长AC交BE的延长线于P．
∵AE⊥BP，
∴∠AEP＝∠AEB＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠PAE+∠APE＝90°，
∵∠BAE＝∠PAE，
∴∠ABE＝∠APE，
∴AB＝AP，
∵AE⊥BP，
∴E为BP的中点，
∴BE＝PE，
∵点F为BC的中点，
∴BF＝FC，
∴EF＝PC＝（AP﹣AC）＝（AB﹣AC）．